专题03 动态圆模型 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

专题03 动态圆模型 模型梳理 模型01 “平移圆” 4 模型02 “旋转圆” 8 模型03 “放缩圆” 13 ▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒ 一、用“动态圆”思想处理临界、极值问题 1．解题思路 (1)先不考虑磁场边界，假设磁场充满整个空间，根据题给条件尝试画出粒子可能的运动轨迹圆。 (2)结合磁场边界找出临界条件。 (3)根据几何关系、运动规律求解。 根据粒子射入磁场时的特点，分析临界条件的常用技巧有三种：动态圆放缩法、定圆旋转法、平移圆法。 2．分析临界、极值问题常用的四个结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场区域圆直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。 1．“平移圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 2．“旋转圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 3．“放缩圆”模型 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 4．磁聚焦和磁发散模型 　　 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行 模型01 “平移圆” 【实战1】（2025•巴中模拟）如图所示，、、为以为圆心、半径为的圆周上的三点，，为的中点，在内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出，点处也有磁场），磁感应强度大小为。一群质量为、电荷量为的带正电粒子以速率从部分垂直于射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出磁场中的运动。下列说法正确的是 A．粒子在磁场中运动的轨道半径为 B．从射出磁场的粒子运动时间不同 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子可能从圆弧边界射出 【答案】 【分析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出轨道半径； 作出粒子运动轨迹，求出粒子转过的圆心角，然后求出粒子在磁场中的运动时间；根据粒子运动情况分析答题。 【解答】解：、粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得，故错误； 、粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示 从边射出磁场的粒子在磁场中转过的圆心角相等，均为，粒子运动时间相等，故错误； 、沿方向射入的粒子在磁场中转过的最大圆心角最大，为，粒子在磁场中的运动时间最长， 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，粒子在磁场中的最长运动时间，故正确； 、区域圆的半径为，轨迹圆的半径为，根据图示粒子运动轨迹可知，从部分垂直于射向磁场区域的粒子不会从圆弧边界射出，故错误。 故选：。 【实战2】（2025•南昌校级模拟）如图，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），边长为，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从点开始在一定范围垂直边射入，射入的粒子恰好不从边射出，已知从边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则下列说法中不正确的是　　 A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】 【分析】根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系分析求解。 【解答】解：．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间是，由 可得： 解得磁感应强度大小： 故正确； ．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为，则有 又由，可得 画出该粒子的运动轨迹如下图所示。 设轨迹半径为，由几何知识得 可得粒子运动的轨道半径： 故错误； ．粒子射入磁场的速度大小为 故正确； ．射入的粒子恰好不从边射出，粒子在磁场中扫过的面积为： 故正确。 本题选择不正确的，故选：。 【实战3】（2025•海南一模）如图所示，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，边长为，边长为，大量质量为、电荷量为、速度大小为的带负电粒子垂直边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从和边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据几何关系，结合洛伦兹力提供向心力分析求解。 【解答】解：当粒子运动轨迹与、边相切于点，右边刚好从点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系，有： 解得： 根据洛伦兹力提供向心力： 联立解得匀强磁场的最大磁感应强度： 故错误，正确。 故选：。 模型02 “旋转圆” 【实战4】（2025春•百色期末）如图，直角三角形中，，处在磁感应强度、方向垂直纸面向外的匀强磁场，点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为为粒子的比荷）的带正电粒子。不计粒子的重力和相互间作用力，则　　 A．边上有粒子到达区域的长度为 B．边上有粒子到达区域的长度为 C．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】 【分析】根据粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力，结合几何关系与圆心角分析求解。 【解答】解：．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得运动半径满足 如下图所示 由几何关系可得边上有粒子到达区域的长度为 ，故错误，正确； ．当点入射速度方向趋近于平行时，从边射出的粒子在磁场中运动的时间趋近于0，故错误； ．粒子的运动轨迹如下图所示 粒子从边上点射出时，对应的圆心角最大，所用时间最长，最大圆心角为，由洛伦兹力提供向心力，最长时间为，故错误。 故选：。 【实战5】（2025•雨花区校级三模）如图所示，竖直平面内半径为的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，、为圆形区域竖直直径的两个端点，、为圆形区域水平直径的两个端点。大量质量均为，电荷量为的带正电粒子，以相同的速率从点向纸面内的各个方向射入磁场区域。粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是　　 A．若粒子射入磁场的速率为，则粒子均沿竖直方向射出磁场 B．若粒子射入磁场的速率为，则粒子最远可以从点射出磁场 C．若粒子射入磁场的速率为，则粒子在磁场中运动的时间可能为 D．若粒子射入磁场的速率为，则可能有粒子从点射出磁场 【答案】 【分析】由洛伦兹力提供向心力求解粒子运动的轨迹半径，根据“磁发散”分析粒子射出时的速度方向；由洛伦兹力提供向心力求解粒子运动的轨迹半径，根据几何关系求解粒子在磁场中达到的最远位置； 由洛伦兹力提供向心力解得粒子运动的轨迹半径，根据几何关系进行分析，画出运动轨迹结合周期公式求解最长时间。 【解答】解：根据洛伦兹力提供向心力 若粒子射入磁场的速率为，则带电粒子在磁场中的轨迹半径 根据磁扩散模型可知带电子均沿水平方向射出磁场，故错误； 若粒子射入磁场的速率为，则带电粒子在磁场中的轨迹半径 当粒子在磁场中运动半个周期时，刚好可以从点射出磁场，故错误； 若粒子射入磁场的速率为，则粒子在磁场中运动的轨迹半径 当粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场圆直径为弦，则粒子的运动轨迹如图所示 此轨迹在磁场中的偏转角为，根据几何关系可知 所以粒子在磁场中运动的最长时间 故粒子在磁场中的时间不可能为，故错误； 当入射速度的方向合适时，是可以确定从点射出的粒子圆周运动的圆心，如图所示 作的中垂线，以或点为圆心以为半径画圆弧交中垂线于，点即为能通过点轨迹的圆心，故正确。 故选：。 【实战6】（2025•佛山二模）如图所示，边长为的正方形区域内有匀强磁场，边中点处有一粒子源，向磁场内各方向均匀发射速率均为的电子，边恰好没有电子射出，已知电子质量为，电量大小为，则　　 A．边有电子射出 B．磁感应强度大小为 C．从边射出的电子在磁场中运动的最长时间为 D．从边射出的电子数和从边射出的电子数比值为 【答案】 【分析】依据边恰好没有电子射出，确定临界情况下的电子的轨迹，根据几何关系求得电子圆周运动的半径，根据洛伦兹力提供向心力求得磁感应强度；根据几何关系判断边会不会有电子射出；从边射出的电子中，在点射出的电子在磁场中运动的轨迹最长，其在磁场中运动的时间最长，求得此时轨迹圆心角，结合运动周期求解从边射出的电子在磁场中运动的最长时间；确定从点射出的电子在粒子源出射时的速度方向与边夹角，依据电子出射时的速度方向与边夹角的范围，求解从边射出的电子数和从边射出的电子数比值。 【解答】解：、已知边恰好没有电子射出，临界情况是沿方向射出的电子的轨迹恰好与边相切，如下图所示，易知圆周运动的半径为：，当电子入射方向发生变化时，边不会有电子射出。根据洛伦兹力提供向心力得：，解得：，故错误； 、从边射出的电子中，在点射出的电子在磁场中运动的轨迹最长，其在磁场中运动的时间最长，如上图所示，易知△为等边三角形，可知此时轨迹圆心角，可得从边射出的电子在磁场中运动的最长时间为，故错误； 、从点射出的电子在粒子源出射时的速度方向与边夹角，电子出射时的速度方向与边夹角在范围的会从边射出，电子出射时的速度方向与边夹角在范围的会从边射出，可得从边射出的电子数和从边射出的电子数比值为，故正确。 故选：。 模型03 “放缩圆” 【实战7】（2025•海淀区三模）如图所示，在中有一垂直纸面向里匀强磁场，质量和电荷量都相等的带电粒子、、以不同的速率从点沿垂直于的方向射入磁场，图中实线是它们的轨迹。已知是的中点，不计粒子重力，下列说法中正确的是　　 A．粒子带负电，粒子、带正电 B．粒子在磁场中运动的时间最短 C．粒子在磁场中运动的周期最长 D．射入磁场时粒子的速率最大 【答案】 【分析】根据粒子运动轨迹由左手定则判断粒子的电性；粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律求出粒子的速度；根据粒子做圆周运动的周期与转过的圆心角比较粒子运动时间。 【解答】解：、根据左手定则知粒子带正电，粒子、带负电，故错误； 、粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，射入磁场时粒子的半径最小，则速率最小。故错误； 、粒子在磁场中做圆周运动的周期：相同，粒子在磁场中的运动时间：，由于、、都相同，粒子转过的圆心角最大，则射入磁场时的运动时间最大，粒子转过的圆心角最小，所以粒子在磁场中运动的时间最短，故正确，错误； 故选：。 【实战8】（2025春•武汉月考）如图所示，在直角三角形区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，，，边长，一个粒子源在点将质量为、电荷量为的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】粒子在磁场中转过的圆心角越大，粒子的运动时间越长，粒子沿边界方向射入磁场从边射出磁场时转过的圆心角最大，运动时间最长，作出粒子运动轨迹求出粒子的最大轨道半径，然后应用牛顿第二定律求出粒子的最大速度。 【解答】解：粒子沿边界方向射入磁场从边射出磁场时转过的圆心角最大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子速度最大时运动轨迹与相切，粒子运动轨迹如图所示， 由题意知：，， 由几何关系有： 因为四边形是正方形，所以粒子做圆周运动的半径： 粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得： 变形解得：，故错误，正确。 故选：。 【实战9】（2025•湖北二模）如图所示，上方有垂直纸面向外的匀强磁场，一不计重力的带电粒子以初速度从磁场边界上点进入磁场，然后从磁场边界上点射出，现只改变带电粒子的入射速度，粒子都仍从点飞出磁场。则纸面内满足上述条件的粒子的速度矢量图可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，以及分速度与速度的关系分析求解。 【解答】解：粒子在磁场中的轨道半径为，根据洛伦兹力提供向心力，则有，解得，粒子离开磁场时弦长为 其中表示初速度与的夹角，则表示速度在垂直方向的分速度，此值不变。 故错误，正确。 故选：。 学科网（北京）股份有限公司 $