8.5.1 直线与直线平行（第二课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5.1 直线与直线平行 （第二课时） 复习回顾 基本事实4 (1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线________． (2)图形语言： (3)符号语言：直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒_________． (4)作用：证明两条直线平行． (5)说明：基本事实4表述的性质通常叫做平行线的________． 平行 a∥c 传递性 复习回顾 空间等角定理 (1)定理 ①文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_______________． ②符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°. 相等或互补 复习回顾 ③图形语言   ④作用：判断或证明两个角相等或互补． (2)推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 问题引领，深入思考 1．如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答：不一定，这两条直线可能相交、平行或异面. 2．等角定理中两角何时相等？何时互补？ 答：如果两角的两条边方向都相同或都相反，则这两角相等；如果两条边的方向一个相同一个相反，则两角互补． 题型一——平行线的传递性 例 1 如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 　 【思路】　基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 题型一——平行线的传递性 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 总结 证明空间中两条直线平行的方法： (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． (2)利用基本事实4，即找到一条直线c，使a∥c，b∥c，从而a∥b. 巩固练习 如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形． 题型二——等角定理 例 2 已知E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1. 　 【证明】　如图，连接EE1. ∵E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点， ∴AE∥A1E1，AE＝A1E1. ∴四边形AEE1A1为平行四边形． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 题型二——等角定理 ∴A1A∥EE1，AA1＝EE1. 又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1， ∴EE1∥BB1，EE1＝BB1. ∴四边形BEE1B1是平行四边形． ∴BE∥B1E1.同理CE∥C1E1. 又∠BEC和∠B1E1C1的两边方向相同， ∴∠BEC＝∠B1E1C1. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 总结 (1)证明两个角相等通常有以下三种途径： ①三角形相似． ②三角形全等． ③空间等角定理． (2)若已知条件中涉及角的边的平行问题，常借助等角定理证明，使用等角定理时要注意说明角的两边的方向． 巩固练习 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM. 【证明】　因为P，N分别为AB，AC的中点， 所以PN∥BC①. 又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，所以A1M∥NC，所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A1N∥MC②. 由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM. 题型三——线线平行的综合应用 例 3　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 题型三——线线平行的综合应用 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 总结 平行直线的一个重要应用就是利用平行直线的性质证明平面几何图形的特征或证明共面问题． 巩固练习 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由． 巩固练习 当堂检测 1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　) A．一定平行　　　　　　 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面 √ 解析　可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)． 当堂检测 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠AD1B1和∠DBC1的关系为(　　) A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 √ 解析　方法一：两角对边互相平行，并且都为锐角，所以相等． 方法二：易求得两角都是60°，∴相等． 当堂检测 3. 如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 √ 解析　在△MPN中，H，G分别为MP，MN的中点，∴GH∥PN，同理EF∥PN，∴GH∥EF. 当堂检测 4．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β＝_________________． 60°或120° 解析　∵空间两角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补．∵α＝60°，∴β＝60°或120°. 当堂检测 5．如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点．求证：四边形EBFD1是菱形． 用数学的眼光看世界 【证明】　因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq \f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形． 已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是线段AB，AD的中点，F，G分别是线段CB，CD上的点且eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,3).求证：EF，GH，CA交于一点． 【证明】　如图，连接BD，EH，FG. ∵EH是△ABD的中位线，∴EH eq \f(1,2)BD. 又∵eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,3)， ∴FG eq \f(2,3)BD. ∴EH∥FG且EH<FG. ∴四边形EFGH是一个梯形． 设EF交GH于P点， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD， ∴P是平面ABC与平面ACD的公共点． ∴点P在两平面的交线AC上，即EF，GH，CA交于一点． 【解析】　如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF. ∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B. ∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形． ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E，F，C，D1四点共面． ∴E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE， ∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF. ∴过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF. $