2026年高考数学模拟冲刺卷04（全国一卷通用）

2026年高考数学模拟冲刺卷04（全国一卷通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（    ） A．景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B．景区这7日数据的极差是1.7 C．景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D．景区这7日数据的方差比景区的大 4．已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 7．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则服从标准正态分布 B． C．从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D．从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 10．如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B．当点是线段的中点时，存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 11．设函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．不等式的解集是 D．若恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，则与的夹角为__________. 13．已知函数.若，且，，则___________. 14．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 16． （15分） 在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 17． （15分） 如图，四棱锥中，底面，，. (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)已知，分别为线段，上的动点，是否存在这样的点，，使得，，，四点共面、且该平面与平面垂直？若存在，请确定点，的位置；若不存在，请说明理由. 18． （17分） 函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当，时， （ⅰ）求的值域； （ⅱ）证明：． 19．（17分） 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为的双曲线序列的方程．点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，交于另两点，且的平分线垂直于轴． (1)求的通项公式； (2)求直线的斜率； (3)当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于点，证明：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟冲刺卷04（全国一卷通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】， 所以. 2．若复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【详解】 方法一：因为， 所以， 因此． 方法二：． 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（    ） A．景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B．景区这7日数据的极差是1.7 C．景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D．景区这7日数据的方差比景区的大 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动程度、总体百分位数的估计 【详解】对于A项，将景区 A 的数据从小到大排序得， 因为，不是整数， 故景区这7日数据的第80%分位数是第项为，故A错误； 对于B项，景区这7日数据的极差是，故B错误； 对于C项，因为景区的平均数：, 景区的平均数：, 所以景区这7日数据的平均数比景区的两倍小，故C正确； 对于D项，由折线图可知景区的人数波动比景区的人数波动小，故景区这7日数据的方差比景区的小，故D错误. 4．已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.63 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再根据周期求函数的解析式，根据平移和伸缩变换求的解析式，最后根据选项，利用代入法求函数的一个单调递增区间. 【详解】 最小正周期，得， 即，图象向下平移2个单位长度后得到函数，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数， A.当，，此区间先减后增，故A错误； B. 当，，是正弦函数减区间的子集，故B错误； C. 当，，是正弦函数增区间的子集，故C正确； D.当，，此区间先增后减，故D错误； 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.68 【知识点】给值求值型问题、二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先由两角和的正切公式得，再通过二倍角公式及齐次式计算可得. 【详解】由三角恒等变换可知，解得， 原式. 6．已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题 【分析】根据三角形三边的关系可得，当且仅当共线时等号成立，然后根据椭圆的定义及椭圆的标准方程即可求解. 【详解】 如图所示，已知椭圆方程，则， 由于点在椭圆上，根据椭圆的定义有，， 又因为在中，有，当且仅当共线时等号成立， 所以的周长，当且仅当共线时等号成立， 即的周长的最大值为，故A正确. 7．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】利用基本量先计算公差和，进而得和，由解得的范围，进而求解. 【详解】设等差数列的公差为，又，所以， 由，所以，所以，所以，即①， 又因为，所以②， 由①②解得， 所以， 所以， 由有，即， 解得， 所以使成立的的最大值是， 故选：C. 8．已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求函数值、错位相减法求和 【分析】令可求出的值，然后令，可得出的表达式，令，利用错位相减法求出，计算可得，结合数列的单调性可得结果. 【详解】令可得，即， 因为，则， 令，，则， 即，故， 所以， 令①， 则②， ①②可得 ， 所以， 当时，，则数列为单调递增数列， 因为，，则， 故满足不等式的正整数的最小值为. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则服从标准正态分布 B． C．从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D．从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质、独立重复试验的概率问题、计算条件概率 【分析】借助正态分布中的意义与标准正态分布的意义可判断A；利用正态分布的性质计算即可得的值可判断B；由正态分布的性质可得，，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算即可判断CD. 【详解】对于A，因为，则， 若随机变量，则服从标准正态分布， 故时，才服从标准正态分布，故A错误； 对于B，， ， 由正态分布的对称性可得， 所以，故B正确； 对于C，由， 可得， 所以从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为： ，故C正确； 对于D，由，可得， 所以， 又，所以由条件概率公式可得， 所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为，故D正确. 故选：BCD. 10．如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B．当点是线段的中点时，存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、证明面面平行、证明线面垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】A当为中点，为中点时，作出截面判断；B当点重合时，利用线面垂直的性质定理和判定定理求证；C当为中点，为中点时，利用面面平行的判定定理求证；D求出点的轨迹即可. 【详解】A选项，当为中点，为中点时， 在上取点Q ，使，在上取点T ，使 连接、，则，则四边形为平行四边形，则, 在平面内过点作，交于N，则, 连接，则同理可证, 则五边形为过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面，故A错误； B选项，当点重合时，平面， 若是线段的中点，则为和的交点， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证，， 因为平面，所以平面， 即平面，故B正确； C选项，当为中点，为中点时，平面平面， 因为，平面，平面，则平面， 因为，又平面，平面，则平面， 又，则平面平面，故C正确； D选项，当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 取线段的中点，连接，则平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 则点在以为圆心，为半径且位于侧面内的圆上， 该圆分别交于点， 因为，所以，则， 故点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD 11．设函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．不等式的解集是 D．若恒成立，则 【答案】BCD 【难度】0.45 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据奇函数的性质，判断A，判断导函数的零点个数，判断B，根据零点，解不等式，判断C，根据函数和的对称性，结合函数的零点和不等式的关系，判断D. 【详解】对A，若为奇函数，则，且，则，， 这样的三个零点不关于原点对称，则不是奇函数，故A错误； 对B，，所以 . 由. ， 因为，所以， 所以有两个不相等的零点，不妨设为， ，得或；，得. 所以函数的增区间为和，减区间为， 所以是的极大值点，是的极小值点，故B正确； 对C，当时，，当时，，当时，， 当时，，所以的解集为，故C正确； 对D，与关于对称，若恒成立， 则的零点关于直线对称，所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，则与的夹角为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】向量的模、向量夹角的计算 【详解】由题可知， 解得， 所以，又， 则. 13．已知函数.若，且，，则___________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】正弦函数对称性的其他应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角恒等变换可得，结合函数对称性分析可知，代入即可得结果. 【详解】由题意可知： ， 时，， 而，，， 可知是函数相邻最近的两个零点，且是函数的对称轴， 若，且，，则， 所以. 14．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据抛物线定义，由在抛物线上可得等于点到准线的距离．再结合，通过直角三角形求出角平分线与轴负方向所成的角，进而得到直线的方程，最后与抛物线方程联立求出点，即可求得． 【详解】由，得焦点，准线． 设，其中．因为三点共线，且在线段上，又，所以. 过点作，垂足为． 因为点在抛物线上，所以由抛物线定义得. 在直角三角形中，. 所以. 又因为，且三点共线，所以. 因为是的平分线，所以. 故直线与轴正方向所成的角为，其斜率为． 又直线过点，所以直线的方程为. 联立直线与抛物线的方程，得. 整理得. 解得或. 因为点位于第一象限，且在点的右上方，所以，从而. 于是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】(1) (2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【难度】0.52 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解； （2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 16． （15分） 在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.54 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 17． （15分） 如图，四棱锥中，底面，，. (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)已知，分别为线段，上的动点，是否存在这样的点，，使得，，，四点共面、且该平面与平面垂直？若存在，请确定点，的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点． 【难度】0.6 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）方法一：由面面角的定义确定二面角的平面角，计算即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，由面面角向量法计算求解； （2）由面面垂直的判定定理及四点共面结合相似三角形计算即可求解；方法二：由面面垂直的判定定理及空间向量共面的基本定理计算求解；方法三：建立空间直角坐标系，设，，由面面垂直向量法即空间向量共面的基本定理计算求解. 【详解】（1）方法一：因为， 所以，即 因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面与平面所成的角， 因为，所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； 方法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， 由已知，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以， 因为底面，所以平面的法向量为， 因此平面与平面所成角的余弦值为 ； （2）方法一：取线段上的中点，因为，所以， 由（1）可知平面平面，所以， 又因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 延长、交于点，连接，并延长交线段于点， 则，，，四点共面， 过点作，交延长线于点， 因为，所以① 因为，， 所以，同理可得， 所以，，故， 所以是的中点， 因为，所以② 联立①②可得，即， 所以存在这样的点，满足题意， 此时点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点． 方法二：取线段上的中点，因为，所以， 由（1）可知平面平面，所以， 又因为平面平面PBC，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， ， 假设存在这样的点，使得，，，四点共面， 不妨设（其中）， 则， 因为存在唯一的有序实数对，使得， 所以， 解得，此时， 所以存在这样的点，满足题意， 此时点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点． 方法三：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， ， 假设存在这样的点，， 不妨设（其中），（其中）， 则 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，所以， 因为平面与平面垂直， 由（1）可得平面的法向量为 由，可得，此时， 又因为，，，四点共面， 所以存在唯一的有序实数对，使得， 即， 解得，此时， 所以存在这样的点，满足题意， 此时点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点． 18． （17分） 函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当，时， （ⅰ）求的值域； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.42 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】（1）由导数的几何意义确定切线斜率，即可求解； （2）（ⅰ）令，确定为偶函数，求导确定其在上的值域即可求解；（ⅱ）由的单调性，得到，进而证明在时成立即可． 【详解】（1），， 又， 故曲线在处的切线方程为． （2）（ⅰ）设，由于其是偶函数，故只需考虑其在时的情况． ，设，， 单调递增，于是，故在上单调递增， 而，， 可知在上单调递增， 结合偶函数的性质可得在上的值域为． （ⅱ），， ，偶函数， ，， ，偶函数， 由奇偶性知只要证明时即可． 即证当时，， 当时，由（ⅰ）， 考虑，， ， 单调递增，此时， 于是，即， 故只要证在时成立即可． 设，， 设，则， 由（ⅰ）函数在上单调递增， 所以在上单调递减，故， 故在上单调递减，即单调递减，又， 单调递减，，故， 综上． 19．（17分） 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为的双曲线序列的方程．点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，交于另两点，且的平分线垂直于轴． (1)求的通项公式； (2)求直线的斜率； (3)当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.43 【知识点】求双曲线中的弦长、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得，得，在中，根据位置关系可得，进而求解； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程可得，结合可得，进而求解； （3）由弦长公式和距离公式可得的面积，进而可得，利用等比数列前项求和公式结合放缩法即可得证. 【详解】（1）因双曲线的离心率为， 所以，即，所以公比， 双曲线渐近线方程为， 由点到一条渐近线的距离为， 解得，故； （2）由（1）知， 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 将代入中整理得，， 且，∴， ∵的平分线垂直于轴，∴， 得，即， ， 化简整理得， 化简整理得， ∴或（舍）， ∴； （3）直线的方程为，到直线的距离， ， 的面积， ∴或（舍），，所以， ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $