精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

哈九中2024级高二学年下学期期中考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在某一点的导数的定义，由此可得结果. 【详解】因为， 则. 故选: B 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故选：D 3. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 4. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，， 所以． 5. 函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：函数在区间内是增函数，所以在上恒成立，故在上恒成立，从而，故选A． 考点：1、函数恒成立问题；2、导数性质的应用． 【思路点晴】本题主要考查的是函数中的恒成立问题，注意解题时优先选择分离参数的方法，属于难题．本题利用函数单调递增转化为在上恒成立，从而分离参数，转化为求函数的最小值，含参恒成立问题，只要参数容易分离，一般都要选用这种方法，转化为求函数的最值，这种方法要熟练掌握． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，可得：当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，恒成立，又， 可知函数仅有一个零点，即B选项正确． 7. 10件不同商品中含有3件次品，随机抽取5件，抽到的次品数的均值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，可取0，1，2，3，利用古典概型概率公式求出概率，进而可求期望. 【详解】记抽到的次品数为，由题意可取0，1，2，3， 则，，，， 所以抽到的次品数的均值为. 8. 函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性与单调性转化不等式 【详解】由题， ，因为 ， 所以 ，即在R上单调递增， ， 所以为奇函数， 不等式 可转化为 ， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 设随机变量，若，则. C. 运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本点中心 D. 决定系数越接近0，拟合效果越好 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式判断A；根据正态分布的对称性判断B；根据回归方程性质判断C；利用决定系数概念判断D. 【详解】对于A，由于，则，故A正确； 对于B，因为，所以由正态分布概念知 若，则，所以，故B正确； 对于C，线性回归直线方程一定经过样本点的中心，故C正确； 对于D，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好， 决定系数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越差，故D错误. 10. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，，A正确； 选项B，，B正确； 选项C，，C错误； 选项D，，D正确. 11. 已知函数，则说法正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. C. 曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点 D. 若时，的值域为，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用导数研究的区间单调性，进而确定极值点情况判断A，由、，即可判断B，由导数的几何意义求切线方程，应用方程法，令求零点判断C，根据的单调性和相关点对应的函数值确定参数范围判断D. 【详解】由题设， 当或，当， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故在处有极大值，A错， 易知，， 所以 ，B对， 由上，，则点处的切线为， 所以，令，则， 所以，故， 所以曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，即点，C对， 由A分析，在、上单调递增，在上单调递减， 又，，而时，， 所以，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高校有、两家餐厅，王同学第一天去、两家餐厅就餐的概率分别为0.6和0.4，如果他第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去了餐厅的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，由全概率公式计算即可求解. 【详解】设“第一天去餐厅”，“第二天去餐厅”， “第一天去餐厅”，“第二天去餐厅”， 由题意可得， 所以. 13. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示， ①； ②函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③函数在处取得极大值，在处取得极小值； ④函数的最小值为. 以上正确的序号是__________. 【答案】③ 【解析】 【分析】利用原函数和导函数的关系得到原函数的单调性，利用单调性得到极值，结合单调性得到不是最小值. 【详解】当时，，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 当时，，是单调递增函数； ，，故①错误； 因为当时，，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 故②错误，③正确； 当时，，是单调递减函数，且，， 所以，函数的最小值不是. 故④错误. 14. 已知函数，若函数的图象与相交于两个不同点，记直线的斜率为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则.是方程的根，构造分析单调性，得，从而推出的取值范围. 【详解】设，不妨设则， 令，， 则，进而得， 且是方程两个根． 因为 令，， 化简得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 令 则 ， 令，则，， 所以 ，在单调递减，， 即，所以， 又因为在单调递增， 所以， 故，的范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且为函数的极值点. （1）求的值； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与极值点的关系，即可求解； （2）利用函数在闭区间的单调性，即可求得值域. 【小问1详解】 对求导得： ，  因为是的极值点，极值点处导数值为0， 所以代入得： ，解得， 验证：当时，， 当时，，当时，， 所以左右导数符号改变，满足为函数的极值点，故； 【小问2详解】 由（1）得，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 因此的最小值为极小值， 计算端点函数值：， 比较得最大值为, 故在上的值域为. 16. 将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，． 易证，且， 又为的中点，所以，且， 则四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，，，，，． 设平面的法向量为，则 令，得． 设平面的法向量为，则 令，得． 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值为． 17. 某汽车厂商为研究新能源汽车的电池类型与用户满意情况的关联性，以及某新能源汽车续航里程(单位:百千米)与充电频率(单位:次/月)的关系，收集了 200 位用户的调研数据，得到如下表格: 表 1 单位:人 电池类型 用户满意情况 合计 满意 不满意 A 类型电池 85 15 100 B类型电池 65 35 100 合计 150 50 200 表 2 续航里程 3 4 5 6 7 充电频率 17 13 10 8 7 （1）根据小概率值 的独立性检验，分析新能源汽车的电池类型与用户满意情况是否有关； （2）根据表 2 中的数据建立该新能源汽车的充电频率关于续航里程的一元线性经验回归方程. 参考公式: ，其中 ；，. 参考数据: 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定的列联表，求出，再与临界值比对求解； （2）先求出，再利用最小二乘法公式求出，即可求得线性经验回归方程. 【小问1详解】 零假设为：新能源汽车的电池类型与用户满意情况无关. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为新能源汽车的电池类型与用户满意情况有关，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 由题意可得， 则， 从而， 故该新能源汽车的充电频率关于续航里程的经验回归方程为. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，试确定的零点个数； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在 上单调递增； 当 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）1个 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数和分类讨论来确定函数的单调性； （2）利用函数单调性和零点存在性定理来判断零点个数； （3）利用分离参变量，构造函数求导来解决不等式恒成立问题. 【小问1详解】 求导得：， 当时，对 恒成立，故 ， 所以在 上单调递增； 当 时， 若，则，所以在上单调递减； 若，则，所以在上单调递增； 【小问2详解】 当  时，由（1）知 在 单调递增，最多只有1个零点； 因为，， 根据零点存在定理，存在唯一使得 ， 故 的零点个数为 ； 【小问3详解】 整理不等式， 设， 求导得 ， 当 时，，故在 单调递增， 所以的最小值为， 要使恒成立，只需,即， 故的取值范围为 . 19. 2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为； （1）若，求4次后停在初始点的概率； （2）求机器人移动3次后停在初始点前方的概率； （3）设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分的期望，若存在极大值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）机器人移动4次后停在初始点，那么4次中有两次移动向前，有两次移动向后，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）若机器人移动3次后停在初始点前方，则向前移动2次、向后移动1次或向前移动3次、向后移动0次； （3）求出第一轮测试结束进入第二轮测试的概率，设两轮测试最终得分为随机变量，则的所有可能取值为0，1，3，求出，利用导数说明函数的极大值点情况，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 设事件：机器人移动4次后停在初始点，那么 机器人移动4次后停在初始点，那么4次中有两次移动向前，有两次移动向后， . 【小问2详解】 设事件：机器人移动3次后停在初始点前方，那么若机器人移动3次后停在初始点前方，则向前移动2次、向后移动1次或向前移动3次、向后移动0次， 所以，. 【小问3详解】 第一轮测试结束进入第二轮游戏的情况有2种，分别是3次向前；2次向前、1次向后； 则其概率为； 所以，的所有可能取值为0，1，3 ， ，， 所以， 因为，所以， 所以当时，；当时； ，， 由于，所以的符号由决定， 令，那么当时，， 因为，，， 根据零点存在性定理可得，存在使得，存在使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在处取极大值即存在极大值点； 当时，， 因为，，， 根据零点存在性定理可得，存在使得，存在使得， 要使在上存在极大值点， 则， 解得或， 因为，所以； 综上所述. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2024级高二学年下学期期中考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 10件不同商品中含有3件次品，随机抽取5件，抽到的次品数的均值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 设随机变量，若，则. C. 运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本点中心 D. 决定系数越接近0，拟合效果越好 10. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则说法正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. C. 曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点 D. 若时，的值域为，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高校有、两家餐厅，王同学第一天去、两家餐厅就餐的概率分别为0.6和0.4，如果他第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去了餐厅的概率为__________. 13. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示， ①； ②函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③函数在处取得极大值，在处取得极小值； ④函数的最小值为. 以上正确的序号是__________. 14. 已知函数，若函数的图象与相交于两个不同点，记直线的斜率为，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且为函数的极值点. （1）求的值； （2）求在区间上的值域. 16. 将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 17. 某汽车厂商为研究新能源汽车的电池类型与用户满意情况的关联性，以及某新能源汽车续航里程(单位:百千米)与充电频率(单位:次/月)的关系，收集了 200 位用户的调研数据，得到如下表格: 表 1 单位:人 电池类型 用户满意情况 合计 满意 不满意 A 类型电池 85 15 100 B类型电池 65 35 100 合计 150 50 200 表 2 续航里程 3 4 5 6 7 充电频率 17 13 10 8 7 （1）根据小概率值 的独立性检验，分析新能源汽车的电池类型与用户满意情况是否有关； （2）根据表 2 中的数据建立该新能源汽车的充电频率关于续航里程的一元线性经验回归方程. 参考公式: ，其中 ；，. 参考数据: 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，试确定的零点个数； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为； （1）若，求4次后停在初始点的概率； （2）求机器人移动3次后停在初始点前方的概率； （3）设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分的期望，若存在极大值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $