微专题：动态圆和磁聚焦与磁发散问题 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

该高中物理讲义通过表格系统梳理动态圆和磁聚焦与磁发散知识体系，将放缩圆、旋转圆、平移圆的适用条件、应用方法等要点分类呈现，清晰展示动态圆问题的临界分析思路，同时整合磁聚焦与磁发散的核心特征，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于“题型+例题+分层练习”的设计，如通过放缩圆例题分析粒子速度与轨迹半径关系，旋转圆例题计算磁场中粒子打中的区域长度，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。基础例题助学生掌握方法，综合练习题提升应用能力，参考答案详解过程，支持学生自主复习，也为教师实施精准教学提供素材。

专题1　动态圆和磁聚焦与磁发散问题 题型1　三类“动态圆”问题　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 1．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态圆思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2．粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 3．常用的动态圆 示意图 适用条件 应用方法 放 缩 圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件 旋 转 圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件 平 移 圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R＝的圆进行平移 例题1．（放缩圆）如图所示，等边三角形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（包括边界处），三个完全相同的重力不计的带电粒子1、2、3以不同的速度由顶点a垂直bc方向射入磁场，结果粒子1、2、3分别从d、e、c点离开磁场，d、e为ac边的三等分点，不考虑三个粒子间的相互作用。 则下列说法正确的是（ ） A．粒子3的轨道半径大于三角形的边长 B．粒子1、2、3进入磁场的速度之比为1:2:3 C．离开磁场时，粒子3的偏转角最大、粒子1的偏转角最小 D．若仅将磁场的磁感应强度变为原来的1/3，粒子2从点c离开磁场a b 例题2．（旋转圆）如图，真空室内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝0.30T。磁场内有一足够大的感光板ab，在离ab的距离l＝32cm处有一个点状的α粒子放射源S，它在纸面内向各个方向发射α粒子，发射速度大小都是v＝3.0×106m/s。已知α粒子的比荷＝5.0×107C/kg，不计粒子的重力，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是 cm。 例题3．（平移圆）如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1∶t2为（ ） A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D.∶ 题型2　磁聚焦与磁发散 磁聚焦与磁发散 轨迹圆半 径等于区 域圆半径 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行——磁聚焦，从边缘某点以不同方向入射时平行射出——磁发散 例题4.（磁聚焦）如图所示为一半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，以圆心为原点，建立直角坐标系，在轴与圆周交点处有一粒子源，可向磁场中以相同的速率朝不同方向发射同种带电粒子，已知带电粒子质量均为、电荷量为，不计粒子重力，若所有粒子均沿轴负方向射出磁场区域，则应满足(    ) A. B. C. D. 例题5.（多选）（磁发散）如图所示，以为圆心、为半径的半圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，点为半圆弧的二等分点，点为半圆弧四等分点。现有一束带正电的粒子垂直于直径和磁场方向以速度射入磁场区域。已知经过点的粒子恰好与相切通过点，则下列说法中正确的是(    ) A. 从圆弧上射入磁场的粒子，在磁场中的运动时间相等 B. 从圆弧上射入磁场的粒子均可以通过点 C. 从点射入磁场的粒子，在磁场中的运动时间为 D. 若粒子的射入速度变为，则除点入射的粒子外仍有粒子能够通过点 1．(2025·福建莆田二模)带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中一半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为(　　) A. B． C. D． 2．(多选)(2025·安徽蚌埠模拟)如图，半径为R的圆形区域内有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场边界上的P点有一同种粒子源，粒子的比荷为k，粒子以相等速率沿不同方向进入磁场，其中沿直径方向飞入的粒子在有界磁场中偏转90°射出，粒子的重力以及粒子之间的相互作用力均可忽略，由此可以判断(　　) A．所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行 B．粒子从P点进入磁场时的速率为kBR C．粒子从P点进入磁场时的速率为 D．若粒子从射出点沿射出速度反方向以相等速率射入，一定会从P点射出 3.(2025·山东临沂模拟)如图所示，直角三角形的AB边长为L，∠C＝30°，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从D点沿着垂直BC边的方向以速度v射入磁场，CD间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是(　　) A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．v＝时，带电粒子垂直于AC边射出磁场 C．若粒子从BC边射出磁场，则v< D．若粒子从AC边射出磁场，则v> 4．(多选)(2025·广东中山模拟)如图所示，边长为L的等边三角形A′B′C′区域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。若将质量为m、电荷量为q的带正电粒子从顶点A′沿角平分线方向以不同的速率射入磁场区域内，不计粒子重力，则(　　) A．粒子可能从B′点射出 B．粒子入射速率为时，从C′点射出 C．粒子入射时的速率越大，在磁场中的运动时间一定越短 D．从A′C′边射出的粒子，出磁场时的速度方向都相同 5．(多选)(2025·湖南郴州模拟)如图所示，匀强磁场中位于P处的粒子源可以沿垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q，速率为v的带正电粒子，P到荧光屏MN的距离为d，设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是(　　) A．若磁感应强度B＝，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为 B．若磁感应强度B＝，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为 C．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋)d D．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋2)d 6.(2025·陕西西安模拟)如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场(含边界)，磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成α＝53°角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏(质子打到荧光屏上不再反弹)，P、Q两点的坐标分别为P(0,0.4l)，Q(l,0.4l)。已知质子比荷＝k，sin 53°＝0.8。求：(结果均可用分数表示) (1)质子在磁场中运动的最长时间是多少； (2)如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 专题1　动态圆和磁聚焦与磁发散问题 参考答案 命题热点.巧突破 例题1【答案】B 【解析】AC：粒子运动的轨迹如图所示：粒子由顶点a沿垂直于bc边的方向射入磁场，进入磁场的瞬间粒子速度与ac边的夹角为30°，在同一直线边界，根据对称性，可知粒子射出磁场是的速度与ac边的夹角也为30°，因而运动轨迹所对应的圆心角为60°，圆心，入射点以及出射点的连线构成等边三角形，可判断出三个粒子的速度偏转角相等，粒子3的轨迹半径等于三角形abc的边长，故AC错； B：假设三角形abc的边长为L，则粒子1，2，3的轨迹半径r分别为L/3，2L/3，L，据洛伦兹力提供向心力，得r∝v，则速度之比为1:2:3，故B对； D：由，解得，若仅将磁场的磁感应强度变为原来的1/3，则粒子的轨迹半径变为原来的3倍，可知粒子2的轨迹半径变为2L，粒子2将从bc之间的某点离开磁场，故D错。 例题2【答案】40cm 【解释】α粒子带正电，在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径 。由于R＜l＜2R，朝不同方向发射的α粒子运动的轨迹都过S点某一轨迹圆在图中N点左侧与ab相切时，切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点某一轨迹圆的直径SP2的端点P2处在ab上时，P2就是α粒子能打中的右侧最远点根据几何关系可得 所求长度为P1P2＝NP1＋NP2＝16cm＋24cm＝40cm 例题3【答案】C 【解释】画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝T/4；由P点运动到M点，可求得轨迹圆心角θ＝60°，在磁场中的运动时间t2＝T/6。所以，C正确。 例题4【答案】D  【解析】这是一个磁发散模型，根据几何知识可知，若所有粒子均沿  轴负方向射出磁场区域，则要满足磁发散应该有轨迹圆的半径等于区域圆的半径，根据  可得 ，即 。 故选D。 例题5【答案】BC  【解析】由题给条件得，粒子在磁场中运动轨道半径为，由磁聚焦可判断从圆弧射入磁场的粒子，均可汇聚到点，但时间不相等，入射点越接近点，运动时间越短，故A错误、B正确 沿着点入射的粒子，其运动轨迹如图甲，由题意可知，点到的距离，即，而粒子运动的半径为，因此粒子轨迹对应的圆心角，故而粒子的运动时间，故C正确 方法一：根据磁聚焦原理，只有当粒子的速度为时，才能经过点，当速度为时，除点入射的粒子外，不会有粒子经过点。 方法二：假设粒子可以通过点，则可以得到如图乙轨迹，为轨迹的圆心，轨迹的半径，在上选取一点，使得，则此时四边形为菱形，再有，，但是此时，无法构成三角形，因此粒子不可能经过点，故D错误。 专题分层.突破练 1.【答案】　C 【解析】　利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦，需要满足：粒子匀速圆周运动半径与圆形磁场区域的半径相等，设粒子做匀速圆周运动的半径为R，则有R＝r，粒子匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有qvB＝m，解得B＝，故选C。 2.【答案】　AB 【解析】　沿直径方向飞入的粒子在有界磁场中偏转90°射出，根据几何关系可知，粒子圆周运动的轨迹半径为R，则任意方向进入磁场的粒子其入射点、出射点、轨迹圆心与磁场圆心四点构成棱形，则出射点速度方向始终垂直于入射点位置磁场圆的半径，即所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行，故A正确；结合上述可知qvB＝m，解得v＝＝kBR，故B正确，C错误；若粒子从射出点沿射出速度反方向以相等速率射入，根据左手定则可知，粒子所受洛伦兹力方向与射出前洛伦兹力方向相反，粒子偏转方向与射出前相反，此后轨迹入射点、出射点、轨迹圆心与磁场圆心四点构成棱形，根据磁汇聚可知，粒子将从磁场圆上与P点对称的点射出，故D错误。故选AB。 3.【答案】　B 【解析】　粒子带正电，根据左手定则可知，粒子进入磁场后将向上偏转，粒子从BC边离开时，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大，运动时间最长，当轨迹刚好与AC边相切时，粒子轨迹如图1所示 由洛伦兹力提供向心力可得qv1B＝m 根据几何关系可得r1＋＝L 联立解得r1＝，v1＝ 可知粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝T＝ 若粒子从BC边射出磁场，则有v< 若粒子从AC边射出磁场，则有v> 故A、C、D错误；若带电粒子垂直于AC边射出磁场，如图2所示 根据几何关系可知r2＝L 由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m 联立解得v＝ 故B正确。 4.【答案】　BD 【解析】　根据左手定则，粒子会向A′C′偏转，不可能从B′点射出，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，若粒子从C′点射出，根据几何关系有r＝L，解得粒子入射速率为v＝，故B正确；粒子在磁场中的运动周期为T＝，设粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝，当粒子的速度大于等于时，粒子都打在A′C′边上，其轨迹对应的圆心角都相等，都等于60°，在磁场中的运动时间相等，则粒子入射时的速率越大，在磁场中的运动时间不一定越短，从A′C′边射出的粒子，在磁场中偏转角度相同，出磁场时的速度方向都相同，故C错误，D正确。故选BD。 5.【答案】　ABC 【解析】　根据qvB＝m，若磁感应强度B＝ 由题可知，运动的轨道半径R＝d 最短时间时，恰好弦长最短，打到P点的正左方，如图所示 根据几何关系，偏转的圆心角为，因此运动时间为t＝＝，故A正确； 由几何关系可知，打到荧光屏MN上最长时间恰好运动了个周期，轨迹如下图所示 因此时间差Δt＝＝，故B正确； 若磁感应强度B＝，则轨道半径R＝2d 到达荧光屏最下端的粒子的轨迹是与MN相切的，设下半部分的亮线长度为x1，根据几何关系，有x＋(R－d)2＝R2 解得x1＝d 到达荧光屏最上端的粒子与屏的交点与P点连线为轨迹的直径，设上半部分亮线的长度为x2，根据几何关系，有x＋d2＝(2R)2 解得x2＝d 所以亮线的总长度为(＋)d，故C正确，D错误。故选ABC。 【答案】　(1)　(2)≤v≤ 【解析】　(1)质子能打到y轴上时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示 由周期公式T＝ 又由几何关系可知θ＝2(90°－α) 则粒子在磁场中运动的最长时间 t＝T＝。 (2)当质子轨迹与PQ相切时，如图1所示，设此时初速度为v1，轨迹半径为R，由几何关系可得R＋Rcos α＝0.4l 又qBv1＝ 解得v1＝＝ 当粒子运动轨迹与磁场边界相切时，如图2所示 设此时初速度为v2，轨迹半径为R′，由几何关系可得R′＋R′sin α＝l 又qBv2＝ 解得v2＝＝ 综上可得≤v≤。 S1＝Rsin 120° 120°圆心角对应的扇形面积 S2＝πR 由数理规律可知，磁场区域的最小面积为图中阴影部分面积，其面积 ΔS＝S2－S1＝L2。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $