专题09 尺规作图与图形操作高频考点与常见5大题型（高频考点专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

五种基本作图● 知识要点O 作图工具：无刻度直尺、圆规 作线段：圆上点到圆心距离相等 作角：SSS构造全等三角形 作图原理o 角平分线：到角两边距离相等的点在平分线上 垂直平分线：到线段两端距离相等的点在中垂线上 题型一五种基本尺规作图○ 作线段：画射线→截取定长→标端点 解题步骤0 作角：画射线→作弧交两边→截弦长→作等弦→连线 角平分线：顶点画孤→交点画弧→连顶点与交点 作角圆弧半径保持一致 易错提醒。 角平分线连顶点与两弧交点 垂直平分线线段两侧均画弧取交点 痕迹类型：弧线痕迹、交点痕迹 知识要点o 一弧对应一步作图，交点满足双重几何条件 常考：作图类型、特征点、几何定理依据 识别孤线圆心、半径 题型二尺规作图痕迹分析。 解题步骤⊙ 由交点推导几何条件 反推作图类型，完成作答 角平分线与垂直平分线痕迹易混淆 易错提醒0 圆弧半径变化对应不同作图含义 多弧叠加按顺序逐层分析 仅限连两点，不可度量长度 知识要点0 核心技巧。 画草图定位目标 找格点/辅助交点 题型三无刻度直尺作图○ 解题步骤⊙ 构造A型、X型平行线 比例线段定点 禁止刻度量长、目测作垂线 易错提醒O 格点作图严格保证比例准确 非格点作图辅助线需有几何依据 作图为计算、证明提供隐含几何条件 知识要点。 常见综合：角平分线求线段比、垂直平分线证特殊四边形 规范完成尺规作图 题型四尺规作图与几何计算、证明综合○ 解题步骤。 由痕迹提取几何等量关系 用全等、相似、勾股定理计算证明 必须保留完整作图痕迹 易错提醒0 禁止用测量替代几何推理 作图误差不影响论证正确性 图形操作：剪拼、折叠、平移、旋转 知识要点0 方案设计：择优方案+几何代数综合论证 审题明确操作规则 草图预判方案可行性 题型五图形操作与方案设计○ 解题步骤0 尺规作图落实方案 证明/代数计算验证正确性 方案需满足全部题干条件 易错提醒0 最优方案以计算对比为依据 每步操作均要有几何定理支撑 专题09 尺规作图与图形操作高频考点与常见5大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 五种基本尺规作图 题型二 尺规作图痕迹分析 题型三 无刻度直尺作图 题型四 尺规作图与几何计算、证明综合 题型五 图形操作与方案设计 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 尺规作图是上海中考数学的特色考点之一，也是新课标强调的核心内容。分值约4-10分，占全卷的3%-7%，常见于选择题、填空题及第21/22题的解答题。近年来，尺规作图的考查重点已从“记住作图步骤”转向“理解作图原理”和“分析作图痕迹”。2025年中考已出现无刻度直尺作图及正五边形背景下的尺规作图题，专家明确指出试卷“注重学科思维，关注数学本质”，“重视对通性通法的考查”。这预示着尺规作图不再是简单的操作模仿，而是对学生几何直观、逻辑推理和空间观念的综合检验。 2026中考预测： 题型稳定：五种基本尺规作图（作线段、作角、作角平分线、作垂直平分线、作垂线）的痕迹分析将继续出现在选择题和填空题中。无刻度直尺作图题在2025年中考第22题中已有体现，2026年各区二模和复习卷中同样反复出现，预计2026年中考将继续以解答题形式考查。尺规作图与三角形、四边形、圆的综合证明题将保持在第21-22题的位置。 难度平稳：尺规作图部分的基础题（如识别作图痕迹对应哪种基本作图）难度约0.8-0.85，属于必拿分项。中档题（如无刻度直尺作图、利用尺规作图进行几何计算）难度约0.65-0.75，需要学生具备一定的几何推理能力。值得注意的是，“无刻度直尺作图”作为近年新考法，由于工具受限，对学生的几何构造能力要求较高，是区分中等生与优生的关键题型。 命题趋势：尺规作图将更加注重“原理分析”和“创新应用”。题目可能要求学生不仅会作图，还要能解释作图依据、判断作图痕迹的正确性，甚至补全作图步骤并论证正确性。无刻度直尺作图将在格点背景和几何图形背景中反复出现，考查学生利用平行线分线段成比例、三角形中线性质、对称性等几何知识进行作图的能力。图形操作与方案设计（如剪拼、折叠、平移与旋转中的作图问题）也将成为热门方向。 题型一 五种基本尺规作图 【真题呈现01】（2025·上海金山·一模）某校初三数学活动小组在利用尺规把线段分割成两条线段． ①过点作，使． ②连接，在线段上截取． ③在线段上截取． 那么________． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的运算，根据题意，画出图形，利用勾股定理，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：设，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式01】（2026·上海·月考）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、用HL证全等（HL）、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解； 【详解】解：由图示知，小海第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小华第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长”明显错误，符合题意， 故选：D． 【变式02】（2024·上海·模拟预测）如图所示，在中，，根据图中尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，由作图可知，平分，垂直平分，根据角平分线和中垂线的定义，结合三角形的内角和定理，以及30度所对的直角边是斜边的一半，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选D． 【变式03】（2025·上海·模拟预测）如图中，用尺规作图后得到直线m，连接，再次作图得到直线n，作图痕迹保留．若，则的大小是_________． 【答案】/36度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】根据题意得直线m垂直平分线段，直线n平分，得出，，利用三角形外角的定义及三角形内角和定理求解即可． 题目主要考查垂直平分线和角平分线的作法及性质，三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． 【详解】解：根据题意得直线m垂直平分线段，直线n平分，如图所示： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式04】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在中， (1)作出，并尺规作图：在线段上作点D，使得（保留作图痕迹） (2)求的长度 【答案】(1)点为线段的垂直平分线与的交点 (2) 【知识点】作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先作出，再利用作的垂直平分线作出D点即可； （2）设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则，再利用三角函数分别求得， ，从而可求得，再利用勾股定理求得，然后证明，根据相似三角形的性质得出，代入已知线段，求得，从而可求得． 【详解】（1）解：作的垂直平分线，交于点D， 则，点D即为所求作的点． （2）解：设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则， ∵，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是综合运用以上知识点． 【变式05】（2026·上海闵行·一模）在中，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是___________． 【答案】6 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查角平分线和垂线的尺规作图，含的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据作图痕迹可知，平分，，因为，则，利用含的直角三角形的性质即可求． 【详解】解：根据作图痕迹可知，平分，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 题型二 尺规作图痕迹分析 【真题呈现02】（2025年上海市中考数学真题）（2023·上海闵行·二模）如图，在中，．用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线，那么下列作法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据线段垂直平分线的作图、角平分线的作图及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：A、由作图可知，不满足点P是的中点，故不符合题意； B、由作图可知，不满足点P是的中点，故不符合题意； C、由作图可知点P是的中点，故符合题意； D、由作图可知平分，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及线段垂直平分线的作图、角平分线的作图，熟练掌握尺规作图是解题的关键． 【变式01】（2026·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 【变式02】（2026九年级上·上海静安·期末）如图，在中，，通过尺规作图，小明作出了线段、射线，依据作图痕迹： (1)判断下列结论正确的是_________． ①；②； ③．请填写编号） (2)如果，求的长． 【答案】(1)①③ (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、已知余弦求边长、利用两角对应相等判定相似 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可判定①正确；无法判定②正确；证明，得出，即可判定③正确； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，，根据，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：①根据作图可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵E点不一定是的中点， ∴不一定垂直平分， ∴不一定等于，故②错误； ③根据作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，正确的有①③； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 根据解析（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，尺规作垂线和角平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型三 无刻度直尺作图 【真题呈现03】（2025·上海青浦·二模） 已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) 【知识点】重心的有关性质、解直角三角形的相关计算、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）①利用网格直接画图即可． ②结合三角形的重心的定义，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O，则点O即为所求． （2）由图可得，，结合勾股定理求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图1，即为所求． ②如图2，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O， 则点O即为所求． （2）由图可得，． 由勾股定理得，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式01】（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 【变式02】（2025·上海青浦·二模）我们知道“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图）： ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④连接． (1)求证：小明画出的四边形是平行四边形； (2)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，，请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、无刻度直尺作图、证明四边形是平行四边形、正方形性质理解 【分析】（1）根据平行线的传递性及平行线分线段成比例定理得，，，，继而得到，，证明得，推出，则，即可得证； （2）取格点、、、、，交于点，交于点，连接交于点，连接、、即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，取格点、、、、，交于点，交于点，连接交于点，连接、、、、， ∵在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，，， ∴，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的判定和性质等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 【变式03】（2025九年级上·上海·期中）已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． (1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； (2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【知识点】重心的概念、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，重心的概念与性质； （1）由图形可得，则，代入求值即可； （2）①找到和的中点，再作三角形的中线，交点即为重心G； ②作点与关于对称，连接与的交点即为点M，，，则． 【详解】（1）解：由图形可得，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图2，的重心G即为所求： ②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M， 此时，， ∴． 题型四 尺规作图与几何计算、证明综合 【真题呈现04】（2025·上海黄浦·二模）尺规作图：已知具体步骤如下：①在射线、上分别截取、，使；②分别以点、为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧交于内的一点，作射线；③以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，联结、．那么所作的四边形一定是（   ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】本题考查作图-基本作图，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，等腰梯形的判定．根据要求作出图形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】解：由作图可知，平分，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故选：A． 【变式01】（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；②能，见解析，是的黄金分割点 (3)不存在，理由见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合)、黄金分割 【分析】本题考查了调和点列的定义，解直角三角形，平行线分线段成比例，黄金分割，二次函数的性质． ①根据题意得出，进而计算得出，即可得证； ②设，根据得出化简得出，进而可得，，即可得证； （2）①取点，，，根据调和点列定义可得 ②取点，，连接，设，则，进而得出，即可求解； （3）设直线的解析式为，与轴交于点，根据得出则，，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，设，根据平行线分线段成比例得出，，进而根据、；、是调和点列得出，即，进而得出，与已知矛盾，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵ ， 即， ∴； ②如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴、、为调和点列； （2）解：①如图，取点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点； 或如图， 则 ②如图， 取点，，连接，设，则， ∴， 以为圆心为半径作弧交轴于点，则， 取的中点，则， 取点，则， 以为圆心为半径，在轴上截取， 取的中点，则， ∴， ∴是的黄金分割点， （3）设直线的解析式为，与轴交于点， ∵在左上侧， ∴， 当时，，解得：，即， ∵， ∴，即，则， ∴，， ∵， ∴抛物线开口向上， 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 联立， ∴， ， 设， ∴， ∵， ∴，， ∵、；、是调和点列， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴不存在，使得、；、是调和点列． 【变式02】（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边上，，与相交于点F，． (1)尺规作图：作交于H（保留作图痕迹即可）； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据全等三角形的判定方法得出，即可得出答案； （3）根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵，     ∴， ∵=， ∴， 即 =． ∵， ∴． ∴． （3）∵≌， ∴，． ∵ ，， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 题型五 图形操作与方案设计 【真题呈现05】（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 【模型探究】由平分，可得，又由，可得，从而，即可得结论； （1）由，可得，从而可证，则，再由，，可得，即可求解； （2）先作的平分线，则有，在截取，再在截取，则，从而，则，即，同时，则，则点、即为所求． 【详解】【模型探究】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． （2）如图，点、即为所求． 【变式01】（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】正比例函数的性质、反比例函数与几何综合、画圆(尺规作图) 【分析】（1）由题意得，，设，则，点，即可解答． （2）先画出和 的图像，再过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，再作圆O，长为半径画圆交x轴于点E，过点E作直线垂直于x轴，过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q，即可解答． 【详解】（1）解：若，， 设，则，点， ∴． （2）如图： 画图步骤：①画平面直角坐标系中和 的图像； ②过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，则，， ③以点O为圆心，长为半径画圆交x轴于点E． ④过点E作直线垂直于x轴； ⑤过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q． ∴Q为所求． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，尺规作图，正比例函数． 【变式02】（2026九年级上·上海金山·周测）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形可分割，这条线段叫做这个三角形的分割线． 例如图，从的顶点引一条线段，若、都是等腰三角形，则可分割，线段即为的分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． (1)她发现如图，图所示的均可分割，请你在图，图中选一个，用尺规作图画出它们的分割线；（不写作法，但保留作图痕迹） (2)她猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举一个反例． 【答案】(1)见解析； (2)正确，见解析． 【知识点】作垂线(尺规作图)、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的定义 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，三角形，命题与定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据分割线的定义及尺规作线段及尺规作线段垂直平分线画出图形即可； （2）正确，直角三角形斜边中线就是分割线． 【详解】（1）解：分割线如图2，3中所示； （2）解：正确． 已知：如图，中，， 求证：是可分割三角形． 证明：取的中点，连接． ∵，， ∴， ∴，都是等腰三角形， ∴是可分割三角形． 1.（2025·上海嘉定·二模）小明同学设计“在中，作菱形”的尺规作图，对设计过程进行描述“在中，作的角平分线交于点E，作线段的垂直平分线与，分别相交于D，F两点，连接，，得到的四边形是菱形”．    (1)根据小明同学的设计，完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图——作角平分线和垂直平分线，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，掌握基本作图是解题的关键． （1）利用基本作图的方法作角平分线和垂直平分线即可解题； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质，，，再结合等边对等角可证得，进而证明，得，，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）证明：∵平分， ∴， 又∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 2.（2026·上海宝山·二模）如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求出的长，作图得到垂直平分，进而得到的长，解直角三角形，求出的长，由作图可知，，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：∵在矩形中，，，为矩形对角线， ∴，， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴. 3.（2025·上海浦东新·期中）要想知道作业纸上两条相交直线，所夹的锐角的大小．发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两位同学提供了如下间接测量方案（方案1如图1，方案2如图2）： 方案1： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可． 方案2： ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案1、2，说法正确的是（    ） A．1可行、2不可行 B．1不可行、2可行 C．1、2都可行 D．1，2都不可行 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】方案1可由平行线的性质进行判断，方案2可由三角形内角和定理进行判断． 【详解】解：方案1：∵， ∴， ∴由两直线平行，内错角相等可知等于直线，所夹锐角的大小； 方案2：∵，和直线，所夹的锐角是一个三角形的三个内角， ∴的大小即为直线，所夹锐角的大小； ∴1、2都可行． 4.（2026·上海·期末）如图，已知，四点，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)画直线； (2)连接并延长到点，使得； (3)用刻度尺画出线段的中点． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【知识点】线段中点的有关计算、画出直线、射线、线段、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查画直线和线段，线段的中点，熟练掌握直线，线段和线段中点的定义，是解题的关键： （1）根据直线的定义画图即可； （2）连接并延长，以为圆心，长画弧，交射线于一点，再以该点为圆心的长为半径画弧，即可得出点； （3）用刻度尺量出的长，进而得到的长，画图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点即为所求； 5.（2025上海宝山·期末）已知如图中，，， (1)用尺规在边上求作点，使得点到点、点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求点、点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作已知线段的垂直平分线、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，勾股定理解三角形，熟练掌握线段垂直平分线的做法及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据题意作线段的垂直平分线交于点P即为所求； （2）根据题意得出，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：点P即为所求； （2）解：如图所示，过点作于点D，由（1）得， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴． 6．（2026·上海·期末）在课本综合与实践活动《“勾股定理”证明中的中国智慧》中，介绍了我国数学家刘徽用“出入相补原理”证明勾股定理的图形割补方法（如图1和图2）． 活动1：刘徽（约225—约295）的证明 交流学习体会时，小明同学认为：此方法的难点在于确定图2中的点D的位置．根据图中的示意，只要点D的位置确定，就相应确定了切割两个小正方形的方法，即确定了裁切线和． 现给定两个边长分别为a和b的正方形和（），其中正方形的边和共线（如图3）．根据刘徽的方法，请用尺规在线段上作出点P的位置（用于确定裁切线和），再写出你的作法并证明（即证明这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为的大正方形）． 【答案】见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、勾股定理的证明方法、作垂线(尺规作图)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】．本题考查作垂直平分线，圆的基本知识，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形全等的判定和性质，正方形的性质； 作图：先连接，作的垂直平分线交于O， 再以O为圆心，为半径画圆，交于点即可； 证明：由作图可知，，，证，得，，，即可解答． 【详解】解：如图，点P即为所求， 作法：1、连接，作的垂直平分线交于O， 2、以O为圆心，为半径画圆，交于点； 证明：由作图可知是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵和都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为的大正方形． 7．（2025·上海·期末）（1）图1是课本P117中的用尺规作一个已知角的平分线的方法．根据作法，我们可以用_______________的判定方法证明与全等，再根据全等三角形的__________，得出，即射线平分． 如图，已知，求作的平分线． 作法 （1）以点O为圆心，以任意长度a为半径作弧，分别交、于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于内的一点C； （3）作射线． 射线就是的平分线（图）． 图1 （2）乐乐发现，将两把相同的三角尺按照图2放置：较短的直角边分别与的两边重合，且两把三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点O，则射线即为的平分线．请你根据乐乐的作法，证明射线为的平分线． 【答案】（1），对应角相等；（2）见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、全等的性质和HL综合（HL）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据作图的过程证明三角形全等即可； （2）由题意可知，，，先利用证明，可得，再利用证明，得，即射线为的平分线． 【详解】解：（1）如图，连接，， 根据作法可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，即平分， 综上，根据作法，我们可以用的判定方法证明与全等，再根据全等三角形的对应角相等，得出，即射线平分． 故答案为：，对应角相等； （2）证明：由题意可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 即射线为的平分线． 8．（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】黄金分割、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了黄金分割比，勾股定理，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）设，根据作图知，根据勾股定理求出，则，然后代入计算即可求解； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，过F作，在上截取，连接，并延长，在延长线上截取，以E、F为圆心，为半径画弧，两弧相交于A，连接、即可． 【详解】（1）解：设， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由： 设， 由作图知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 9．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、． (1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________ （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形． (2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，．） 【答案】(1)， (2)，证明五边形是正五边形见详解 【知识点】尺规作图——正多边形、正多边形和圆的综合、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，据此即可获得答案； （2）首先结合题意并根据勾股定理解得，进而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可确定的值；连接，，，，，结合为直径易得，利用三角函数可得，由圆周角定理可得，进而可得，然后利用全等三角形的性质可证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：根据正多边形的定义，我们只需要证明，，就可证明六边形是正六边形． 故答案为：，； （2）解：根据题意，可得，， ∵点为半径的中点， ∴， ∴在中，， ∵以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点， ∴， ∴， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点， ∴； 如下图，连接，，，，， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴五边形是正五边形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、多边形的定义和性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 10.（2025·上海嘉定·期末）作图题（第1题需要写出画法，第2题不需要写出画法） (1)如图1，已知线段和，用尺规作线段，使得； (2)如图2，已知和，在内部画，使，并画出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）任意作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，接着以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，最后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点，即可得线段． （2）根据作一个角等于已知角的方法以及角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，任意作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，接着以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，最后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点， 则线段即为所求． ； （2）解：如图，和射线即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 尺规作图与图形操作高频考点与常见5大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 五种基本尺规作图 题型二 尺规作图痕迹分析 题型三 无刻度直尺作图 题型四 尺规作图与几何计算、证明综合 题型五 图形操作与方案设计 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 尺规作图是上海中考数学的特色考点之一，也是新课标强调的核心内容。分值约4-10分，占全卷的3%-7%，常见于选择题、填空题及第21/22题的解答题。近年来，尺规作图的考查重点已从“记住作图步骤”转向“理解作图原理”和“分析作图痕迹”。2025年中考已出现无刻度直尺作图及正五边形背景下的尺规作图题，专家明确指出试卷“注重学科思维，关注数学本质”，“重视对通性通法的考查”。这预示着尺规作图不再是简单的操作模仿，而是对学生几何直观、逻辑推理和空间观念的综合检验。 2026中考预测： 题型稳定：五种基本尺规作图（作线段、作角、作角平分线、作垂直平分线、作垂线）的痕迹分析将继续出现在选择题和填空题中。无刻度直尺作图题在2025年中考第22题中已有体现，2026年各区二模和复习卷中同样反复出现，预计2026年中考将继续以解答题形式考查。尺规作图与三角形、四边形、圆的综合证明题将保持在第21-22题的位置。 难度平稳：尺规作图部分的基础题（如识别作图痕迹对应哪种基本作图）难度约0.8-0.85，属于必拿分项。中档题（如无刻度直尺作图、利用尺规作图进行几何计算）难度约0.65-0.75，需要学生具备一定的几何推理能力。值得注意的是，“无刻度直尺作图”作为近年新考法，由于工具受限，对学生的几何构造能力要求较高，是区分中等生与优生的关键题型。 命题趋势：尺规作图将更加注重“原理分析”和“创新应用”。题目可能要求学生不仅会作图，还要能解释作图依据、判断作图痕迹的正确性，甚至补全作图步骤并论证正确性。无刻度直尺作图将在格点背景和几何图形背景中反复出现，考查学生利用平行线分线段成比例、三角形中线性质、对称性等几何知识进行作图的能力。图形操作与方案设计（如剪拼、折叠、平移与旋转中的作图问题）也将成为热门方向。 题型一 五种基本尺规作图 【真题呈现01】（2025·上海金山·一模）某校初三数学活动小组在利用尺规把线段分割成两条线段． ①过点作，使． ②连接，在线段上截取． ③在线段上截取． 那么________． 【变式01】（2026·上海·月考）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【变式02】（2024·上海·模拟预测）如图所示，在中，，根据图中尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·上海·模拟预测）如图中，用尺规作图后得到直线m，连接，再次作图得到直线n，作图痕迹保留．若，则的大小是_________． 【变式04】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在中， (1)作出，并尺规作图：在线段上作点D，使得（保留作图痕迹） (2)求的长度 【变式05】（2026·上海闵行·一模）在中，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是___________． 题型二 尺规作图痕迹分析 【真题呈现02】（2025年上海市中考数学真题） （2023·上海闵行·二模）如图，在中，．用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线，那么下列作法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式01】（2026·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【变式02】（2026九年级上·上海静安·期末）如图，在中，，通过尺规作图，小明作出了线段、射线，依据作图痕迹： (1)判断下列结论正确的是_________． ①；②； ③．请填写编号） (2)如果，求的长． 题型三 无刻度直尺作图 【真题呈现03】（2025·上海青浦·二模） 已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 【变式01】（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【变式02】（2025·上海青浦·二模）我们知道“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图）： ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④连接． (1)求证：小明画出的四边形是平行四边形； (2)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，，请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 【变式03】（2025九年级上·上海·期中）已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． (1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； (2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 题型四 尺规作图与几何计算、证明综合 【真题呈现04】（2025·上海黄浦·二模）尺规作图：已知具体步骤如下：①在射线、上分别截取、，使；②分别以点、为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧交于内的一点，作射线；③以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，联结、．那么所作的四边形一定是（   ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【变式01】（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 【变式02】（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边上，，与相交于点F，． (1)尺规作图：作交于H（保留作图痕迹即可）； (2)求证：； (3)求证：． 题型五 图形操作与方案设计 【真题呈现05】（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式01】（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【变式02】（2026九年级上·上海金山·周测）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形可分割，这条线段叫做这个三角形的分割线． 例如图，从的顶点引一条线段，若、都是等腰三角形，则可分割，线段即为的分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． (1)她发现如图，图所示的均可分割，请你在图，图中选一个，用尺规作图画出它们的分割线；（不写作法，但保留作图痕迹） (2)她猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举一个反例． 1.（2025·上海嘉定·二模）小明同学设计“在中，作菱形”的尺规作图，对设计过程进行描述“在中，作的角平分线交于点E，作线段的垂直平分线与，分别相交于D，F两点，连接，，得到的四边形是菱形”．    (1)根据小明同学的设计，完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)求证：四边形是菱形． 2.（2026·上海宝山·二模）如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（  ） A． B． C． D．1 3.（2025·上海浦东新·期中）要想知道作业纸上两条相交直线，所夹的锐角的大小．发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两位同学提供了如下间接测量方案（方案1如图1，方案2如图2）： 方案1： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可． 方案2： ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案1、2，说法正确的是（    ） A．1可行、2不可行 B．1不可行、2可行 C．1、2都可行 D．1，2都不可行 4.（2026·上海·期末）如图，已知，四点，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)画直线； (2)连接并延长到点，使得； (3)用刻度尺画出线段的中点． 5.（2025上海宝山·期末）已知如图中，，， (1)用尺规在边上求作点，使得点到点、点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求点、点之间的距离． 6．（2026·上海·期末）在课本综合与实践活动《“勾股定理”证明中的中国智慧》中，介绍了我国数学家刘徽用“出入相补原理”证明勾股定理的图形割补方法（如图1和图2）． 活动1：刘徽（约225—约295）的证明 交流学习体会时，小明同学认为：此方法的难点在于确定图2中的点D的位置．根据图中的示意，只要点D的位置确定，就相应确定了切割两个小正方形的方法，即确定了裁切线和． 现给定两个边长分别为a和b的正方形和（），其中正方形的边和共线（如图3）．根据刘徽的方法，请用尺规在线段上作出点P的位置（用于确定裁切线和），再写出你的作法并证明（即证明这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为的大正方形）． 7．（2025·上海·期末）（1）图1是课本P117中的用尺规作一个已知角的平分线的方法．根据作法，我们可以用_______________的判定方法证明与全等，再根据全等三角形的__________，得出，即射线平分． 如图，已知，求作的平分线． 作法 （1）以点O为圆心，以任意长度a为半径作弧，分别交、于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于内的一点C； （3）作射线． 射线就是的平分线（图）． 图1 （2）乐乐发现，将两把相同的三角尺按照图2放置：较短的直角边分别与的两边重合，且两把三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点O，则射线即为的平分线．请你根据乐乐的作法，证明射线为的平分线． 8．（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 9．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、． (1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________ （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形． (2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，．） 10.（2025·上海嘉定·期末）作图题（第1题需要写出画法，第2题不需要写出画法） (1)如图1，已知线段和，用尺规作线段，使得； (2)如图2，已知和，在内部画，使，并画出的平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $