8.5.1 直线与直线平行课件（第一课时）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5.1 直线与直线平行 （第一课时） 学习目标 1.理解基本事实4,能运用基本事实4证明空间中的线线平行； 2.了解空间中两个角的两条边分别对应平行的有关定理. 复习导入 初中我们已经学过在平面几何中判断两直线平行的方法，那么判断两直线平行的方法有哪些？ ①内错角相等，两直线平行； 同位角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 ②平行四边形的对边平行、梯形的上下底平行 ③三角形的中位线、相似线段成比例 ④平行于同一条直线的两直线平行；若，且，则（平行具有传递性） ⑤垂直于同一条直线的两直线平行。 情景导入 我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行，在空间中是否还有这样的类似的结论？ A D’ C’ B’ A’ D C B 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知探究 如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，DC//AB,A’B’//AB,DC与A’B’平行吗？观察你所在教室，你能找到类似的实例吗？ 可以发现DC//A’B’.教室中黑板边所在直线AA’和门框所在直线CC’都平行于墙的交线BB’,那么CC’//AA’。 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 新知探究 基本事实4 (平行定理) (1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. (2)符号语言： a//b，b//c ⇒ a//c． 基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行． 它给出了判断空间两条直线平行的依据． 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性．
 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 小试牛刀 已知a,b是两条异面直线,c∥a,那么c与b的位置关系(　　) A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交 C 典例分析 例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：连接BD ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH//BD,且EH=1/2BD 同理FG//BD,且FG=1/2BD ∴EH//FG且EH=FG ∴四边形EFGH为平行四边形 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 问题引领，深入思考 思考1：在本例中，如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形？ 思考2：如果G, H改成CD, DA的三等分点，那么四边形EFGH是什么图形？ 菱形 梯形 思考3：如果四边形EFGH是矩形，可以得到什么结论？ AC⊥BD 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 变式训练 如图，在三棱柱中，E,F分别是AB,AC上的点，且AE:EB=AF:FC,则EF与位置关系是_______ 解：平行 由平行线分线段成比例定理的性质得EF//BC,从而可判断结论。 在△ABC中∵AE:EB=AF:FC∴EF//BC 又BC// ,所以EF// 变式训练 如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形． 证明：如图，设Q是DD1的中点，连EQ、QC1. ∵E是 AA1的中点∴ EQ//A1D1 EQ=A1D1 又在矩形 A1B1C1D1 中，B1C1//A1D1, B1C1//A1D1 ， ∴ EQ//B1C1,EQ=B1C1 (平行公理） ∴四边形EQB1C1为平行四边形 ∴B1E//C1Q,B1E=C1Q又∵Q、F是矩形DD1CC1 的两边的中点，∴ QD//C1F,QD=C1F , ∴四边形DQC1F是平行四边形 变式训练 如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形． ∴DF//C1Q,DF=C1Q ∵B1E//C1Q,B1E=C1Q ∴B1E//DF,B1E=DF, ∴四边形B1EDF是平行四边形 总结：证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． (2)利用基本事实：即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 新知探究 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立？ 与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置。对于图一，我们可以构造两个全等三角形进行证明。 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 新知探究 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 符号语言：或 图形语言： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 新知探究 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 证明：如图，分别在和的两边上截取，和，， 使得，.连接，，，，. ∵，∴四边形是平行四边形. ∴同理可证.∴. ∴四边形是平行四边形.∴. ∴.∴. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 典例分析 例2 如图，在正方形中，分别为棱，的中点。求证：. 证明：∵为的中点，∴. 又∵为的中点，∴ 又，，∴，. ∴四边形为平行四边形. ∴.同理可证. ∵与的对应边平行且方向相同， ∴. 总结 等角定理 说明：(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论合成的: ①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等; ②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补. (2)空间等角定理表明把空间中的一个角平移后，角的大小不变. (3)由空间等角定理可推得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 小试牛刀 若角α和角β的两边分别对应平行,则当α=72°时, β=　　　　.  72°或108° 小试牛刀 在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM. 当堂检测 1.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？ 根据基本事实4，这些折痕互相平行. 2.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与棱AA′平行的棱共有几条？分别是什么？ 3条，分别是BB′，CC′，DD′. 当堂检测 证明： 3. 如图，AA′，BB′，CC′不共面，且AA′ BB′，BB′ CC′. 求证：△ABC≌△ A′B′C′. ∵AA′BB′，BB′ CC′. AA′ CC′， ∴四边形ABB′A′，BCC′B′都是平行四边形. ∴AB=A′B′，BC=B′C′， ∴四边形ACC′A′是平行四边形. 又由AA′ BB′，BB′ CC′可得 ∴AC=A′C′， ∴△ABC≌△ A′B′C′. 当堂检测 解： 4. 如图，在四面体A-BCD′中，E，F，G分别为AB，AC，AD上的点.若EF//BC，FG//CD，则△EFG和△BCD有什么关系？为什么？ ∵EF//BC，FG//CD. 又∠EFG和∠BCD的两边分别平行并且方向相同. ∴∠EFG =∠BCD. 因此△EFG∽△BCD. △EFG∽△BCD，理由如下： 课堂小结 利用空间等角定理证明两角相等的步骤： (1)证明两个角的两边分别对应平行; (2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反. 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。 等角定理 如果空间中的两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。 作用：判断两个角相等或互补。 $