数学终极押题猜想（武汉专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以考情为骨构建23个押题模块，通过“试题前瞻-分析有理-精练通关”三阶体系，系统整合解题方法与知识逻辑，强化数学思维与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|科学记数法等5模块|单位换算、运算法则辨析|从概念理解到综合运算，构建数与式的运算体系| |几何综合|轴对称等8模块|模型识别（猪蹄模型）、辅助线构造|从图形性质到动态变换，形成几何推理链条| |函数应用|一次函数等5模块|图像解读、最值计算|从基础性质到实际建模，强化函数思想| |统计概率|事件判断等3模块|列表法求概率、数据解读|从数据收集到分析推断，培养数据观念|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 科学记数法 2 押题猜想二 整式的幂运算 4 押题猜想三 正负数及相反意义的量 6 押题猜想四 数与式、方程与不等式解答题综合 8 押题猜想五 规律与新定义问题 11 押题猜想六 轴对称与中心对称 14 押题猜想七 三视图 17 押题猜想八 平行线性质、角度计算 20 押题猜想九 几何小综合（小题压轴） 24 押题猜想十 几何综合（解答题压轴） 35 押题猜想十一 圆中小题 78 押题猜想十二 圆综合大题 86 押题猜想十三 一次函数图象的实际应用 100 押题猜想十四 反比例函数图象与性质 106 押题猜想十五 二次函数多结论判断 111 押题猜想十六 二次函数实际应用 120 押题猜想十七 二次函数综（大题压轴） 133 押题猜想十八 分式方程 190 押题猜想十九 解直角三角形及其应用 193 押题猜想二十 无刻度作图 199 押题猜想二十一 事件的判断 215 押题猜想二十二 概率 217 押题猜想二十三 统计大题 221 押题猜想一 科学记数法 试题前瞻·能力先查 限时：30s 1．（2026·湖北武汉·一模）“江城年味浓，出行热度高”．武汉地铁2026年春节9天共运送旅客超过1800万人次．将数据万用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：万 分析有理·押题有据 科学记数法考查的是学生对大数或小数的规范表示能力。近五年武汉中考必考，通常结合时事热点（如人口数据、经济数据、科技成就）出题。重点考查形式为 ，其中 ， 为整数。需注意单位换算（如“万”“亿”转换为具体数值）以及负指数幂（针对小于1的数）的考查。 终极猜想·精练通关 2．（2026·安徽芜湖·二模）“十四五”我国农业综合生产能力迈上新台阶，粮食产量连续两年稳定在1.4万亿斤以上，2025年产量达到14298亿斤，总产和单产均创历史新高，14298亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义（形式为，满足，为整数）确定和的值即可． 【详解】解：亿． 3．（2026·四川乐山·一模）夹江县“政府市场”构建全要素人力资源“生态圈”．2025上半年，累计发放稳岗补贴、一次性吸纳就业补贴、职业技能培训补贴等惠企资金约万元．数据 用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 4．（2026·吉林·一模）2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个大于10的数记作的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：． 5．（2026·安徽合肥·一模）DeepSeek-V3是一款采用混合专家（MoE）架构的大语言模型，凭借其庞大的参数量，在自然语言处理领域展现出强大的能力．截止2026年3月，它的参数量已经高达6850亿，将6850亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：6850亿． 6．（2026·北京顺义·一模）2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT（昵称“万星瞳”）在例行巡天观测中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变．已知最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳的光度约为，则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法表示）约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵该源区最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳光度为， ∴该源区最亮时的光度 ． 7．（2026·山西忻州·一模）为保障粮食安全，我国力争将粮食产量稳定在1.4万亿斤左右，彰显端牢中国饭碗、守护天下粮安的大国担当和坚定决心．数据1.4万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将1.4万亿换算为标准形式，再根据科学记数法的定义确定结果，科学记数法的表示形式为，要求，为整数． 【详解】解：∵1万亿 ， ∴1.4万亿 ，因此答案选B． 押题猜想二 整式的幂运算 试题前瞻·能力先查 限时：30s 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A： ，正确，符合题意； 选项B：，运算错误，不符合题意； 选项C： ，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，无法合并，运算错误，不符合题意． 分析有理·押题有据 整式的运算是代数运算的基石。武汉中考常在选择题前几题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方。此类题目难度较低，但容易因符号问题或运算法则混淆而失分。复习时需重点强化“底数不变指数相加/减”与“指数相乘”的区别，以及负号的处理。 终极猜想·精练通关 9．（2026·山东临沂·一模）下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 10．（2026·甘肃陇南·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解A．根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，故A错误； B．根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，故B正确； C．根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，可得，故C错误； D．与不是同类项，不能合并，故D错误． 11．（2026·湖南株洲·一模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，∴B错误． ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得，∴C正确． ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，∴D错误． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘除法、单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，逐个计算判断选项即可． 【详解】解：∵对于选项A：，故A运算错误； ∵对于选项B：，故B运算错误； ∵对于选项C：，符合同底数幂除法运算法则，故C运算正确； ∵对于选项D：，故D运算错误． 13．（2026·河南商丘·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方，合并同类项法则，同底数幂乘法，进行计算即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意． 14．（2026·山东青岛·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴A计算正确． ∵不是同类项，无法合并， ∴B计算错误． ∵， ∴C计算错误． ∵， ∴D计算错误． 押题猜想三 正负数及相反意义的量 试题前瞻·能力先查 限时：30s 15．（2026·湖北武汉·一模）正负数在日常生活中有着广泛的应用．若收入元记作元，则支出元记作________元． 【答案】 【详解】收入元记作元， 支出元记作元． 分析有理·押题有据 这是初中数学最基础的概念之一，旨在考查数学与生活的联系。武汉卷常以实际生活情境（如气温变化、收支情况、海拔高度）为载体，考查正负数的意义及相反数的概念。题目通常简单直接，但要求学生具备从文字信息中提取数学符号的能力，属于必拿分的基础题。 终极猜想·精练通关 16．（2026·辽宁阜新·一模）某市冬季一天的天气预报表显示气温为至，该日温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用最高气温减去最低气温即可得到温差． 【详解】解： 温差为 ． 17．（2026·广东中山·一模）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如果零上记作，那么零下记作． 18．（2026·广东东莞·二模）验光师经常以“×××D”的方式记录近视程度，例如，近视50度记录为“”，近视100度记录为“”．通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推导验光记录对应的实际近视度数，再和200度比较，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：A、表示近视度，超过200度需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，符合题意； B、表示近视度，不超过200度，不需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，不符合题意； C、表示近视度，不超过200度，不需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，不符合题意； D、表示近视度，不超过200度，不需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，不符合题意． 19．（2026·河北沧州·二模）巩立姣是河北籍田径运动员，是女子铅球项目的领军人物．国际田联规定：女子铅球的标准质量是，在某次比赛用品抽检中，第一个铅球的质量为，记为，第二个铅球的质量记为，则第二个铅球的质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵ 第二个铅球的质量记为 ，说明其质量比标准质量少 ， ∴ 第二个铅球的质量为 ． 20．（2026·河北石家庄·一模）水库水位第一天降低记作，第二天降低，这两天的变化可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给定的记法，确定第二天水位变化的表示，再将两天变化相加即可得到结果． 【详解】解：∵题目规定水位降低记为负，降低记作， ∴第二天降低记作， ∴这两天的水位总变化可表示为两天变化的和，即． 21．（2026·陕西汉中·二模）2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：因为做前空翻个记作个， 所以做后空翻个记作个． 押题猜想四 数与式、方程与不等式解答题综合 试题前瞻·能力先查 限时：2min 22．（2026·湖北武汉·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题根据实数运算规则，分别计算绝对值、算术平方根、有理数平方、立方根、零指数幂，再合并计算得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 分析有理·押题有据 作为解答题的第一题，该题型承担着“稳军心”的作用。通常涉及实数的混合运算（含零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值化简）或分式的化简求值。武汉卷特别注重运算的准确性和步骤的规范性，化简求值题常会给出一个方程或不等式作为条件，需先解出未知数再代入，切忌直接代入硬算。 终极猜想·精练通关 23．（2026·山东济宁·二模）按要求完成下列计算： (1)计算： (2)解一元二次方程： 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）原式根据算术平方根运算法则、零指数幂、负整数指数幂运算法则、绝对值的代数意义以及特殊锐角三角函数值进行化简后，再进行加减运算即可得到结果； （2）方程运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 或， 解得：，． 24．（2026·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 25．（2026·青海西宁·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】， 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴，即， 解得， ∴原式． 26．（2026·重庆北碚·模拟预测）求不等式组的所有自然数解． 【答案】所有自然数解为 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的所有自然数解为． 27．（2026·北京顺义·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为． 28．（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式得； 解不等式得， 故不等式组的解集为． 押题猜想五 规律与新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：3min 29．（2026·湖北武汉·一模）由，，三个数字组成的进制数记作，例如．若，且．则以下关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把和展开化简，得出，代入得出，根据，列不等式，求出的值，进而求出、的值，代入各选项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是进制数， ∵， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴， ∴，， ∴故A选项错误， ，故B选项正确， ，故C选项错误， ，故D选项错误． 分析有理·押题有据 此类题目是武汉中考选填压轴的常客，旨在考查学生的观察能力、归纳推理能力及即时学习能力。“规律探索”多涉及图形变换（旋转、平移）中的坐标规律或数列规律；“新定义”则给出一个课本之外的概念（如新运算、新几何定义），要求考生现场理解并应用。解题关键在于“照猫画虎”，将新规则转化为熟悉的代数或几何模型。 终极猜想·精练通关 30．（2026·云南昆明·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，，，， 第个代数式是， 故选：C． 31．（2026·河南南阳·一模）观察下列一组数：，，，，，，按此规律，第个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该组数的规律从两方面分析，整数部分：每次增加；小数部分：每次增加一个，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加，则第个数整数部分是，小数部分每次增加一个，则第个数小数部分有个， ∴第个数小数部分是， ∴第个数是． 32．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（    ） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律．通过观察图形及数据，发现每增加一个图案，木棍数量增加3根，从而归纳出第个图案的木棍数量公式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：由题意及图形可知：第①个图案用了根木棍，即； 第②个图案用了根木棍，即； 第③个图案用了根木棍，即； 第④个图案用了根木棍，即； 依次类推得第个图案用的木棍根数是； 当时，（根） 33．（2026·重庆綦江·二模）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2026个图案有多少个三角形（    ） A．6076 B．6077 C．6078 D．6079 【答案】D 【分析】根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第个图案中三角形的个数． 【详解】解：第①个图案有个三角形，即， 第②个图案有个三角形，即， 第③个图案有个三角形，即， ， 第个图案的三角形个数为：， ∴第个图案中三角形的个数为：． 34．（2026·河南周口·一模）定义一组有规律的点： ……，按此规律，则 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别找出横纵坐标的变化规律，再根据序号2026推导对应坐标即可． 【详解】解：观察已知点的坐标，可得规律如下： ① 对任意点 ，横坐标等于序号 ， 所求点为 ， 的横坐标为 ， ② 纵坐标的规律为：当 为奇数时，纵坐标为 ；当 为偶数时，纵坐标为 ， 是偶数， 的纵坐标为 ， 因此 的坐标为 ． 35．（2026·湖南长沙·二模）著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（    ） A．只有一个正实数根 B．有一个正实数根，两个负实数根 C．有两个正实数根，一个负实数根 D．有三个正实数根 【答案】B 【分析】先推导出，再化简方程，得到，在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象，由两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点，得到方程有一个正实数根，两个负实数根，即可解答． 【详解】解：当时，原方程不成立， ∴， 将方程的常数项移到等式右边，得 ， 变形整理得， 在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象如解图， ∵两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点， ∴方程有一个正实数根，两个负实数根． 押题猜想六 轴对称与中心对称 试题前瞻·能力先查 限时：10s 1．（2026·湖北武汉·二模）中国的方块字中有些具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴，逐一判断各选项即可. 【详解】解：选项不是轴对称图形，无法由一条直线折叠后完全重合，选项不符合题意； 选项是轴对称图形，可以由中间一条直线折叠后完全重合，选项符合题意． 分析有理·押题有据 图形的对称性是几何直观的核心内容。轴对称图形和中心对称图形的识别是中考基础考点，通常以"下列图形中是轴对称图形的是"或"既是轴对称又是中心对称的是"形式出现。近五年考查频率极高，属于识记理解层面。 终极猜想·精练通关 2．（2026·山东青岛·一模）下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解： A、是轴对称图形而不是中心对称图形； B、既是轴对称图形也是中心对称图形； C、是轴对称图形而不是中心对称图形； D、是中心对称图形而不是轴对称图形． 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、是轴对称图形，该选项符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意． 4．（2026·广东·一模）窗花是我国民间剪纸中分布最广、数量最多、最为普及的品类，也是源远流长的传统民间艺术珍宝．下列窗花作品示意图为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．”据此定义，逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：不是轴对称图形，不符合题意； 对于选项B：是轴对称图形，符合题意； 对于选项C：不是轴对称图形，不符合题意； 对于选项D：不是轴对称图形，不符合题意． 5．（2026·山西运城·二模）氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.该选项不是轴对称图形； B. 该选项不是轴对称图形； C. 该选项是轴对称图形； D. 该选项不是轴对称图形． 6．（2026·江苏扬州·一模）中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．下图中的图样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 7．（2026·天津和平·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：B选项中的汉字沿一条直线折叠后能够互相重合，是轴对称图形，其余ACD选项中的汉字不是轴对称图形． 押题猜想七 三视图 试题前瞻·能力先查 限时：30s 8．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图所示的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体的三视图进行判断即可. 【详解】解： 此几何体的主视图是： 故选：C ． 分析有理·押题有据 空间观念是数学核心素养之一。三视图题目通常出现在选择题前段，考查由立体图形判断主视图、左视图或俯视图，或者由三视图还原几何体（如计算小正方体个数）。武汉卷近年来倾向于考查简单组合体（如圆柱与长方体组合）的视图，难度不大，但需注意虚实线的区分。 终极猜想·精练通关 9．（2025·安徽合肥·一模）如图所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：如图所示的几何体的俯视图为． 10．（2026·山西朔州·一模）斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据立体图形的特点，其俯视图为， 故选：A ． 11．（2026·江苏南通·一模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：该几何体的主视图为： ． 12．（2026·山东泰安·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给三视图和各个选项中几何体的形状即可得到答案． 【详解】解：该几何体的主视图和左视图都是长方形，俯视图是一个“”型图案， 故四个选项中只有C选项中的几何体符合题意 ． 13．（2026·四川成都·二模）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主视图是从正面看到的图形，据此可得答案． 【详解】解：从正面看的图形分为上下两层，共三列，从左边起，第一列和第二列只有下面一层有一个小正方形，第三列上下两层各有一个小正方形，即看到的图形如下： 14．（2026九年级下·海南海口·专题练习）图是由6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 俯视图是从物体正上方观察得到的平面图形，只需确定底层小正方体的分布位置． 【详解】解： 从正上方观察该立体图形，底层小正方体的分布为：第一行有2个小正方形，靠左排列；第二行有4个小正方形，其中第一个小正方形与第一行的右侧小正方形对齐．对比选项，只有C选项的图形与该分布一致． 押题猜想八 平行线性质、角度计算 试题前瞻·能力先查 限时：30s 15．（2026·湖北武汉·一模）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，，根据角的和差关系，结合对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 几何推理的入门考点。题目常以“一副三角板”、“直尺与三角板组合”或“平行线间折线”为背景，考查平行线的性质（同位角、内错角、同旁内角）以及三角形外角性质。解题时需熟练掌握“猪蹄模型”或“铅笔模型”等常见角度计算模型，快速建立角之间的数量关系。 终极猜想·精练通关 16．（2026·湖北宜昌·一模）如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 17．（2026·安徽池州·二模）两个直角三角板如图摆放，是，的三角板，是的等腰三角板，点，均在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，， ∵， ∴ ∴ 18．（2026·广东佛山·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质，可得，由对顶角相等，可得，根据三角形外角的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（2026·陕西商洛·二模）如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ． 20．（2026·河南信阳·一模）如图，在五边形中，延长，，分别交直线于点M，N．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， 即， ∴， ∵， ∴． 21．（2026·江苏盐城·一模）将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的两个锐角互余及角的和与差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 押题猜想九 几何小综合（小题压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 22．（25-26九年级上·湖北武汉·月考），，，，点P在射线上运动，的外接圆交于Q，的最小值为_____． 【答案】 【分析】先解，得到，由四点共圆，得到，则，作的外接圆，，连接，则，可得为等边三角形，那么，过点作交于点，交于点，则四边形为矩形，那么，，根据等腰三角形的性质以及勾股定理得到则，故，而，则当点落在上时，取得最小值，即为． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵的外接圆交于Q， ∴四点共圆， ∴， ∴， 作的外接圆，，连接，如图： ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点落在上时，取得最小值，即为， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度较大，解题的关键是正确确定动点的轨迹． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，几何小综合作为小题压轴（15题左右），分值3分，侧重考查三角形、四边形的全等、相似，结合角度、边长求值，偶尔涉及几何变换（折叠、旋转），命题有一定难度，侧重逻辑推理和几何直观，近五年均有考查，是区分中档生与基础生的关键考点，2026年将延续这一梯度设计。 终极猜想·精练通关 23．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，，以B为圆心以长为半径画弧交延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接，过点C作交于点Q．则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，根据题意易得，证明点共圆，垂直平分，得到，得到，易证是等腰直角三角形，得到，求出，以为斜边，向上作等腰直角，则点Q在以E为圆心，的长为半径的圆上，故当三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵，点P是上的一动点， ∴点共圆，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 以为斜边，向上作等腰直角， ∵都是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴劣弧所对圆周角为， ∵， ∴点Q在以E为圆心，的长为半径的圆上， 故当三点共线时，有最小值， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，弧，弦，圆周角的关系，圆外一点到圆上一点的最值问题，勾股定理等等，正确确定点Q的运动轨迹是解题的关键． 24．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在和中，，，，连接，，将绕点旋转，当最大时，的长为 ________． 【答案】 【分析】先确定点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，过作的垂线交延长线于，由分析出当最大时，最大，再由直角三角形斜边大于直角边得在旋转过程中，即时，取得最大值，再通过取中点，连接并延长至，使得，利用勾股定理可求出、的长度，再证明即可． 【详解】解：如图，将绕点旋转一周，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，过作的垂线交延长线于， ∵， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， 即时，取得最大值， 此时在直角三角形中， ， ∴， 如图，取中点，连接并延长至，使得， ∴在直角三角形中， ，； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，难度较大，掌握相关知识是解题关键． 25．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，，，为中点，是 上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的轨迹动点问题，全等三角形的判定和性质，圆上点的最值问题等，能够作出辅助线并判断出点E的运动轨迹是解题的关键． 先通过旋转的性质得到，，再连接，过点作，，连接，证明，推出点的运动轨迹是在半径为的上运动，然后以为圆心，为半径作，延长，作交于点，连接与交于点，当三点共线时，有最小值，此时为所在位置，最后证明四边形为正方形，得到，，根据勾股定理求解，即可解出的最小值． 【详解】解：∵，，为中点， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， 如图，连接，过点作，，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴随着点的运动，，那么，即点是上的动点， 如图，以为圆心，为半径作，延长，作交于点，连接与交于点， ∵， 即当三点共线时，，有最小值，此时为所在位置， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵中， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 26．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，P是内一点．若，，则______． 【答案】 【分析】过点P作于点D，于点E，证明四边形为矩形，得出，，设，则，求出，根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点P作于点D，于点E，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴． 27．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知中，，，，点D为边上一动点，点E是点B关于的对称点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】利用点E是点B关于的对称点，得出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆上部分，过点作于点，得出，可知当最大时，的值最小，可知当与相切时最大，此时点为切点，再进行计算即可． 【详解】解：∵点E是点B关于的对称点， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆上部分， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当最大时，的值最小， 由圆心到直线的距离，且与有交点（E是上的点），可知当与相切时，最大， 此时为切点，如图， 则， ∴， ∴， 即的值最小为． 28．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，是线段上一动点（不与端点，重合），连接，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点，则线段的最大值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，由三角函数可求得的值，证明，得，由 ，判断出有最小值时，最大，由此可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中，，，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点与点重合， ∴最小值为， ∴的最小值为, ∴的最大值为． 【点睛】此题重点考查解直角三角形、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 押题猜想十 几何综合（解答题压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 29．（2026·湖北武汉·一模）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且，连接交于点． (1)如图（1），求证：； (2)连接． ①如图（2），若平分，求证：； ②如图（3），连接，若平分，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解② 【分析】（1）结合正方形的性质，证明，再进行角的等量代换，即可作答． （2）①由（1）得，且结合正方形的性质，得出，故四点共圆，再运用圆周角定理得 ，故是等腰直角三角形，结合，故； ②设，结合正方形的性质证明，再得出四边形是矩形，，，同理证明，即，因为平分，得，再把数值代入，整理得，运用公式法解得，再代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 即； （2）解：①由（1）得， 即 ∵平分， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四点共圆，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ②设， 过点作，过点作，过点作的延长线，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 由（1）得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理证明， ∴，， 则， ∵平分， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， 则， 则（舍去）， 与①同理得四点共圆，如图所示： ∵ ∴ ∴， ∵ 则 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，四点共圆，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，几何综合大题是压轴题之一（第23题左右），分值10分，多以折叠、旋转等几何变换为载体，考查三角形全等、相似，偶尔涉及四点共圆、勾股定理综合应用，题型为多问递进（基础问+提升问+压轴问），对学生的几何推理、辅助线构造能力要求较高，近五年每年均作为压轴题呈现，2026年仍会是核心难点题型。 终极猜想·精练通关 30．（2026·河北张家口·一模）综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： (1)第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． (2)第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） (3)第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，；垂直 (2)存在，理由见解析； (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）由折叠可知，，，在中，利用勾股定理求得，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； 由折叠的性质即可得解； （2）由折叠的性质即可得解； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，从而得到点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧，当点运动到点时，根据可求得的度数，然后根据外角的性质即可得到，最后根据弧长公式求解即可； （3）分4种情况讨论：当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；过点构造矩形，通过勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即； 由折叠可知，是的对称轴，即垂直平分， ； （2）解：存在，仍然成立； 理由：由折叠可知，点与点关于直线对称， 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线， 垂直平分， ； 由知，， ， 是的中点， ， ， ，是定值， 点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧， 当点在点时，点与点重合；当点运动到点时，如图所示， 此时， ， ， 点的运动路径长为； （3）解：当点在边上，在上方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，到下方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，如图所示，过点作轴交轴于，作轴于，过点作于，则四边形、、是矩形， 如图，当点在第三象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即，解得， ， ； 如图，当点在第二象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即， 解得， ， ； 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 31．（2026·河南信阳·一模）点E在边长4的正方形内部运动，且，对角线与或相交于点F． (1)如图1，当时，________；________；_________； (2)如图2，当为等边三角形时，求的值，并写出计算过程； (3)正方形的对角线与相交于点O，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)，4， (2)，过程见解析 (3)或 【分析】（1）过点E作于点K，解直角三角形求得，，再利用三角形面积公式求解即可； （2）过点E作于点G，过点F作于点H．设，则，利用勾股定理列式计算求得，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：过点E作于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ； ； （2）解：过点E作于点G，过点F作于点H． 在正方形中，，． ∵为等边三角形， ∴，． ∴． 在中，， ∴， 在中，， 设，则， ∵，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴，即， ， ∴， ∴； （3）解：由（1）和（2）知，． ∵， ∴点始终在的垂直平分线上， 过点E作于点M，则经过点，垂直平分， 在正方形中，，． 如图1，当点E在点O上方时，过点F作于点N， ∴，． 设，则， 在等腰中，． ∵， ∴， ∴，． ∴； 如图2，当点E在点O下方时，过点E作于点P，． ∵， ∴． ． 过点F作于点Q， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴，． 过点F作于点R，则四边形是正方形， ∴． ∴． 综上，的值为或． 32．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析； ，理由见解析； (3)的值为或． 【分析】（1）由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同（等）角的余角相等，即可求解； （2）由折叠可得，，，，由矩形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，结合已知可得，即可得，，三条线段的数量关系；由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，证明，可得，，点、在线段的垂直平分线上，即可判断与的位置关系； （3）按照，进行分类讨论，分别画出图形，根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为或． （2）解：，理由： 由折叠可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． ，理由： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴． （3）解：当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于， ∵，四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，垂足为点，延长交于点， 由折叠可得，，，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或． 33．（2026·山西太原·二模）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动．探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究．如图1，在中，，，分别取的中点，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (4)延伸思考：如图4，在中，，，分别取的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接．当边正好经过的中点时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，见详解 (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理结合，求出，根据点和点分别为的中点，得出，即可求解； （2）根据中点的定义得出，进而得出，再求出，通过证明，即可得出结论； （3）根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（2）可得，即可求解； （4）令相交于点，过点作于点，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，则，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴， ∵点和点分别为的中点， ∴， ． （2）解：猜想，证明如下： ∵点和点为分别为的中点， ∴由图1可知，， ， 即， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ∴． （3）解：由图1可知点和点为分别为中点， ， ， ， ∴如图3，当所在直线经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由（2）可得：， ， 解得：； （4）解：令相交于点，过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ， ， ∵边经过的中点，， ， ， ， ， ， 根据旋转的性质可得， ， ， ， ， ． 34．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）矩形的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，． (1)如图1，连接，，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，若，，当点恰好为边的（为正整数，）等分点时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或6 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，，则，证明，则，结合，即可证明四边形是平行四边形． （2）在矩形中，，，，，得出是等边三角形，，勾股定理求出​，则，．根据是正整数，，得出或：①当时，是中点，则，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，结合四边形是平行四边形，即可得；②当时，是三等分点，则或，过点O作，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中： ， ​∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵矩形中，，，，， ∴是等边三角形，，​， ∴，． ∵是正整数，， 故或： ①当时，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； ②当时，是三等分点， ∴或， 过点O作， ∵， ∴，， 若， 则， ∴， ∴， 若， 则， ∴， ∴； 综上，或6． 35．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）中，，，，为中点，连接． (1)如图，当点在的延长线上时，求证：，； (2)如图，绕点旋转到图中位置，求证：，； (3)若，（A、D、E顺时针排列）绕点旋转，当时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）设交于点，交于点G，可证明四边形是平行四边形，得到，，，再证明四边形是正方形，得到，证明，可得，则；可证明，则可证明； （2）延长到点T，使得，连接，则，；证明，得到，，则；延长交于点Q，证明，可得，则； （3）分点E在下方和点E在上方这两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，设交于点，交于点G， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长到点T，使得，连接， ∵为中点，， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形 ∴，， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，延长交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3-1所示，延长到点T，使得，连接， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴，即B、C、T三点共线； 在中，， ∴， ∵， ∴； 如图3-1所示，过点A作于点M，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，延长到点T，使得，连接， ∵为中点，， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， 设直线交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即B、C、T三点共线， ∴点B与点Q重合； 如图3-2所示，过点A作于点M，则， 同理可得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 36．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点是线段上一点，作点关于的对称点，连接，． (1)当点落在上时，求的长； (2)当点落在内部时，求的取值范围； (3)当平行于的一边时，求线段的长度； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用轴对称得，由等面积法求，再用勾股定理求． （2）先求落在上时的：由轴对称得平分，作、得，面积法求，由求，进而得；结合在上的，确定范围． （3）①：设，证，用相似表示线段，在中由勾股定理列方程求解．②：延长交于，交于，证，得，求；证得，结合面积法求，得． （4）分两种情况：①在左侧，交于，证，由面积关系得，进而得，求．②在右侧，证，得，进而得，结合（3）得结果． 【详解】（1）解：当点落在上时，如图， 在中，，，， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：当在上时： ∵、关于对称， ∴，平分， 作于，于， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 由（）得，当点在上时，， ∴在内部时，； （3）解：①时， 设，则−，令交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由折叠得， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． ②当时 延长交于，令交于， ∵，， ∴， 由折叠得，，， ∵， ∴（）， ∴    ， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴, ∴ 解得， ∴， 综上，或； （4）解：情形一：在左侧时，令交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 过作于，于， ∵、关于对称， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 情形二：当在右侧时， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 由（）知， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、三角形面积法．熟练掌握轴对称性质、分类讨论思想、面积法转化线段比以及勾股定理构造方程是解题的关键． 37．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）已知为等腰三角形，，点是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为． (1)如图，当时，求证：四边形为菱形； (2)连接，直线与直线交于点． ①如图，在（1）的条件下，求证：； ②如图，若，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由翻折结合可得，进而得到，再结合，即可论证； （2）①先证明，再证明，，可得，即可论证结论； ②延长到，使，连接，设，根据翻折及勾股定理可得，，再通过论证，得到，从而，得到. 【详解】（1）证明：由翻折可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设于点，交于点， ∴， ∵沿所在直线翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 延长到，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴. 38．（2026·重庆·模拟预测）点为等边内一个动点（含边界），连接，，，点在线段上，连接，，其中． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，且，求证：； (3)如图3，若点是的中点，点为内一点，连接，，．当的值最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)过程见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，则，结合可得，根据三角形外角的性质可得； （2）延长至点，使得，连接、，延长至点，使得，连接，设，则，．容易证明，则，，进而得到，，进一步可证明．容易证明，则，进而证明，则，结合等量代换可得，利用三角函数可得； （3）将绕点逆时针旋转，并放大到倍，得到，连接、，因此，，由勾股定理可得．根据线段公理，，当、、、四点共线时，取得最小值．利用三角函数容易判断，，从而得到，，．根据等边三角形的性质容易判断点是的外心，因此，．将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，进而得到，，因此．容易证明，则，因此． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接、，延长至点，使得，连接，设， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转，并放大到倍，得到，连接、，设， 根据题意，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴当、、、四点共线时，取得最小值， 如图，、、、四点共线， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， 又∵点为的中点， ∴，，， 在中，，， 在中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（2026·江苏泰州·一模）点为矩形的边上一点，．将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形． (1)如图1，当点落在边上时，_____； (2)如图2，当点、、在同一直线上时，求的值； (3)当时，过作，垂足为，过、、三点的圆与边的另一个交点为，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点O作于点G，连接，设，则；由勾股定理得，由旋转的性质可得，证明四边形是矩形，得到，则可证明，进而证明是等边三角形，据此可得答案； （2）设，则；由矩形的性质可得，则，利用勾股定理求出，则，据此可得答案； （3）分图3-1和图3-2两种情况，求出的长，证明三角形相似，利用相似三角形的性质推出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点O作于点G，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图3-1所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，这四点共圆， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，这四点共圆， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 押题猜想十一 圆中小题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 40．（2026·湖北武汉·一模）如图，是半径为的的一条弦，点在上，过点作的垂线交于点，，则的最大值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】作于点，于点，连接，，利用垂径定理求得，则，中，利用勾股定理求得，再根据完全平方公式变形，求解即可． 【详解】解：作于点，于点，连接，， ∵， ∴四边形是矩形，设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 在中，，即 ， ∵， ∴， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为100， 又∵， ∴有最大值为10，此时，满足题意； ∴的最大值是． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，圆中小题多以选填基础题或中档题形式呈现，分值3分，侧重考查圆的基础性质（半径、直径、圆周角定理、切线的性质），不涉及复杂证明，命题难度适中，常结合几何图形（三角形、四边形）命题，近五年每年均有考查，规避与解答题圆综合重复，2026年将延续基础考查方向。 终极猜想·精练通关 41．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接、、．根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且．在中利用勾股定理求出，进而得到的长．在中求出的长．利用圆周角定理和三角形外角性质证明，最后根据求解． 【详解】解：连接、、． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，． 在中，，， ， ∴． 在中，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 42．（2026·四川南充·一模）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由轴对称性可得，则，故当三点共线时，最小，最小值为，由弧和圆心角的关系可求，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， ∵点与点关于对称， ， ， 则当三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点是的中点， ， ， 又， ， ∴的最小值为2． 43．（25-26九年级下·河南郑州·月考）如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，得出，再得出，求出圆心角的度数，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 44．（2026·甘肃白银·二模）如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作于点，作于点，在中，解三角形求得，，再利用勾股定理求得，由等腰三角形的性质求得，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，作于点，作于点， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴，， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，C为的中点， ∴，， ∴， ∴． 45．（2026·河北石家庄·一模）如图，半圆的直径，C是半圆AB的中点，D是的中点，连接，，过点D作的切线分别交的延长线于点E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定可判断①，是半圆的中点和是的中点可判断②，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，得到可判断③，证明，求出，再求出可判断④． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ∵是半圆的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故③不符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④符合题意； 综上，符合题意的是①②④，共个． 46．（2026·浙江台州·一模）如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若，，，则的面积为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，证明，求出，分别证明，得出，，得出，根据三角形面积公式可求出． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∵，， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． 押题猜想十二 圆综合大题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 47．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知：点是边上一点，以为直径作交于点，连接，，过点作于． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证出，，则，即，由此即可得证； （2）连接，先解直角三角形可得的长，再证出，则可得的长，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴，即， ∴， 又∵为的直径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 由（1）已得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴在中，， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，圆综合大题是中档核心解答题（第20题左右），分值8分，侧重考查切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形的综合应用，题型为多问递进，步骤规范要求较高，近五年每年均有考查，难度适中，是学生中档题拿分的关键，2026年可能新增圆与几何变换的轻度融合。 终极猜想·精练通关 48．（2026·湖北孝感·一模）如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若的平分线交于F，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，进而得出，再根据平行线的性质说明，则此题可解； （2）根据角平分线的定义得，再根据三角形外角的性质说明，然后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分，      ∴， ， ∴． ∵，   ∴， ∴是的切线； （2）解：∵平分，平分， ∴． 又∵，， ∴. ∴， ∵， ∴. 49．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ， ． 50．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，内接于，的平分线交于，与相切，交的延长线于． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，求出，由垂径定理的逆定理得到，然后由切线的性质得到，即可证明； （2）连接，，，设与交于点F，证明，得到，设，，得到，然后求出，得到是的直径，证明出，得到，代入求出，，利用，然后求出，然后根据阴影部分的面积求解． 【详解】（1）解：如图，连接 ∵的平分线交于， ∴ ∴ ∴ ∵与相切 ∴ ∴； （2）解：如图，连接，，，设与交于点F ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴设， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是的直径 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴（负值舍去） ∴， ∴是等边三角形 ∴ ∴的平分线交于， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点O是的中点 ∴ ∴阴影部分的面积 ． 51．（2026·四川乐山·一模）如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得到，再利用角的互余关系和对顶角证明，再由为半径，则切线可证； （2）过点作于点，由已知求出，，再证明再求的半径即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ． 又， ． ， ． ． ． ． 又为半径， 是的切线． （2）解：如图所示，过点作于点， 连接， 是的中点， ，， 又，， ． ， ， ，， ． 在和中， ，． ． ． ． 得． 52．（2026·山东济南·二模）如图，点，在上，，点在的延长线上，过作的切线，切点为，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】（）连接，由是的切线，则，即，所以，又，则，从而可得，然后通过等角对等边可得； （）设的半径为，则，解得或（舍去），则， 在中，由勾股定理得，从而求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， ∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 53．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，以为底的等腰三角形的三个顶点都在上，过点A作交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点E，连接，根据垂径定理以及弧与弦的关系进行证明； （2）根据平行四边形的性质以及等边对等角得出是等边三角形，，然后解直角三角形，最后用扇形面积公式以及三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点E，连接， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴的半径为， ． 54．（2026·安徽·模拟预测）如图，为的直径，，连接． (1)求证：； (2)若 ，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用圆心角、弧、弦之间的关系可得，即得，，得到，进而即可求证； （）连接，，，与交于点，由垂径定理的推论得，即得，由三角形中位线的性质得，设的半径为，利用勾股定理构建方程求出的值即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， 又∵， ∴； （2）解：如图，连接，，，与交于点， ， ， ∴， ，， ， 设的半径为， ∵，， ∴， 解得， （不合，舍去）， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，全等三角形的判定，垂径定理及其推论，三角形中位线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 55．（2026·四川眉山·一模）如图，在中，，以为直径作，点为中点（点在的异侧），连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、三角形的内角和定理得出，然后根据余角的性质即可得证； （2）连接、，设的半径为r，则，根据含的直角三角形的性质得出，根据弧、弦的关系得出，结合勾股定理可求出，证明，得出，进而求出，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， 又， ∴； （2）证明：连接、， 设的半径为r，则， ∵，， ∴， ∵点为中点 ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 押题猜想十三 一次函数图象的实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：2min 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度与观察时间x（天）的关系记录如下图所示，那么橘树苗在第50天的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出y关于x的解析式，再代入求出y即可． 【详解】设解析式为 ， 将和代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 所以橘树苗在第50天的高度是． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，一次函数图象的实际应用多以选填中档题或解答题形式呈现，分值3-8分，常结合实际情境（行程问题、工程问题、收费问题），考查函数图象的解读、解析式求解、函数值计算，贴合武汉中考情境化命题趋势，近四年有3年考查，2026年将延续情境化考法，强化数据解读能力。 终极猜想·精练通关 2．（2026·内蒙古通辽·一模）在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：）是所挂物体质量x（单位：）的一次函数，它们之间的关系如图所示，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数图象，利用待定系数法求出一次函数解析式，然后将代入一次函数解析式求出函数值，即可得出答案． 【详解】解：设弹簧的长度y（单位：）是所挂物体质量x（单位：）的一次函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 把代入得：， 即当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）九年级（1）班有40名学生进行化学实验，A型实验台最多能供4人做实验，B型实验台最多能供6人做实验（要求每个实验台不能有空位），则共需实验台的总数量最少为（    ） A．9台 B．8台 C．7台 D．6台 【答案】C 【分析】设需要A型实验台台，B型实验台台，，均为非负整数，得出，要使实验台总数量最少，应尽量多使用单台容纳人数更多的B型实验台，且满足所有实验台无空位，总人数刚好为40，据此求解即可． 【详解】解：设需要A型实验台台，B型实验台台，，均为非负整数 由题意得 ∴ ∴ 实验台总数量 整理得，可知随增大而减小，因此取最大符合条件的值时最小 ∵，且能被4整除 ∴ ∴最大符合条件的为6 此时，得 ∴ 若总数量为6，即使全为B型实验台，最多可容纳，不符合要求 因此共需实验台总数量最少为7台． 4．（2026·河南周口·一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【答案】B 【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可． 【详解】解：∵每斤利润为元，月销售量， ∴， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元． 5．（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【答案】D 【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了，可判断B，设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为，利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D． 【详解】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了，故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为， 将和代入， 得，解得 故加热一壶水时，与的函数表达式为． 当时，， 解得．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后与的函数关系式为（为常数，且）， 将代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得， （分钟）， 若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，故D不正确，符合题意． 当时，，解得， 当时，，解得， 该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟， 故C正确，不符合题意． 6．（2026·山西大同·二模）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一组数据中自变量每增加，对应因变量的值减小，可得与之间存在一次函数关系，再进一步利用待定系数法求解解析式即可. 【详解】解：由题表中数据可知，运动时间每增加，运动速度减小，满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为，代入，， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 7．（2026·河南安阳·一模）如图1，用弹簧测力计竖直向上拉一个正方体木块．在整个过程中，图2表示弹簧测力计的示数与时间的关系，图3表示木块运动的速度与时间的关系，请结合函数图象信息，判断下列说法错误的是（    ） A．前木块保持静止状态 B．拉力与时间的关系满足正比例函数关系，且当时， C．当时，速度随时间增大而增大 D．在整个过程中，速度随拉力增大而增大 【答案】D 【分析】由图2，图3的图象信息结合左图，对选项逐一分析即可得解． 【详解】解：A、由图3可知，前三秒木块的速度为0，所以前木块保持静止状态，故此选项正确； B、由图2可知，拉力与时间的图象是一条过原点的直线，设，由图2知，图象过点，代入得，解得，所以，当，，故此选项正确； C、由图3可知，当时，图象从左往右呈上升趋势，即速度随时间增大而增大，故此选项正确； D、由图3可知，前3秒内木块速度为0，此过程拉力随时间增大，但速度并没有增大；当木块开始运动后，速度随拉力增大而增大，所以并不是整个过程速度随拉力增大而增大，故此选项错误． 押题猜想十四 反比例函数图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：1min 8．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）若点都在反比例函数上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到反比例函数图象经过第二四象限，且在每一象限内，随着的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴，即． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，反比例函数图象与性质是高频核心考点，多以选填中档题（10-14题）形式呈现，分值3分，常结合几何图形（三角形、四边形）考查图象分布、k值意义、增减性，偶尔结合一次函数轻度综合，命题难度适中，近五年每年均有考查，是函数基础的核心内容，2026年将延续这一考法。 终极猜想·精练通关 9．（2026·内蒙古通辽·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先得出这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小，再分两种情况：①和②解答即可得． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小． ①当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴，符合题意； ②当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴要使，则，符合题意； 综上，的取值范围是或． 10．（2026·山西晋中·一模）如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，，再根据所对的直角边为斜边的一半，可得，再根据勾股定理可得，进而可得，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形的边长为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入中，即， 解得：． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的解析式可得反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，根据，可得点在第二象限，点在第四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴点和点不在同一象限， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴且， ∴ ． 12．（2026·北京平谷·一模）已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数解析式确定函数图象位置与增减性，计算得到的值，再结合确定的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：由反比例函数，可得， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 将代入，得， 当时，点在第三象限，此时，满足， 当时，点在第一象限，由结合反比例函数增减性可得， ∴满足或即可， ∴取符合条件的值． 13．（2026·河北·二模）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数，一次函数的图象和性质，一元二次方程的知识，解题的关键是掌握“友好点”的定义，设点，其“友好点”，根据函数的图象和性质，进行解答，即可． 【详解】解：设点，其“友好点”， ∵点的“友好点”在反比例函数的图像上 ∴； ∵点在直线上， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点或点． 14．（2026·浙江金华·二模）如图所示，的三个顶点都在反比例函数的图象上，点在点的右侧，，且过原点．若的横坐标为，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】先过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，根据的三个顶点都在反比例函数，的横坐标为，设点，点，根据反比例函数的性质，推出点，点，点，得出的值，再证明，通过，，即可求解． 【详解】如图，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ∵的三个顶点都在反比例函数，的横坐标为， ∴设点，点， ∵过原点， ∴点， ∵轴，，， ∴点，点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴将整理为：，代入，即， 整理得，解得：，经检验，为的解， ∵， ∴． 押题猜想十五 二次函数多结论判断 试题前瞻·能力先查 限时：4min 15．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③⑤ 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，二次函数多结论判断是选填压轴题（16题）的高频题型，分值3分，侧重考查二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性），结合不等式、几何图形判断结论的正确性，命题难度较大，对学生的综合分析能力要求较高，2026年仍会作为选填压轴核心题型。 终极猜想·精练通关 16．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线， ， 又， ， ，故结论①正确，符合题意． 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于， 顶点纵坐标公式得， 又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变， ，故结论②正确，符合题意． 抛物线过点、 ，， 即， ，故结论③错误，不符合题意． 抛物线经过点， 当时，，故结论④正确，符合题意． 故正确的结论是①②④． 17．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴，，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将对称轴进行化简得到，代入二次函数中，即，将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【详解】解：∵由图可知，开口向下，即，对称轴在轴右侧，即，与轴交于正半轴，即， ∴，故①符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数可化简为， ∵二次函数经过点， ∴将代入，得，即，故②符合题意； ∵二次函数对称轴为直线，且经过点， ∴与轴另一个交点为，即， ∴由图象可知的解集为，故③符合题意； ∵由图可知，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， ∵假设（为任意实数），即， ∴，即， ∵当，，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意； 综上，符合题意的有：①②③． 18．（2026·山东青岛·一模）抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②； ③对于任意实数t，总有不等式； ④若方程的两个根为，，则． 其中正确的是________（只写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】根据图象判断①，对称轴和特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的顶点是， ∴对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴；故①正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 则当时，， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下，顶点是， ∴当时，函数有最大值为， ∴对于任意实数t，总有不等式；故③错误； ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，与x轴的另一个交点在点和之间， ∴方程的两个根在和之间， ∴．故④正确； 综上：正确的是①④． 19．（2026·辽宁沈阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 【答案】②③ 【分析】由对称轴得，，当时，，可判断结论①；由时，，得，可判断结论②；由方程转换为，转换为判断函数与函数的交点个数，可判断结论③；由函数图象和性质，判断结论④． 【详解】解：∵其对称轴为：， 即，得， ∴当时，， 即，故结论①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故结论②正确； 方程转换为， 则方程解的个数即为函数与函数的交点个数， 由图判断函数与函数必有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数解，故结论③正确； 若， 即， 故当时，函数值大于时的函数值， 根据对称轴为， ∴的对称点为， 要求时，函数值大于时的函数值， 即，故结论④错误； 综上，正确的结论为②③． 20．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用到对称轴的距离进行判定求解；⑤当时，取得最大值求解． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， ∵对称轴为直线， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵对称轴为直线， ，即， ∴，故结论②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即，故结论③正确； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴到对称轴的距离分别为， ∴，故结论④错误． ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故⑤错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 21．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③④⑤ 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， 抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②正确； ③ 设抛物线的交点式为，展开得， 当时，，即， ， ， 不等式三边同除以，不等号方向改变，得，故③正确； ④ 是时的函数值， ，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④正确； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 押题猜想十六 二次函数实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 22．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）【综合与实践】某汽车研发中心对一款新型轿车的制动性能进行紧急刹车测试，数学兴趣小组记录了相关数据． 【知识背景】行驶中的汽车在刹车后由于惯性作用，还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．在匀减速直线运动模型中，刹车距离与刹车时间成二次函数关系． 【探究发现】小组记录了该汽车在某一恒定速度下，紧急刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）的一组数据如下表： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 21 36 发现： ①开始刹车后行驶的距离与时间之间满足二次函数关系； ②刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止； ③该汽车刹车前的行驶速度保持不变． 【问题解决】 (1)求关于的函数解析式； (2)求该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是多少米？ (3)若汽车司机发现正前方处有一障碍物，从发现情况到刹车需要的反应时间（反应时间内汽车仍以的速度匀速行驶）．请问该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】(1) (2)48米 (3)该车在不变道的情况下不会撞到障碍物，理由见解析 【分析】（1）将点代入即可得函数解析式，再利用增减性求出的取值范围即可； （2）求出这个二次函数的最大值即可； （3）求出从发现情况到汽车完全停止，汽车行驶的距离，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：将点代入函数得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 将二次函数化成顶点式为， ∴当时，随的增大而增大， ∵刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止， ∴关于的函数解析式为． （2）解：∵对于二次函数，当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为48， ∴该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是48米． （3）解：该车在不变道的情况下不会撞到障碍物，理由如下： 从发现情况到汽车完全停止，汽车行驶的距离为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，二次函数实际应用多以解答题（21-22题）形式呈现，分值10分，常结合实际情境（利润问题、最大高度、射程问题）考查函数建模、解析式求解、最值计算，贴合武汉中考情境化、去套路化的命题趋势，近五年每年均有考查，难度适中，是学生中档题拿分的重点，2026年将强化情境的真实性和实用性。 终极猜想·精练通关 23．（2026·陕西西安·三模）打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； (2)为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 【答案】(1) (2)不在观赏区安全范围内 【分析】（1）利用顶点式设抛物线方程，代入已知点求出系数； （2）根据平移规律写出新抛物线方程，求出落地点后，算出安全区域距离，与比较即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点的坐标为， 则抛物线的对称轴为，顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入可得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：据（1）可知抛物线的函数表达式为， 根据题意，在升降台上击打铁水形成的抛物线表达式为， 当，则，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故与表演台中心的水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 24．（2026·山西晋中·一模）综合与实践 问题情境：为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质蔬菜品种，助推村民增收致富．小颖的父母准备响应号召种植蔬菜，小颖想利用所学知识为父母找到该蔬菜的最佳上市时间，实现收益最大化． 实践操作：小颖利用假期对往年该蔬菜的市场行情和生产情况进行了调查，希望能对今年该蔬菜的最佳上市时间进行一个预测．她统计了去年当地该蔬菜种植期间（3月-9月）每千克的售价、成本价与销售时间的关系数据如下，并发现它们的关系满足我们学过的函数关系． 销售时间（）（月份） 3 4 5 6 7 8 9 售价（）（元/） 5 3 1 成本价（元/） 4 1 4 问题解决：根据上述信息，帮助小颖解决下列问题： (1)去年该蔬菜的售价（元/kg）是销售时间x（月份）的_______函数，去年该蔬菜的成本价（元/kg）是销售时间（月份）的________函数（选填“一次”或“反比例”或“二次”）； (2)求与的函数表达式； (3)去年哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本价）最大？每千克的最大收益是多少元？ 【答案】(1)一次，二次 (2)（，且为整数） (3)去年5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，每千克的最大收益是元 【分析】（1）直接根据一次函数、二次函数的意义即可解答； （2）由表格可知，顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）先利用待定系数法求得与的函数表达式为（，且为整数）；再结合（2）可得，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵销售时间每增加1个月，蔬菜的售价（元/）减少， ∴去年该蔬菜的售价（元/）是销售时间x（月份）的符合一次函数； ∵当时，函数有最小值1，另外数据具有对称性， ∴去年该蔬菜的成本价（元/）是销售时间（月份）的二次函数． （2）解：由表格可知，顶点坐标为， 设与的函数表达式为 ．     将，代入表达式可得：解得． 与的函数表达式为（，且为整数） （3）解：设与的函数表达式为， 由题意可知，当时，；当时，， ，解得 与的函数表达式为（，且为整数）； 设每千克的收益为元． 则， ，且为整数，， 当时，． 去年5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，每千克的最大收益是元． 25．（2026·四川成都·二模）某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息： 信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人； 信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元； 信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车辆，则每辆甲型车的租金减少元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题： (1)甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？ (2)设租用甲型车辆，租车总费用为元，求与之间的函数表达式，当时，求出本次研学活动学校的最少租车费用． 【答案】(1) 甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人 (2) 函数表达式为（且为整数），最少租车费用为14400元 【分析】（1）根据题干给出的两种载客情况设未知数列方程组求解即可． （2）根据租车优惠规则表示出总费用，整理得到函数表达式，再根据二次函数的增减性，在给定区间内求出最小值即可． 【详解】（1）解：设甲型号观光车每辆载客人，乙型号观光车每辆载客人， 根据题意可得，解得， 答：甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人． （2）解：已知租用甲型车辆，则租用乙型车辆． 则租车总费用， 对于二次函数，其中， 所以函数图象开口向下，对称轴为． 因为对称轴，且在对称轴右侧，随的增大而减小， 所以当时，有最小值． 把代入可得（元）． 答：与之间的函数表达式为， 当时，本次研学活动学校的最少租车费用为元． 26．（2026·湖北咸宁·模拟预测）某手工饺子馆主打特色鲜肉饺子，日均销量：，售价：元，原料成本：肉馅30元，饺子皮5元． (1)若每千克饺子的原料成本为17.5元，求每千克饺子中肉馅和饺子皮的含量分别为多少千克？ (2)为进一步提升利润，饺子馆计划调整（1）问中求出的肉馅比例以优化口感．经市场调研发现：在售价不变的情况下，每千克饺子的肉馅含量每增加（同时饺子皮含量相应减少），单日销量可增加，为保障饺子成型度，每千克饺子中饺子皮的含量不得少于．请问当每千克饺子的肉馅含量增加多少千克时，单日销售利润最大（不计其它成本）？最大单日销售利润为多少元？ 【答案】(1) 每千克饺子中肉馅含量为，饺子皮含量为 (2) 当每千克饺子的肉馅含量增加时，单日销售利润最大，最大单日销售利润为元 【分析】（1）根据每千克饺子总重量为和原料总成本为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设每千克饺子的肉馅含量增加千克，单日销售利润为元，根据题意表示出单日总销量和每千克利润，得到总利润的二次函数表达式，结合自变量取值范围，利用二次函数性质求解最大值即可； 【详解】（1） 解：设每千克饺子中肉馅含量为千克，饺子皮含量为千克， 根据题意列方程组得， 解得， 答：每千克饺子中肉馅含量为，饺子皮含量为； （2）解：设每千克饺子的肉馅含量增加千克，单日销售利润为元， 由题意得，饺子皮含量为千克，单日总销量为千克， 每千克饺子的成本为，每千克利润为元， 根据饺子皮含量要求得， 解得， 结合实际得， 总利润，整理得， ，二次函数开口向下，对称轴为， 又，对称轴在自变量取值范围右侧， 当时，取得最大值，代入计算得， 答：当每千克饺子的肉馅含量增加时，单日销售利润最大，最大单日销售利润为元． 27．（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)①315（元）；②400（元） (3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润单升利润自制产量”，即可求解；②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润单升利润市场需求量未卖出的成本”，即可求解； （3）设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为， 由题意得，，解得， ∴； （2）解：①当时，，， ∵，∴基底原液可全部卖完， 奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）； ②当时，，， ∵，∴基底原液无法卖完． 奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）． （3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则， ∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当每天的产量大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则 ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，（元）， ∵ ∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元． 28．（2026·河南周口·二模）消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了一次消防演练．如图，O，A为某建筑物墙面上的两点，为水平地面，建立平面直角坐标系，水枪喷口位于点B处时，水流恰好到达着火点A处．消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，已知点A的高度米． (1)求a的值． (2)求点B到墙面的距离． (3)将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A点正上方2米，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)点B到墙面的距离为12米 (3) 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）令，进行求解即可； （3）求出时的的值，根据平移规则，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，， 把代入，得， 解得； （2）解：由①知：， ∴当时，解得， ∴， ∴，即点B到墙面的距离为12米； （3）解：由题意，当时， 解得， ∵将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A点正上方2米， ∴． 29．（2026·山西忻州·一模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似地看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点时，最高点P到地面的距离为．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． 【答案】(1) (2)①；②最低身高的最大值为，最高身高的最大值为 (3)第2位 【分析】（1）由题可知点，，设该抛物线对应的函数解析式为，将点代入，求出，即可解答； （2）①由题意，从左向右数第5位同学所站位置为，即可解答； ②把与分别代入，求出相应的y值，即可解答； （3）设10米场绳子所在抛物线解析式为，求出10米场绳子所在抛物线解析式为，推导出绳子高度满足 ，得到，解得，继而根据10米场14人对称站立，中点不站人，站位横坐标依次为：，即可解答． 【详解】（1）解：由题可知点，． 由题可知P为抛物线的顶点，故可设该抛物线对应的函数解析式为． 将点代入，得． 解得． ∴该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：①由题意，从左向右数第5位同学所站位置为， ∴点M的坐标为； ②∵， ∴把代入，得， 则． ∵最低身高不高于， ∴8米场参赛选手最低身高的最大值为． 把代入，得， 则． ∵最高身高不高于， ∴8米场参赛选手最高身高的最大值为． （3）解：由题意，设10米场绳子所在抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ∴10米场绳子所在抛物线解析式为， 由题意，得， ∴绳子高度满足 ， 代入解析式得， 移项整理， 解得， 10米场14人对称站立，中点不站人，站位横坐标依次为： 满足条件且最靠左的位置为第2位． 30．（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据题意得到，，再设出顶点式，代入求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据对称性可得，，则，再把代入抛物线表达式求解即可； （3）根据矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离求出对应的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矿洞横截面是轴对称图形，，点E到的距离为， ∴顶点， 设抛物线L的表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线L的表达式为； （2）解：设正方形的边长为，则， 根据对称性可得，， ∴， 将点代入得，， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为，即架骨的长为； （3）解：∵矿车距离上方预留的安全距离， ∴把代入， 则， 解得（舍去）， ∴此时， ∵两侧支撑架需预留的安全距离， ∴此时， ∴为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行，． 押题猜想十七 二次函数综（大题压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 31．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)将图中的抛物线轴左侧（含轴）部分图象沿轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分图象组成新的图象，如图，请直接写出抛物线的函数解析式； (3)点在图象上，其横坐标为． ①当的面积等于6时，求的值． ②点在图象上，其横坐标为，当图象在、两点之间的部分（含、两个端点）所对应的函数的最大值与最小值不随的值变化而变化，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①的值为或0或2或；②的取值范围是或 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线即可解答； （2）根据图象沿轴翻折时得到的函数值与原函数值互为相反数，从而得到当时的解析式，结合当时与原抛物线解析式相同，即可解答； （3）①分和两种情况讨论，先根据解析式表示出点P的纵坐标，然后表示出的面积，得到关于m的方程，解方程即可； ②设的顶点为D，交y轴于点M，过点D作轴，交图象G于点E，过点M作轴，交图象G于点F，求得的坐标，然后根据当点P在上时，点Q要在上，或者当点Q在上时，点P要在上，满足题意，据此列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意把代入抛物线，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，图象与的图象关于x轴对称， ∴， 当时，， ∴抛物线G的函数解析式为； （3）解：①（i）当时，此时点P的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，解得或（，舍去）， 当时，解得或（，舍去）， （ii）当时，此时点P的纵坐标为， ∴， ∴， ∴当时，解得或（，舍去）， 当时，解得或（，舍去）， 综上，当的面积等于6时，的值为或0或2或； ②如图，设的顶点为D，交y轴于点M，过点D作轴，交图象G于点E，过点M作轴，交图象G于点F， ∵，令的，则， ∴，， ∴点E的纵坐标为4，点F的纵坐标为， ∴当时，解得或（舍去），即， 当时，解得或（舍去），即， ∵图象在、两点之间的部分（含、两个端点）所对应的函数的最大值与最小值不随的值变化而变化， ∴当点P在上时，点Q要在上，或者当点Q在上时，点P要在上，满足题意， ∴当点P在上，点Q在上时， 则， 解得； 当点Q在上，点P在上时， 则， 解得； 综上，的取值范围是或． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，二次函数综合大题是核心压轴题（第24题），分值12分，多结合几何图形（三角形、四边形）、几何变换（平移、旋转）考查解析式求解、最值问题、存在性问题（等腰三角形、直角三角形、平行四边形），题型为多问递进，对学生的综合分析、分类讨论、建模能力要求极高，近五年每年均作为压轴题呈现，2026年将延续这一难度和考法，可能融入跨学科情境。 终极猜想·精练通关 32．（2026·重庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点，且轴于点，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新抛物线的对称轴对称，过点作轴于点，作点为新抛物线上一点，连接，，，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线表达式为； (2)，有最小值为； (3)的横坐标为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）过点作轴交直线于点，则有，所以，由（）得抛物线表达式为，然后求出直线解析式为，令，再求出的横坐标为，则，则，然后通过二次函数的性质可得取得最大值，此时，作点关于轴对称的点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，，则，然后证明四边形是平行四边形，所以，故，则当三点共线时有最小值，为的值，即有最小值为，然后通过两点间的距离公式即可求解； （）由抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，则有抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，则平移后新抛物线，然后求出，所以，则，，同理可得：，，然后分如图，点在轴左侧时，过作轴于点，通过三角形内角和定理可得，又，所以，则，所以，设，则，然后解方程并检验即可；如图，点在轴右侧时，同理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：过点作轴交直线于点， ∴， ∴， 由（）得抛物线表达式为， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令， ∴，解得：，即的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，当，取得最大值， ∴， ∴， 如图，作点关于轴对称的点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时有最小值，为的值，即有最小值为，如图， ∴， ∴有最小值为； （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位， 由， ∴平移后新抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点与点关于新抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， 如图，点在轴左侧时，过作轴于点， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，解得：（舍去）或， ∴的横坐标为； 如图，点在轴右侧时，过作轴于点， 同上理可得， ∴， ∴， 设， ∴，解得：或（舍去）， ∴的横坐标为； 综上可得：的横坐标为或． 33．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，将矩形绕点逆时针旋转90度得到矩形，点的横坐标为，设过两点的抛物线为．    (1)直接写出点坐标：，并用含的代数式表示点纵坐标：； (2)求点的坐标，并用含，的代数式表示； (3)如图2，当时，把点向上平移4个单位长度得到点，连接，若此时抛物线与线段只有唯一的公共点，求的取值范围； (4)当抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点随着点向右移动而向上移动时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或 (4) 【分析】（1）由旋转的性质得到，结合已知即可求解； （2）由旋转的性质结合矩形的性质即可解答； （3）先求出线段所在直线的解析式，联立，结合图象，分两种情况讨论即可； （4）根据抛物线的解析式得到顶点坐标是，结合已知条件求得，由抛物线的性质知即可求得t的取值范围． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，点在轴负半轴上， ∵， ∴， ∴； ∵，点的横坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵矩形，， ∴轴， 由旋转的性质得， 由（1）知， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； （3）解：由（1）知，由（2）知抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的解析式为， 把点向上平移4个单位长度得到点，则， 设线段所在直线的解析式为，则，解得， ∴线段所在直线的解析式为， 联立，则， ∴，即 ∴， ∵抛物线与线段只有唯一的公共点， ∴或， 当时，则，即恒成立； 当时，则，解得； 综上，的取值范围为或； （4）解：由（2）抛物线为， ∵抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴， ∴，解得， ∴顶点坐标为：，即， 令， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， 当时，随的增大而增大， ∵顶点随着点向右移动而向上移动，即随的增大，增大， ∴， ∵， ∴t的取值范围为． 34．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 35．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点K的坐标为或 【分析】（1）把A，B坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，，如图1，设直线交直线于点D，根据，可知点P与点D的纵坐标相等，则，计算的长，计算，连接，作关于y轴的对称点，连接，当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是的长，即可解答； （3）先求平移后抛物线解析式，再求抛物线与轴的交点坐标，可得的长，求出，当点K在x轴的上方，设，则，得，解方程求出的值，即可得点K的坐标；同理可求当点K在x轴的下方时点K的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴是：直线， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图1，设直线交直线于点D，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，点P与点D的纵坐标相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，有最大值，此时点P的坐标为， 把点P的坐标为向下平移个单位得， 连接，作关于y轴的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是； （3）解：， ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：或 设点为函数与轴正半轴的交点， ∴， 分两种情况： ①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得或（此时与点重合，不合题意，舍去） ∴, ∴ ②点K在x轴的下方时，同理可得，， ∴， 综上，点K的坐标为或． 36．（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可； （2）分两种情况：当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，，结合点，可知点D的纵坐标是，再代入函数关系式得出答案； （3）①根据点可得答案； ②当点H，M重合时，求出． 再分两种情况：当点M在点H下方时，当时，矩形内没有函数y的图象；当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，可得取值范围； 当点M在点H上方时，有两种可能：当时，此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大；当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，综合以上情况可得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （3）解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 37．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 38．（2026·安徽·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，过点作交轴于点，与抛物线的另一交点为． （i）求点的坐标； （ii）点为直线下方抛物线上一动点，直线交轴于点，设点的横坐标为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令可求，求出点，由可求点，运用待定系数法可求出函数解析式； （2）（i）设直线的解析式为，运用待定系数法求出的函数表达式为，直线的函数表达式为，把代入解析式求出，得直线的函数表达式为，联立方程组，求出方程组的解即可得出点的坐标是： （ii）设直线的函数表达式为，代入，，得，求出，，可得．根据三角形面积公式得，运用二次函数性质可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ， 由图象可知点B在点A的右侧， 点， 把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：（i）设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的函数表达式为， 点在直线上． ，解得 直线的函数表达式为， 令，解得， 当时，． 点的坐标是： （ii）点为直线下方抛物线上一动点， 设且． 设直线的函数表达式为 把，代入直线的函数表达式得： ． 得，， ， ， 对于直线，当时，， ∴， ． ． 当时，面积的最大值为． 39．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，当时，．P是抛物线上一个动点（不与点A，B，C重合），其横坐标为t，连接AC，BC． (1)如图①，求抛物线的解析式； (2)如图②，点P在直线上方时，连接与交于点Q． ①若，则t的值为______； ②求的最大值； (3)当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①2；②最大值 (3)或 【分析】（1）先根据当时，，得出抛物线与x轴的两个交点坐标为，，然后代入求出抛物线的解析式即可； （2）①过点Q作于点D，根据，得出，证明，得出，求出，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出点P的坐标为，即可得出答案； ②过点P作轴，交于点M，过点A作轴，交的延长线于点N，证明，得出，求出直线的解析式为，求出，，得出，根据二次函数的性质，求出最值即可； （3）当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，， 把，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①过点Q作于点D，如图所示： 则， 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴此时点P的坐标为，即； ②过点P作轴，交于点M，过点A作轴，交的延长线于点N，如图所示： 则， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最大，且最大值为； （3）解：∵，， ∴， 当在下方时，过点A作于点D，过点D作轴于点E，过点C作，交的延长线于点F，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴设，则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴此时点P的坐标为； 当在上方时，取点关于y轴的对称点，过点作于点D，过点D作轴于点E，过点C作，交的延长线于点F，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据轴对称可得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴设，则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 40．（2026·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C，作直线BC，抛物线顶点为点 (1)点C的坐标为 ，则直线的解析式为 ； (2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； (3)平移直线得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数． ②如图3，把抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新图象，当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)点N的坐标为 (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）点N为直线与直线的交点时，最小，利用待定系数法求得直线解析式，据此求解即可； （3）①如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，利用解直角三角形求得、，再利用三角形外角的性质即可求解； ②由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立方程得，利用根的判别式求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C， ∴， 设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为． （2）解：由（1）得对称轴为直线， 、两点关于直线对称， ∴点N为直线与直线的交点时，最小， ∵直线解析式为， 当时，， ∴点N的坐标为； （3）解：①直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 把点M的坐标代入得，解得 ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 如图2，过点E作于F，过点M作轴于H， 则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即； ②∵， 把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图，    则翻折后的图象的解析式为， ∵直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 联立方程得， 整理得：， 当直线平移后与抛物线只有一个交点时， ， 解得：， 当直线平移后经过点时，，解得：， ∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或． 41．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与抛物线在x轴上方交于点P． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接与相交于点E，连接，记的面积为，的面积为，且，求k的值； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为F，射线与射线相交于点Q，于H．若在线段上总存在一点G，使的面积是面积的2倍，当k的值最大时，连结，过点G分别作的垂线，垂足分别为M，N，连接，求此时线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出直线经过的定点，再由待定系数法求解抛物线表达式； （2）过分别作轴的平行线交直线分别于点，可得，那么，再由得到，然后设，则，即可求解； （3）先求出，直线，则，过点作交轴于点，求出，则直线，再求解直线，设，过点作轴交于点，根据的面积是面积的2倍，得到，解得，而点G在线段上，故，解得，那么的最大值为，此时，，此时点重合，过点作轴于点，过点作轴于点，通过解直角三角形求解点坐标，最后由两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，不论取何值，始终成立， 解得 ∴直线经过点 将点，，代入 则 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：过分别作轴的平行线交直线分别于点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 设，则， ∴ 把代入得， ∴ ∴， 解得， ∴或， 当点时，代入，则，解得 当点时，代入，则，解得， ∴或； （3）解：联立直线和抛物线 则 解得或 ∴ 同（2）可求直线 ∵轴， ∴把代入得， ∴ 过点作交轴于点， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴， 同理可求直线， ∵ ∴， ∴， 设直线 代入，则 解得 ∴直线 设，过点作轴交于点， ∴， ∴ ∵， 又∵的面积是面积的2倍 ∴， 解得， ∵点G在线段上， ∴ 整理得 令，当时，根据二次函数与不等式的关系可求； 令，当时，根据二次函数与不等式的关系可求或， ∴综上： ∴的最大值为， ∴此时， ∴此时点重合，过点作轴于点，过点作轴于点 ∴， ∴，， ∴， ， ∵过点G分别作的垂线，垂足分别为M，N， ∴， ∴，， ∴ ∴， 而， ∴ ∴ ∴． 42．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线：经过，两点． (1)求点的坐标和，的值； (2)已知点是抛物线上一点，过点作直线，与抛物线在第一象限内交于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 如图，当点与点重合时，求的值； 如图，当点是的中点时，连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，的值为，的值为； (2)的值为；四边形是菱形，理由见解析． 【分析】（）先求出，，，然后利用待定系数法即可求解； （）如图，分别过点作轴，交于点，过作轴，交于点，求出，直线解析式为，当时，，则，所以，当时，，则，所以，证明，所以，故的值为； 设横坐标为，横坐标为，则，，如图，分别过点作轴，交于点，过作轴，交于点，证明，所以，由得直线解析式为，故有，，则，，得，整理得，从而有，即的横坐标为，则点也是中点，所以，从而证明四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形． 【详解】（1）解：由抛物线：可得，当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， ∵抛物线：经过，两点， ∴，解得：， 综上可得：点的坐标为，的值为，的值为； （2）解：如图，分别过点作轴，交于点，过作轴，交于点， 则， ∵直线过， ∴，解得：， ∴直线， 由（）得， ∴抛物线：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为； 四边形是菱形，理由如下： 设横坐标为，横坐标为，则，， 如图，分别过点作轴，交于点，过作轴，交于点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由得直线解析式为， ∴，， ∴，， ∴，整理得， ∵， ∴，即的横坐标为， ∵，， ∴中点坐标为， ∴点也是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵直线解析式为，直线解析式为，， ∴， ∴四边形是菱形． 43．（2026·湖南衡阳·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点，连接，，是此二次函数图象上的两个动点，且，连接，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接，．若，，且，求此时的值； (3)如图，延长，交于点．若，，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】 （1）根据待定系数法求抛物线的解析式，即可求解； （2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，分别过点，作轴的平行线交直线于点，，则，．求出，，根据列出方程，求出或，结合题意，即可求解； （3）求出直线和直线的解析式，根据点是，的延长线的交点列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， 故将，代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：将代入到中，得， 即点的坐标为． 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的表达式为：． 如图，分别过点，作轴的平行线交直线于点，， 则，． ∵点，在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ． ∵，， 即， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得或． 当时，点与点重合，此时不存在，故舍去； 根据题意可得，，， ∴． 当时，， 故． （3）证明：设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为． 同理可得直线的表达式为． ∵点是，的延长线的交点， ∴，且， 解得， ∴点在定直线上． 44．（2026·湖北·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上位于第一象限的一点，过点P作x轴的垂线，交于点G，交x轴于点H，连接，设点P的横坐标为m，线段的长度为d， ①求d关于m的函数关系式； ②若为直角三角形，求m的值； ③如图3，点Q是抛物线上位于第四象限的一点，，分别与y轴交于点D和点E，，则直线恒经过一定点．设点Q的横坐标为n，请直接写出m，n的数量关系及该定点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线BC的解析式为 (2)；或；m，n的数量关系为：，定点坐标为 【分析】（1）根据求出点、坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线的解析式； （2）①设，则，利用求解即可； ②根据题意易得到，若为直角三角形，则分情况讨论：当时，，据此列出方程，解方程即可；当时，，过C作，根据直角三角形斜边中线的性质得到，据此列出方程，解方程即可； ③设，，求出点坐标，利用待定系数法求出直线、的表达式，进而求出、，根据得到、的数量关系，利用待定系数法求出直线的表达式，将代入直线的表达式，从而求出定点坐标． 【详解】（1）解：， ，， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：①根据题意，设，则， ； ②、， ， 轴， ， ， ， 若为直角三角形，则分情况讨论： 当时，则 ， 即， 解得：或（舍去）， 当时，则， ， 如图，过C作， 则， 即， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； ③m，n的数量关系为：，定点坐标为， 设，， 令得：， 解得：或， ， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： 则：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为 当时，， 定点坐标为， 综上所述，m，n的数量关系为：，定点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数、一次函数的图象性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 45．（2026·贵州铜仁·模拟预测）为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． (1)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； (2)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； (3)为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为的范围内时，抛物线的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴和先根据抛物线对称轴公式求出，再把点代入抛物线解析式求出即可； （2）先确定点B和点C的坐标，得出是等腰直角三角形，，当，存在两种情况：点在点的上方， ，点在点的下方， ，据此求出即可， （3）根据对称轴与取值范围的相对位置确定函数最大值的对应的取值，由此即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线， ∴，解得． 又∵抛物线经过点， ∴，解得． 故这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式为． （2）解：当时，即，解得或．故点B的坐标为． 当时，，故点C的坐标为． 设坐标为． 在中， ，，， ∴是等腰直角三角形，． 当，存在两种情况： ①点在点的上方，如图： 此时． 在中，，即，解得． 此时点坐标为． 线段． ②点在点的下方， 如图： 此时． 在中，．即，解得． 此时点坐标为， 线段． 综上所述，线段的长度为或． （3）解：抛物线解析式为，化为顶点式为．抛物线开口向下，顶点坐标为． 根据对称轴的位置不同，函数最大值取值有三种不同情况： 情况一：当时，即，此时函数在范围内，随增大而增大，最大值在处取得， ∴， 整理得，解得．因为，所以． 情况二：当时，即，此时函数的最大值为顶点的纵坐标．． 则，解得．此解不满足的条件，故舍去． 情况三：当时，此时函数在范围内，随增大而减小，最大值在处取得． ∴． 整理得，解得．因为，所以． 综上所述，的值为或． 46．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知图象P对应的解析式（其中m为常数），且P经过点． (1)求P的解析式（整理为y关于x的函数形式，并写出自变量x的取值范围）； (2)如图，记点，，动点Q在P上，若以A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，且，求所有满足题意的Q点坐标； (3)设S是直线上一点，过S分别作直线、交P于点、与点、（四个点互不重合），试探究：在点S和两条直线变化的过程中，是否存在？若存在，求出直线与直线的斜率和；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）代入点到P的解析式，求出的值，再将解析式整理为y关于x的函数形式，结合算术平方根的非负性即可写出自变量x的取值范围； （2）设点Q的坐标为，其中，分两种情况讨论：①当时，过点作轴的垂线交于点，通过证明，得到，进而列出关于的方程，求出的值即可得到一个Q点坐标；②当时，过点作轴的垂线交于点，通过证明，得到，进而列出关于的方程，求出的值即可得到另一个Q点坐标； （3）设点S的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为，联立直线与图象P的解析式，整理可得，设点，，利用韦达定理以及一次函数的性质可得，，，，进而得出；设直线的解析式为，同理可得，再根据列出方程，解得或或，再分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：代入点到，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴P的解析式为； （2）解：设点Q的坐标为，其中， ①当时，如图1，过点作轴的垂线交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； ②当时，如图2，过点作轴的垂线交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或； （3）解：不存在，理由如下： 设点S的坐标为，直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 消去整理得：， 设点，， 则，，，， ∴， ， ∴ ， 设直线的解析式为， 同理可得：， ∵， ∴， 即， 解得或或， 当时，点恰好在图象P上，此时点、、、至少有两个点重合，不符合题意； 当时，直线与重合，此时点、与点、重合，不符合题意； 当时，不妨假设，， ∴直线中随着的增大而减小， ∵图象P：， ∴图象P中随着的增大而增大， ∴直线与图象P最多有1个交点，不符合题意； 综上，在点S和两条直线变化的过程中，不存在． 押题猜想十八 分式方程 试题前瞻·能力先查 限时：1min 1．（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 【答案】 【分析】先将原分式方程化为整式方程，再根据增根求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， ∵原分式方程无解 ∴， 解得， ∴， 解得：． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，分式方程多以选填基础题或解答题形式呈现，分值3-8分，侧重考查分式方程的解法、检验，偶尔结合实际应用考查建模能力，命题强调解题步骤的规范性，规避复杂分母变形，近五年每年均有考查，是方程与不等式板块的基础考点，2026年将延续基础考法，强化检验步骤的考查。 终极猜想·精练通关 2．（2026·北京东城·一模）方程的解为______． 【答案】 / 【详解】解： 方程两边同乘以最简公分母得， 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，当时，， 所以是原方程的解． 3．（2026·山东临沂·二模）分式方程的解为____________． 【答案】 【分析】先去分母将其转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根是否满足原分式方程，即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 4．（2026·四川成都·一模）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 5．（2026·山东东营·一模）若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 6．（2026·宁夏银川·一模）关于的方程无解，则的值为___________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解确定整式方程的解为增根，代入增根即可求出参数的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 原分式方程无解， ∴是原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入得， 解得． 7．（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 【答案】且 【分析】先解分式方程得到用表示的结果，再根据解为非负数得到，结合分式方程分母不为零得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边同乘，得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不能为， ∴， 解得且． 押题猜想十九 解直角三角形及其应用 试题前瞻·能力先查 限时：1min 8．（2026·湖北武汉·一模）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）． 【答案】 【分析】先得出时，安全攀上墙的高度最高，再利用角的正弦函数求解即可． 【详解】解：∵要使用这个梯子安全攀上墙的高度最高， ∴应尽可能大， ∵， ∴当时，安全攀上墙的高度最高， ∵梯子长， ∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，解直角三角形及其应用是高频核心考点，多以选填中档题或解答题形式呈现，常结合武汉本土场景（桥梁测量、地形测绘、建筑高度）或跨学科情境考查，侧重锐角三角函数的应用、坡度、仰俯角问题，近五年每年均有考查，难度适中，是情境化命题的重点，2026年将延续本土情境考法。 终极猜想·精练通关 9．（2026·辽宁葫芦岛·一模）春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线长，风筝线与地面夹角，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离为__________．（结果精确到，参考数据：） 【答案】31 【分析】直接根据进行计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴． 10．（2026·江苏南通·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度，小明依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A，B，Q在同一水平线上，与相交于点．测得，，，则树高____． 【答案】 3 【分析】根据，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴. 11．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，港口在观测站的正东方向千米处，某船从港口出发，沿北偏东方向匀速航行小时后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的速度是______千米/小时．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于，根据方向角的定义及三角形内角和定理可得出，，根据含角的直角三角形的性质得出千米，利用的正弦函数可求出千米，进而可求出该船航行的速度． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知，，，千米， ∴，， ∴， ∵千米， ∴（千米）， ∴， ∴该船航行的速度是（千米/小时）． 12．（2026·辽宁营口·一模）某河堤横断面如图所示，堤高米，斜面坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，则长为__________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】直接根据坡度的定义列式解答即可． 【详解】解：∵斜面坡度为，米， ∴，即， ∴米． 13．（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 【答案】31 【详解】解：如图，过点C作于点，则，，， ∴, ∴（米）． 14．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，某科技小组用无人机测量湖泊两端，的距离，他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】过点C作，垂足为D，根据题意可得：，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为D， 由题意得：， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴湖泊两端A，B的距离为． 15．（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 【答案】 【分析】作于点，于点，求得，得到，，设，解直角三角形求得，由，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 解得， ∴树的高度是． 16．（2026·安徽合肥·一模）如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为，小汽车车门的长度为，当车门打开的角度（即）为时，车门边缘的点处与墙的距离为______． 【答案】 【分析】过点作交于点，延长交于点，根据锐角三角函数的定义求出，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，延长交于点，如图： 根据题意可得，，， 在中，， 故． 即车门边缘的点处与墙的距离为． 押题猜想二十 无刻度作图 试题前瞻·能力先查 限时：10min 17．（2026·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，都是格点，是上一点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过五条． (1)在图（）中，先将绕点逆时针旋转得到线段，画线段；再在上画点，使最小． (2)在图（）中，先将平移得到线段，画线段；再在上画点，使． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）利用旋转变换的性质作出点的对应点，连接即可，取格点，，，连接，交于点，连接交于点，连接，点即为所求； （）利用平移变换的性质作出点的对应点即可，连接，取，的中点，，连接，与交于点，连接，延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图（），线段，点即为所求； （2）解：如图（），线段，点即为所求． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，无刻度作图是武汉中考特色题型，多以解答题形式呈现，分值6分，侧重考查格点作图、旋转、轴对称、角平分线、垂直平分线的作图，结合几何推理说明作图依据，命题贴合武汉中考“几何直观与推理结合”的特点，近五年每年均有考查，是本土特色核心考点，2026年将延续这一特色考法。 终极猜想·精练通关 18．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格内完成下列两个问题，每个问题的画线不得超过三条． (1)在图①中，先将线段绕点C逆时针旋转得到线段； (2)在图①中，在上画一点E，使得； (3)在图②中，先画点B关于的对称点F； (4)在图②中，在上画点G，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）利用格点进行旋转即可； （2）主要是构造的中位线，取与网格的交点，与网格的交点，连接，与的交点即为点E． （3）主要的思路是连接，通过格点三角形构造，再利用直角三角形斜边中线的性质可知构造即可，简化步骤为分别连接格点、和格点、，与的交点即为点． （4）主要思路是同（3）构造点C关于的对称点G，多补两行，同（3）的思想构造出，由此可知、、共线，则只需连接格点、，延长即可找到点，简化步骤为分别连接格点、，延长交格线于点，连接，与的交点为，连接，点G即为所求． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图，取与网格的交点，与网格的交点，连接，与的交点即为点E． 理由：由平行线分线段成比例可得，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，分别连接格点、和格点、，与的交点即为点， 理由：如下图，连接，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设小方格边长为1，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由图可知、、共线，且， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，即点F是B关于的对称点； （4）解：如图，分别连接格点、，延长交格线于点，连接，与的交点为，连接，点G即为所求． 理由：如下图，连接，，， 由图可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， 设小方格边长为1，由图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由图可知点、、共线，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每一个问题的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，为边上一点，先画，再画直线交于点，使直线平分的周长； (2)在图（2）中，先画的高；再在上画点，使线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，结合，，可得，结合平行四边形的对角线的交点的性质，连接，并延长交于，则可得，可得直线即为所求； （2）如图，取格点，连接交于，结合全等三角形的性质可得，取格点，，且，连接，分别交于，连接，利用勾股定理逆定理证明，则，，可得，利用勾股定理证明，结合垂直与面积可得，可得． 【详解】（1）解：如图，，直线即为所求． （2）解：如图，即为所求 【点睛】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，熟练的作图是解本题的关键． 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，E是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题； (1)如图1，过点作，使；在上确定点，使； (2)如图2，过点作于；过点作且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是格点作图题、全等三角形的判定与性质及正切的定义， （1）取格点，连接，根据，可证，则，可得，则；取中点，连接交于点H，则； （2）取格点G，连接交格线于点O，连接并延长交于点T，则四边形是矩形，得出；取格点N，连接并延长交格线于点P，连接，可得，，则，所以，同（1）得，则； 【详解】（1）解：如下图即为所求作： （2）解：如下图即为所求作： 21．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点：仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条． (1)如图1，在线段的上方找格点D，使点A绕点D旋转后与点C重合，再画直线交于点E，连接，使； (2)如图2，先画点B关于直线的对称点M，再画射线交于点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）使点A绕点D旋转后与点C重合，则，如图，取格点，再取格点，使得，则是的垂直平分线，连接，延长交于点，，所以； （2）利用平移的性质得到，取格点，连接并延长交于点，利用平移的性质得到交于点，此时四边形是平行四边形，连接并延长交于点N，则． 【详解】（1）解：如图1，即为所求； ； （2）解：如图2，即为所求． ． 22．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，图中和都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务不超过3步． (1)在图1中，是格点，过点作的垂线交于；在上画点，使； (2)在图2中，是格线上的点，过点作；在上画点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点N，连接交于点D，即为所求；与格线交点G，连接； （2）如图，取与网格线的交点O，连接并延长至点E，交过点A的竖直网格线于点E，连接，连接一个小网格对角线，取网格中心点S，连接，交于F，连接．取矩形对角线交点，连接、、，在上取点P，连接、． 【详解】（1）解：如图，取格点N，连接交于点D， 由图可知，． ． ． ． ， ，即 点D即为所求； 与格线交点G，连接， 由图可知点G为中点， ， ． ． ． 点G即为所求． （2）解：如图，取与网格线的交点O，连接并延长至点E，交过点A的竖直网格线于点E，连接， ， ，． ， ． ． 在和中， ． ，． ． 如图，连接一个小网格对角线，取网格中心点S，连接，交于F，连接．取矩形对角线交点，连接、、，在上取点P， ，连接、， ，． 在和中 ． ． ， ． ， ． 在和中 . ． ， ． ， ． ． 23．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点是格点． (1)在图1中画：在上找一点D，使，再在上找一点E，使得； (2)在图2中画：在上找一点F，使； (3)在图3中画：在上找一点G，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取，，连接与的交点即为点，同理作，连接即可； （2）先利用格点作，且，再作，则，连接与的交点即为； （3）由，则，进而得到，再作点即可； 【详解】（1）解：如图所示， 取，，连接与的交点即为点， , ，即； 同理作， ， ， ； （2）解：如图， ， ，则， 又， ， ， 再连接与的交点即为； （3）解：如图， ， ，即， ， 先作，在如图格点上， ， ， ， 又 ， 故连接与的交点即为点． 24．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，也是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图任务，每个任务画线不超过四条 (1)将边绕点顺时针旋转得到线段； (2)在上取点，连接，使； (3)连并延长交于，交直线于，直接写出的值______； (4)在上取点，连接，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析， (4)作图见解析 【分析】（1）利用全等进行旋转作图即可； （2）由平行四边形的对角线相互平分作图即可； （3）设、与过点D的水平格线的交点分别为T、Y，由图可知点T在格点处，先利用平行线分线段成比例求出，，再求出，再证明，，，得出，，，利用比例的性质求解即可； （4）通过比例性质和三角形的面积先确定，再利用相似在上取一点，使，再利用任一点作已知格线平行线的方法作，交于点，即可得． 【详解】（1）解：如图所示，取格点，连接， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴线段即为所求； （2）解：如图所示，取格点，连接，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴线段即为所求； （3）解：如图所示， 设、与过点D的水平格线的交点分别为T、Y，由图可知点T在格点处， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （4）解：如图，取格点，连接，交于点X，连接，在上取格点，连接，交于点，连接并延长，交于点G，点G即为所求， 理由：如下图，连接，，延长至点，使，连接，，过点作于点J， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴． 押题猜想二十一 事件的判断 试题前瞻·能力先查 限时：30s 25．（2026·湖北武汉·一模）有两个事件，事件（1）：经过有交通信号灯的路口，遇见红灯；事件（2）：地球绕着太阳转．下列判断正确的是（   ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）是必然事件，（2）是随机事件 C．（1）（2）都是必然事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 【答案】D 【分析】根据定义分别判断两个事件的类型即可得到正确结果； 【详解】事件（1）中，经过有交通信号灯的路口，可能遇见红灯，也可能不遇见红灯，故事件（1）是随机事件； 事件（2）中，地球绕着太阳转是确定的自然规律，一定会发生，故事件（2）是必然事件． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，事件的判断（必然事件、随机事件、不可能事件）多以选填基础题形式呈现，分值3分，命题简单直观，结合生活实际情境考查，难度偏低，贴合基础保底的命题思路，2026年大概率回归考查，作为送分题呈现。 终极猜想·精练通关 26．（2026·湖北宜昌·一模）下列事件是不确定事件的是（  ） A．从只装有个白球的袋子中摸出一个球，是白球 B．打开电视，正在播放新闻 C．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 D．太阳从东边升起 【答案】B 【分析】根据相关事件的定义：一定条件下，一定发生的为必然事件；可能发生也可能不发生的为随机事件；一定不发生为不可能事件；必然事件和不可能事件均属于确定事件；据此判断即可． 【详解】解：、袋子中仅装有个白球，摸出白球必然发生，属于确定事件，不符合题意； 、打开电视时，播放内容不确定，可能播放新闻，也可能播放其他内容，可能发生也可能不发生，属于不确定事件，符合题意； 、抛掷硬币，受重力作用硬币终将落下，必然发生，属于确定事件，不符合题意； 、太阳从东边升起是必然发生的，属于确定事件，不符合题意． 27．（2026·江苏扬州·一模）“明年植树节下雨”这个事件是（   ） A．必然事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，根据不同事件的定义即可判断题干事件的类型. 【详解】在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件，一定不会发生的事件叫不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件. ∵“明年植树节下雨”可能发生，也可能不发生， ∴该事件属于随机事件. 28．（2026·广东珠海·二模）某气象台发布天气预报显示，明天某地下雨可能性是，则“明天某地下雨”这一事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【分析】必然事件是一定会发生的事件. 不可能事件是一定不会发生的事件. 随机事件是可能发生也可能不发生的事件. 确定性事件包含必然事件和不可能事件，根据概念即可判断该事件的类型. 【详解】解：∵明天某地下雨的可能性为，说明该事件可能发生，也可能不发生，既不是一定发生，也不是一定不发生. ∴“明天某地下雨”这一事件是随机事件. 29．（2026·河北沧州·模拟预测）“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（   ） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 【答案】B 【详解】解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件． 30．（2026·江苏无锡·模拟预测）下列事件中，确定事件为（   ） A．在北半球看，太阳从西边升起 B．未来三天会下雨 C．打开电视，正在播放广告 D．任意两个等腰三角形是相似三角形 【答案】A 【详解】解：A 、在北半球，太阳一定从东边升起，太阳从西边升起一定不会发生，属于不可能事件，是确定事件； B 、未来三天是否下雨无法确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件； C 、打开电视播放内容不确定，正在播放广告可能发生也可能不发生，属于随机事件； D 、任意两个等腰三角形可能相似也可能不相似，该事件是随机事件. 31．（2026·湖北黄石·一模）“在某平台上购买一张《飞驰人生3》的电影票，票上的座位号恰好是偶数”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定性事件 【答案】B 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断事件类型即可． 【详解】解：∵购买电影票时，座位号可能是偶数，也可能是奇数，该事件可能发生也可能不发生， ∴该事件属于随机事件． 押题猜想二十二 概率 试题前瞻·能力先查 限时：1min 32．（2026·湖北武汉·一模）美美和好好玩一种数字卡片的游戏，美美手持分别标有数字1，4，5的三张卡片，好好手持分别标有数字2，3，6的三张卡片．两人各随机出一张卡片，若美美出的卡片数字比好好大，美美胜，则美美获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画树状图求概率，理解题意，先画出树状图，求出所有等可能的结果总数，再找出美美获胜的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：依题意，画树状图： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中美美出的卡片数字比好好大的结果数有4种， ∴美美出的卡片数字比好好大的概率是． ∴ 美美获胜的概率. 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，概率多以选填中档题形式呈现，分值3分，侧重考查古典概型、列表法、树状图求概率，偶尔结合实际情境（游戏公平性）命题，难度适中，近五年每年均有考查，是统计与概率板块的基础核心考点，2026年将延续基础考法，强化情境的合理性。 终极猜想·精练通关 33．（2026·山东济南·二模）为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】∵每名学生从3个运动项目中选一个，各有3种等可能的选择，小明和小亮的选择相互独立， ∴两人选择项目的所有等可能结果总数为， ∵两名同学都选择篮球项目的结果只有1种， ∴所求概率为． 34．（2026·湖北·模拟预测）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设A、B、C三位同学参与投壶游戏，且他们每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响．若A、B、C各投壶1次，则恰好三人均投中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中恰好三人均投中的结果有1种， ∴恰好三人均投中的概率． 35．（2026·河南周口·一模）为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了“非遗进校园”活动，展示了三种非物质文化遗产：京剧脸谱、剪纸、皮影戏．现将正面分别印有这三种非物质文化遗产图案的三张卡片（除正面图案不同外其他完全相同）背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：：京剧脸谱，：剪纸， ：皮影戏， 列表如下： 共有种等可能结果，两次抽取的卡片正面图案相同的结果有种， 两次抽取的卡片正面图案相同的概率为． 36．（2026·山西吕梁·一模）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法求出所有等可能结果数，再得到符合条件的结果数，利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下： ∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种， ∴所求概率为． 37．（2026·河南开封·一模）小宇在美术课上设计了4张卡片，正面分别写有“拼”“搏”“奋”“进”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“拼”“搏”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出树状图表示出所有结果，再计算两张卡片正面图案恰好是“拼”“搏”的概率即可． 【详解】根据题意，可画树状图如下： 由图可知，总共有12种结果，其中两张卡片正面图案恰好是“拼”“搏”有2种，所以两张卡片正面图案恰好是“拼”“搏”的概率是． 38．（2026·河北·二模）2023年工作报告指出，要建立未来产业投入增长机制，化工制造、芯片科技、智能科技、5G等未来产业，明明和小丽分别对“智能科技”和“芯片科技”最感兴趣，若将报告中的四个产业依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好是“芯片科技”和“智能科技”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 画树状图，根据概率等于所求情况数与总情况数之比，列举所有等可能结果即可计算求解． 【详解】解：画树状图， 共有12种等可能的结果，其中两次抽到B、C的情况共有2种， 所以，抽到的两张卡片恰好是“芯片科技”和“智能科技”的概率． 39．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某超市推出新年抽奖活动，消费者可以从分别写有“马”“到”“成”“功”的四张卡片中随机抽取一张卡片，抽中“马”字卡片者可享受所购商品八折的优惠．小张和小王同时在该超市购物后抽奖，每次抽奖后将卡片放回，他们两个人其中一人能享受八折优惠，另一人不能享受八折优惠的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出树状图，一共有种等可能的结果，两个人其中一人能享受八折优惠，另一人不能享受八折优惠的结果数为种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 一共有种等可能的结果，两个人其中一人能享受八折优惠，另一人不能享受八折优惠的结果数为种， ∴两个人其中一人能享受八折优惠，另一人不能享受八折优惠的概率． 押题猜想二十三 统计大题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 40．（2026·湖北武汉·一模）垃圾通过综合处理回收利用，可以减少污染，节省资源．生活垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．为了解某市生活垃圾回收利用情况，数学小组随机抽取了该市吨生活垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)样本容量的值是 ，扇形统计图中“有害垃圾”圆心角的大小是 ； (2)补全条形统计图； (3)估计该市2000吨生活垃圾中有多少吨可回收物． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)估计该市2000吨生活垃圾中有吨可回收物． 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，画条形统计图，样本估计总体，求扇形统计图的圆心角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把可回收物的吨数除以百分数得出总吨数，再分别求出厨余垃圾和有害垃圾的吨数，最后列式计算得扇形统计图中“有害垃圾”圆心角， （2）结合（1）的结论进行补全条形统计图，即可作答． （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（吨）， 即样本容量的值是， ∴厨余垃圾：（吨）， ∴有害垃圾：（吨）， ∴， 即扇形统计图中“有害垃圾”圆心角的大小是； （2）解：由（1）得厨余垃圾是吨，有害垃圾是吨， 补全条形统计图，如图所示： （3）解：依题意，（吨）， ∴估计该市2000吨生活垃圾中有吨可回收物． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，统计大题是基础必考解答题，分值8分，侧重考查条形统计图、扇形统计图的解读、数据计算（平均数、中位数、众数）、样本估计总体，情境贴合武汉本土热点（光谷科创、长江生态、校园生活），命题强调数据解读能力，减少机械计算，近五年每年均有考查，2026年将延续本土情境，强化跨学科数据融合。 终极猜想·精练通关 41．（2026·宁夏银川·一模）某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 【数据处理】根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 三个方案整体口感评分折线图 甜度、整体口感评分统计表 甜度 整体口感 平均数 中位数 平均数 中位数 A 2.1 2 2 B 6.5 5 7.1 7.5 C 8.5 8 5 甜度、整体口感评分平均数复合统计图 【数据应用】 (1)在表1中，_____，_____． (2)结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数． (3)补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． (4)调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 【答案】(1)， (2) (3)补图见解析，随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低 (4)该店将会推出方案 【分析】（1）根据平均数的计算公式和方案的得分即可计算出方案的平均分；把方案的整体口感得分从小到大排列，中间的两个数据的平均数即为方案的中位数； （2）由折线统计图可知抽查的位嘉宾中最喜欢方案的有位，占抽查总人数的，利用样本估计总体求出位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数； （3）根据表1补全图2，再根据图2进行分析即可解答； （4）分别计算出三个方案的综合得分，根据综合得分判断推出哪一个方案． 【详解】（1）解：方案的整体口感平均数是， 方案的整体口感得分从小到大排列为：、、、、、、、、、， 第五个和第六个数据都是， 方案的整体口感中位数． （2）解：由图可知，号、号、号嘉宾给方案打分最高， 抽查的位嘉宾中最喜欢方案的有位，占抽查总人数的， 估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数大约有：（人）； （3）解：补全图2如下： 由图2可知：随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低． （4）解：方案综合得分：（分）， 方案综合得分：（分）， 方案综合得分：（分）， 该店将会推出方案． 42．（2026·浙江杭州·一模）学校的“开心农场”种植了一批番薯，现大队委组织各班同学开展挖番薯活动．为了解整体的收成情况，大队委员小玲随机抽取了6个班，记录了每个班番薯的质量，并将收集到的数据整理成如下统计表和统计图． 6个班的番薯质量统计表（单位：千克） 班级 A班 B班 C班 D班 E班 F班 番薯质量 61 63 71 a 63 78 6个班的番薯质量扇形统计图 请根据以上信息回答问题： (1)求统计表中的值． (2)求这6个班番薯质量的众数和中位数． (3)若该校共有36个班级，请你估算这次活动挖到的番薯总质量． 【答案】(1) (2)众数为千克，中位数为千克 (3)这次活动挖到的番薯总质量约为千克 【分析】（1）根据B班的番薯质量和B班的番薯质量占比，求得总质量，再计算的值即可； （2）根据中位数和众数的定义即可解答； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：6个班的番薯总质量为（千克）， ； （2）解：6个班的番薯质量从小到大排序为， ∴中位数为千克，众数为千克； （3）解：（千克）， 答：这次活动挖到的番薯总质量约为千克． 43．（2026·江苏苏州·一模）为深入践行“健康第一”教育理念，了解学生对各类新兴体育项目的喜爱情况，学校体育部门进行了问卷调查，问卷共设置“飞盘”“滑板”“轮滑”“匹克球”“腰旗橄榄球”五个新兴体育项目选项（参与调查的学生限选最喜爱的一项），根据调查结果绘制了以下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： (1)本次学校体育部门共随机调查了______名学生，扇形统计图中“飞盘”选项对应扇形的圆心角度数为______°； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有2400名学生，试估计该校最喜爱“滑板”的学生人数． 【答案】(1)200， (2)见解析 (3)480名 【分析】（1）根据部分的数据和占比求总数； （2）求出部分的数据，补全条形统计图； （3）根据样本频数估计总体频数． 【详解】（1）解：本次学校体育部门共随机调查的学生人数为：（名）， 扇形统计图中“飞盘”选项对应扇形的圆心角度数为； （2）解：“轮滑”的人数为（名）， 补全条形统计图如下： （3）解：（名）， 答：估计该校最喜爱“滑板”的学生人数为名． 44．（2026·辽宁丹东·一模）为全面落实“五育并举”工作，某学校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、足球、排球、合唱五个社团，每个学生必选且只能选择一项社团活动参加．为了解社团活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 参加五个社团活动人数统计表 社团 舞蹈 篮球 足球 排球 合唱 人数 40 30 根据以上信息，回答下列问题 (1)抽取的学生共有________人，________，________； (2)从参加篮球社团活动的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：）如下：184，172，180，179，175，176，178，172，则抽取的这些学生身高的中位数是________cm； (3)若该校有1600名学生，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 【答案】(1)200，40，20 (2)177 (3)全校参加舞蹈社团活动的学生大约有320人 【分析】（1）根据参加篮球社团的人数和占比求出总人数，然后可求出参加舞蹈人数的占比，最后即可求出参加排球人数的占比． （2）根据中位数的定义求解即可． （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：抽取的学生共有：（人） ， 则， 故答案为：200；40，20． （2）解：将184，172，180，179，175，176，178，172 从小到大排列为：172，172，175，176，178，179，180，184， 则中位数为：． （3）解：（人） 答：全校参加舞蹈社团活动的学生大约有320人． 45．（2026·广东广州·一模）某单位计划从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 (1)请算出三人的民主评议得分； (2)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【答案】(1)甲、乙、丙的民主评议得分分别为50分、80分、70分． (2)丙将被录用． 【分析】本题考查了加权平均数与扇形统计图的应用，解题的关键是利用扇形统计图计算民主评议得分，再根据给定的权重计算加权平均数进行比较． （1）根据总票数和扇形统计图中的得票率，计算三人的民主评议得分； （2）根据笔试、面试、民主评议三项得分及权重，计算三人的加权平均成绩，比较后确定录用者． 【详解】（1）解：甲的民主评议得分（分）， 乙的民主评议得分（分）， 丙的民主评议得分（分）． 答：甲、乙、丙的民主评议得分分别为50分、80分、70分． （2）解：甲的个人成绩 乙的个人成绩 丙的个人成绩 ∵ ， ∴ 丙的个人成绩最高． 答：丙将被录用． 46．（2026·重庆北碚·模拟预测）西葫芦村某学校食堂推出了汉堡套餐这款新菜品．为了解学生们对这款新菜的喜爱程度，学生成长部从七、八年级各随机抽取名学生进行满意度评分（百分制，评分为整数且均不低于分，用表示）分为以下四个等级：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 七年级名学生评分在B等级中的数据是：，，，，，， 八年级名学生评分是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 七、八年级所抽取学生满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 七年级所抽取学生满意度评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中 ， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对食堂新菜品的满意度更高？请说明理由．（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，估计该校七、八年级中满意度评分A等级的学生总人数． 【答案】(1)；； (2)七年级学生的满意度更高；理由见解析 (3)人 【分析】（1）先根据扇形统计图算出七年级各等级人数，再将七年级数据排序求中位数，找出八年级出现次数最多的数得众数，用C等级人数除以总人数得； （2）通过比较七、八年级满意度评分的中位数，判断哪个年级整体满意度更高； （3）分别用七、八年级样本中A等级学生的占比乘以对应年级总人数，再相加即可得到A等级学生的总估计人数． 【详解】（1）解：七年级共名学生，A等级人数为人，D等级人数为人，B等级有人（题目给出个数据），则C等级人数为人，七年级20个数据的中位数是第和第个数的平均数，前个数为D、C等级，第至个数为B等级数据，因此第、个数均为，中位数； 八年级评分中出现了次，出现次数最多，故众数； 七年级共名学生，C等级人数为人，故，即； （2）解：七年级学生的满意度更高； 理由：七年级学生满意度评分的中位数为，高于八年级的，说明七年级有一半以上的学生评分不低于，整体满意度更高； （3）解：七年级A等级人数：人； 八年级A等级人数：八年级名学生中A等级有人，故人； 因此，七、八年级A等级学生总人数约为：人． 答：估计该校七、八年级中满意度评分A等级的学生总人数约为人． 47．（2026·四川绵阳·二模）联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 (1)请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； (2)请补全上面的频数分布直方图； (3)若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 【答案】(1)25，20， (2)见详解； (3)估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人． 【分析】（1）用100乘以第2组的百分比即可求a，求出第4组所占百分比即得m，用乘以第3组人所占百分比即得圆心角； （2）根据（1）所得a的值，画图即可； （3）用1800乘以周末阅读时长达到30分钟的百分比即可． 【详解】（1）解：， 第4组所占百分比为：，则， 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为：； （2）解：由（1）得，则频数分布直方图如图， （3）解：周末阅读时长达到30分钟所占百分比为， （人） 答：若全校有学生1800人，估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人． 48．（2026·安徽阜阳·二模）某校筹备“劳动赋能成长，实践创造未来”的主题日活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣爱好，学校随机抽取部分学生进行调查． “劳动赋能成长，实践创造未来”主题日活动调查问卷 请选择你感兴趣的项目，并在其后“□”内打“√”（每人必选且只能选择其中一项） A．绿植□        B．剪纸□      C．泥塑□       D．烘焙□       E.收纳□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图．    【分析数据】请根据提供的信息，完成下列问题： (1)求本次调查所抽取的学生人数，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中项目“E”对应的扇形圆心角的度数； (3)若学校有600名学生参加本次活动，请根据调查结果估计选择参加项目B和D的学生各有多少．为确保参加活动的每名学生都有座位，请结合本次活动日程表合理安排B和D的活动地点． “劳动赋能成长，实践创造未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 时间 8：00-9：30 E 10：00-11：30 C 13：00-14：30 设备检修暂停使用 【答案】(1)40人，图见解析 (2) (3)B：90人，在2号多功能厅； D：180人，在1号汇报厅． 【分析】（1）利用项目C的人数及其占比即可求出总人数，再求出项目D的人数补全统计图即可； （2）项目“E”的占比乘以即可求出答案； （3）求出选择项目B、选择项目D、选择项目A的人数，即可作出判断． 【详解】（1）解： 本次调查所抽取的学生人数为 （人） ， 选择项目 D的有（人） ，   补全条形统计图如下： （2）扇形统计图中项目“E”对应扇形圆心角的度数为； （3）选择项B： （人） ， 选择项目D：×600=180 （人）， 选择项目A： ×600=60 ，（人）     故B在2号多功能厅， D在 1 号汇报厅． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 科学记数法 2 押题猜想二 整式的幂运算 3 押题猜想三 正负数及相反意义的量 4 押题猜想四 数与式、方程与不等式解答题综合 5 押题猜想五 规律与新定义问题 6 押题猜想六 轴对称与中心对称 7 押题猜想七 三视图 9 押题猜想八 平行线性质、角度计算 11 押题猜想九 几何小综合（小题压轴） 13 押题猜想十 几何综合（解答题压轴） 15 押题猜想十一 圆中小题 20 押题猜想十二 圆综合大题 22 押题猜想十三 一次函数图象的实际应用 25 押题猜想十四 反比例函数图象与性质 27 押题猜想十五 二次函数多结论判断 29 押题猜想十六 二次函数实际应用 31 押题猜想十七 二次函数综（大题压轴） 36 押题猜想十八 分式方程 44 押题猜想十九 解直角三角形及其应用 45 押题猜想二十 无刻度作图 47 押题猜想二十一 事件的判断 51 押题猜想二十二 概率 52 押题猜想二十三 统计大题 53 押题猜想一 科学记数法 试题前瞻·能力先查 限时：30s 1．（2026·湖北武汉·一模）“江城年味浓，出行热度高”．武汉地铁2026年春节9天共运送旅客超过1800万人次．将数据万用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 科学记数法考查的是学生对大数或小数的规范表示能力。近五年武汉中考必考，通常结合时事热点（如人口数据、经济数据、科技成就）出题。重点考查形式为 ，其中 ， 为整数。需注意单位换算（如“万”“亿”转换为具体数值）以及负指数幂（针对小于1的数）的考查。 终极猜想·精练通关 2．（2026·安徽芜湖·二模）“十四五”我国农业综合生产能力迈上新台阶，粮食产量连续两年稳定在1.4万亿斤以上，2025年产量达到14298亿斤，总产和单产均创历史新高，14298亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川乐山·一模）夹江县“政府市场”构建全要素人力资源“生态圈”．2025上半年，累计发放稳岗补贴、一次性吸纳就业补贴、职业技能培训补贴等惠企资金约万元．数据 用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林·一模）2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·安徽合肥·一模）DeepSeek-V3是一款采用混合专家（MoE）架构的大语言模型，凭借其庞大的参数量，在自然语言处理领域展现出强大的能力．截止2026年3月，它的参数量已经高达6850亿，将6850亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京顺义·一模）2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT（昵称“万星瞳”）在例行巡天观测中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变．已知最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳的光度约为，则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法表示）约为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山西忻州·一模）为保障粮食安全，我国力争将粮食产量稳定在1.4万亿斤左右，彰显端牢中国饭碗、守护天下粮安的大国担当和坚定决心．数据1.4万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 押题猜想二 整式的幂运算 试题前瞻·能力先查 限时：30s 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 整式的运算是代数运算的基石。武汉中考常在选择题前几题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方。此类题目难度较低，但容易因符号问题或运算法则混淆而失分。复习时需重点强化“底数不变指数相加/减”与“指数相乘”的区别，以及负号的处理。 终极猜想·精练通关 9．（2026·山东临沂·一模）下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·甘肃陇南·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·湖南株洲·一模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·河南商丘·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·山东青岛·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 押题猜想三 正负数及相反意义的量 试题前瞻·能力先查 限时：30s 15．（2026·湖北武汉·一模）正负数在日常生活中有着广泛的应用．若收入元记作元，则支出元记作________元． 分析有理·押题有据 这是初中数学最基础的概念之一，旨在考查数学与生活的联系。武汉卷常以实际生活情境（如气温变化、收支情况、海拔高度）为载体，考查正负数的意义及相反数的概念。题目通常简单直接，但要求学生具备从文字信息中提取数学符号的能力，属于必拿分的基础题。 终极猜想·精练通关 16．（2026·辽宁阜新·一模）某市冬季一天的天气预报表显示气温为至，该日温差是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·广东中山·一模）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 18．（2026·广东东莞·二模）验光师经常以“×××D”的方式记录近视程度，例如，近视50度记录为“”，近视100度记录为“”．通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（   ） A． B． C． D． 19．（2026·河北沧州·二模）巩立姣是河北籍田径运动员，是女子铅球项目的领军人物．国际田联规定：女子铅球的标准质量是，在某次比赛用品抽检中，第一个铅球的质量为，记为，第二个铅球的质量记为，则第二个铅球的质量为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河北石家庄·一模）水库水位第一天降低记作，第二天降低，这两天的变化可表示为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·陕西汉中·二模）2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 押题猜想四 数与式、方程与不等式解答题综合 试题前瞻·能力先查 限时：2min 22．（2026·湖北武汉·模拟预测）计算：． 分析有理·押题有据 作为解答题的第一题，该题型承担着“稳军心”的作用。通常涉及实数的混合运算（含零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值化简）或分式的化简求值。武汉卷特别注重运算的准确性和步骤的规范性，化简求值题常会给出一个方程或不等式作为条件，需先解出未知数再代入，切忌直接代入硬算。 终极猜想·精练通关 23．（2026·山东济宁·二模）按要求完成下列计算： (1)计算： (2)解一元二次方程： 24．（2026·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中． 25．（2026·青海西宁·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 26．（2026·重庆北碚·模拟预测）求不等式组的所有自然数解． 27．（2026·北京顺义·一模）解不等式组：． 28．（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 押题猜想五 规律与新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：3min 29．（2026·湖北武汉·一模）由，，三个数字组成的进制数记作，例如．若，且．则以下关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 此类题目是武汉中考选填压轴的常客，旨在考查学生的观察能力、归纳推理能力及即时学习能力。“规律探索”多涉及图形变换（旋转、平移）中的坐标规律或数列规律；“新定义”则给出一个课本之外的概念（如新运算、新几何定义），要求考生现场理解并应用。解题关键在于“照猫画虎”，将新规则转化为熟悉的代数或几何模型。 终极猜想·精练通关 30．（2026·云南昆明·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（  ） A． B． C． D． 31．（2026·河南南阳·一模）观察下列一组数：，，，，，，按此规律，第个数是（  ） A． B． C． D． 32．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（    ） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 33．（2026·重庆綦江·二模）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2026个图案有多少个三角形（    ） A．6076 B．6077 C．6078 D．6079 34．（2026·河南周口·一模）定义一组有规律的点： ……，按此规律，则 的坐标为（     ） A． B． C． D． 35．（2026·湖南长沙·二模）著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（    ） A．只有一个正实数根 B．有一个正实数根，两个负实数根 C．有两个正实数根，一个负实数根 D．有三个正实数根 押题猜想六 轴对称与中心对称 试题前瞻·能力先查 限时：10s 1．（2026·湖北武汉·二模）中国的方块字中有些具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（   ）. A． B． C． D． 分析有理·押题有据 图形的对称性是几何直观的核心内容。轴对称图形和中心对称图形的识别是中考基础考点，通常以"下列图形中是轴对称图形的是"或"既是轴对称又是中心对称的是"形式出现。近五年考查频率极高，属于识记理解层面。 终极猜想·精练通关 2．（2026·山东青岛·一模）下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东·一模）窗花是我国民间剪纸中分布最广、数量最多、最为普及的品类，也是源远流长的传统民间艺术珍宝．下列窗花作品示意图为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西运城·二模）氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏扬州·一模）中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．下图中的图样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津和平·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 押题猜想七 三视图 试题前瞻·能力先查 限时：30s 8．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图所示的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 空间观念是数学核心素养之一。三视图题目通常出现在选择题前段，考查由立体图形判断主视图、左视图或俯视图，或者由三视图还原几何体（如计算小正方体个数）。武汉卷近年来倾向于考查简单组合体（如圆柱与长方体组合）的视图，难度不大，但需注意虚实线的区分。 终极猜想·精练通关 9．（2025·安徽合肥·一模）如图所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山西朔州·一模）斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏南通·一模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·山东泰安·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·四川成都·二模）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，其主视图是（   ） A． B． C． D． 14．（2026九年级下·海南海口·专题练习）图是由6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 押题猜想八 平行线性质、角度计算 试题前瞻·能力先查 限时：30s 15．（2026·湖北武汉·一模）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 几何推理的入门考点。题目常以“一副三角板”、“直尺与三角板组合”或“平行线间折线”为背景，考查平行线的性质（同位角、内错角、同旁内角）以及三角形外角性质。解题时需熟练掌握“猪蹄模型”或“铅笔模型”等常见角度计算模型，快速建立角之间的数量关系。 终极猜想·精练通关 16．（2026·湖北宜昌·一模）如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·安徽池州·二模）两个直角三角板如图摆放，是，的三角板，是的等腰三角板，点，均在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·广东佛山·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·陕西商洛·二模）如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河南信阳·一模）如图，在五边形中，延长，，分别交直线于点M，N．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．（2026·江苏盐城·一模）将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 押题猜想九 几何小综合（小题压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 22．（25-26九年级上·湖北武汉·月考），，，，点P在射线上运动，的外接圆交于Q，的最小值为_____． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，几何小综合作为小题压轴（15题左右），分值3分，侧重考查三角形、四边形的全等、相似，结合角度、边长求值，偶尔涉及几何变换（折叠、旋转），命题有一定难度，侧重逻辑推理和几何直观，近五年均有考查，是区分中档生与基础生的关键考点，2026年将延续这一梯度设计。 终极猜想·精练通关 23．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，，以B为圆心以长为半径画弧交延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接，过点C作交于点Q．则的最小值为______． 24．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在和中，，，，连接，，将绕点旋转，当最大时，的长为 ________． 25．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，，，为中点，是 上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_______． 26．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，P是内一点．若，，则______． 27．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知中，，，，点D为边上一动点，点E是点B关于的对称点，则的最小值是________． 28．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，是线段上一动点（不与端点，重合），连接，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点，则线段的最大值为______． 押题猜想十 几何综合（解答题压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 29．（2026·湖北武汉·一模）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且，连接交于点． (1)如图（1），求证：； (2)连接． ①如图（2），若平分，求证：； ②如图（3），连接，若平分，直接写出的值． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，几何综合大题是压轴题之一（第23题左右），分值10分，多以折叠、旋转等几何变换为载体，考查三角形全等、相似，偶尔涉及四点共圆、勾股定理综合应用，题型为多问递进（基础问+提升问+压轴问），对学生的几何推理、辅助线构造能力要求较高，近五年每年均作为压轴题呈现，2026年仍会是核心难点题型。 终极猜想·精练通关 30．（2026·河北张家口·一模）综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： (1)第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． (2)第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） (3)第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 31．（2026·河南信阳·一模）点E在边长4的正方形内部运动，且，对角线与或相交于点F． (1)如图1，当时，________；________；_________； (2)如图2，当为等边三角形时，求的值，并写出计算过程； (3)正方形的对角线与相交于点O，当时，请直接写出的值． 32．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 33．（2026·山西太原·二模）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动．探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究．如图1，在中，，，分别取的中点，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (4)延伸思考：如图4，在中，，，分别取的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接．当边正好经过的中点时，直接写出的长． 34．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）矩形的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，． (1)如图1，连接，，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，若，，当点恰好为边的（为正整数，）等分点时，直接写出线段的长． 35．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）中，，，，为中点，连接． (1)如图，当点在的延长线上时，求证：，； (2)如图，绕点旋转到图中位置，求证：，； (3)若，（A、D、E顺时针排列）绕点旋转，当时，直接写出的面积． 36．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点是线段上一点，作点关于的对称点，连接，． (1)当点落在上时，求的长； (2)当点落在内部时，求的取值范围； (3)当平行于的一边时，求线段的长度； (4)当时，直接写出的值． 37．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）已知为等腰三角形，，点是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为． (1)如图，当时，求证：四边形为菱形； (2)连接，直线与直线交于点． ①如图，在（1）的条件下，求证：； ②如图，若，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值_______． 38．（2026·重庆·模拟预测）点为等边内一个动点（含边界），连接，，，点在线段上，连接，，其中． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，且，求证：； (3)如图3，若点是的中点，点为内一点，连接，，．当的值最小时，请直接写出的值． 39．（2026·江苏泰州·一模）点为矩形的边上一点，．将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形． (1)如图1，当点落在边上时，_____； (2)如图2，当点、、在同一直线上时，求的值； (3)当时，过作，垂足为，过、、三点的圆与边的另一个交点为，直接写出的值． 押题猜想十一 圆中小题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 40．（2026·湖北武汉·一模）如图，是半径为的的一条弦，点在上，过点作的垂线交于点，，则的最大值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，圆中小题多以选填基础题或中档题形式呈现，分值3分，侧重考查圆的基础性质（半径、直径、圆周角定理、切线的性质），不涉及复杂证明，命题难度适中，常结合几何图形（三角形、四边形）命题，近五年每年均有考查，规避与解答题圆综合重复，2026年将延续基础考查方向。 终极猜想·精练通关 41．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 42．（2026·四川南充·一模）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 43．（25-26九年级下·河南郑州·月考）如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 44．（2026·甘肃白银·二模）如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 45．（2026·河北石家庄·一模）如图，半圆的直径，C是半圆AB的中点，D是的中点，连接，，过点D作的切线分别交的延长线于点E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．（2026·浙江台州·一模）如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若，，，则的面积为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 押题猜想十二 圆综合大题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 47．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知：点是边上一点，以为直径作交于点，连接，，过点作于． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，圆综合大题是中档核心解答题（第20题左右），分值8分，侧重考查切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形的综合应用，题型为多问递进，步骤规范要求较高，近五年每年均有考查，难度适中，是学生中档题拿分的关键，2026年可能新增圆与几何变换的轻度融合。 终极猜想·精练通关 48．（2026·湖北孝感·一模）如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若的平分线交于F，，求线段的长． 49．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 50．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，内接于，的平分线交于，与相切，交的延长线于． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求图中阴影部分的面积． 51．（2026·四川乐山·一模）如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的半径． 52．（2026·山东济南·二模）如图，点，在上，，点在的延长线上，过作的切线，切点为，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 53．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，以为底的等腰三角形的三个顶点都在上，过点A作交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，．求图中阴影部分的面积． 54．（2026·安徽·模拟预测）如图，为的直径，，连接． (1)求证：； (2)若 ，求的半径． 55．（2026·四川眉山·一模）如图，在中，，以为直径作，点为中点（点在的异侧），连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 押题猜想十三 一次函数图象的实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：2min 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度与观察时间x（天）的关系记录如下图所示，那么橘树苗在第50天的高度是（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，一次函数图象的实际应用多以选填中档题或解答题形式呈现，分值3-8分，常结合实际情境（行程问题、工程问题、收费问题），考查函数图象的解读、解析式求解、函数值计算，贴合武汉中考情境化命题趋势，近四年有3年考查，2026年将延续情境化考法，强化数据解读能力。 终极猜想·精练通关 2．（2026·内蒙古通辽·一模）在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：）是所挂物体质量x（单位：）的一次函数，它们之间的关系如图所示，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）九年级（1）班有40名学生进行化学实验，A型实验台最多能供4人做实验，B型实验台最多能供6人做实验（要求每个实验台不能有空位），则共需实验台的总数量最少为（    ） A．9台 B．8台 C．7台 D．6台 4．（2026·河南周口·一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 5．（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 6．（2026·山西大同·二模）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A． B． C． D． 7．（2026·河南安阳·一模）如图1，用弹簧测力计竖直向上拉一个正方体木块．在整个过程中，图2表示弹簧测力计的示数与时间的关系，图3表示木块运动的速度与时间的关系，请结合函数图象信息，判断下列说法错误的是（    ） A．前木块保持静止状态 B．拉力与时间的关系满足正比例函数关系，且当时， C．当时，速度随时间增大而增大 D．在整个过程中，速度随拉力增大而增大 押题猜想十四 反比例函数图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：1min 8．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）若点都在反比例函数上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，反比例函数图象与性质是高频核心考点，多以选填中档题（10-14题）形式呈现，分值3分，常结合几何图形（三角形、四边形）考查图象分布、k值意义、增减性，偶尔结合一次函数轻度综合，命题难度适中，近五年每年均有考查，是函数基础的核心内容，2026年将延续这一考法。 终极猜想·精练通关 9．（2026·内蒙古通辽·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 10．（2026·山西晋中·一模）如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为___________． 12．（2026·北京平谷·一模）已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 13．（2026·河北·二模）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 14．（2026·浙江金华·二模）如图所示，的三个顶点都在反比例函数的图象上，点在点的右侧，，且过原点．若的横坐标为，则的值为___________． 押题猜想十五 二次函数多结论判断 试题前瞻·能力先查 限时：4min 15．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，二次函数多结论判断是选填压轴题（16题）的高频题型，分值3分，侧重考查二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性），结合不等式、几何图形判断结论的正确性，命题难度较大，对学生的综合分析能力要求较高，2026年仍会作为选填压轴核心题型。 终极猜想·精练通关 16．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 17．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 18．（2026·山东青岛·一模）抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②； ③对于任意实数t，总有不等式； ④若方程的两个根为，，则． 其中正确的是________（只写序号）． 19．（2026·辽宁沈阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 20．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号） 21．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 押题猜想十六 二次函数实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 22．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）【综合与实践】某汽车研发中心对一款新型轿车的制动性能进行紧急刹车测试，数学兴趣小组记录了相关数据． 【知识背景】行驶中的汽车在刹车后由于惯性作用，还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．在匀减速直线运动模型中，刹车距离与刹车时间成二次函数关系． 【探究发现】小组记录了该汽车在某一恒定速度下，紧急刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）的一组数据如下表： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 21 36 发现： ①开始刹车后行驶的距离与时间之间满足二次函数关系； ②刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止； ③该汽车刹车前的行驶速度保持不变． 【问题解决】 (1)求关于的函数解析式； (2)求该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是多少米？ (3)若汽车司机发现正前方处有一障碍物，从发现情况到刹车需要的反应时间（反应时间内汽车仍以的速度匀速行驶）．请问该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，二次函数实际应用多以解答题（21-22题）形式呈现，分值10分，常结合实际情境（利润问题、最大高度、射程问题）考查函数建模、解析式求解、最值计算，贴合武汉中考情境化、去套路化的命题趋势，近五年每年均有考查，难度适中，是学生中档题拿分的重点，2026年将强化情境的真实性和实用性。 终极猜想·精练通关 23．（2026·陕西西安·三模）打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； (2)为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 24．（2026·山西晋中·一模）综合与实践 问题情境：为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质蔬菜品种，助推村民增收致富．小颖的父母准备响应号召种植蔬菜，小颖想利用所学知识为父母找到该蔬菜的最佳上市时间，实现收益最大化． 实践操作：小颖利用假期对往年该蔬菜的市场行情和生产情况进行了调查，希望能对今年该蔬菜的最佳上市时间进行一个预测．她统计了去年当地该蔬菜种植期间（3月-9月）每千克的售价、成本价与销售时间的关系数据如下，并发现它们的关系满足我们学过的函数关系． 销售时间（）（月份） 3 4 5 6 7 8 9 售价（）（元/） 5 3 1 成本价（元/） 4 1 4 问题解决：根据上述信息，帮助小颖解决下列问题： (1)去年该蔬菜的售价（元/kg）是销售时间x（月份）的_______函数，去年该蔬菜的成本价（元/kg）是销售时间（月份）的________函数（选填“一次”或“反比例”或“二次”）； (2)求与的函数表达式； (3)去年哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本价）最大？每千克的最大收益是多少元？ 25．（2026·四川成都·二模）某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息： 信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人； 信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元； 信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车辆，则每辆甲型车的租金减少元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题： (1)甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？ (2)设租用甲型车辆，租车总费用为元，求与之间的函数表达式，当时，求出本次研学活动学校的最少租车费用． 26．（2026·湖北咸宁·模拟预测）某手工饺子馆主打特色鲜肉饺子，日均销量：，售价：元，原料成本：肉馅30元，饺子皮5元． (1)若每千克饺子的原料成本为17.5元，求每千克饺子中肉馅和饺子皮的含量分别为多少千克？ (2)为进一步提升利润，饺子馆计划调整（1）问中求出的肉馅比例以优化口感．经市场调研发现：在售价不变的情况下，每千克饺子的肉馅含量每增加（同时饺子皮含量相应减少），单日销量可增加，为保障饺子成型度，每千克饺子中饺子皮的含量不得少于．请问当每千克饺子的肉馅含量增加多少千克时，单日销售利润最大（不计其它成本）？最大单日销售利润为多少元？ 27．（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 28．（2026·河南周口·二模）消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了一次消防演练．如图，O，A为某建筑物墙面上的两点，为水平地面，建立平面直角坐标系，水枪喷口位于点B处时，水流恰好到达着火点A处．消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，已知点A的高度米． (1)求a的值． (2)求点B到墙面的距离． (3)将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A点正上方2米，直接写出m的取值范围． 29．（2026·山西忻州·一模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似地看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点时，最高点P到地面的距离为．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． 30．（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 押题猜想十七 二次函数综（大题压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 31．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)将图中的抛物线轴左侧（含轴）部分图象沿轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分图象组成新的图象，如图，请直接写出抛物线的函数解析式； (3)点在图象上，其横坐标为． ①当的面积等于6时，求的值． ②点在图象上，其横坐标为，当图象在、两点之间的部分（含、两个端点）所对应的函数的最大值与最小值不随的值变化而变化，请直接写出的取值范围． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，二次函数综合大题是核心压轴题（第24题），分值12分，多结合几何图形（三角形、四边形）、几何变换（平移、旋转）考查解析式求解、最值问题、存在性问题（等腰三角形、直角三角形、平行四边形），题型为多问递进，对学生的综合分析、分类讨论、建模能力要求极高，近五年每年均作为压轴题呈现，2026年将延续这一难度和考法，可能融入跨学科情境。 终极猜想·精练通关 32．（2026·重庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点，且轴于点，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新抛物线的对称轴对称，过点作轴于点，作点为新抛物线上一点，连接，，，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 33．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，将矩形绕点逆时针旋转90度得到矩形，点的横坐标为，设过两点的抛物线为．    (1)直接写出点坐标：，并用含的代数式表示点纵坐标：； (2)求点的坐标，并用含，的代数式表示； (3)如图2，当时，把点向上平移4个单位长度得到点，连接，若此时抛物线与线段只有唯一的公共点，求的取值范围； (4)当抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点随着点向右移动而向上移动时，求的取值范围． 34．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 35．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 36．（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 37．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2026·安徽·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，过点作交轴于点，与抛物线的另一交点为． （i）求点的坐标； （ii）点为直线下方抛物线上一动点，直线交轴于点，设点的横坐标为，求面积的最大值． 39．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，当时，．P是抛物线上一个动点（不与点A，B，C重合），其横坐标为t，连接AC，BC． (1)如图①，求抛物线的解析式； (2)如图②，点P在直线上方时，连接与交于点Q． ①若，则t的值为______； ②求的最大值； (3)当时，请直接写出点P的坐标． 40．（2026·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C，作直线BC，抛物线顶点为点 (1)点C的坐标为 ，则直线的解析式为 ； (2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； (3)平移直线得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数． ②如图3，把抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新图象，当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 41．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与抛物线在x轴上方交于点P． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接与相交于点E，连接，记的面积为，的面积为，且，求k的值； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为F，射线与射线相交于点Q，于H．若在线段上总存在一点G，使的面积是面积的2倍，当k的值最大时，连结，过点G分别作的垂线，垂足分别为M，N，连接，求此时线段的长． 42．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线：经过，两点． (1)求点的坐标和，的值； (2)已知点是抛物线上一点，过点作直线，与抛物线在第一象限内交于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 如图，当点与点重合时，求的值； 如图，当点是的中点时，连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由． 43．（2026·湖南衡阳·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点，连接，，是此二次函数图象上的两个动点，且，连接，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接，．若，，且，求此时的值； (3)如图，延长，交于点．若，，求证：点在定直线上． 44．（2026·湖北·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上位于第一象限的一点，过点P作x轴的垂线，交于点G，交x轴于点H，连接，设点P的横坐标为m，线段的长度为d， ①求d关于m的函数关系式； ②若为直角三角形，求m的值； ③如图3，点Q是抛物线上位于第四象限的一点，，分别与y轴交于点D和点E，，则直线恒经过一定点．设点Q的横坐标为n，请直接写出m，n的数量关系及该定点的坐标． 45．（2026·贵州铜仁·模拟预测）为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． (1)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； (2)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； (3)为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为的范围内时，抛物线的最大值为，求的值． 46．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知图象P对应的解析式（其中m为常数），且P经过点． (1)求P的解析式（整理为y关于x的函数形式，并写出自变量x的取值范围）； (2)如图，记点，，动点Q在P上，若以A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，且，求所有满足题意的Q点坐标； (3)设S是直线上一点，过S分别作直线、交P于点、与点、（四个点互不重合），试探究：在点S和两条直线变化的过程中，是否存在？若存在，求出直线与直线的斜率和；若不存在，请说明理由． 押题猜想十八 分式方程 试题前瞻·能力先查 限时：1min 1．（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，分式方程多以选填基础题或解答题形式呈现，分值3-8分，侧重考查分式方程的解法、检验，偶尔结合实际应用考查建模能力，命题强调解题步骤的规范性，规避复杂分母变形，近五年每年均有考查，是方程与不等式板块的基础考点，2026年将延续基础考法，强化检验步骤的考查。 终极猜想·精练通关 2．（2026·北京东城·一模）方程的解为______． 3．（2026·山东临沂·二模）分式方程的解为____________． 4．（2026·四川成都·一模）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 5．（2026·山东东营·一模）若关于的方程无解，则的值为_____． 6．（2026·宁夏银川·一模）关于的方程无解，则的值为___________． 7．（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 押题猜想十九 解直角三角形及其应用 试题前瞻·能力先查 限时：1min 8．（2026·湖北武汉·一模）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，解直角三角形及其应用是高频核心考点，多以选填中档题或解答题形式呈现，常结合武汉本土场景（桥梁测量、地形测绘、建筑高度）或跨学科情境考查，侧重锐角三角函数的应用、坡度、仰俯角问题，近五年每年均有考查，难度适中，是情境化命题的重点，2026年将延续本土情境考法。 终极猜想·精练通关 9．（2026·辽宁葫芦岛·一模）春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线长，风筝线与地面夹角，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离为__________．（结果精确到，参考数据：） 10．（2026·江苏南通·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度，小明依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A，B，Q在同一水平线上，与相交于点．测得，，，则树高____． 11．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，港口在观测站的正东方向千米处，某船从港口出发，沿北偏东方向匀速航行小时后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的速度是______千米/小时．（结果保留根号） 12．（2026·辽宁营口·一模）某河堤横断面如图所示，堤高米，斜面坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，则长为__________米（结果保留根号）． 13．（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 14．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，某科技小组用无人机测量湖泊两端，的距离，他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 15．（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 16．（2026·安徽合肥·一模）如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为，小汽车车门的长度为，当车门打开的角度（即）为时，车门边缘的点处与墙的距离为______． 押题猜想二十 无刻度作图 试题前瞻·能力先查 限时：10min 17．（2026·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，都是格点，是上一点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过五条． (1)在图（）中，先将绕点逆时针旋转得到线段，画线段；再在上画点，使最小． (2)在图（）中，先将平移得到线段，画线段；再在上画点，使． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，无刻度作图是武汉中考特色题型，多以解答题形式呈现，分值6分，侧重考查格点作图、旋转、轴对称、角平分线、垂直平分线的作图，结合几何推理说明作图依据，命题贴合武汉中考“几何直观与推理结合”的特点，近五年每年均有考查，是本土特色核心考点，2026年将延续这一特色考法。 终极猜想·精练通关 18．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格内完成下列两个问题，每个问题的画线不得超过三条． (1)在图①中，先将线段绕点C逆时针旋转得到线段； (2)在图①中，在上画一点E，使得； (3)在图②中，先画点B关于的对称点F； (4)在图②中，在上画点G，使得． 19．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每一个问题的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，为边上一点，先画，再画直线交于点，使直线平分的周长； (2)在图（2）中，先画的高；再在上画点，使线段． 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，E是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题； (1)如图1，过点作，使；在上确定点，使； (2)如图2，过点作于；过点作且． 21．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点：仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条． (1)如图1，在线段的上方找格点D，使点A绕点D旋转后与点C重合，再画直线交于点E，连接，使； (2)如图2，先画点B关于直线的对称点M，再画射线交于点N，使． 22．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，图中和都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务不超过3步． (1)在图1中，是格点，过点作的垂线交于；在上画点，使； (2)在图2中，是格线上的点，过点作；在上画点，使得． 23．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点是格点． (1)在图1中画：在上找一点D，使，再在上找一点E，使得； (2)在图2中画：在上找一点F，使； (3)在图3中画：在上找一点G，使． 24．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，也是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图任务，每个任务画线不超过四条 (1)将边绕点顺时针旋转得到线段； (2)在上取点，连接，使； (3)连并延长交于，交直线于，直接写出的值______； (4)在上取点，连接，使． 押题猜想二十一 事件的判断 试题前瞻·能力先查 限时：30s 25．（2026·湖北武汉·一模）有两个事件，事件（1）：经过有交通信号灯的路口，遇见红灯；事件（2）：地球绕着太阳转．下列判断正确的是（   ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）是必然事件，（2）是随机事件 C．（1）（2）都是必然事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，事件的判断（必然事件、随机事件、不可能事件）多以选填基础题形式呈现，分值3分，命题简单直观，结合生活实际情境考查，难度偏低，贴合基础保底的命题思路，2026年大概率回归考查，作为送分题呈现。 终极猜想·精练通关 26．（2026·湖北宜昌·一模）下列事件是不确定事件的是（  ） A．从只装有个白球的袋子中摸出一个球，是白球 B．打开电视，正在播放新闻 C．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 D．太阳从东边升起 27．（2026·江苏扬州·一模）“明年植树节下雨”这个事件是（   ） A．必然事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 28．（2026·广东珠海·二模）某气象台发布天气预报显示，明天某地下雨可能性是，则“明天某地下雨”这一事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 29．（2026·河北沧州·模拟预测）“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（   ） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 30．（2026·江苏无锡·模拟预测）下列事件中，确定事件为（   ） A．在北半球看，太阳从西边升起 B．未来三天会下雨 C．打开电视，正在播放广告 D．任意两个等腰三角形是相似三角形 31．（2026·湖北黄石·一模）“在某平台上购买一张《飞驰人生3》的电影票，票上的座位号恰好是偶数”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定性事件 押题猜想二十二 概率 试题前瞻·能力先查 限时：1min 32．（2026·湖北武汉·一模）美美和好好玩一种数字卡片的游戏，美美手持分别标有数字1，4，5的三张卡片，好好手持分别标有数字2，3，6的三张卡片．两人各随机出一张卡片，若美美出的卡片数字比好好大，美美胜，则美美获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 近五年武汉中考中，概率多以选填中档题形式呈现，分值3分，侧重考查古典概型、列表法、树状图求概率，偶尔结合实际情境（游戏公平性）命题，难度适中，近五年每年均有考查，是统计与概率板块的基础核心考点，2026年将延续基础考法，强化情境的合理性。 终极猜想·精练通关 33．（2026·山东济南·二模）为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（   ） A． B． C． D． 34．（2026·湖北·模拟预测）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设A、B、C三位同学参与投壶游戏，且他们每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响．若A、B、C各投壶1次，则恰好三人均投中的概率为（ ） A． B． C． D． 35．（2026·河南周口·一模）为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了“非遗进校园”活动，展示了三种非物质文化遗产：京剧脸谱、剪纸、皮影戏．现将正面分别印有这三种非物质文化遗产图案的三张卡片（除正面图案不同外其他完全相同）背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 36．（2026·山西吕梁·一模）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 37．（2026·河南开封·一模）小宇在美术课上设计了4张卡片，正面分别写有“拼”“搏”“奋”“进”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“拼”“搏”的概率为（    ） A． B． C． D． 38．（2026·河北·二模）2023年工作报告指出，要建立未来产业投入增长机制，化工制造、芯片科技、智能科技、5G等未来产业，明明和小丽分别对“智能科技”和“芯片科技”最感兴趣，若将报告中的四个产业依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好是“芯片科技”和“智能科技”的概率是（   ） A． B． C． D． 39．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某超市推出新年抽奖活动，消费者可以从分别写有“马”“到”“成”“功”的四张卡片中随机抽取一张卡片，抽中“马”字卡片者可享受所购商品八折的优惠．小张和小王同时在该超市购物后抽奖，每次抽奖后将卡片放回，他们两个人其中一人能享受八折优惠，另一人不能享受八折优惠的概率是（    ） A． B． C． D． 押题猜想二十三 统计大题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 40．（2026·湖北武汉·一模）垃圾通过综合处理回收利用，可以减少污染，节省资源．生活垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．为了解某市生活垃圾回收利用情况，数学小组随机抽取了该市吨生活垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)样本容量的值是 ，扇形统计图中“有害垃圾”圆心角的大小是 ； (2)补全条形统计图； (3)估计该市2000吨生活垃圾中有多少吨可回收物． 分析有理·押题有据 从近五年武汉中考情况来看，统计大题是基础必考解答题，分值8分，侧重考查条形统计图、扇形统计图的解读、数据计算（平均数、中位数、众数）、样本估计总体，情境贴合武汉本土热点（光谷科创、长江生态、校园生活），命题强调数据解读能力，减少机械计算，近五年每年均有考查，2026年将延续本土情境，强化跨学科数据融合。 终极猜想·精练通关 41．（2026·宁夏银川·一模）某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 【数据处理】根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 三个方案整体口感评分折线图 甜度、整体口感评分统计表 甜度 整体口感 平均数 中位数 平均数 中位数 A 2.1 2 2 B 6.5 5 7.1 7.5 C 8.5 8 5 甜度、整体口感评分平均数复合统计图 【数据应用】 (1)在表1中，_____，_____． (2)结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数． (3)补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． (4)调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 42．（2026·浙江杭州·一模）学校的“开心农场”种植了一批番薯，现大队委组织各班同学开展挖番薯活动．为了解整体的收成情况，大队委员小玲随机抽取了6个班，记录了每个班番薯的质量，并将收集到的数据整理成如下统计表和统计图． 6个班的番薯质量统计表（单位：千克） 班级 A班 B班 C班 D班 E班 F班 番薯质量 61 63 71 a 63 78 6个班的番薯质量扇形统计图 请根据以上信息回答问题： (1)求统计表中的值． (2)求这6个班番薯质量的众数和中位数． (3)若该校共有36个班级，请你估算这次活动挖到的番薯总质量． 43．（2026·江苏苏州·一模）为深入践行“健康第一”教育理念，了解学生对各类新兴体育项目的喜爱情况，学校体育部门进行了问卷调查，问卷共设置“飞盘”“滑板”“轮滑”“匹克球”“腰旗橄榄球”五个新兴体育项目选项（参与调查的学生限选最喜爱的一项），根据调查结果绘制了以下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： (1)本次学校体育部门共随机调查了______名学生，扇形统计图中“飞盘”选项对应扇形的圆心角度数为______°； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有2400名学生，试估计该校最喜爱“滑板”的学生人数． 44．（2026·辽宁丹东·一模）为全面落实“五育并举”工作，某学校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、足球、排球、合唱五个社团，每个学生必选且只能选择一项社团活动参加．为了解社团活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 参加五个社团活动人数统计表 社团 舞蹈 篮球 足球 排球 合唱 人数 40 30 根据以上信息，回答下列问题 (1)抽取的学生共有________人，________，________； (2)从参加篮球社团活动的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：）如下：184，172，180，179，175，176，178，172，则抽取的这些学生身高的中位数是________cm； (3)若该校有1600名学生，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 45．（2026·广东广州·一模）某单位计划从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 (1)请算出三人的民主评议得分； (2)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 46．（2026·重庆北碚·模拟预测）西葫芦村某学校食堂推出了汉堡套餐这款新菜品．为了解学生们对这款新菜的喜爱程度，学生成长部从七、八年级各随机抽取名学生进行满意度评分（百分制，评分为整数且均不低于分，用表示）分为以下四个等级：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 七年级名学生评分在B等级中的数据是：，，，，，， 八年级名学生评分是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 七、八年级所抽取学生满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 七年级所抽取学生满意度评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中 ， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对食堂新菜品的满意度更高？请说明理由．（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，估计该校七、八年级中满意度评分A等级的学生总人数． 47．（2026·四川绵阳·二模）联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 (1)请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； (2)请补全上面的频数分布直方图； (3)若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 48．（2026·安徽阜阳·二模）某校筹备“劳动赋能成长，实践创造未来”的主题日活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣爱好，学校随机抽取部分学生进行调查． “劳动赋能成长，实践创造未来”主题日活动调查问卷 请选择你感兴趣的项目，并在其后“□”内打“√”（每人必选且只能选择其中一项） A．绿植□        B．剪纸□      C．泥塑□       D．烘焙□       E.收纳□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图．    【分析数据】请根据提供的信息，完成下列问题： (1)求本次调查所抽取的学生人数，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中项目“E”对应的扇形圆心角的度数； (3)若学校有600名学生参加本次活动，请根据调查结果估计选择参加项目B和D的学生各有多少．为确保参加活动的每名学生都有座位，请结合本次活动日程表合理安排B和D的活动地点． “劳动赋能成长，实践创造未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 时间 8：00-9：30 E 10：00-11：30 C 13：00-14：30 设备检修暂停使用 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $