第六章 平行四边形（复习课件）数学新教材北师大版八年级下册

单元复习课件 第六章 平行四边形 新教材北师大版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的定义、性质定理与判定定理，理解多边形内角和、外角和公式，理清各类四边形之间的区别与联系，构建完整的四边形知识体系。 3.通过几何问题探究与解题反思，培养严谨的几何思维、规范的推理书写习惯，感受几何图形的内在联系与应用价值，增强几何直观与数学抽象核心素养。 2. 熟练运用平行四边形及特殊四边形的性质、判定进行几何证明与计算，掌握平行线间距离的应用，体会转化、类比、数形结合数学思想，提升几何推理、逻辑论证与空间想象能力。 单元学习目标 平行四边形 梯形 等腰梯形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 性质 判定 应用 两条平行线之间的距离 中位线 一组对边平行，另一组对边不平行 两腰相等 单元知识图谱 知识点一、平行四边形的性质 1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 考点串讲 考点串讲 考点一：平行四边形性质 核心性质 从“边”与“角”的维度掌握几何特征与计算逻辑 核心性质 · 边与角 关于“边”的性质 平行四边形的两组对边分别平行且相等。这是判定平行四边形及求线段长度的基础依据。 关于“角”的性质 两组对角分别相等；相邻的两个角互补（和为180°）。常用于求解角度大小及证明角相等。 考点解读 · 核心应用 常见命题方向 ① 利用“对边相等”求线段长度 ② 利用“邻角互补”求内角度数 ③ 证明线段平行或相等、角相等 注：性质的灵活运用是解决复杂几何综合题的第一步，需结合图形直观理解。 1.7.2013 第一个考点是平行四边形的性质。我们先看边和角的性质。对边平行且相等，对角相等，邻角互补。这些性质是解决角度和边长计算问题的基础。比如这个例题，就利用了邻角互补的性质来建立方程求解。 ‹#› 知识点二、平行四边形的判定 1.与边有关的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 考点串讲 知识点二、平行四边形的判定 4.判定平行四边形的基本思路： ①若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行； ②若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等； ③若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分. 考点串讲 考点串讲 考点二：平行四边形判定 判定精讲 【核心判定依据与典型易错点辨析】 ◆ 核心判定方法 1. 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2. 边判定：两组对边分别相等 / 一组对边平行且相等。 3. 角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4. 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ⚠ 典型易错点警示 错误说法：“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形是平行四边形。 反例：等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形。 💡 提示：判定时需紧扣“平行且相等”或“两组”等关键条件，避免漏判。 1.7.2013 平行四边形的判定有五种方法，大家要根据题目的条件灵活选用。这里要特别注意一个易错点：“一组对边平行，另一组对边相等”并不能判定一个四边形是平行四边形，因为等腰梯形也满足这个条件。 ‹#› 知识点三、梯形 1.概念：一组对边平行、另一组对边不平行的四边形. 2.两腰相等的梯形称为等腰梯形； 等腰梯形的性质：①两底角相等；②轴对称图形. 知识点四、三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 考点串讲 知识点五、平行线之间的距离 1.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 如图，已知a∥b，则a与b的距离是图中的线段CD的长度.  2.平行线间的距离处处相等. 考点串讲 题型剖析 题型一、平行四边形的性质 1.平行四边形的两条对角线长分别为3和5，则其中一条长为整数的边可以是__________⁠. 2或3 2.如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝______⁠°. 50 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型一、平行四边形的边角性质 3.▱ABCD中，若∠A＝120°，则∠C的度数为( )　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.60° C.120° D.150° 4.如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 B C 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型一、平行四边形的边角性质 5.如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，BD交于点E，以下结论错误的是（　B　） A.AE＝EC B.∠ACB＝∠ADB C.AD＝CB D.△BEC可由△DEA绕点E旋转180°得到 B 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( ) A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD B 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 2.如图①，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案有（　A　） A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙 A 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 3.小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题. （1）已知△ABC，求作平行四边形.作法：如图，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD就是平行四边形.该作法中判定四边形ABCD是平行四边形的依据是  　别相等的四边形是平 行四边形　⁠. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 （2）探究：“在四边形ABCD中，若AB＝CD，对角线AC与BD交于点O，且AO＝CO，∠AOB＝45°，当AB与AO满足什么条件时，四边形ABCD一定是平行四边形？”直接写出AB与AO满足的条件. 解：AB与AO满足的条件是AB＝AO. 3.小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题. 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 4.如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，BC＝13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF。 (1)求证：四边形BDFC是平行四边形； (1)证明：∵BC∥AF，∴∠CBE＝∠DFE。 ∵E是边CD的中点，∴CE＝DE。 又∵∠BEC＝∠FED，∴△BEC≌△FED(AAS)， ∴BE＝FE，∴四边形BDFC是平行四边形。 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 (2)若BD＝BC，求四边形BDFC的面积。 (2)解：由(1)得，∵△BEC≌△FED，∴DF＝BC＝13。 ∵BC∥AF，∠ABC＝90°，∴∠BAD＋∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝90°。 ∵BD＝BC＝13，AD＝5，∴AB＝＝12， ∴S四边形BDFC＝DF·AB＝13×12＝156。 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 5.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，连接BF，AC，DE，∠AFB＝90°。 (1)求证：四边形ACED是平行四边形； (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAE＝∠BEA。∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BA＝BE。∵∠AFB＝90°，∴∠ABF＝∠EBF。∵AB∥DC，∴∠ABF＝∠BFC＝∠EBF，∠BAF＝∠CFE，∴BC＝CF，∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴BC＝CE，∴CE＝AD。∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形。 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 (2)若∠ABC＝60°，AB＝6，求AC的长。 (2)解：由(1)知，AB＝BE。∵∠ABC＝60°，∴△ABE为等边三角形。∵BC＝CE，∴AC⊥BE。 ∵AB＝6，∴BC＝BE＝AB＝3，∴AC＝＝3。 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 6.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE。 (1)求证：四边形ABDE是平行四边形； 证明：(1)由题意可得，四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD。 ∵CD＝DE，∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形。 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型二、平行四边形的判定 (2)连接BE，交AD于点F，连接OF，求证：CE＝4OF。 (2)∵四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形， ∴BF＝EF，OB＝OD，∴OF是△BDE的中位线，∴DE＝2OF。 ∵CD＝DE，∴CE＝2DE，∴CE＝4OF。 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型三、三角形的中位线定理 1.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E.若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？ 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型三、三角形的中位线定理 解：当点G为线段BF的中点时，四边形AFDG为平行四边形，理由如下： ∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD. ∵点G为线段BF的中点， ∴DG是△BCF的中位线， ∴DG∥CF，2DG＝CF， ∵2AF＝CF，∴DG＝AF， 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型三、三角形的中位线定理 2.如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O。 (1)求证：OE＝EC； (1)证明： ∵ED，EF是中位线，∴ED∥FC，EF∥DC， ∴四边形EFCD是平行四边形。 ∵对角线CE和DF相交于点O，∴OE＝EC。 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型三、三角形的中位线定理 (2)若OD＝2，求AB的长。 (2)解：∵EC，DF是▱EFCD的对角线，OD＝2，∴DF＝2OD＝4。 ∵ED，EF是△ABC的中位线，∴点D，F分别是AC，BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝AB，∴AB＝2DF＝8。 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 题型四、梯形的计算 1.已知直角梯形的一腰长为18 cm，另一腰长为9 cm，则较长的腰与下底边所成角的度数为　 　。  　30°　 2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线.添加下列条件之一： ①AB=DC；②BD平分∠ABC；③∠ABC=∠C；④∠A+∠C=180°，能推得梯形ABCD是等腰梯形的是　　　　 （填编号）.  ①③④ 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 方法技巧 ◆ 题型特点： 直接考察图形的性质和判定定理，常需证明线段相等、角相等、直线平行或垂直，或证明一个四边形是某种特殊平行四边形。 ◆ 核心解题策略： 1. 分析已知：梳理题目给出的边、角、对角线的数量关系与位置关系。 2. 锁定目标：明确最终需要证明的结论（如“证平行”、“证菱形”等）。 3. 匹配定理：结合已知条件与证明目标，筛选最直接的性质定理或判定定理。 4. 规范书写：严格遵循“已知→求证→证明”的逻辑格式，推理过程要因果对应、条理清晰。 基础证明题 1.7.2013 对于证明题，我们的解题思路通常是：首先明确要证明什么，然后分析已知条件，接着选择合适的定理，最后规范地写出证明过程。关键在于根据题目的条件和结论，准确地选择判定定理或性质定理。 ‹#› 题型剖析 计算与求值题 核心要点 ▍题型特点 结合特殊平行四边形的性质，综合利用勾股定理、三角函数、面积公式等核心知识，求解线段长度、角度大小或图形面积。 ▍解题策略三部曲 1. 精准识图：快速判定题目所给图形为矩形、菱形还是正方形，明确图形的类别是解题的前提。 2. 巧用性质：运用特殊图形性质（如矩形对角线相等、菱形对角线垂直平分）构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题。 3. 公式计算：在构造出的直角三角形中，灵活运用勾股定理求边长，或利用三角函数求角度，最终完成计算与求值。 1.7.2013 计算与求值题是本章的另一种常见题型。解决这类问题的关键是，首先识别出图形的类型，然后利用其特殊性质（如矩形的直角、菱形的对角线垂直）来构建直角三角形，最后在直角三角形中运用勾股定理等知识进行计算。 ‹#› 针对训练 1.（2025西安二模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（　　） A.4 B.6 C.8 D.16 C　 2.如图，在△ABC中，若点D，E分别为AB，AC的中点，BC=6，∠A=50°，∠B=70°，则DE= ，∠AED的度数为　　　　.  3　 60° 针对训练 如图，在□ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，AD上，EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，图中共有多少个平行四边形？ 3. 解：图中共有9个平行四边形， 有□AEOG，□GOFD， □AEFD， □EBHO，□OHCF，□EBCF，□ABHG，□GHCD，□ABCD. 针对训练 4.如图，在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN. （1）求证：△AFN≌△CEM； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，∴∠AFN=∠CEM， ∵FN=EM，AF=CE，∴△AFN≌△CEM（SAS）. （2）解：∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF=∠ECM， ∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，∴107°=72°+∠ECM， ∴∠ECM=35°，∴∠NAF=35°. （2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数. 针对训练 小华要做一个平行四边形木框，他手头有七根木条，长度分别为：①3 cm，② 5 cm，③3 cm，④6 cm，⑤5 cm，⑥ 8 cm，⑦9 cm. 请你帮他选一选，用哪四根木条可以组成一个平行四边形木框？请说明理由. 5. 解：选择①3 cm，②5 cm，③3 cm，⑤5 cm这四根木条可以组成一个四边形木框. 理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 针对训练 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=3 cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形. 求： (1)AD的长度； 6. 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB=CD=3 cm. 由题意将纸片沿对角线AC对折可知， ∠B′=∠B，AB′=AB， 针对训练 ∴∠B′=∠D，AB′=CD. 又∵ ∠B′EA=∠DEC， ∴△AB′E≌△CDE. ∴AE=CE. ∵△CDE为等边三角形， ∴CE=CD=ED=3 cm，AE=CE=3 cm. ∴AD=AE+ED=3+3=6 (cm). 针对训练 (2)如图，过点C作CF⊥AD，交AD于点F， ∵△CDE是等边三角形， ∴EF= ED= (cm). 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 (2)重叠部分的面积. 针对训练 如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一颗大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请 你设计出所要求的平行四边形；若 不能，请说明理由. 7. 针对训练 解：能实现这一设想，有多种设计方法. 如：如图，连接AC，分别过点B，D作EF∥AC，GH∥AC，过点C任作一条直线 (只要保证四边形ABCD在所求 作的平行四边形内部即可)交GH 于点G，交EF于点F，过点A作 EH∥GF，分别交EF，GH于点 E，H，则□EFGH为扩建后的平行四边形. 针对训练 8.［分类讨论思想］如图，在△ABC中，BC＝6 cm。射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以2 cm/s的速度运动，当点E先出发1 s后，点F也从点B出发沿射线BC以 cm/s的速度运动，分别连接AF，CE。设点F运动时间为t s，其中t＞0。 (1)当t为何值时，AE＝CF？ 解：(1)分两种情况讨论：①点F在点C的左侧时，AE＝CF，则2(t＋1)＝6－t，解得t＝；②当点F在点C的右侧时，AE＝CF，则2(t＋1)＝t－6，解得t＝。综上，当t的值为时，AE＝CF。 针对训练 (2)当t为何值时，S△ABF＋S△ACE＜S△ABC？ (2)∵AG∥BC， ∴AG与BC之间的距离处处相等， 当BF＋AE＜BC时，S△ABF＋S△ACE＜S△ABC，则t＋2(t＋1)＜6， 解得t＜。 ∴当0＜t＜时，S△ABF＋S△ACE＜S△ABC。 ✅ 知识构建： 平行四边形与特殊四边形→梳理平行四边形性质与判定，延伸矩形、菱形、正方形特性，构建四边形知识体系，解决几何证明与计算。 ✅ 思想方法： 数形结合：将几何性质转化为边、角、对角线的数量关系 转化思想：四边形问题→三角形问题求解 建模思想：从实际图形中抽象平行四边形模型，提升几何推理能力。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $