专题5：系统机械能守恒 专项训练 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

第八章 专题5：系统机械能守恒 一、杆连接体问题 1．如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球a和b，两球之间用一根长为L＝0.2m的轻杆相连，小球b距水平面的高度h＝0.1m．两球由静止开始下滑到光滑水平面上，不计球与水平面碰撞时的机械能损失，取g＝10m/s2，下面对系统下滑的整个过程说法正确的是 A．a球机械能守恒 B．b球机械能守恒 C．a球机械能的增加量为0.667J D．b球机械能的增加量为0.667J 1．D 【详解】AB．在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在b在水平面滑行，而a在斜面滑行时，杆的弹力对a和b做功，所以a、b两球各自的机械能都不守恒．故AB错误； CD．根据系统机械能守恒得：mag（h+Lsin30°）+mbgh＝（ma+mb）v2，代入解得v＝m/s。 系统下滑的整个过程中b球机械能的增加量为△E＝mbv2﹣mbgh＝J＝0.667J 则a球机械能的减小量为0.667J．故C错误，D正确。 故选D。 2．撑杆跳高过程可以简化成如图所示的三个阶段：持杆助跑、撑杆起跳上升：越杆下落。不计空气阻力，下列说法正确的是 A．运动员在整个跳高过程中机械能守恒 B．起跳上升过程中，杆的弹性势能先增加后减小 C．起跳上升过程中，运动员的重力势能和动能之和保持不变 D．运动员到达横杆正上方时，动能为零 2．B 【详解】A．在整个跳高过程中杆的弹力对运动员做功，机械能不守恒，故A错误； BC．起跳上升过程中，杆的弹性势能先增加后减小，由能量守恒可得，运动员的重力势能和动能之和先减小后增加，故B正确，C错误； D．运动员到达横杆正上方时，水平方向速度不为0，则动能不为零，D错误。 故选B。 3．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的固定半圆轨道BC，与两个竖直轨道AB和CD相切，轨道均光滑。现有长也为R的轻杆，两端固定质量分别为、m的小球a、b（可视为质点），用某装置控制住小球a，使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后由静止释放。b球能到达的最大高度h为（　　） A． B． C． D． 3．B 【详解】以BC所在平面为零势能面，根据机械能守恒，又，得，故b球能到达的最大高度h为。 故选B。 4．质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为，在离P球处有一个光滑固定转轴Q，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置，则（重力加速度为g） A．在此过程中小球Q的机械能增加 B．在最低点时小球P和Q的线速度大小相等 C．此时小球Q的线速度为 D．轻质杆对小球Q做功 4．C 【详解】BC．对于P球和Q球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则有 两球共轴转动，角速度大小始终相等，根据，则有 联立解得，，故B错误，C正确； AD．对Q分析，根据动能定理有，解得 所以的机械能减少，故AD错误。故选C。 5．如图所示，长为L的轻杆上端连着一个质量为m的小球A（可视为质点），下端用铰链固接于地面上的O点。立方体B的棱长也为L，初始时B与A恰好接触。杆受微小扰动向右倾倒，当A与B刚脱离接触时，杆与地面的夹角为30°。已知重力加速度为g，所有接触面均光滑，下列说法正确的是（　　） A．A、B分离时，A的加速度为0 B．A、B分离时，B的速度大小为 C．B的质量M＝2m D．A落地前速度的最大值为 5．D 【详解】A．与刚脱离接触的瞬间，、水平方向加速度为零、速度相同，故和杆对的作用力都等于零，只受重力，分离时的加速度大小，故A错误； B．、分离时，对根据牛顿第二定律有 结合关联速度可知，解得的速度大小，故B错误； C．在杆从竖直位置开始倾倒到与恰好分离的过程中，和组成的系统机械能守恒，则有，解得、的质量之比为，故C错误； D．与分离后，继续下落的过程中机械能守恒，有 解得落地前速度的最大值，故D正确。 故选D。 6．（多选）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的四分之一固定圆弧轨道BC，它与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑。长为R的轻杆的两端分别固定小球a、b（可视为质点），小球a的质量为m，小球b的质量为3m，现使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后将其由静止释放，小球a、b沿轨道下滑且始终与轨道接触，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．下滑过程中a球的机械能减小 B．下滑过程中b球的机械能减小 C．小球a滑过C点后，a球的速度大小为 D．从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做的功为 6．AD 【详解】ABC．根据题意，对于两个小球组成的系统，下降过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒，由机械能守恒定律有，解得 则小球a的机械能变化量为 则小球b的机械能变化量为 即下滑过程中a球机械能减小，b球机械能增加，故A正确，BC错误； D．根据题意，设从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做功为W，对小球b，由动能定理有，解得 即从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做正功为，故D正确。 故选AD。 7．投石机是运用杠杆原理设计和制造的一种古代用于军事攻城的大型器械。如图为投石机的简化示意图，其长臂的长度为L＝10m，短臂的长度为l＝2m，质量为m＝7kg的石块装在长臂末端的弹袋中，质量为M＝50kg的重锤安装于短臂末端。初始时长臂被绞索固定，杠杆处于静止状态，其与水平面的夹角为。不计一切阻力，释放杠杆，重锤落下带动杠杆自由转动，当长臂转动至竖直位置时，杠杆被制动而停止，石块被水平抛出，求石块被投出时的水平速度和此时重锤的速度大小。 7．， 【详解】根据题意，设石块被投出时的水平速度为，此时重锤的速度为，由可知 由机械能守恒定律有，联立代入数据解得，。 8．将一长为L、质量为m的均匀杆绕一端无摩擦地转动，当转动角速度为ω时，杆具有一定的动能Ek，为了测定杆的动能和杆的长度、质量的关系式，设计了如图甲所示的实验。质量为m的均匀长直杆一端固定在光滑转轴O处，杆从水平位置由静止释放，用光电门测出另一端A经过某位置时的瞬时速度vA，并记下该位置与转轴O的高度h。 （1）用游标卡尺测得杆的直径d，A端通过光电门的时间为t，求A端通过光电门的瞬时速度vA （2）调节h的大小并记录对应的速度vA，建立vA2—h坐标系，并将实验数据在坐标系中描出，如图乙所示，求vA2和h的关系式； （3）当地重力加速度g取10m/s2，结合图像分析，写出杆动能表达式（动能和杆的质量及A端速度的关系式）。 8．（1） （2） （3） 【详解】（1）根据光电门的测速原理可知，A端通过光电门的瞬时速度 （2）将图乙坐标系中描出的实验数据用直线连接起来，使点迹均匀分布在直线两侧，如图所示 图像为一条过原点的倾斜直线，斜率为 则和h的关系式为 （3）根据机械能守恒定律有 结合上述有，解得。 9．如图所示，质量不计的硬直杆可以绕光滑转轴O在竖直面内自由转动，杆两端分别固定质量m＝1 kg的小球A和质量M＝4 kg的小球B。已知小球A到O点的距离为2m，小球B到O点的距离为1 m。现将杆从水平位置由静止释放，在杆转动到竖直位置时，小球A脱离杆水平飞出，恰能从a点无碰撞地进入与杆在同一竖直平面内的光滑圆弧轨道abc，到达圆弧轨道上c点之前的d点（图中未画出）脱离轨道。已知b为圆弧轨道的最低点，c为圆弧轨道的最高点，O′为圆弧轨道的圆心，aO′与竖直方向的夹角α＝60°，不计空气阻力，取g＝10m/s2。 （1）杆转到竖直位置时，求杆对小球B的作用力； （2）杆从水平位置转到竖直位置的过程中，求杆对小球A做的功； （3）若dO′与竖直方向的夹角用θ表示，写出cosθ与圆弧轨道半径R的关系式，并判断R的取值范围。 9．（1）60 N，方向竖直向上 （2）30 J （3）， 【详解】（1）杆从水平位置由静止释放转动到竖直位置的过程，根据系统机械能守恒定律有 由于两球具有相同的角速度，则，代入数据解得， 对小球B，根据牛顿第二定律有，解得，方向竖直向上； （2）杆从水平位置转到竖直位置的过程中，对小球A，根据动能定理可得，解得 （3）小球A脱离杆水平飞出，做平抛运动，到达a点时有 小球到达圆弧轨道上c点之前的d点脱离轨道，则 脱离轨道时有，联立解得 当小球恰好到达圆心等高处有，解得 当小球恰好到达c点有 小球在c点，根据牛顿第二定律有，解得 所以要使得小球脱离轨道，则R的取值范围为。 二、绳连接体问题 1．如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度取g，当细绳与竖直杆间的夹角为时，A下落的高度为h，此时物体B的速度为（　　） A． B． C． D． 1．A 【详解】设物体A下落高度h时，物体A的速度为vA，物体B的速度为vB，此时有 物体A、B组成的系统机械能守恒，则有，联立方程，解得。 故选A。 2．如图所示，一不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮，绳两端各系一小球a和b，a球的质量为1kg，b球的质量为3kg。用手托住b球，当轻绳刚好被拉紧时，b球离地面的高度h＝0.1m，a球静止于地面（重力加速度为g＝10m/s2）。释放b球，当b球刚落地时，a球的速度大小为（　　） A．0.5m/s B．1m/s C．1.5m/s D．2m/s 2．B 【详解】对ab系统由机械能守恒定律可知，解得v＝1m/s。 故选B。 3．如图所示，水平光滑长直杆上套有一物块Q。一根轻绳跨过悬挂于O点的固定轻小光滑圆环，轻绳的一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是（　　） A．当θ＝90°时，Q的速度最大 B．当θ＝30°时，P、Q的速度之比是 C．当θ向90°增大的过程中，P一直处于失重状态 D．当θ向90°增大的过程中，Q的合力一直增大 3．A 【详解】A．P、Q只有重力做功，系统的机械能守恒，P的机械能最小时，即为Q到达O点正下方时，此时Q的速度最大，即当时，Q的速度最大，故A正确； B．P、Q用同一根绳连接，根据投影定理可知，Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，如图所示 则当时，可知，解得，故B错误； C．根据投影定理可知，Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，当时，Q沿绳子方向的分速度为零，由于P的速度即绳子的速度，则P的速度为零，可知P先加速后减速，所以P先失重后超重，故C错误； D．当θ向90°增大的过程中，Q的合力逐渐减小，当时，Q的速度最大，加速度最小，合力最小，故D错误。 故选A。 4．（多选）如图所示，小环A套在光滑水平杆上，连接小环A的轻质细线与水平杆间所成夹角，细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与小环A质量相等的物块B相连，定滑轮顶部离水平杆距离为h，现将物块B由静止释放，A、B均可视为质点，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　） A．物块B下降过程中，物块B机械能守恒 B．物块B下降过程中，小环A和物块B系统机械能守恒 C．当小环A运动到时，小环A的速度大小 D．当小环A运动到时，物块B的速度大小 4．BC 【详解】A．物块下降过程中，细线拉力对做负功，故机械能减小，故A错误； B．以小环和物块为整体可知，系统机械能守恒，故B正确； CD．当小环A运动到时，可知 其中，解得，，故C正确，D错误。 故选BC。 5．如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6．求： （1）小球受到手的拉力大小F； （2）物块和小球的质量之比M:m； （3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。 5．（1）    （2）    （3）（或） 【详解】 （1）设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2 F1sin53°＝F2cos53°  F+mg＝F1cos53°+ F2sin53°且F1＝Mg，解得 （2）小球运动到与A、B相同高度过程中 小球上升高度h1＝3lsin53°，物块下降高度h2＝2l 机械能守恒定律mgh1＝Mgh2，解得 （3）根据机械能守恒定律，小球回到起始点．设此时AC方向的加速度大小为a，重物受到的拉力为T 牛顿运动定律Mg–T＝Ma  小球受AC的拉力T′＝T 牛顿运动定律T′–mgcos53°＝ma 解得（）。 第4页，共7页 第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 专题5：系统机械能守恒 一、杆连接体问题 1．如图，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球a和b，两球之间用一根长为L＝0.2m的轻杆相连，小球b距水平面的高度h＝0.1m．两球由静止开始下滑到光滑水平面上，不计球与水平面碰撞时的机械能损失，取g＝10m/s2，下面对系统下滑的整个过程说法正确的是 A．a球机械能守恒 B．b球机械能守恒 C．a球机械能的增加量为0.667J D．b球机械能的增加量为0.667J 2．撑杆跳高过程可以简化成如图所示的三个阶段：持杆助跑、撑杆起跳上升：越杆下落。不计空气阻力，下列说法正确的是 A．运动员在整个跳高过程中机械能守恒 B．起跳上升过程中，杆的弹性势能先增加后减小 C．起跳上升过程中，运动员的重力势能和动能之和保持不变 D．运动员到达横杆正上方时，动能为零 3．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的固定半圆轨道BC，与两个竖直轨道AB和CD相切，轨道均光滑。现有长也为R的轻杆，两端固定质量分别为、m的小球a、b（可视为质点），用某装置控制住小球a，使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后由静止释放。b球能到达的最大高度h为（　　） A． B． C． D． 4．质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为，在离P球处有一个光滑固定转轴Q，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置，则（重力加速度为g） A．在此过程中小球Q的机械能增加 B．在最低点时小球P和Q的线速度大小相等 C．此时小球Q的线速度为 D．轻质杆对小球Q做功 5．如图所示，长为L的轻杆上端连着一个质量为m的小球A（可视为质点），下端用铰链固接于地面上的O点。立方体B的棱长也为L，初始时B与A恰好接触。杆受微小扰动向右倾倒，当A与B刚脱离接触时，杆与地面的夹角为30°。已知重力加速度为g，所有接触面均光滑，下列说法正确的是（　　） A．A、B分离时，A的加速度为0 B．A、B分离时，B的速度大小为 C．B的质量M＝2m D．A落地前速度的最大值为 6．（多选）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的四分之一固定圆弧轨道BC，它与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑。长为R的轻杆的两端分别固定小球a、b（可视为质点），小球a的质量为m，小球b的质量为3m，现使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后将其由静止释放，小球a、b沿轨道下滑且始终与轨道接触，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．下滑过程中a球的机械能减小 B．下滑过程中b球的机械能减小 C．小球a滑过C点后，a球的速度大小为 D．从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做的功为 7．投石机是运用杠杆原理设计和制造的一种古代用于军事攻城的大型器械。如图为投石机的简化示意图，其长臂的长度为L＝10m，短臂的长度为l＝2m，质量为m＝7kg的石块装在长臂末端的弹袋中，质量为M＝50kg的重锤安装于短臂末端。初始时长臂被绞索固定，杠杆处于静止状态，其与水平面的夹角为。不计一切阻力，释放杠杆，重锤落下带动杠杆自由转动，当长臂转动至竖直位置时，杠杆被制动而停止，石块被水平抛出，求石块被投出时的水平速度和此时重锤的速度大小。 8．将一长为L、质量为m的均匀杆绕一端无摩擦地转动，当转动角速度为ω时，杆具有一定的动能Ek，为了测定杆的动能和杆的长度、质量的关系式，设计了如图甲所示的实验。质量为m的均匀长直杆一端固定在光滑转轴O处，杆从水平位置由静止释放，用光电门测出另一端A经过某位置时的瞬时速度vA，并记下该位置与转轴O的高度h。 （1）用游标卡尺测得杆的直径d，A端通过光电门的时间为t，求A端通过光电门的瞬时速度vA （2）调节h的大小并记录对应的速度vA，建立vA2—h坐标系，并将实验数据在坐标系中描出，如图乙所示，求vA2和h的关系式； （3）当地重力加速度g取10m/s2，结合图像分析，写出杆动能表达式（动能和杆的质量及A端速度的关系式）。 9．如图所示，质量不计的硬直杆可以绕光滑转轴O在竖直面内自由转动，杆两端分别固定质量m＝1 kg的小球A和质量M＝4 kg的小球B。已知小球A到O点的距离为2m，小球B到O点的距离为1 m。现将杆从水平位置由静止释放，在杆转动到竖直位置时，小球A脱离杆水平飞出，恰能从a点无碰撞地进入与杆在同一竖直平面内的光滑圆弧轨道abc，到达圆弧轨道上c点之前的d点（图中未画出）脱离轨道。已知b为圆弧轨道的最低点，c为圆弧轨道的最高点，O′为圆弧轨道的圆心，aO′与竖直方向的夹角α＝60°，不计空气阻力，取g＝10m/s2。 （1）杆转到竖直位置时，求杆对小球B的作用力； （2）杆从水平位置转到竖直位置的过程中，求杆对小球A做的功； （3）若dO′与竖直方向的夹角用θ表示，写出cosθ与圆弧轨道半径R的关系式，并判断R的取值范围。 二、绳连接体问题 1．如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度取g，当细绳与竖直杆间的夹角为时，A下落的高度为h，此时物体B的速度为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，一不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮，绳两端各系一小球a和b，a球的质量为1kg，b球的质量为3kg。用手托住b球，当轻绳刚好被拉紧时，b球离地面的高度h＝0.1m，a球静止于地面（重力加速度为g＝10m/s2）。释放b球，当b球刚落地时，a球的速度大小为（　　） A．0.5m/s B．1m/s C．1.5m/s D．2m/s 3．如图所示，水平光滑长直杆上套有一物块Q。一根轻绳跨过悬挂于O点的固定轻小光滑圆环，轻绳的一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是（　　） A．当θ＝90°时，Q的速度最大 B．当θ＝30°时，P、Q的速度之比是 C．当θ向90°增大的过程中，P一直处于失重状态 D．当θ向90°增大的过程中，Q的合力一直增大 4．（多选）如图所示，小环A套在光滑水平杆上，连接小环A的轻质细线与水平杆间所成夹角，细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与小环A质量相等的物块B相连，定滑轮顶部离水平杆距离为h，现将物块B由静止释放，A、B均可视为质点，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　） A．物块B下降过程中，物块B机械能守恒 B．物块B下降过程中，小环A和物块B系统机械能守恒 C．当小环A运动到时，小环A的速度大小 D．当小环A运动到时，物块B的速度大小 5．如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6．求： （1）小球受到手的拉力大小F； （2）物块和小球的质量之比M:m； （3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。 第4页，共7页 第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $