江西南昌市第十五中学2025-2026学年高二下学期5月学情检测数学试题

高二年级5月学情检测

数学

试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.考查范围：选择性必修第一册占50%，选择性必修第二册第一章至第二章第三节占50%.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 过点且方向向量为的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知函数满足，则（   ）

A. 4 B. -4 C. -2 D. 2

3. 若、、，则点到直线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知数列满足，.若，则正整数的最小值是（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 若二项式的展开式中，和的系数相同，则非零常数（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 记椭圆1的上顶点为，右焦点为，则以为圆心，为半径的圆与的交点个数为（    ）．

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

7. 记为等比数列的前项和，若，，，则（   ）

A. 3 B.  C. 6 D.

8. 已知样本点，，……，的经验回归直线的方程为，相关系数为，样本均值分别为，.现令，.设新样本点的经验回归直线为，则下列命题为假命题的是（   ）

附：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

A. 与的相关系数为 B. 过

C. 的斜率为 D. 的截距为

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 模型构建常需要进行正态检验.记随机变量服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度.则（   ）

附：若随机变量服从正态分布，则，，.

A.  B.

C. 区间具有较好构建度 D. 区间具有较好构建度

10. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ）

A. 圆过定点

B. 若圆与直线相交，则

C. 若圆与圆相切，则圆的面积为

D. 对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线

11. 对于数列，，若对任意正整数n，恒成立，则称是“有界数列”，若，则称是阶乘数列，则（    ）．

A. 对任意等差数列，存在等比数列使得是“有界数列”

B. 对任意等比数列，存在等差数列使得是“有界数列”

C. 对任意等差数列，存在阶乘数列使得是“有界数列”

D. 对任意阶乘数列，存在等比数列使得是“有界数列”

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______．

13. 平均储蓄倾向（APS）是指任一收入水平上储蓄在收入中所占的比率，满足，其中为储蓄，为收入.若，则当时，APS关于的瞬时变化率为______.

14. 在一个不透明的盲盒中装有4个相同的圆球，分别标有数字1，2，3，4.现每次从中有放回地随机摸出1个球，记录其上的数字.若要求记录的数字之和首次不小于5时即停止摸球，记此时的摸球总次数为，则的数学期望______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知在公差为的等差数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

16. 已知双曲线：（，）上有两点，.

（1）求的方程；