专题10 特殊图形问题（函数压轴，压轴题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题10特殊图形问题（函数压轴，压轴题专练） 01压轴命题透视 以二次函数为载体，融合相似、全等三角形知识。重点考查平行四边形、等腰三角形、菱形以 命题预测 及直角三角形、矩形、正方形的动点存在性问题，结合坐标运算与数形结合，注重分类讨论， 综合性强、区分度高。 1.相似、全等三角形问题 2.平行四边形的存在性问题 高频考法 3.等腰三角形与菱形的存在性问题 4.直角三角形、矩形与正方形的存在性问题 02压轴题型讲 ●典例靶向突破。一 口题型1相似、全等三角形狗题 关键点1确定相似的图形 ①隐含的对应关系：∠AEC和∠BED为对顶角： ②分情况讨论其他对应关系 关键点2求动点坐标 ①当边与坐标系平行时，直接利用坐标特征求解； ②当边与坐标系不平行时，借锐角三角函数进行转化求解 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛 物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交AB于 点E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式： (②)是否存在点D,使得BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y=-x2+x+6 ②存在，点D的坐标为L或行空】 1/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：令y=0,则-2x+6=0, 解得x=3, 令x=0,则x=0, .A3,0),B(0,6, 把A3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx+c, 得9+3汤+c=0. b=1 解得c=6 ∴.抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+x+6; (2)解：存在，理由如下， 根据题意，设点D(,-2+1+6, :BDE和△ACE相似，∠BED=∠AEC, 分类讨论：△ACE∽△BDE或AACE∽△DBE, ①如图所示，当△ACE∽△BDE时，∠BDE=∠ACE=90°， V角 BD∥AC, ∴D点纵坐标为6， -2+t+6=6, 解得t=0或t=1, D(1,6): ②如图所示，当△ACE∽△DBE时，∠BDE=∠CAE, 2160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B E 过B作BH⊥DC于点H,则H(t,6),BH=1,DH=-2+t,∠BHD=90°， BH =tan∠BDE=tan∠CAE= OB DH OA t_6=2, -t2+t3 .-2t2+2t=t, 解得1=0（舍去）或1= 3 -2+t+6= 25 4 g》 综上所达，点D的坐标为或公百》 【典例2】如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0).两点，与y轴交于点C,连接AC, BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P,交BC于点Q. (1)求抛物线的表达式： (②)过点P作PN⊥BC,垂足为点N,设M点的坐标为M(m,O),请用含m的代数式表示线段PN的长，并 求出当m为何值时，PN有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形，若 存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 3/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)若M点的坐标为(2,0)，直线PM上有一动点R,连接RO,将线段RO绕点R逆时针旋转90度，使点O的 对应点T恰好落在该抛物线上，则点R的坐标是 ·(直接写出结果) 【答案】0y-++4 ②Pw=- m-22+22 6 m=2时，PN有最大值，最大值为5 3 3)0点坐标为1,3)或 54- (4(2,2)或(2，-8) 【详解】(1)抛物线过点A(-3,0),B(4,0),则y=a(x+3)(x-4)=ax2-ax-12a, 则-12a=4, 解得a=3 1 4 .y= 3 (2)令x=0,则y=4,C(0,4), 设直线BC的解析式为y=+4, 把B(4,0)代入得 0=4k+4, k=-1, y=-x+4. :M点的坐标为M(m,O),PN⊥BC, Qm=m+4,P元-行m2+号n+4 1 1 1 PQ=-5m2+5m+4+m-4= 3 3 3 :0B=0C, :∠CB0=∠BQM=45°， ∠PQN=45°， PN-po. 2 PW=② 今-1m2+m=V2 3% 2m-2y+22, 当=2附，Pw有数大值子5， (3)存在点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形， 4/60 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设Q(t,-1+4)0≤t≤4)， AC=5,A0=V22-2t+25,C0=V2t, 当AC=AQ时，V2r2-2t+25=5, 解得1=0（舍)或1=1，QL,3)； 当AC=CQ时，√2|t=5, 解得1=5成1=5（合）… 当AQ=C0时，V212-21+25=√21t|, 解得1=12.5（舍）： 综上所述：Q点坐标为L,3)或 4-: 2 (4)当点R在x轴的上方时，如图1，过点R作RE⊥y轴于点E,过点T作TF⊥RE于点F,设R(2,r, 则0E=r,ER=2. ∠ORE+∠TRF=90°，∠RTF+∠TRF=90°， .∠ORE=∠RTF. :∠OER=∠RFT=90°，OR=RT, .△ORE≌△RTF(AAS,FT=ER=2,RF=OE=r, T(r+2,r-2, :点T恰好落在该抛物线上， r+22+r+2到+4=r-2 解得片=2,5=-8（舍去）， R2,2) 5/60 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C R 17 M 如图1 当点R在x轴的下方时，如图2，作TH⊥MR于点H,设R(2,-r),则MR=r,OM=2. 同理可求T-r+2,-r-2), :点T恰好落在该抛物线上， -r+2列2+-r+2列+4=r-2, 解得5=2（舍去），52=-8， R2,-8). M B R H 图2 故答案为：(2,2)或(2，-8) 题型2平行四边形的存在性问题 关键点1确定平行四边形顶点位置 ①隐含的对应关系； ②分情况讨论顶点的位置。若两个顶点为定点，且为平行四边形的一边，可通过以下方式确定对 边的位置 条件：点A,B为定点，且为平行四边形的一边 作法：平移AB,确定另外两点的位置 6/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 关键点2求点坐标 将斜线段的长，构造直角三角形，利用锐角三角函数转化为竖直线段的长来解决 【典例1】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A-3,0)和点B,与y轴交于点C(0,-3). 备用图 (1)求二次函数的表达式： (②)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足∠QAB=∠OBC,请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F,使得以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边 形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】()二次函数解析式为y=x2+2x-3 2)0-2,-3 (3)存在，以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为(2,5或(-2，-3)或-4,5) 【详解】(1)解：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,与y轴交于点C(0,-3), 9-3b+c=0 c=-3 b=2 解得， c=-3' “.二次函数解析式为y=x2+2x-3: (2)解：二次函数解析式为y=x2+2x-3, 当y=0时，x2+2x-3=0, 因式分解得，（x-1)(x+3)=0, 7160 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得，x1=1,x2=-3, B1,0, .OB=1,OC=3, 如图所示，连接BC, .∠B0C=90°， tan 208C Oc OB =3, :点Q是抛物线在第三象限上的一点， “设Q(9,92+2q-3(-3<9<0),过点0作QM⊥x轴于点M, .M9,0),AM=g-(-3=9+3,QM=-g2-2g+3, :满足∠OAB=∠OBC, .tan∠QAB=tan∠OBC=3, :2M=3, AM -9-2g+3-3, 9+3 整理得，g2+5g+6=0, 因式分解得，（9+2)(9+3)=0， 解得，91=-2,92=-3（舍去）， 9=-2,则q2+2q-3=(-2)+2×(-2)-3=-3, 0-2,-3)； (3)解：二次函数解析式为y=x2+2x-3, 二对称轴直线为=-2-1， 2 8/60 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设E(-1,e),F(f,f2+2f-3),且A-3,0,C(0,-3), 当四边形ACFE是平行四边形时， VA E B “对角线交点的横坐标相等，即f-3=0-1 22 解得，f=2, f2+2f-3=22+2×2-3=5, F(2,5: 当四边形AECF是平行四边形时， B 0-3--1+f 2 2 解得，∫=-2， .f2+2f-3=(-22+2×(-2)-3=-3, f-2,-3: 当四边形ACEF是平行四边形时， 9/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :1-3-0+f 2 2 解得，∫=-4， :f2+2f-3=(-4)2+2×-4)-3=5, F(-4,5); 综上所述，存在以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为(2,5)或(-2，-3)或(-4,5). 【典例2】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0 两点，与y轴交于点C,且抛物线的顶点D的坐标为1,4)，连接BC,拋物线的对称轴与BC交于点H. 图① 图② (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G,使得SAGH=3 SADGH,若存在， 求出点G的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E,M为直线x=1上一个动点，在平面内 是否存在一个点N,使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，求出N点 坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=-x2+2x+3 2存在，G5,25) 10/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)N点坐标为(2，-1)或(2,2. 【详解】(1)解：：抛物线的顶点D的坐标为1,4)， ∴.设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4, :抛物线过点A-1,0), a(-1-1)2+4=0, 解得a=-1, :.抛物线的解析式为y=-(x-1)+4=-x2+2x+3; (2)解：存在，理由如下： 由(1)知抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, 令x=0,则y=3, C(0,3, 设直线BC的解析式为y=kc+b,代入C(0,3)和B(3,0)可得： 「b=3 3k+b=0' k=-1 解得： b=3· :直线BC的解析式为：y=-x+3, :抛物线的对称轴与BC交于点H, “把x=1代入y=-x+3可得：y=2, H(1,2), DH=2, 过点G作GM∥x轴交对称轴于点M,过点G作GN∥y轴交直线BC于点N,如图所示： BN 设点G的坐标为m,-m2+2m+3)1<m<3,则N(m,-m+3,M1,-m2+2m+3), .GM=m-1,GN=-m2+2m+3--m+3=-m2+3m, 11/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5-3-l小x-m+3m=-m2+3m,Sa分2xm-=m-1, SARGH =3SADGH -m2+3m=3m-1, 解得m=3或m=-√5（舍去）， G5,25); (3)解：由(2)知，0B=0C=3,又∠B0C=90°， ∠0CB=45°， 设点E关于直线BC的对称点为E,如图所示， D 则CE=CE',EE'⊥BC, :∠0CB=45°， .∠CEE'=45°， ∠CE'E=45°， 即△ECE'是等腰直角三角形， LECE'=90°， 由抛物线的对称性可知，E(2,3), .CE'=2, .CE=2, 0E=1, E(0,1. :BE是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∠BME=90°， 12/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设M(1,n, :EM2=1P+(n-12=n2-2n+2,BM2=(3-1)2+n2=n2+4,BE2=12+32=10, .n2-2n+2+n2+4=10, .n=2或n=-1, 当n=2时，M(1,2), N(2,-1, 当n=-1时，M(1,-1), N(2,2), 综上所述：N点坐标为2，-1)或(2,2). 口题型3等腰三角形与菱形的存在性问题 1确定等腰三角形顶点位置的作法： ()已知条件：已知定点A,B和直线1，在直线1上找点C,使△ABC为等腰三角形； (2)分类情况（图见左栏）： ①AB为腰： )如圄①，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与直线1的交点即为所求的点C: ①)如图②，以点B为圆心，AB长为半径画圆，与直线1的交点即为所求的点C ②AB为底 如图③，作线段AB的垂直平分线，与直线1的交点即为点C 2.等腰三角形(AABC)中，求点坐标的方法： 代数法（边长可直接表示）：分别表示出点A,B,C的坐标，再表示出线段AB,AC,BC的长度，分() AB=AC;(2)AB=BC; (3)AC=BC三种情况例方程求解。 3.确定菱形顶点位置的作法： ()已知条件：已知定点A,B和直线，在直线1上找点C,平面内找点D,使得以点AB,C,D为顶点的 四边形为菱形 2)分类情况：①AB为边：如图①，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与直线1交于点C,分别过点B,C 作AC,AB的平行线交于点D;如图②，以点B为圆心，AB长为半径画圆，与直线1交于点C,分别过点A,C 作BC,AB的平行线交于点D C. B D 图① 图② ②AB为对角线：如图③，作AB的垂直平分线，分别与AB,直线1交于点O,C,以点O为圆心，OC长为半 13/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 径画圆，与垂直平分线另一端交于点D. 图③ 4菱形中，求点坐标的常用方法： (1代数法：菱形（以点A,B,C,D为顶点的菱形 ①AB为边：分别婊示出AB,BC,BD 的长，分①ABBC;②AB=BD两种情况列方程求解 ②AB为对角线：分别表示出BC,BD的长，由BC-BD列方程求解： 2)几何法：作对角线的垂直平分线，利用勾股定理或相建立等量关系求解 【典例1】已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,顶点为 D 图1 图2 (I)直接写出点B,C,D的坐标； (②)如图1，若平行于x轴的直线EF与抛物线交于点E,F(点E在点F的左边)，与线段CD交于点M.设 点E的横坐标为t,线段EM的长为m,试求m关于t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），并 求EM的最大值； (3)如图2，若点P是在y轴右侧抛物线上的一动点，过点P作PN∥y轴交线段BC于点N,连接PB,是否 存在这样的点P,使△PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)B(3,0),C(0,3),D(2,-1 ②m=+t,3 3)存在，(1,0)，(2，-1，(2,5-42 【详解】(1)解：：y=x2-4x+3=(x-22-1, 顶点D(2,-1, 令x=0,则y=3, 14/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C0,3, 令y=0,则x2-4x+3=0, 解得：x1=1,x2=3, B(3,0, .B3,0,C(0,3,D(2,-1: (2)设直线CD的解析为y=x+b,则b=3, 将点D(2,-1)代入得，2k+b=-1, k=-2, y=-2x+3, :EF∥x轴，设Et,t2-41+3), .-2x+3=t2-4t+3, x=-+21, 2 1 .、m2+2t-t=5+-2(t-+ 2 :m关于t的函数关系式为m=F+,EM的最大值为； (3)解：存在点P,使△PBN是等腰三角形， :0B=0C=3, :aBOC是等腰直角三角形， 设直线BC的解析式为y=c+3,将点B(3,0)代入得，y=-x+3 .∠CB0=∠0CB=45 :PN∥y轴， :∠PNB=LOCB=45 设Pm,m2-4m+3,则N(m,-m+3) ①当BP=BN时，∠PBN=2LNB0=90 ∴.△PBN是等腰直角三角形， 设NP交x轴于点Q,则Q(m,0) 15/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P D 图2 ..PO=OB 3-ml=m2-4m+3 解得：m=0(舍去)或m=3(舍去)或m=2 P(2,-1): ②当PB=PN时，则P,Q重合， m2-4m+3=0, 解得：m1=1,m2=3(舍去) P1,0): ③当NP=NB时， :P(m,m2-4m+3,N(m,-m+3) :PN=-m+3-(m2-4m+3=m2-3m=m(m-3),BN2=2(m-3)2, 2(m-3)2=m2(m-32 解得：m=√2或m=-√2（舍去） 当m=√2时，m2-4m+3=(m-(m-3)=V2-1(√2-3=5-4W2, P2,5-42) 综上所述，存在点P,使aPBN是等腰三角形，满足条件的点P的坐标为1,0)，(2，-1)，（N2,5-4V2) 【典例2】综合与探究 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0)、点B,与y轴交于点C,直线y=2x-6与抛物线交于 16/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点B、点C,直线y=mx+n与抛物线交于点A-2,0),与y轴交于点E,与直线y=2x-6交于点F. d 备用图 (1)求抛物线的解析式； ②如果瓷号那么m= (3)在(2)的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，若S△ECw=4S△cM,则点N 的坐标为 (④)点P是坐标轴上一点，点Q是平面内任意一点，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC为对角线 的菱形时，点Q坐标为 ⑤点H在y轴上，则H+DCH的最小值是 10 【答案】(1)y=x2-x-6 1 2②-2’-2 3)-2,0)或(2，-4) 或(-10，-6) ⑤3vf0 2 【详解】(1)解：：直线y=2x-6与x轴、y轴交于点B、点C, 当x=0时，y=-6，当y=0时，2x-6=0,则x=3, .B3,0,C(0,-6), :抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0)、点B(3,0),与y轴交于点C(0,-6, [0=9a+3b+c a=1 {-6=c ,解得： b=-1, 0=4a-2b+c c=6 .抛物线的解析式为y=x2-x-6; 17/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)过点F作FD⊥x轴，则FD∥OC,设F(t,2t-6, /B x .BF 1 ·BC3,FD∥0C, 配8胎-了即号-解得1=2 F(2,-2), -2m+n=0 将A-2,0),F(2,-2),代入直线y=mx+n,得 2m+n=-2 1 1m=- 解得： 2 n=-1 1 故答案为：2-2： (3)由(2)可知，直线AE的解析式为)=2-1， 令x=0,则y=-1, E(0,-1),则EC=5, 1225 :y=x2-x-6=x-5 (x2-4 1 ∴抛物线的对称轴为x= 2 15 S△EcM=2ECxw=×5× 2 224’ :S△ECN=4 SAECM,即SAECN=5, 1 S.ECN=EC=x5xx=5, 2 .xw=2或xw=-2, 当xw=2时，yw=22-2-6=-4; 当xw=-2时，yw=(-2)2-(-2)-6=0; 18/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点N的坐标为-2,0)或(2，-4)， 故答案为：(-2,0)或(2，-4； (4)解：存在，理由如下： :A-2,0),C(0,-6) AC=V62+22=210, 当AC为菱形对角线时，则AP=CP, 当点P在y轴上， 设P(0,r),PA=PC=6+r, P02+0A2=PA2, .r2+22=(6+r2, 解得：r=号即0)，则0-号 如图，在菱形APCg中，Ag∥CR,Ag=CP= 3， y 4 ○ 0 当点P在x轴上，同理可得Q,-10,-6)； 综上，点e的坐标为之9)成-0，-利， 故答案为： （-29）-10-61: (5)连接AC,过点H作HG⊥AC,过点B作BT⊥AC,则LAOC=∠HGC=90°， Saue-2AB-OC-ACB :BT=4B.0C=5x6_3V10 AC2102, 19/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：∠AC0=∠HCG, ∴.△ACO∽△HCG, AC OA CH GH ,则GH=04cH=,2·CH=DcH, AC 210 10 BH+ 10 H=BH+GH≥BT-3,当H在B7上时取等号， 2 BH+V CH的最小值为3 10 2 故答案为： 3W10 2 二题型4直角三角形、短形与正方形的存在性问题 1.确定直角三角形直角顶点位置的方法： (1)已知条件：定点A,B和直线1，在直线I上找点C,使△ABC为直角三角形 2)分类情况： ①以AB为直角边的作法：如图①，分别过点A,B作AB的垂线，与直线1交于点C. ②以AB为斜边的作法：如图②，以AB为直径画圆，与直线1交于点C. B 图① 图② 2.直角三角形冲，求点坐标的方法Rt△ABC:代数法（边长可直接表示： 分别表示出点A,B,C的坐标，再表示 出AB2,BC2,AC2,分(1)∠CA-90时，即AB2+AC2=BC2; (2)∠ABC-90时，即AB2+BC2=AC2; (3)∠ACB=90°，即AC2+BC2-AB,三种情况列仿程求解 3.确定矩形顶点位置的方法： (①)已知条件：已知定点A,B和直线1，在直线1上找点C,平面内找点D,使得以点A,B,C,D为顶点的四边形为 形 2)分类情况： ①AB为直角边： 作法：如图①，分别过点A,B作AB的垂线，与直线1交于点C,过点C作AB的平行线确定点D, 20/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D D 图① ②AB为对角线： 作法：如图②，以AB为直径画圆，与直线1交于点C,分别过点B,A作AC,BC的平行线与圆交于点D. D B 图② 4.确定正方形顶点位置的仿法： ()已知条件：已知定点A,B,在平面内找点C,D,使得以点A,B,C,D为顶点的四边形为正方形 (2)分类情况： ①AB为直角边： 法：如图①，分别过点A,B作AB的垂线，再利用正方形的边相等确定点C,D C(D2) D(C2) D,(C) C,(D) D(C) C,(D) 图① 图② ②AB为对角线： 作法：如图②，作AB的锤直平分线，再以AB为直径作圆，与垂直平分线的皎点即为点C(或D) 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)， 与y轴相交于点C,连接AC,BC. y=x2-2x-3 (I)求线段AC的长； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标： 21/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标. 【答案】（①）√10 (2)1,-10 3)1,-4)或(-2,5)或 2 2月 2 【详解】(1)y=x2-2x-3与x轴交点： 令y-0,解得x1=-1,x2=3, 即A(-1,0),B(3,0), y=x2-2x-3与y轴交点： 令x=0,解得y=-3, 即C(0,-3), ∴.A0=1,C0=3, .AC=VA02+C0=V10 (2)抛物线y=x2-2x-3的对称轴为：x=1, 设P(1,t), PA2=(1+12+(t-0)2=4+t2,PC2=(1-0)+(t+3)2=1+(t+3)2, 4+2=1+(t+3)2 “1, P(1,-1): (3)设点M(m,m2-2m-3), BM2=(m-32+(m2-2m-3-0=(m-3)2+m2-2m-32, CM2=(m-0)2+m2-2m-3+32=m2+m2-2m}, BC2=(3-0)2+0+32=18 ①当CM2+BC2=BM2时， m2+(m2-2m)+18=(m-3)2+m2-2m-32, 解得，m1=0(舍)，m2=1, 22/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M(1,-4): ②当BM2+BC2=CM2时， (m-32+m2-2m-3'+18=m2+m2-2m2, 解得，m1=-2,m2=3(舍)， M(-2,5): ③当BM2+CM2=BC2时， (m-3)2+(m2-2m-32+m2+m2-2m2=18, 解得，m=1±5 2 5,+55,5,5 .M 2 2 2’29 综上所述：满足条件的M为1，-4)或(-2,5)或 +5,5+5 2 2 【典例2】综合与探究 如图，抛物线y= 1x2_ 2 x-2与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,连接BC. B E (备用图)》 (I)求A,B,C三点的坐标并直接写出直线BC的函数表达式： (2)点D是第四象限内抛物线上一点，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E,当CE平分∠BCD时，求点D坐 标. (3)若点P是抛物线对称轴上的一点，点Q为平面内一点，当以点B,C,P,Q为顶点的四边形为矩形时， 请直接写出点P的坐标. 【答案】①4-1,0，B(4,0),C(0,-2,y=x-2 2 (2)2,-3) 23/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解)D解：揽物线少产 x-2与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 2 C, 当0时，符- x-2=0,解得：x=-1,x2=4, 2 当x=0时，得y=2, .A-1,0),B(4,0,C(0,-2, 设直线BC的解析式为y=kacx+bac,过点B(4,0),C(0,-2), 4kBC +bBc=0 bc=-2 解得： kBc=2, bBc=-2 :直线BC的解析式为y= 2-2, 综上，点A,B,C的坐标分别为(-1,0)，(4,0)，(0，-2)；直线BC的解析式为y=2-2: (2)如图，设直线BC交抛物线对称轴于点F,直线CD交抛物线对称轴于点G,FG交CE于点H, 123 :抛物线的解析式为y=2--2, 3 ·该抛物线的对称轴FG为x=-一2=3 =2 2× 2 :CE∥x轴，C(0,-2), CE⊥FG, ∠CHF=∠CHG=90° :CE平分∠BCD, .∠FCH=LGCH .∠CFH=90°-∠FCH=90°-LGCH=∠CGH, .CF=CG, 24/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴FH=GH, :直线BC:y= 1 x-2与直线FG:x= 3交于点F, 13 5 x三时，得：y22 -2=-4 ∴GH=FH=- 3 4 ÷点G的纵坐标为：-2-3-1。 441 设直线C0的解折式为y=如+如·过点G行-》 C(0,-2, 11 4 bCD=-2 解得： kcD=-2. b=-2 直线CD的解析式为y=- 2-2, :点D是第四象限内抛物线y= --2止-点，1在直线c0:y=-2上， x2-3x-2 1 y= 22 1 y=一 x-2 2 x=2x3=0 解得： y=-3’by2=-2 (不符合题意，舍去)， D(2,-3); B GE D (3)B(4,0),C(0,-2), .0B=4,0C=2, 25/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC=V0B2+0C2=V42+22=2V5, :以点B,C,P,Q为顶点的四边形为矩形， ①如图，当CB为矩形PCOB的对角线时，设对角线PQ与CB交于点R, :PR=QR=号BC=25=5,点R的坐标为 +4-2+0 2,2 ,即(2，-1， (2-+1-p-5, 解得：A=2+或2，-2-9 2 2 此时底P的坐标为}29或22 3-2+19 （3-2-四 B ②如图，连接AC并延长交抛物线对称轴于点P, :A-1,0),B(4,0),C(0,-2, 0A=1,0B=4,0C=2, :0C-2.1.04 0B420C LA0C=∠C0B=90°， ∴.△A0C∽△COB, .∠AC0=∠CB0, :∠AC0+LBC0=LCB0+∠BC0=90°， ∠BCP=LBCA=90°， 当BC为矩形BCPQ的边时， 设直线AC的解析式为y=k4cx+b4c,过点A(-l,0,C(0,-2), -kic+bic =0 bic=-2 26/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得： k4c=-2 b4c=-2' :直线AC的解析式为y=-2x-2, :直线4C:y=-2x-2与抛物线对称轴：x=2交于点P, 2 3 当x=。时，得：y=-2×三-2=-5， 2 此时点P的坐标为？-小月 YA 1111111 A B ③如图，当BC为矩形PBCQ的边时，设PB交抛物线对称轴于点P, PB∥AC, 设直线PB的解析式为y=-2x+ba,过点B(4,0), 当x=4时，得0=-2×4+bpB, 解得：bpg=8, 直线PB的解析式为y=-2x+8, :直线PB:y=-2x+8与抛物线对称轴：X=交于点P, 当x=时，得：y=2x+8=5, 2 此时点P的坐标为 综上所述，当以点B,C,P,Q为顶点的四边形为矩形时，点P的坐标为 33成 3-2+V19 3-2-V19 22 或22 27/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=8P+x+c与x交于A,B两点（点4在点B 与y轴交于点C0,3),抛物线的顶点为D.直线y=4x+ 11 与抛物线交于A,H两点 yA D C D N A B A B 0 0 (1)求抛物线的表达式： (②)用配方法求顶点D的坐标； (3)点P是对称轴右侧抛物线上任意一点，设点P的横坐标为t. ①过点P作x轴的垂线，垂足为Q,交直线AH于点N,当PN=2QN时，请直接写出P点坐标； ②连接CP,以CP为边作正方形CPEF,是否存在点P使点E恰好落在对称轴上？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】0①y=-3+3x+3 84 3)①(2,3)或 【详解】(1)解：当)=0时，4 +=0, 2 解得x=-2, ∴.点A的坐标为-2,0)， 28/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 把4(-2,0)，C0,3代入y=-x2+x+c中西 3 得 ×(-2-2b+c=0 8 C=3 3 b= 解得： 4, c=3 :抛物线的表达式为y=-3x+2x+3, 3 8 4 2:y=-3x2+2x+3=-3x2-2x+3=-3x-1}+2 3 3 4 8 :顶点D的坐标为1,8 27 (3)解：①设点P++3 8 4 则好+》 :点P是对称轴右侧抛物线上任意一点， 1>1, .PN 20N, 8 解得，1=2或1=-2（不合题意，舍去）或1=14 当1=2时，-3+3+3=-3×2+3×2+3=3， 8 4 8 83 +2x4+3=- 43 点P的坐标为2或（台引 ②存在，由抛物线y= x2+3 +3= 3父-2x+3+日可知，对称轴为直线x=1,设点 8 8 过点P作PN⊥y轴于点N,作PM∥y与过点E平行于x轴的直线相交于点M, 29/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形CPEF是正方形， ∴CP=EP, :∠CPN+∠NPE=90°，∠EPM+∠NPE=90°， ∠CPN=∠EPM, :∠CNP=∠M=90°， .△CPN≌△EPM(AAS), ∴CN=EM, 解得=了（不合题意，舍去）或1=4或1=-2（不合题意，舍去）或t= 3 3+31+3=-3x4+3x4+3=0, 3 3 当1=4时， 8 4 8 4 -3 点P的坐标为(4,0)或号10 33 03压轴强化训练 1,(25-26九年级下江西)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A,B,C的坐标分别为 (-2,1,-2,-12,1,点D在抛物线y=4x2-2x-1上.若以点D,0,B为顶点的三角形与△ABC相似， 则点D的坐标为一： 30/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案1兮-成或0- 【详解】解：过点O作直线BC的垂线，交抛物线于点D,D2,连接BD,CD2,抛物线与y轴交于点 M(0,-1) :直线BC:y=x经过点C(2,1), :k=2 :直线BC:y=2, 1 过直线D,D,上任意一点F作FG⊥y轴，交于点G,设点F(x,y),则FG=x,OG=-y, “点C(2,), ∴CE=2,OE=1, 在Rt△CEO中，tan∠COE= CE-2 OE :∠C0F=90°， ∠COE+∠FOG=90°，∠FOG+∠OFG=90°， .tan /COE=tan∠0FG=2, 即0C=y=2, FG x 直线DD2的关系式为y=-2x, y=4x2-2x-1 将两个关系式联立，得 y=-2x 1 1 解得 x2= 72, 2 y=-102=1 点D(分-A(D, 此时点D2在AC上，且BD,∥AC∥x轴， .∠OBD,=∠ACB=∠OBD2 31/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BAC=∠BOD=∠BOD2=90°， △ACBn△OBD,∽△OBD2, :点D的坐标为 ( 连接BM, ∠BM0=90°=∠A, AC‖BM, ∠C=LOBM, △ABC∽△MBO, 则点M为点D满足条件 点D的坐标为2或(2或0，- 2.(25-26九年级上江西如图，已知抛物线y=-x2-6x-5与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）， 与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D,与经过点B的直线y=2x+2交于点E,点P在抛物线 上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 A Di B 【答案】(-3+2V2,-4或(-3-2V2,-4或(-3,4 【详解】解：令0=-x2-6x-5, 解得x=-1,x2=-5, :点A在点B左侧， 32/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B(-1,0), y=-x2-6x-5=-(x+3)2+4, ·抛物线的对称轴为直线x=-3, 当x=-3时，y=2x+2=2×-3+2=-4, E-3,-4), 设Pm,-m2-6m-5,2(n,0）, 若BE为平行四边形的对角线时，-m-6m-5+0-4+0。 2 2 解得m,=-3+2√2，m,=-3-2√2， p-3+22,-4或P(-3-22,-4: 若BP为平行四边形的对角线时，=m-6m-5+0=4+0, 2 解得m=-3+2√2，m,=-3-2V2, p-3+22,-4或P-3-22,-4: 若B0为平行四边形的对角线时，0+0=-m-6m-5-4 2 解得m,=m2=-3, P(-3,4, 综上，点P的坐标为-3+2V2,-4或-3-22，-4或(-3,4)， 故答案为：（-3+22，-4或-3-2V2,-4或(-3,4). 3.(25-26九年级上北京)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A和点B, 与y轴交于点C,则点C的坐标为 ；若抛物线上存在一点P,对称轴上存在一点Q,使得以C,B, P,Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 33/60 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 3 上A 3-21024x -2 -3 【答案】 (0,3 (4,-5)或(-2，-5)或(2,3) 【详解】解：(1)令x=0,解得y=3, 故点C的坐标为0,3)： (2)令y=0,解得x=-1或x=3, 故点B的坐标为3,0)； y=-x2+2x+3=-(x-12+4, 设点Q1,9,Pp,-p2+2p+3； 当BC为平行四边形的对角线时， [0+3=1+p 3+0=9+(-p2+2p+3)' 解得 P=2 9=0' 此时点P(2,3): 当BP为平行四边形的对角线时， 3+p=0+1 0+-p2+2p+3)=3+9' 解得 p=-2 g=-8' 此时点P(-2,-5)； 当BQ为平行四边形的对角线时， 34/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3+1=0+p 0+9=3+(-p2+2p+3)' 解得 P=4 (9=-2 此时点P(4,-5)； 综上，点P的坐标为4，-5)或(-2，-5或(2,3) 4.(25-26九年级上内家古)抛物线y=号+x+4与X编交于4，B两点（点4在点8的左侧），点C在 抛物线上，且点C的横坐标为2，若点P为y轴上非原点的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 【答案】0,2)或0，-2)或0,2 【详解】解：令y=0,则- x2+x+4=0, 解得：x=4或x=-2 :抛物线y=-二x2+x+4与x轴交于A,B两点，点A在点B的左侧， 2 ∴.B(4,0) :点C的横坐标为2， .y=4, C2,4; ①当BP=BC时，如图， D B 过点C作CD⊥OB于点D, C(2,4),B(4,0), CD=4,0B=4,0D=2, 35/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CD =OB. 在Rt△BPO和Rt△BCD中， BP=BC OB=DC' :.Rt△BPO≌RteBCD(HL), :OP=BD. :0B=4,0D=2, BD=0B-0D=2, 0P=BD=2, ∴P0,2) 结合△PPB是等腰三角形，且OB⊥PP, ∴P(0,-2)； ②当BP=PC时，如图， 过点C作CE⊥y轴于点E, C(2,4),B(4,0), CE=2,0E=4,0B=4, 设点P(0,a), “点P为y轴的正半轴上的一点， :OP=a,EP=4-a, :BP=PC, .BP2=PC2, :Ep2+CE2=0P2+0B2, (4-a)2+22=a2+42, 36/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：a=2' 1 ③当BC=CP时，如图 D (P)O 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去， 综上，当s8CP为等段三角形，则点P的坐标为0,2到或0，-2引或0，》 故答案为：(0,2)或(0，-2)或0,2 5.(2026福建厦门一模)抛物线y=(x-2)-1的顶点为A,将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得 到的抛物线的顶点为B,平移前后的两条抛物线相交于点C,若△ACB为等边三角形，则m的值为 【答案】25 【详解】解：由题意得，点A的坐标为(2，-1)， :将抛物线y=(x-2)2-1沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B, 点B的坐标为2+m,-1), :平移后的抛物线解析式为y=(x-2-m2-1, y=(x-22-1 联立 =(x-2-m-1'得(x-2=(x-2-m, .x-2=x-2-m或x-2=-x-2-m）, 当x-2=x-2-m时，m=0,不符合题意： 当-2--2-m时，=2+受 37/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、2 在)=-2-1当=2+号时-2八-1=写1 如图所示，过点C作CD⊥AB于D, D B :ABC是等边三角形， .AC=AB=2+m-2=m(向右平移，m是正数)， AD=AB=m 2 c0=ac-40,02+- 2 .CD= m2-1-（-= 3 2n, :m5 4 2 解得m=2√3或m=0(舍去)， 故答案为：2V5 6.(2024山东淄博模拟预测)如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A,B两点，BC⊥x轴于点C,且 点A-1,0),C(4,0),AC=BC. B 38/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)点E是线段AB上一动点（不与A,B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F,当线段EF的长 度最大时，求点E的坐标及S△BF; (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所 有点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y=x2-2x-3 ®点E价坐标为仔引，令 3)存在：点P的坐标为(1,8)或(1，-2)或1,6)或(1，-1) 【详解】(1)解：点A(-1,0),C(4,0), AC=5,0C=4, AC=BC=5, B(4,5), 把A-1,0)和B(4,5代入二次函数y=x2+bx+c中得： 1-b+c=0 16+4b+c=51 b=-2 解得： c=-31 .二次函数的解析式为：y=x2-2x-3; (2)解：如图1，直线AB经过点A(-1,0和B(4,5), 设直线AB的解析式为y=c+b, -k+b=0 4k+b=5 k=1 解得： b=1 :直线AB的解析式为：y=x+1, :二次函数y=x2-2x-3, 39/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 设点E(t,t+1,则F(t,2-2t-3, =*---=〔-。 :当1一时，EF的鼓大值为空。 :点E的坐标为22 35 5m号F。-x*至4+ 2 8 (3)解：存在， y=x2-2x-3=(x-1)2-4, :对称轴为直线x=1, 设P1,m),分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB?+AB2=PA2, (4-1)2+(m-5)2+(4+1)2+52=(1+1)2+m2, 解得：m=8, P1,8); ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA+AB2=PB2, (1+1)2+m2+(4+1)2+52=(4-1)2+(m-5)2, 解得：m=-2, P1,-2); ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=AB2, 40/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1+1)2+m2+4-1)2+(m-5)2=(4+1)2+52, 解得：m=6或m=-1, P(1,6或P(1,-1； 综上，点P的坐标为1,8)或1，-2)或1,6)或1，-1. 7.(2026山东济南二模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A1,0)、点B,与y轴交于点C(0,-3). 图1 图2 (I)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当△ACN是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足∠DAC=3LAC0时，求点D坐标. 【答案】(1)y=-x2+4x-3,B(3,0 o2(2-2-川或2-2 得9) 【详解】(1)解：将C(0,-3)代入y=-x2+bx+c得c=-3, 将A1,0)代入y=-x2+bx-3得：b=4, ∴.抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3, 令y=0,0=-x2+4x-3,解得：x=1(舍)，x2=3, .B3,0. 2解：对称轴三二202x-三2， .设N(2,), 41/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A1,0),C(0,-3, A B AC2=1-0)2+[0-(-3)]=10,AW2=(1-22+(0-)}2=2+1,CN2=(2-0)2+(-3-}2=2+61+13, ①当A为直角顶点时，AC2+AN2=CN2, .10+t2+1=t2+6t+13, 2: ②当C为直角顶点时，AC2+CW2=AN2, .10+2+6t+13=t2+1, 11 2》 ③当N为直角顶点时，AW2+CN2=AC2, .t2+1+t2+6t+13=10, 解得：1=-1,43=-2， .N(2,-1或(2，-2)， 综上所运，v点的标为2兮2-胃）2-2-2. (3)解：如图，延长DA交y轴于F,在OC上取点E,使CE=AE, 42/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设CE=AE=1,则0E=3-t, 在Rt△AE0中，OE2+OA2=AE2, .12+(3-t)2=t2, 解得：1= 3 4 5 ÷0E=3,4E=3 :∠ACE+LCAE=LAEO,LEAC=∠ECA, ∠AE0=2LAC0, :∠DAC=3∠AC0,∠DAC=∠AC0+LAF0=3∠AC0, ∠AF0=2∠AC0, .∠AF0=∠AE0, OF-0E73 :点F的坐标是0 4 :点4的坐标是，0、点F的坐标是(0)】 设直线AF的解析式是y=+b, 4 k+b=0 k=- 3 可得： 4,解得： b= 4 3 b=- 3 44 :直线AF的解析式是y= 3+t 3 4 y=- 联立 3+3 13 ,解得：x=1(舍)，x2= y=-x2+4x-3 3, .点D的坐标是 1340 3’-9 8.(陕西榆林)如图，抛物线y=ax2+bx-2经过点A4,0)、B(1,0),交y轴于点C. 43/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的函数表达式： (2)0为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），OM⊥x轴于点M,是否存在点Q,使得以 点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】0y=-x+x-2 5 2 2 (2)存在，点Q的坐标为2,1) 【详解】(1)解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式y=ax2+bx-2中， 1 0=a+b-2 a2 0=16a+46-2'解得 得 5 b-2 仁抛物线的表达式为y=女了/ +2t-2: (2)存在，理由如下： 1 5 对于抛物线y=-二x2+三x-2,当x=0时可得y=-2, 2 2 点C(0,-2), A4,0, .0A=4,0C=2, tan∠OAC=OC、1 OA 2' 5 x,-,x2+x-2，则4M=4-x,O x-2, 2 2 以点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似， 则∠MQA=∠OAC或∠MAQ=∠OAC, :tan∠M0A=4M=l或tan∠M4O=2M= OM 2 AM 2 44/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .QM=2AM或AM=2QM, 当01=24M时、可4-+-2=24- 整理得，x2-9x+20=0, 解得x=4(舍去)或x=5(舍去)， 当AM=2QM时， 2-x2+x-2=4-x, 、2 2 整理得，x2-6x+8=0,解得x=2或x=4(舍去)· 综上所述，满足条件的点Q的坐标为：(2， 9.(25-26九年级上·安微准南)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ,D为0C的中点，直线AD交抛物线于点E(2,6),且C点坐标为(0,4)，A点坐标为-1,0). (①)求这条抛物线对应的函数关系式： (②)连接BD,试判断BD与AD的位置关系，并说明理由； (3)连接BC交直线AD于点M,在直线AD上，是否存在这样的点N(不与点M重合)，使得以A、B、N为 顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y=-x2+3x+4 (2)BD⊥AD,理由见解析 3)点N的坐标为2,6). 【详解】(1)解：：点E(2,6),C(0,4),A(-1,0)在抛物线y=ax2+bx+c上， 「4a+2b+c=6 则c=4 a-b+c=0 45/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a=-1 解得b=3, c=4 :.这条抛物线对应的函数关系式为y=-x2+3x+4; (2)解：BD⊥AD,理由如下， 令y=0,则-x2+3x+4=0, 解得x=-1或x=4 .B点坐标为(4,0)， :D为0C的中点，C(0,4),A(-1,0), D(0,2), AD2=12+22=5,DB2=22+42=20,AB2=4+1=25, :.AD2+DB2=AB2, △ABD为直角三角形， .∠BDA=90°，即BD⊥AD: (3)解：：0B=0C=4,∠B0C=90°， .∠ABM=45°， :BD⊥AD,BD=DE=2N5, ∠AEB=45°， .∠AEB=∠ABM, 又：∠BAE=∠MAB, ∴.△AEB∽△ABM, 即点E符合条件，点N与点E重合， .点N的坐标为2,6). 10.（2026安徽淮南一模)已知直线y=-x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点C.抛物线 y=ax2-2ax+ca≠0)经过点A,C,与x轴的另一个交点为B. (1)求抛物线的表达式和点B的坐标. (2)点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，直线PB与y轴相交于点D,作PM⊥x轴于点M,交直线 46/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=-x+3于点N. (i)求证：CD=OM; (i)若要使以C,D,N,P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值 【答案】(1)y=-x2+2x+3,B(-1,0 2)(i)证明见解析；(i)m的值为2或4 【详解】(1)解：将y=0代入y=-x+3得：-x+3=0,解得x=3, A3,0), 将x=0代入y=-x+3得：y=3, C0,3, 9a-6a+c=0 将A3,0),C(0,3)代入y=ax2-2ax+ca≠0)得： c=3 a=-1 解得c=3 ∴.抛物线的表达式为y=-x2+2x+3, 将y=0代入y=-x2+2x+3得：-x2+2x+3=0,解得x=3或x=-1, .B-1,0. (2)证明：()由题意，画出图形如下： D B :Pm,n)(m>0),PM⊥x轴于点M, ÷OM=m, 将点P(m,nm>0)代入y=-x2+2x+3得：n=-m2+2m+3, Pm,-m2+2m+3, 设直线PB的解析式为y=kx+b(k。≠0)， 47/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将点P(m,-m2+2m+3,B(-1,0)代入得： km+b。=-m2+2m+3 -k。+b=0 解得 [k=3-m b。=3-m 直线PB的解析式为y=3-m)x+3-m, 将x=0代入y=(3-m)x+3-m得：y=3-m, .D(0,3-m, :C(0,3), CD=3-(3-m=m, .CD =OM. 解：(ii)将x=m代入y=-x+3得：y=3-m, N(m,3-m)）, :P(m,-m2+2m+3, PN=-m2+2m+3-(3-m=m2-3m, :PN⊥x轴，CD⊥x轴， PN∥CD, :要使以C,D,N,P为顶点的四边形是平行四边形，则只需PN=CD,即m2-3m=m, 解得m=4或m=0(不符合题意，舍去)或m=2, 综上，m的值为2或4. 26九年级上福建厦门)如图，抛物线y三)2+2x-6与x轴交于A,B两点（点A在点B,的 与y轴交于点C,连接AC,BC. 48/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求A、B,C三点的坐标. (②)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D.在直线1上是否 存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明 理由. 【答案】(1)(6,0)，(2,0)，(0，-6 2)存在；(2-25,2V5或(-6，-8别 【详解】(1)解：对于y=x+2x-6来说。 2 当x=0时，y=-6; 故点C(0,-6), 当y=0时，有x2+2x-6=0, 解得：x,=2,x2=-6, B2,0),A-6,0): (2)解：存在： 设直线AC的表达式为：y=x+b; -6k+b=0 将A-6,0),C0,6代入得：0+b=6” k=-1 解得： 1b=6 故直线AC的表达式为：y=-x-6； 设点D的坐标为m,-m-6),其中-6<m<0, B(2,0),C(0,-6), .BD2=(m-2)+(m+6)2,BC2=22+62=40,DC2=m2+(-m-6+6)=2m2, :DE∥BC, :.当DE=BC时，以点D,C,B,E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 49/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图，当BD=BC时，四边形BDEC为菱形， :BD2=BC2, (m-2)2+(m+6)2=40, 解得：m=-4,m2=0（舍去)， 点D的坐标为-4，-2)， :点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E, 点E的坐标为-6，-8)； 如图，当CD=CB时，四边形CBED为菱形， B ..CD2=CB2, 2m2=40, 解得：m1=-2V5,m2=25(舍去)， :点D的坐标为(-2V5,25-6, :点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E, 点E的坐标为(2-25,25)： 综上，存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(-6，-8)或(2-2√5,25； 50/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.(2025四川资阳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的 左边)，与y轴相交于点C(0,-3),且抛物线的顶点坐标为1，-4)， B A 备用图 (①)求抛物线的表达式： (2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(O,-I),连接BC,DP相交于点E,连接PB.若aCDE与△PBE 的面积相等，求点P的坐标： (3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H.是否存在点M,N ,使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)y=x2-2x-3 (3)存在，正方形的边长为9√2或√2 【详解】(1)解：：抛物线与y轴相交于点C(0,-3,且抛物线的顶点坐标为1，-4). :设抛物线的解析式为：y=a(x-1)-4, 把C(0,-3)代入，得：a(0-12-4=-3, “a=1, y=(x-1-4=x2-2x-3; (2)当y=x2-2x-3=0时，解得：x=3,x2=-1, B3,0, C(0,-3), 设直线BC的解析式为：y=x-3,把B(3,0)代入，得：k=1, 51/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=x-3, 作PF⊥x轴，垂足为点F,设Pm,m2-2m-3,则：OF=m,PF=-m2+2m+3, :BF =3-m, :△CDE与△PBE的面积相等， ∴S.cDE+SODEB=S,PBE+SODER,即：S.BOC=SODP&=SPFB+SODPF, D(0,-1, 0D=1, 之3x3=-m+2m+33-m+m+2m+3+m, 2 7 解得：m=。或m=0(舍去)； 3 A C (3)存在点M,N使四边形MNHG为正方形， E B M 如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有aMNF与△NEH都为等腰直角 三角形，MN∥BC, 由(2)可知，直线BC的解析式为y=x-3, 52/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设M(x,),N(x2,y2,直线MN解析式为y=x-b, 联立得： y=x-b y=x2-2x-3' 消去y得：x2-3x+b-3=0, .NF2=x-x22=(x1+x2)2-4xx2=21-4b, :△MNF为等腰直角三角形， .MN2=2NF2=42-8b, “E(x2,x2-3), NE2=[y2-(x2-3]=(x2-b-x2+3)2=(b-32, --y :四边形MNHG为正方形， ∴.NH2=MW2, 42-0=6-6+9列， 整理得：b2+10b-75=0, 解得：b=-15或b=5, :正方形边长为MN=√42-8b, .MN=9√2或√2，即正方形的边长为9√2或√2. 13.(24-25九年级上·安徽阜阳)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,2),C(-1,0),以AC为直角边，在第 二象限作等腰直角三角形ABC,LACB=90°，抛物线y=ar2+ar-2经过点B. (1)求抛物线的解析式 (②)设抛物线的顶点为D,连接BD,CD,求△BDC的面积. 53/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在抛物线上是否还存在两点G,H,使四边形ACGH为正方形？若存在，请求出点G,H的坐标；若不存 在，请说明理由， 【答案】0y+宁-2 o号 3)存在，G(1,-1,H(2,1 【详解】(1)解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F,则∠CFB=∠AOC=90°. B D .∠CA0+∠AC0=90° :∠ACB=90°， .LBCF+∠AC0=90° .∠BCF=∠CAO. 在△AOC和aCFB中， ∠CFB=∠AOC,∠BCF=∠CAO,AC=BC, .△AOC≌△CFB(AAS), ∴.CF=OA=2,BF=OC=1, .0F=CF+0C=2+1=3, :点B-3,1. 把点B(-3,1)代入y=ax2+ax-2, 得1=9a-3a-2, 解得a= 2 抛物线的解折式为y+号 54/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2由y+分-2=+28 1.12_17 2 :点D的坐标为 _1_17 、28 设直线BD的解析式为y=+b 长点-3.0（分智）代入 -3k+b=1 得 2+b-17, 8 5 k=- 解得 4 11 b= 4 511 :直线BD的解析式为y=- 4 4 设直线BD和x轴的交点为E, -3x-,解得x= 当y=0时，0=-二x- 44 5 点E的坐标为 16 161715 SABDC SABCE+SADCE= 25 2588 (3)存在.如图，延长BC至点G,使CG=AC,过点G作GM⊥x轴于点M, .∠CMG=∠C0A=∠ACG=90°， ∠AC0+∠CA0=∠AC0+∠MCG=90°， .∠CA0=LMCG, .△GMC≌COA(AAS), .GM=C0=1,CM=A0=2, ：点G(1,-1. 过点A作HA⊥AC,A为垂足，且使AH=AC,连接GH,则四边形ACGH为正方形 过点H作HN⊥y轴于点N, ∠ANH=∠A0C=∠CAH=90°， 55/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠AC0+∠CA0=∠NAH+LCA0=90°， .∠ACO=∠NAH, ∴△HAWN≌△ACO(AAS), ..HN=AO=2,AN=CO=1, 0N=0A-AN=2-1=1, ·点H(2,1. 当=2时y+分-2=241-2=1 当x=1时，方+宁2对号 2 2221, ∴G,H两点都在抛物线上， :在抛物线上存在两点G(1,-1),H(2,1),使四边形ACGH为正方形. 14.(25-26九年级上安徽合肥)如图，抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于A(-1,0),B两点， 与y轴交于点C(O,-4),作直线BC.若点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点P作x轴的 垂线，分别交抛物线于点E,交x轴于点F, 备用图 (I)求该抛物线的表达式； (2)若PE=PF,求此时点P的坐标： (3)连接CE,若△CPE是等腰直角三角形，求点P的坐标. 【答案】(1)y=x2-3x-4 (2)(1,-3) 3)点P的坐标为3，-1)或(2，-2) 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,-4), 1-b+c=0 c=-4 56/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 [b=-3 解得 c=4 :该抛物线的表达为y=x2-3x-4: (2)解：由(1)得：抛物线的表达式为y=x2-3x-4. 当y=0时，x2-3x-4=0,解得x1=-1,x2=4, B(4,0), 设直线BC的表达式为y=kx+n, 4k+n=0 代入B(4,0)和C(0,-4),得 n=-4 k=1 解得 n=-4 直线BC的表达式为y=x-4, 设点P(m,m-4),则F(m,0),Em,m2-3m-4. 、PE=(m-4)-m2-3m-4=-m2+4m,PF=0-(m-4)=4-m. :PE=PF, ∴.-m2+4m=4-m, 整理，得m2-5m+4=0,解得m1=1,m2=4(舍去). 当m=1时，m-4=1-4=-3. 点P的坐标为(L,-3); (3)解：B(4,0),C(0,-4), 0B=0C=4. .∠0CB=∠0BC=45°. :PF⊥x轴， PF∥y轴 ∠0CB=LCPE=45° 由(2)知直线BC的表达式为y=x-4, 设点P(,t-4). 如答图1.当∠CEP=90°时，PE=CE=OF. 57/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 :PE=-2+4t=OF=t,即-12+4t=1,解得1=3,5=0（舍去）. .此时P(3,-1): 如答图2，当∠PCE=90°时，过点C作CH⊥PE于点H,则有PE=2CH=20F, VA 图2 ·PE=-2+4t=20F=2t,解得t=2,t4=0(舍去). :此时P(2,-2) 综上，点P的坐标为3，-)或(2，-2) 15.（2025安徽模拟预测)抛物线的对称轴为直线x=-1,与x轴交于点B,且经过A(1,0),C(0,3两点. (1)求直线BC和抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M使MA+MC的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标. 【答案】()y=x+3,y=-x2-2x+3 (2)M(-1,2 【详解】(1)抛物线的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A1,0), 58/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B-3,0), 设抛物线的表达式为y=ax-1(x+3), 将C(0,3)代入上式得：3=a0-1)(0+3,解得a=-1, :抛物线的解析式为：y=-(x-1(x+3=-x2-2x+3; 设直线BC的解析式为y=mx+n, [3=n 把B-3,0),C(0,3代入y=mx+n得： 0=-3m+n n=3 ,解得m=1 直线的解析式为y=x+3: (2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC=MB+MC=BC的值最小， M OA 把x=-1代入直线y=x+3得y=2,故M(-L,2), 即当点M使MA+MC时，M的坐标为-1,2)： (3)设P(-1,, B-3,0),C(0,3), BC2=18,PB2=(-1+3)2+2=4+,PC2=(t-3+1, 若点B为直角顶点时，则BC2+PB2=PC2, 即18+4+2=(t-3)2+1, 解得t=-2: 若点C为直角顶点时，则BC2+PC2=PB2, 即18+(t-3+1=4+2 解得t=4, 若P为直角顶点时，则PB2+PC2=BC2, 59/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4+2+(t-3)2+1=18, 解得1=3±7 2 综，点P的业标为-引1或42 60/60 专题10 特殊图形问题（函数压轴，压轴题专练） 命题预测 以二次函数为载体，融合相似、全等三角形知识。重点考查平行四边形、等腰三角形、菱形以及直角三角形、矩形、正方形的动点存在性问题，结合坐标运算与数形结合，注重分类讨论，综合性强、区分度高。 高频考法 1. 相似、全等三角形问题 2. 平行四边形的存在性问题 3. 等腰三角形与菱形的存在性问题 4. 直角三角形、矩形与正方形的存在性问题 典例·靶向·突破 题型1 相似、全等三角形问题 关键点1确定相似的图形 ①隐含的对应关系：∠AEC和∠BED为对顶角； ②分情况讨论其他对应关系 关键点2求动点坐标 ①当边与坐标系平行时，直接利用坐标特征求解； ②当边与坐标系不平行时，借助锐角三角函数进行转化求解 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【典例2】如图，抛物线交轴于，．两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若点的坐标为，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，则点的坐标是________．（直接写出结果） 题型2 平行四边形的存在性问题 关键点1确定平行四边形顶点位置 ①隐含的对应关系； ②分情况讨论顶点的位置。若两个顶点为定点，且为平行四边形的一边，可通过以下方式确定对 边的位置 条件：点A,B为定点，且为平行四边形的一边 作法：平移AB,确定另外两点的位置 关键点2求点坐标 将斜线段的长，构造直角三角形，利用锐角三角函数转化为竖直线段的长来解决 【典例1】如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例2】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 题型3 等腰三角形与菱形的存在性问题 1.确定等腰三角形顶点位置的作法： (1)已知条件：已知定点A,B和直线l,在直线l上找点C,使△ABC为等腰三角形； (2)分类情况（图见左栏）： ①AB为腰： (i)如图①，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与直线l的交点即为所求的点C; (i)如图②，以点B为圆心，AB长为半径画圆，与直线l的交点即为所求的点C. ②AB为底： 如图③，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即为点C. 2.等腰三角形（△ABC）中，求点坐标的方法： 代数法（边长可直接表示）：分别表示出点A,B,C的坐标，再表示出线段AB,AC,BC的长度，分(1)AB=AC;(2)AB=BC; (3)AC=BC三种情况列方程求解。 3.确定菱形顶点位置的作法： (1)已知条件：已知定点A,B和直线l,在直线l上找点C,平面内找点D,使得以点A,B,C,D为顶点的 四边形为菱形 (2) 分类情况：①AB为边：如图①，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与直线l交于点C,分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D;如图②，以点B为圆心，AB长为半径画圆，与直线l交于点C,分别过点A,C作BC,AB的平行线交于点D. ②AB为对角线：如图③，作AB的垂直平分线，分别与AB,直线l交于点O,C,以点O为圆心，OC长为半径画圆，与垂直平分线另一端交于点D. 4.菱形中，求点坐标的常用方法： (1)代数法：菱形（以点A,B,C,D为顶点的菱形) ①AB为边：分别表示出AB,BC,BD 的长，分 ①AB=BC ;②AB=BD两种情况列方程求解 ②AB为对角线：分别表示出BC,BD的长，由BC=BD列方程求解； (2)几何法：作对角线的垂直平分线，利用勾股定理或相似建立等量关系求解 【典例1】已知抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，顶点为． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图1，若平行于轴的直线与抛物线交于点，（点在点的左边），与线段交于点．设点的横坐标为，线段的长为，试求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），并求的最大值； (3)如图2，若点是在轴右侧抛物线上的一动点，过点作轴交线段于点，连接，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例2】综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点，与y轴交于点E，与直线交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)如果，那么______、______； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，若，则点N的坐标为______； (4)点P是坐标轴上一点，点Q是平面内任意一点，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形时，点Q坐标为______； (5)点H在y轴上，则的最小值是______． 题型4 直角三角形、矩形与正方形的存在性问题 1.确定直角三角形直角顶点位置的方法： (1)已知条件：定点A,B和直线l,在直线l上找点C,使△ABC为直角三角形 (2)分类情况： ①以AB为直角边的作法：如图①，分别过点A,B作AB的垂线，与直线l交于点C. ②以AB为斜边的作法：如图②，以AB为直径画圆，与直线l交于点C. 2.直角三角形中，求点坐标的方法(Rt△ABC):代数法（边长可直接表示)： 分别表示出点A,B,C的坐标，再表示 出 AB2 , BC2 , AC2 ,分(1)∠CAB=90°时，即 AB2+AC2=BC2 ; （2）∠ABC=90°时，即 AB2+BC2=AC2 ; (3)∠ACB=90°，即 AC2+BC2=AB2 ,三种情况列方程求解 3.确定矩形顶点位置的方法： (1)已知条件：已知定点A,B和直线l,在直线l上找点C,平面内找点D,使得以点A,B,C,D为顶点的四边形为矩形 (2)分类情况： ①AB为直角边： 作法：如图①，分别过点A,B作AB的垂线，与直线l交于点C,过点C作AB的平行线确定点D. ②AB为对角线： 作法：如图②，以AB为直径画圆，与直线l交于点C,分别过点B,A作AC,BC的平行线与圆交于点D. 4.确定正方形顶点位置的方法： (1)已知条件：已知定点A,B,在平面内找点C,D,使得以点A,B,C,D为顶点的四边形为正方形 (2)分类情况： ①AB为直角边： 作法：如图①，分别过点A,B作AB的垂线，再利用正方形的边相等确定点C,D ②AB为对角线： 作法：如图②，作AB的垂直平分线，再以AB为直径作圆，与垂直平分线的交点即为点C(或D) 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求线段AC的长； (2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标． 【典例2】综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求，，三点的坐标并直接写出直线的函数表达式； (2)点是第四象限内抛物线上一点，过点作轴，交抛物线于点，当平分时，求点坐标． (3)若点是抛物线对称轴上的一点，点为平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点的坐标． 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)用配方法求顶点的坐标； (3)点是对称轴右侧抛物线上任意一点，设点的横坐标为． ①过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，当时，请直接写出点坐标； ②连接，以为边作正方形，是否存在点使点恰好落在对称轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（25-26九年级下·江西）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点在抛物线上．若以点为顶点的三角形与相似，则点的坐标为_______． 2．（25-26九年级上·江西如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 3．（25-26九年级上·北京）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 4．（25-26九年级上·内蒙古）抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为______． 5．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 6．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 8．（陕西榆林）如图，抛物线经过点、，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（25-26九年级上·安徽淮南）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求这条抛物线对应的函数关系式； (2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2026·安徽淮南·一模）已知直线与轴相交于点，与轴相交于点．抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标． (2)点为抛物线上一动点，直线与轴相交于点，作轴于点，交直线于点． （i）求证：； （ii）若要使以为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 11．（25-26九年级上·福建厦门）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 12．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 13．（24-25九年级上·安徽阜阳）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·安徽合肥）如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F． (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 15．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $