专题02 带电粒子在有界磁场中的运动（专项训练）物理人教版高二下学期期末复习

专题02带电粒子在有界磁场中的运动 目录 【知识梳理】····························································································1 知识点 1带电粒子在有界匀强磁场中的运动··············································1 知识点 2带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题··································2 知识点 3 磁聚焦、磁发散·····································································2 【方法技巧】····························································································2 方法技巧 1解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法··································3 方法技巧 2带电粒子在磁场中运动的多解问题的解题技巧······················3 方法技巧 3应用动态圆模型分析临界极值问题·······················3 【巩固训练】····························································································5 【综合训练】···························································································15 【知识梳理】 知识点 1带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 3.圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 (2)不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 知识点 2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 知识点 3 磁聚焦、磁发散 1.磁聚焦 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) 证明：四边形OAO'B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。 2.磁发散 如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) 【方法技巧】 技巧1：解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法 解决此类问题时，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小，以及与半径相关的几何关系是解题的关键。解决此类问题时应注意下列结论： (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。 (3)当比荷相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的带电粒子圆心角越大，运动时间越长。 技巧2：带电粒子在磁场中运动的多解问题的解题技巧 1.分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 2.作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能)。 3.若为周期性的多解问题，注意寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 技巧3：应用动态圆模型分析临界极值问题 1.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 2.常见的动态圆 模型 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 轨迹圆的圆心在直线PP'上 粒子的入射点位置相同,速度方向一定,速度大小不同 以入射点P为定点,将半径放缩作轨迹圆,粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上 粒子的入射点位置相同,速度大小一定,速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出临界条件 平移圆 轨迹圆的所有圆心在一条直线上 粒子的入射点位置不同,速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 临界与极值问题分析方法 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。 (3)当速率v一定时,弧长(或圆心角小于180°时的弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (4)当粒子轨迹圆心角超过180°时,离出发点最远距离为直径;轨迹圆心角小于180°时,离出发点最远距离为弦长。 【巩固训练】 题型 1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．（25-26高二上·安徽·期末）如图所示，边长为的正六边形的中心为，六边形内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有比荷大小相等的两个带电粒子、，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点离开磁场，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点射出磁场。不计粒子的重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径为 C．、粒子的速度大小之比为 D．、两粒子在磁场中的运动时间之比为 2．（25-26高二上·重庆·期末）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从点射入，从点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在点速率大于在点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从点左侧的下边界射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长 3．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，两个边长均为的正三角形区域和关于点对称，两个区域内均存在垂直纸面向外匀强磁场，区域右侧有平行于和的匀强电场。质量为、带电荷量为的带正电粒子（不计重力），从点沿平行方向以速度射入，经中点进入电场，最终从点沿平行方向以速度射出。下列说法正确的是（   ） A．电场的电场强度大小为 B．磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在电场中运动的时间为 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图所示，一束含有大量正、负带电粒子的射线，以相同的速度垂直于磁场沿AO方向射入圆形匀强磁场区域，它们在磁场中的运动径迹分成了如图的a、b两束，不计粒子重力以及粒子之间的相互作用力，下列说法正确的是（   ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子比荷较大 C．a粒子在磁场中受到的洛伦兹力较小 D．a粒子在磁场中运动时间较长 题型 2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 5．（25-26高二上·重庆·期末）如图所示，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板接收到的粒子数占总粒子数量的 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 6．（24-25高二下·江西抚州·期末）如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 7．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 题型 3 磁聚焦、磁发散 9．（2024·安徽淮北·二模）（多选）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示，正方形边长为，一束相同的正离子以相同的速度垂直边射入，如果在的某区域内存在着磁感应强度大小为、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从点射出，则（    ） A．磁场方向垂直纸面向里 B．离子的比荷为 C．磁场区域的最小面积为 D．离子在磁场中运动的最长时间为 10．（24-25高二下·山东东营·开学考试）（多选）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电量为q的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在，半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，其中心位于。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则（    ） A．粒子速度大小为 B．所有粒子均能射在光屏上 C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为 D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足 【综合训练】 一、单选题 1．如图所示，OACD为矩形，OA边长为L，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则（　　） A．粒子带正电 B．匀强磁场的磁感应强度为 C．为保证粒子能够刚好从A点射出磁场，OD边长至少为 D．减小粒子的入射速度，粒子在磁场区域内的运动时间变短 2．如图所示，边长为的等边三角形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，D为边的中点，一个质量为、电荷量为的带电粒子平行边从D点射入磁场，粒子的速度大小为，且刚好垂直边射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．匀强磁场的磁感应强度 C．若只改变该粒子射入磁场的速度大小，则粒子一定不能从点射出磁场 D．若只改变该粒子射入磁场的速度方向，则粒子可以从边射出磁场，且在磁场中运动的时间可能是 3．如图所示，半径为R的圆形区域内存在着垂直纸面的匀强磁场，圆心为O，质子（）和氦原子核（）先后从边界上P点沿半径方向飞入磁场。只考虑洛伦兹力作用，它们在磁场中运动的时间相同，其中氦原子核在磁场中做圆周运动的轨迹半径为则质子和氦原子核的速度大小之比约为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，半径为R的圆形区域内有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，O为圆心，AB为水平方向上的直径，带正电的粒子a以初速度从A点水平向右射入电场，并从C点射出，。现将匀强电场换成垂直纸面向外的匀强磁场，将粒子a以相同的初速度再次从A点水平射入，粒子a仍从C点离开。不计重力的影响，则下列说法正确的是（　　） A．粒子a在电场中和在磁场中运动的时间相同 B．粒子a前后两次离开C点时瞬时速度的方向相同 C．粒子a在磁场中做圆周运动的半径为 D．匀强磁场的磁感应强度 5．如图所示，在一等腰直角三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。一质量为电荷量为的带正电粒子（重力不计）以速度从边的中点垂直边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为，要使粒子从边射出，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，在边长为L的正方形区域里有大小不变的垂直于纸面向里的匀强磁场，有a、b、c三个带电粒子（不计重力）依次从A点沿方向水平射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a从边中点E射出，b从C点射出，c从D点射出。下列说法正确的是（    ） A．三个粒子均带正电荷 B．若三个粒子的比荷相等，则a、b、c三个粒子在磁场中的速率之比为 C．a、b、c三个粒子在磁场中的运动时间之比一定为 D．若三个粒子射入时动量相等，则a、b、c三个粒子的带电量之比为 7．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 8．如图所示，电子由P点静止开始沿直线PQ做匀加速直线运动，从Q点射出。若要求电子能击中在与直线PQ成α角方向、与Q点相距为d的点M，已知电子的电荷量为e，质量为m，加速电压为U，不计电子重力。下列说法正确的是（　　） A．电子运动到Q点的速度 B．若在Q的右侧加垂直于纸面向里的匀强磁场，则该磁场的磁感应强度大小为 C．若在Q的右侧加平行于QM的匀强磁场，则电子可能到达M点 D．若在Q的右侧加垂直于PQ向上的匀强电场E，则其大小为 9．如图所示，在xOy平面内，以O为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P（R，0）点沿PO射入磁场，从y轴上的Q点（未画出）射出。则（    ） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子的入射速度为 C．若粒子速度变为原来的倍，射出点仍在Q点 D．若粒子从P点沿不同方向射入，只要速度大小不变，射出磁场时速度方向均相同 10．如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点A处有一正粒子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长也为R。一束质量为m、电量为q的带正电粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知：所有粒子均从圆弧边界射出（包含c、b两点）。不计粒子重力影响和粒子间的相互作用。则下列正确的有（　　） A．这束粒子中，可能有粒子水平射出磁场 B．这束粒子中，垂直于磁场边界射出的粒子速度大小为 C．这束粒子的速度大小范围为 D．这束粒子在磁场中运动时间范围为 三、解答题 12．如图所示，xOy平面内、区域存在两个有界匀强磁场，右边界与x轴的交点为Q，x轴上方磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为3B，x轴下方磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为2B。质量为m、电荷量为的粒子，从y轴上P点以初速度沿x轴正方向射入磁场，大小可调，P点的纵坐标为d。不计粒子重力，，。 (1)若，求粒子第二次经过x轴位置的横坐标； (2)求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L； (3)若在范围内，求粒子从P点运动到Q点的最短时间t。 13．如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小； （2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 14．如图所示甲，中心为O、边长为L的正六边形区域内没有磁场，正六边形区域外存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为的粒子，以速度从O点在纸面内射向正六边形的顶点a，经磁场一次偏转后恰好经b点回到O点。不计粒子的重力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度； （2）求粒子连续两次经过a点的时间间隔； （3）若粒子以速度从O点在纸面内射向正六边形边的中点M，如图乙所示，粒子经过磁场两次偏转后才能返回到O点，求磁感应强度B的大小可能值。 4 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02带电粒子在有界磁场中的运动 【巩固训练】 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 答案 C C C B D A BD AD 【综合训练】 题号 3 4 5 6 8 9 10 答案 C D C D C B ACD ABD AC 题号 11 答案 BCD 12.(①)26=4d ②-0 53nm (③)=90gB 【详解】(1)设粒子在第一象限和第四象限做圆周运动的半径分别为和”，由牛顿第二定律得 9%x3B=m5 9%×2B=m5 1=d5=1.5d 解得 粒子在平面内运动轨迹如答图1。 答题1 则6+25 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Xo=4d 解得 (2)设粒子在第一象限的半径为r,则粒子在第四象限的半径为1.5r,如答图2所示。 01 0 答题2 设轨迹的圆心0，、Q的连线与y轴方向夹角为0，由几何关系得$m0=1, r+1.5r’d=r+rcos0 L=r+(r+1.5r)cose 解得L=。d 3 (3)粒子的速度越大，运动到0点的时间越短，①粒子的速度在0~12g6以 m，粒子在第一象限运动的最大 半径为4d<12d,粒子不能从第一象限直接到达Q点；②设粒子以速度v从P点射出，经第四象限运动到 Q点，粒子在第一象限运动的半径r,粒子第一次到达x轴时偏转的角度为“，如答图3 答题3 则rsina+2×1.5 rsina=12d,rcosa=r-d 解得r=5d>4d 由此可以推断，此情形不成立（得到①、②中的一个推断即可得分）。③设粒子以速度'从P点射出，粒 子在第一象限运动的半径为'，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为B,如答图4。 答题4 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 "sin +2('sin B+1.5r'sin B)=12dd 解得r'=2.5d,B=53 1=3p2m+2p2m_53πm 则粒子达到2点的最短时间360°3gB'360°2qB90gB )=1.0x109m1s,2)%=0n=1,2,3t=5xx107sa=1,2.3. n 【详解】(1)粒子的运动轨迹如图甲所示 ××× M ×%×× ×× A B 甲 设粒子做匀速圆周运动的半径为”，由几何关系可知 代入数据，解得 r=0.5m 由 9%B=m 代入数据，解得 y=1.0×10°m/s (2)因 工=5x×106,粒子的轨迹如图乙所示 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4545ò 45 乙 设粒子做匀速圆周运动的半径为”，由几何关系可得 n.4rsin45°=L,n=1,2,3… 由 9B=mg r 联立上述方程可解得 =2gBL-25x10 4mn n,n=1,2,3… 粒子运动时间 I=0 7sm 2πgB 由于周期性，粒子转过的角度为 π 0=n×4× 4 =nr,n=1,2,3… 代入上述公式，可解得 t=nam qB’n=1,2,3. 代入数据解得 t=5nπ×10-7sn=1,2,3… √3v6 4V3π+18)L 14.(0gL;(2) 3%；(3)B≥4m% gL 【详解】(1)如图所示 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 甲 由几何关系知 m0=光 代入得 r=Ltan0=Ltan30°= 3 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供粒子做圆周运动向心力，可得 %4=m5 r 则 B =mvo=mvo3mvo gr q3 (2)如图所示 ① ③ 甲 甲 无论磁场垂直于纸面向里还是向外，运动时间相同，粒子第一次进入后经过3次进入磁场偏转，最终沿 着a方向运动，第二次过a点，设在磁场运动周期T,时间为‘，在六边形里面做直线运动时间为t',则 T=2a Vo 代入得，在磁场运动周期为 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T-2πm-2V3xL qB。3yo 则粒子在磁场中运动时间为 240°r_22W3πL_43πL t=360° = 33y。9 则3次在磁场运动总时间为 1=31=43πL 粒子做直线运动时间为 '2L 则3次做直线运动总时间为 5-3r'=6L 则粒子连续两次经过a点的时间间隔△1为 A=+6=w36L( 43π+18)L 3% 3vo (3)若粒子以速度”从O点在纸面内射向正六边形心边的中点M,粒子可能通过以下情况经过磁场两次 偏转后才能返回到O点，无论磁场方向垂直于纸面向里还是向外规律都一样，如图所示，图中所对应的半 径最大，则磁感应强度为最小值，如图所示 由几何关系知 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由半径公式知 代入得 B.=mYo=mvo Amvo qL 则有 B≥4m gL 7/7 专题02带电粒子在有界磁场中的运动 目录 【知识梳理】····························································································1 知识点 1带电粒子在有界匀强磁场中的运动··············································1 知识点 2带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题··································2 知识点 3 磁聚焦、磁发散·····································································2 【方法技巧】····························································································2 方法技巧 1解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法·······························3 方法技巧 2带电粒子在磁场中运动的多解问题的解题技巧····························3 方法技巧 3应用动态圆模型分析临界极值问题···········································3 【巩固训练】····························································································4 【综合训练】···························································································16 【知识梳理】 知识点 1带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 3.圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 (2)不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 知识点 2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 知识点 3 磁聚焦、磁发散 1.磁聚焦 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) 证明：四边形OAO'B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。 2.磁发散 如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) 【方法技巧】 技巧1：解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法 解决此类问题时，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小，以及与半径相关的几何关系是解题的关键。解决此类问题时应注意下列结论： (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。 (3)当比荷相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的带电粒子圆心角越大，运动时间越长。 技巧2：带电粒子在磁场中运动的多解问题的解题技巧 1.分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 2.作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能)。 3.若为周期性的多解问题，注意寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 技巧3：应用动态圆模型分析临界极值问题 1.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 2.常见的动态圆 模型 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 轨迹圆的圆心在直线PP'上 粒子的入射点位置相同,速度方向一定,速度大小不同 以入射点P为定点,将半径放缩作轨迹圆,粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上 粒子的入射点位置相同,速度大小一定,速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出临界条件 平移圆 轨迹圆的所有圆心在一条直线上 粒子的入射点位置不同,速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 临界与极值问题分析方法 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。 (3)当速率v一定时,弧长(或圆心角小于180°时的弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (4)当粒子轨迹圆心角超过180°时,离出发点最远距离为直径;轨迹圆心角小于180°时,离出发点最远距离为弦长。 【巩固训练】 题型 1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．（25-26高二上·安徽·期末）如图所示，边长为的正六边形的中心为，六边形内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有比荷大小相等的两个带电粒子、，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点离开磁场，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点射出磁场。不计粒子的重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径为 C．、粒子的速度大小之比为 D．、两粒子在磁场中的运动时间之比为 【答案】C 【详解】A．作出、粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据左手定则可知，、粒子均带负电，故A错误； B．根据粒子的运动轨迹，由几何知识可得，故B错误； C．根据粒子的运动轨迹，由几何知识可得 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有 得 由于a、b粒子比荷相同，则速度之比，故C正确； D．根据题意可知，a、b粒子在磁场中的运动周期 粒子在磁场中运动的时间 两粒子在磁场中偏转的圆心角分别为、 则两粒子在磁场中运动的时间之比为，故D错误。 故选C。 2．（25-26高二上·重庆·期末）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从点射入，从点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在点速率大于在点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从点左侧的下边界射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长 【答案】C 【详解】A．带电粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误； B．磁场对带电粒子不做功，因此粒子在点速率等于在点速率，故B错误； C．若增大磁感应强度，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径减小，带电粒子偏转角度更大，粒子可能从点左侧的下边界射出，故C正确； D．带电粒子在磁场中做圆周运动的周期，仅增大入射速率，半径增大，粒子从点右侧的下边界射出，弦长和圆心角的一半如图 在磁场中运动的圆心角减小，粒子在磁场中运动时间减小，故D错误。 故选C。 3．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，两个边长均为的正三角形区域和关于点对称，两个区域内均存在垂直纸面向外匀强磁场，区域右侧有平行于和的匀强电场。质量为、带电荷量为的带正电粒子（不计重力），从点沿平行方向以速度射入，经中点进入电场，最终从点沿平行方向以速度射出。下列说法正确的是（   ） A．电场的电场强度大小为 B．磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在电场中运动的时间为 【答案】C 【详解】B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示 由几何关系可知，半径为 根据牛顿第二定律可得 解得，故B错误； C．由几何关系可知，粒子在上方磁场中运动的圆心角为 所用时间为 根据运动的对称性可知，粒子在下方磁场中运动的时间与在上方磁场中运动的时间相等，所以粒子在磁场中运动的时间为，故C正确； D．粒子在电场中，向下做匀速直线运动，速度大小为 则运动时间为 解得，故D错误； A．粒子在电场中，先向右减速，后向左加速，根据运动的对称性可知，粒子向右的初速度和向左的末速度大小均为 根据牛顿第二定律 又 解得，故A错误。 故选C。 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图所示，一束含有大量正、负带电粒子的射线，以相同的速度垂直于磁场沿AO方向射入圆形匀强磁场区域，它们在磁场中的运动径迹分成了如图的a、b两束，不计粒子重力以及粒子之间的相互作用力，下列说法正确的是（   ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子比荷较大 C．a粒子在磁场中受到的洛伦兹力较小 D．a粒子在磁场中运动时间较长 【答案】B 【详解】A．根据左手定则，粒子向右运动，a粒子运动轨迹向下弯曲，受到向下的洛伦兹力，因此a粒子带负电；b粒子运动轨迹向上弯曲，受到向上的洛伦兹力，因此b粒子带正电，A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力可得 由于磁感应强度B相同，速度v相同，又有 所以比荷， B正确； C．根据洛伦兹力公式可知，磁感应强度B相同以及速度v相同，那么 由于仅知道比荷，粒子质量未知，所以不能确定与大小，所以无法判断洛伦兹力大小，C错误； D．根据洛伦兹力提供向心力可知 已知比荷，那么 根据粒子在磁场中做圆周运动所需的时间 由于粒子在磁场中运动对应的圆心角未知，所以无法判断粒子在磁场中运动时间的长短，D错误。 故选B。 题型 2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 5．（25-26高二上·重庆·期末）如图所示，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板接收到的粒子数占总粒子数量的 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【详解】A．由洛伦兹力提供向心力 解得 运动周期 最长时间对应圆心角 则最长时间，故A错误； B．薄板的上表面接收到粒子最远点对应轨迹为半圆，最远点距点为 最近点距点为 则薄板的上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．如图与相切的轨迹为临界情况，对应的圆心角，则速度偏向角等于，从点出发时与轴正向夹角为，则薄板接收到的粒子数占总粒子数量的，故C正确； D．最短时间为粒子刚好到达点，对应圆心角为，由几何关系可得 则最短时间，不等于，故D错误。 故选C。 6．（24-25高二下·江西抚州·期末）如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 【答案】D 【详解】A．根据左手定则，由粒子带负电以及磁场方向可知粒子所受洛伦兹力的方向与速度的方向垂直指向右下方。 当速度方向与OM夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，所以粒子运动的半径 由粒子在磁场中运动洛伦兹力作向心力可得，解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间，故B错误； D．当θ=0°时，如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线上方处； 当θ增大时，粒子打在PQ上的位置下移，直到粒子的运动轨迹与PQ相切时。 如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线下方处； 当θ继续增大直到180°，粒子的运动轨迹与PQ不相交，直接从MN上射出，且在MN上的出射点不断上移直到O点。 所以若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为，故D正确； C．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子运动半径不变，那么粒子运动周期不变。 所以粒子在磁场中运动的轨迹所对应的弦长越长，则粒子在磁场中运动的时间越长。 由D的分析可知，当粒子的出射点在PQ上时，粒子的弦长可取[a，2a]的任意值； 当粒子的出射点在MN上时，粒子的弦长可取[0，]的任意值； 所以粒子运动轨迹的弦长最大可取，此时对应的中心角φ=120°。 所以粒子在磁场中运动的最长时间，故C错误。 故选 D。 7．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示 所有粒子对应的圆心角均为，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 当时，可得 故选C。 8．（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子可能在两个磁场间做多次的运动。画出可能的粒子轨迹如图所示 分析可知，由于粒子从b点从左侧磁场进入右侧磁场，粒子在ab间做匀速圆周运动的圆弧数量必为偶数个，且根据几何关系可知，圆弧对应的圆心角均为120°，根据几何关系可得粒子运动的半径为 解得 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 A．当时，。符合条件，故A正确； B．当时，。不符合条件，故B错误； C．当时，。不符合条件，故C错误； D．当时，。不符合条件，故D错误。 故选A。 【点睛】画出粒子运动的轨迹图，确定粒子可能存在的运动情况及粒子做圆周运动的半径和L的关系，再根据牛顿第二定求出速度的可能值。 题型 3 磁聚焦、磁发散 9．（2024·安徽淮北·二模）（多选）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示，正方形边长为，一束相同的正离子以相同的速度垂直边射入，如果在的某区域内存在着磁感应强度大小为、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从点射出，则（    ） A．磁场方向垂直纸面向里 B．离子的比荷为 C．磁场区域的最小面积为 D．离子在磁场中运动的最长时间为 【答案】BD 【详解】A．由题意可知，粒子向下偏转，由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误； B．画出粒子轨迹，如图 可知为磁聚焦模型，故运动半径，再由 得 故B正确； C．由图知，磁场区域最小面积为“叶”型面积 故C错误； D．粒子最大圆心角为，则最长时间为 故D正确。 故选BD。 10．（24-25高二下·山东东营·开学考试）（多选）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电量为q的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在，半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，其中心位于。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则（    ） A．粒子速度大小为 B．所有粒子均能射在光屏上 C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为 D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足 【答案】AD 【详解】A．已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则由洛伦兹力提供向心力 解得粒子速度大小为 故A正确； B．由于所有粒子的速度大小相等，所以所有粒子进入磁场后的运动半径都相等；由几何关系可知，所有粒子离开磁场后都将平行进入第一象限，其中离开磁场区域的出射点距离坐标原点的高度最大值为，最低为零，所以有一部分粒子不会打到光屏上，故B错误； C．由几何关系可知，能射在光屏上的、且在磁场中运动时间最长的粒子，刚好打在光屏的上边缘，其运动轨迹对应的圆心角为，根据周期公式 可得 故C错误； D．若粒子初速度方向与x轴夹角为时粒子恰好能打在光屏的下边缘，由几何关系可知，此时粒子轨迹对应的圆心角为，即初速度方向与x轴夹角为；由C项中的分析可知，恰好能打在光屏上边缘的粒子，其初速度方向与x轴的夹角为；即能打在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足 故D正确。 故选AD。 【综合训练】 一、单选题 1．如图所示，OACD为矩形，OA边长为L，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则（　　） A．粒子带正电 B．匀强磁场的磁感应强度为 C．为保证粒子能够刚好从A点射出磁场，OD边长至少为 D．减小粒子的入射速度，粒子在磁场区域内的运动时间变短 【答案】C 【详解】A．粒子从O点垂直射入磁场，刚好从A点射出磁场，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误； B．如图所示，根据几何关系有 可得轨道半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 可得 联立可得磁感应强度为，故B错误； C．如图所示，根据几何关系可得OD边长至少为，故C正确； D．减小粒子的入射速度，根据 可知粒子的运动周期不变，粒子在磁场中运动的圆心角不变，粒子在磁场区域内的运动时间 可知粒子在磁场区域内的运动时间不变，故D错误。 故选C。 2．如图所示，边长为的等边三角形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，D为边的中点，一个质量为、电荷量为的带电粒子平行边从D点射入磁场，粒子的速度大小为，且刚好垂直边射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．匀强磁场的磁感应强度 C．若只改变该粒子射入磁场的速度大小，则粒子一定不能从点射出磁场 D．若只改变该粒子射入磁场的速度方向，则粒子可以从边射出磁场，且在磁场中运动的时间可能是 【答案】D 【详解】A．粒子垂直于BC边射出磁场，所以粒子向下偏转，洛伦兹力方向向下，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误； B．粒子垂直于BC射出磁场，圆心在BC上，同时粒子从D点水平射入，圆心应该在过D点与BC垂直的垂线的垂足处，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径为三角形BC边上高的一半，即 根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m 解得，故B错误； C．改变初速度的大小，当半径r＝L，粒子从C点射出，故C错误； D．粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝ 粒子从C点与AC相切射出磁场时，偏转60°，运动时间为t＝T＝，故D正确。 故选D。 3．如图所示，半径为R的圆形区域内存在着垂直纸面的匀强磁场，圆心为O，质子（）和氦原子核（）先后从边界上P点沿半径方向飞入磁场。只考虑洛伦兹力作用，它们在磁场中运动的时间相同，其中氦原子核在磁场中做圆周运动的轨迹半径为则质子和氦原子核的速度大小之比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设磁感应强度垂直纸面向外，大小为，质子的质量和电荷量分别为、，则粒子的质量和带电荷量分别为、，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期公式为 所以质子和粒子在磁场中做圆周运动的周期之比为 设质子和粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角分别为和，轨迹半径分别为和，它们在磁场中运动的时间相等，有 所以 作出两粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知， 由题意知 可求得 设它们的速度分别为和，由洛伦兹力提供向心力有 可得 可知质子和α粒子的速度大小之比为2：3。 故选C。 4．如图所示，半径为R的圆形区域内有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，O为圆心，AB为水平方向上的直径，带正电的粒子a以初速度从A点水平向右射入电场，并从C点射出，。现将匀强电场换成垂直纸面向外的匀强磁场，将粒子a以相同的初速度再次从A点水平射入，粒子a仍从C点离开。不计重力的影响，则下列说法正确的是（　　） A．粒子a在电场中和在磁场中运动的时间相同 B．粒子a前后两次离开C点时瞬时速度的方向相同 C．粒子a在磁场中做圆周运动的半径为 D．匀强磁场的磁感应强度 【答案】D 【详解】AC．在电场中做类平抛运动，有 解得 在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知，粒子a在磁场中做圆周运动的半径为 故在磁场中运动的时间 则有 故粒子a在磁场中运动的时间更长，故AC错误； B．由圆周运动的规律可知，粒子a第二次离开C点时的瞬时速度与水平方向的夹角为，由类平抛运动的规律可知，速度方向的反向延长线交于水平位移的中点，故粒子a第一次离开C点时的瞬时速度与水平方向的夹角小于，故B错误； D．设粒子a的质量为m，电荷量为q 在电场中有 其中， 可得电场强度 在磁场中有 可得磁感应强度 联立解得，故D正确。 故选D。 5．如图所示，在一等腰直角三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。一质量为电荷量为的带正电粒子（重力不计）以速度从边的中点垂直边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为，要使粒子从边射出，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若粒子恰好从C点射出时，粒子运动轨迹半径最小，粒子的速度最小,如图所示 由几何知识可知 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 则粒子的最小速度为 若粒子恰好从D点射出时，粒子的轨迹半径最大速度最大，如图所示 连接OD形成直线边界，取AD中点F，在三角形OFD中，，可知，由直线边界的性质可知，多大角度进入则以多大角度射出磁场，可知此时粒子不能从D点射出，故速度最大时应与AD相切，由几何关系有 解得 粒子的最大速度为 故粒子入射时的速度取值范围为 故选C。 6．如图所示，在边长为L的正方形区域里有大小不变的垂直于纸面向里的匀强磁场，有a、b、c三个带电粒子（不计重力）依次从A点沿方向水平射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a从边中点E射出，b从C点射出，c从D点射出。下列说法正确的是（    ） A．三个粒子均带正电荷 B．若三个粒子的比荷相等，则a、b、c三个粒子在磁场中的速率之比为 C．a、b、c三个粒子在磁场中的运动时间之比一定为 D．若三个粒子射入时动量相等，则a、b、c三个粒子的带电量之比为 【答案】B 【详解】A．三个粒子在A点受洛伦兹力均向下，由左手定则可知三个粒子均带负电荷，故A错误； B．a、b、c三个粒子在磁场中的轨迹半径之比为 由洛伦兹力提供向心力,可得 若三个粒子的比荷相等，则速率之比等于半径之比，故B正确； C．a、b、c三个粒子在磁场中运动的圆心角之比为 运动时间为 由于比荷之比未知，则运动时间之比不能确定，故C错误； D．由可得 若三个粒子射入时动量相等，则带电量与成反比，为，故D错误。 故选B。 7．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 弦切角越大，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间最长。如图，粒子从点射出时弦切角最大，由几何关系可知 已知该粒子的比荷为k，粒子在磁场中运动的最长时间为 故选C。 二、多选题 8．如图所示，电子由P点静止开始沿直线PQ做匀加速直线运动，从Q点射出。若要求电子能击中在与直线PQ成α角方向、与Q点相距为d的点M，已知电子的电荷量为e，质量为m，加速电压为U，不计电子重力。下列说法正确的是（　　） A．电子运动到Q点的速度 B．若在Q的右侧加垂直于纸面向里的匀强磁场，则该磁场的磁感应强度大小为 C．若在Q的右侧加平行于QM的匀强磁场，则电子可能到达M点 D．若在Q的右侧加垂直于PQ向上的匀强电场E，则其大小为 【答案】ACD 【详解】A．电子从P点静止开始加速，由动能定理，得 解得到达Q点的速度，故A正确； B．加垂直纸面向里的匀强磁场后，电子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 得轨道半径 由几何关系，弦长对应圆心角为，满足 解得 联立可得 代入，化简得，故B错误； C．若磁场平行于QM，将电子速度沿磁场方向和垂直于磁场方向分解。沿磁场方向的速度分量不受洛伦兹力，沿磁场方向做匀速直线运动；垂直于磁场方向的速度分量做匀速圆周运动，合运动为螺旋线运动。当电子沿磁场方向运动距离d的时间恰好为匀速圆周运动周期的整数倍时，电子刚好能到达M点，因此电子可能到达M点，故C正确； D．若在Q的右侧加垂直于PQ向上的匀强电场后，电子做类平抛运动。沿PQ方向做匀速直线运动，有 垂直于PQ方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律，得加速度 由匀变速直线运动位移与时间的关系，得 代入，联立解得，故D正确。 故选ACD。 9．如图所示，在xOy平面内，以O为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P（R，0）点沿PO射入磁场，从y轴上的Q点（未画出）射出。则（    ） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子的入射速度为 C．若粒子速度变为原来的倍，射出点仍在Q点 D．若粒子从P点沿不同方向射入，只要速度大小不变，射出磁场时速度方向均相同 【答案】ABD 【详解】A．根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动规律可知，粒子一定从圆形边界与y轴的交点射出，粒子轨迹如图 粒子扫过的圆心角为，故粒子在磁场中运动的时间为，故A正确； B．结合A选项，几何关系可知 因为 联立解得，，故B正确； C．若粒子速度变为原来的倍，则粒子的轨迹圆半径为之前的倍，几何关系可知，粒子不可能从Q点射出，故C错误； D．若粒子从P点沿不同方向射入，只要速度大小不变，则r=R，其中沿不同方向入射的粒子，轨迹如图 以从a点出射的粒子为例，几何关系可知上图中蓝色四边形为菱形，因此一定是水平的，故粒子出射时速度方向一定竖直向上，同理从其他位置出射的粒子速度方向也一定竖直向上，即射出磁场时速度方向均相同，故D正确。 故选ABD。 10．如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点A处有一正粒子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，粒子运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 将，，，代入，可得，，，， 故选AC。 11．如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长也为R。一束质量为m、电量为q的带正电粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知：所有粒子均从圆弧边界射出（包含c、b两点）。不计粒子重力影响和粒子间的相互作用。则下列正确的有（　　） A．这束粒子中，可能有粒子水平射出磁场 B．这束粒子中，垂直于磁场边界射出的粒子速度大小为 C．这束粒子的速度大小范围为 D．这束粒子在磁场中运动时间范围为 【答案】BCD 【详解】A．因粒子垂直ab向上射入磁场，可知粒子做圆周运动的圆心在ab直线上，若粒子从圆弧bc上某点水平射出磁场，则粒子做圆周运动的圆心应该在该点正下方，由于Ob=R，可知这样的点不存在，即不可能有粒子水平射出磁场，A错误； B．这束粒子中，垂直于磁场边界射出的粒子轨道半径满足 解得 根据，可得速度大小为，B正确； C．打到b点的粒子轨道半径为 打到c点的粒子轨道半径，解得 根据可知 这束粒子的速度大小范围为，C正确； D．如图所示， 设当粒子从d点射出，且∠dOb=θ，故O′d⊥Od时，θ最大，此时粒子轨迹所对应的圆心角最小，由几何关系有 所以θ=30°，故粒子轨迹所对应的圆心角为120°，粒子在磁场中飞行的最短时间为 从b点射出的粒子θ=0°，最小，时间最长，则 可得这束粒子在磁场中运动时间范围为，D正确。 故选BCD。 三、解答题 12．如图所示，xOy平面内、区域存在两个有界匀强磁场，右边界与x轴的交点为Q，x轴上方磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为3B，x轴下方磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为2B。质量为m、电荷量为的粒子，从y轴上P点以初速度沿x轴正方向射入磁场，大小可调，P点的纵坐标为d。不计粒子重力，，。 (1)若，求粒子第二次经过x轴位置的横坐标； (2)求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L； (3)若在范围内，求粒子从P点运动到Q点的最短时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在第一象限和第四象限做圆周运动的半径分别为和，由牛顿第二定律得， 解得， 粒子在平面内运动轨迹如答图1。 则 解得 （2）设粒子在第一象限的半径为r，则粒子在第四象限的半径为1.5r，如答图2所示。 设轨迹的圆心、的连线与y轴方向夹角为，由几何关系得，， 解得 （3）粒子的速度越大，运动到Q点的时间越短，①粒子的速度在，粒子在第一象限运动的最大半径为，粒子不能从第一象限直接到达Q点；②设粒子以速度v从P点射出，经第四象限运动到Q点，粒子在第一象限运动的半径r，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为，如答图3 则， 解得 由此可以推断，此情形不成立（得到①、②中的一个推断即可得分）。③设粒子以速度从P点射出，粒子在第一象限运动的半径为，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为，如答图4。 则， 解得， 则粒子达到Q点的最短时间 13．如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小； （2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图甲所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知 代入数据，解得 由 代入数据，解得 （2）因为，粒子的轨迹如图乙所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 ， 由 联立上述方程可解得 ， 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为 ， 代入上述公式，可解得 ， 代入数据解得 ， 14．如图所示甲，中心为O、边长为L的正六边形区域内没有磁场，正六边形区域外存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为的粒子，以速度从O点在纸面内射向正六边形的顶点a，经磁场一次偏转后恰好经b点回到O点。不计粒子的重力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度； （2）求粒子连续两次经过a点的时间间隔； （3）若粒子以速度从O点在纸面内射向正六边形边的中点M，如图乙所示，粒子经过磁场两次偏转后才能返回到O点，求磁感应强度B的大小可能值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）如图所示 由几何关系知 代入得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供粒子做圆周运动向心力，可得 则 （2）如图所示 无论磁场垂直于纸面向里还是向外，运动时间相同，粒子第一次进入后经过3次进入磁场偏转，最终沿着方向运动，第二次过点，设在磁场运动周期，时间为，在六边形里面做直线运动时间为，则 代入得，在磁场运动周期为 则粒子在磁场中运动时间为 则3次在磁场运动总时间为 粒子做直线运动时间为 则3次做直线运动总时间为 则粒子连续两次经过a点的时间间隔为 （3）若粒子以速度从O点在纸面内射向正六边形边的中点M，粒子可能通过以下情况经过磁场两次偏转后才能返回到O点，无论磁场方向垂直于纸面向里还是向外规律都一样，如图所示，图中所对应的半径最大，则磁感应强度为最小值，如图所示 由几何关系知 由半径公式知 代入得 则有 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $