专题九 从应用意识的素养角度去思考命题-【崇文阁】2026中考数学学科素养关键100题

专题九从应用意识的素养角度去思考命题 九 第91题意识到数学与现实有着密切的联 第93题 了解数学在跨学科综合与实践活 系的应用意识素养（生活情境）一二次函数 动中的应用意识素养（跨学科）一相似三角 的应用 形的性质 [2025春·北碚区校级月考]一种玻璃水杯 [2024·婺城区校级模拟]如图，MN是凸透 (图1)的截面如图2所示，其左右轮廓线AC, 镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点.若蜡 BD为某一抛物线的一部分，杯口AB=6 烛PM的像为NB,测量得到OM:ON=5： cm,杯底CD=2cm,且AB∥CD,杯深8cm, 3,蜡烛高为10cm,则像BN的长为() 如图3，若盛有部分水的水杯倾斜45°（即 A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm ∠ABP=45°).水面正好经过点B,则此时点 P到杯口AB的距离为 ( 第94题了解数学在跨学科综合与实践活 图1 图2 图3 动中的应用意识素养（跨学科）一矩形的判 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 定与性质 第92题了解数学在跨学科综合与实践活 平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光 动中的应用意识素养（跨学科）一分段函数 线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相 [2024秋·吴兴区期未]当前我国的军事国 等.如图，一束光线y1射到平面镜a上，被a 防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速. 反射后的光线为y2,则入射光线y,反射光 (1)如图1，一束激光从点C出发，射向x轴 线y2与平面镜a所夹的角相等，即∠1=∠2 上的点P,经过反射后射向点M,已知光线的 若按下图建立平面直角坐标系，并设入射光 反射满足反射定律（即反射角i=人射角i) 线和反射光线所在直线的解析式分别为y,= 若点C(0,2),点P(1,0),则直线MP与y轴 k1x,y2=2x,则下列关于k1,k2的关系正确 的交点Q的坐标为 的是 () (2)如图2，线段AB是一根激光感应器，其函 数表达式为y=一号x十81<≤10)，从点C (0,2)射出的激光射向位于x轴上的镜面 DE,经过反射后MN恰好覆盖线段AB上的 A.k1-k2=0 B.k1十k2=0 4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则DE C.k1=2k2 D.k1·k2=1 的最小值为 第95题意识到数学与现实有着密切的联 系的应用意识素养（生活情境）一相似三角 y M 形的性质 C0,2) C0,2) [2025·南山区二模]一种燕尾夹如图1所 示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在 iP(1,0) D E 打开状态时的示意图（此时AB∥CD),相关 图1 图2 数据如图（单位：cm).从图2闭合状态到图3 3544 打开状态，点B,D之间的距离减少了( ) 第98题意识到数学与现实有着密切的联 学科素养关键 B/ 系的应用意识素养（生活情境）一圆的切线 A2E3B B \2 A(C)F D C2F 3D 0 图1 图2 图3 题 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 图1 图2 图3 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”， 数学 第96题 了解数学在跨学科综合与实践话 动中的应用意识素养（跨学科）一一次函数 其原理为在磨盘的边缘连结一个固定长度的 的应用 “连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨 [2025·平陆县模拟]小逸同学依据漏刻（如 碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连 杆机构”.图1是一种推磨工具模型，图2是 图)的原理制作了一个简单的漏刻计时工具 它的示意图，图3是其简化图，已知AB=12 模型，实验发现水位h(单位：cm)是关于时间 dm,点A在中轴线l上运动，点B在以O为 t(单位：min)的一次函数，下表是小逸记录的 圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB=4 数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值 dm.当点B按逆时针方向运动到点B'时， 记录错误的是 ( A'B'与⊙O相切，则AA'的长为 dm. t/min … 0 1 2 3 第99题了解数学在跨学科综合与实践活 h/cm 0.7 1.2 1.5 1.9 动中的应用意识素养（跨学科）一解直角三 标尺 角形 漏壶 [2025·准安区模拟]某数学小组利用无人机 测量河下古镇一座石拱桥的高度，如下是两 种测量方案， 实物图 漏刻 课题 测量示意图 C.1.5 D.1.9 方案说明 A.0.7 B.1.2 第97题意识到数学与现实有着密切的联 系的应用意识素养（生活情境）一圆的基本 无人机位于水面 性质 上方62米的P p45° 37 处，测得A的俯 生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的 案 角为45°，C的俯 莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然 测 角为37°(A,C 不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图1）的 在桥面上). 效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶 石 点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边 拱 无人机位于水面 长，如图2，△ABC的中心O到三个顶点的距 桥 上方62米的N 的 离均为2√5cm,则这个莱洛三角形的周长为 处，测得桥面正 高 方 中心A的俯角 cm. 度 37 450yN 案 为45°，将无人 机水平向左移动 91米到达M 处，测得点A的 俯角为37°. 图1 图2 >>36 (1)根据以上数据判断，方案 不能求 第100题意识到数学与现实有着密切的联 专 石拱桥的高度； 系的应用意识素养（生活情境）一二次函数 (2)利用以上可行方案求石拱桥的高度， 的应用 九 参考数据tan37°≈3 ,sin37≈3 ,c0s37≈ [2025·南山区二模]城市轨道交通是现代大 城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决 ) 大城市病的有效途径.如图1是2025年深圳 地铁线路图.小方了解到列车从后海站开往 南山站时，在距离停车线256米处开始减速. 他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下 来，以及最后两秒滑行的距离.为了解决这个 问题，小方通过建立函数模型来描述列车离 停车线的距离s(米)与滑行时间t(秒)的函数 关系，再应用该函数解决相应的问题， 深圳地铁线路图 路語器：喜数 图1 (1)建立模型 ①收集数据 t(秒) 0 4 8 12 16 20 24 s(米) 25619614410064 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察s(米)与t(秒)的关系，建立如图2 所示的平面直角坐标系。 s(米) 280 260 240 220 200 ----- 180 160 1---------1--1-- 140 120 33 2 0 4812162024283236 t(秒 图2 3744 ③描点连线 学科素养关键 请在平面直角坐标系中将表中的点描出来， 并用平滑的曲线依次连接 ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 函 0 数的图象 题 ⑤求函数解析式 颦 解：设s=at2十bt十c(a≠0)，因为t=0时，s= 256,所以=256，则s=at+bt+256. 请根据表格中的数据，求a,b的值. 验证：把a,b的值代入s=at2十bt+256中，并 将其余几对值代入求出的解析式，发现它们 都满足该函数解析式。 (2)应用模型 列车从减速开始经过 秒，列车停止；最 后两秒钟，列车滑行的距离为米. D>38可知各点坐标为A(-3,0),B(3,0),C(-1,一8)， D(1,-8). 设y=a(x十3)(x-3), 把点C坐标代入解析式，得-8=a(-1+3)(-1 3), 解得a=1, ∴.y=(x+3)(x-3)=x2-9, .∠ABP=45°，∠PEB=90°， .∠BPE=45°， .∠EPB=∠EBP, ∴.EP=EB, 设P(x,y), ∴.BE=3-x,EP=-y, .-y=3-x, 即-(x2-9)=3-x, 解得x1=3(舍去)，x2=一2， y=-5, ∴.PE=-y=5. 答案：D. 第2题(1)(0，一2)(2)号【解析】(1)如图， 过C作CC'∥x轴交MQ于点C', y个 M C0,2) 4P1,0) 图1 入射角等于反射角， ∴点C和C关于直线x=1对称， .C(2,2), 设直线MP解析式为y=kx十b,将点P和点C'坐 标分别代人得2十b=2, k十b=0, 邻行你公二2 ∴.直线MP解析式为y=2x-2, 令x=0,得y=-2, .Q(0,-2). (2)当1≤≤10时，直线AB:y=-x+8经过的 整数点为(2,7)，(4,6)，(6,5)，(8,4)，(10,3)这5个 整数点， ∴.MN覆盖的4个整数点可能为(2,7)，(4,6)，(6， 5),(8,4)或(4,6)，(6,5)，(8,4)，(10,3)， 由(1)可知，点C的反射光线会经过其关于x轴对 称点Q(0,一2)的点， B C0.2 24 图2 ①当MN覆盖(2,7)，(4,6)，(6,5)，(8,4)四个点 时， 此时M(2,7),V(8,4) 设直线MQ解析式为y=m.x+n,将点M和点Q坐 标分别代入得十？。7”解得 m-, n=-2, ·直线MQ的解析式为y=号r-2, D(0 同理可得直线NQ的解析式为y=子，一2， E(受0 DE-g-号0： ②当MN覆盖(4,6)，(6,5)，(8,4)，(10,3)四个点 时， 同理可求直线MQ解析式为y=2x一2， .D(1,0) 同理可求直线NQ解析式为y=子，一2， .E(4,0), .DE=3, 0<3 DE最小值为9， .20 答案：碧 第93题C 第94题B【解析】在直线y2上取点A,过A作 AB⊥x轴于点B,作AC∥x轴交直线y1于点C,再 过C点作CD⊥x轴于D点，如图，设A(t,k2t), y2 C A aoB ,CD∥AB,AC∥DB,.四边形ABDC为平行四 边形， :∠ABD=90°，四边形ABDC为矩形， ∴.AB=CD=k2t,在△OAB和△OCD中， (∠2=∠1， :∠ABO=∠CDO, AB=CD, .△OAB≌△OCD(AAS),.OB=OD=t, ∴.C(-t,k2t), 把C(-t,k2t)代人y=k1x,得k2t=-b1t, 61 ∴.k1十k2=0 第95题B【解析】连结BD,如图， B E 2 ACF D 白题范得指=铝∠A=∠A。 ∴.△AEF∽△ABD, 需 号品 ∴.BD=5cm, .点B,D之间的距离减少了5一2=3(cm), 答案：B. 第96题B【解析】设水位h(单位：cm)关于时 间t(单位：min)的函数解析式为h=kt+b, 把(0,0.7)，(3,1.9)的坐标分别代人解析式得 1b=0.7, 13k+b=1.9, 解得佟8 .h=0.4k+0.7, 当t=1时，h=0.4×1+0.7=1.1, 当t=2时，h=0.4×2+0.7=1.5, ∴点(1,1.2)不在该函数图象上，与题目中有一个h 的值记录错误相符合， 答案：B 第97题6π【解析】如图，连结OB,OC,过点O 作OH⊥BC于点H, :△ABC是等边三角形，△ABC的中心O到三个 顶点的距离均为2√5cm, .∠BOC=120°，OB=OC=2W5cm, ∴OH=20B=5(cm), ∴.BC=2BH=2×√(2W3)2-(√3)2=6(cm), ∴.AB=BC=CA=6cm,∠BAC=∠ABC=∠BCA =60°，.AB=AC=BC, ·“莱洛三角形”的周长等于BC的长X3=60元X6X 180 3=6π(cm). 第98题(16-4√10)【解析】连结OB(图 略)，则 OB'=OB=4 dm.'.'AB=12 dm, ..OA=OB+AB=4+12=16(dm). ,A'B'与⊙O相切于点B',A'B'⊥OB', .∠A'B'O=90°.，A'B'=AB=12dm, ∴.OA'=√OB+ABr=√4+12=4√0(dm), 62 .AA'=OA-OA'=(16-4√10)dm. 第99题解：(1)一 (2)延长BA交MN于点P, 干 D + M Q37° :45yN 由题意得：BP⊥MN,BP=62米，MN=91米， 设MP=x米，则PN=MN-MP=(91-x)米， 在Rt△APM中，∠AMP=37°， AP=PM,tan37≈（米）， 在Rt△APN中，∠ANP=45°， .AP=PN·tan45°=(91-x)米 ∴x=91-x, 解得x=52, .AP=91-x=39(米)， .AB=BP-AP=62一39=23（米）， ∴.石拱桥的高度约为23米。 第100题解：(1)③根据题意连线如下： s(米) 280 260 r--r--r--1-- 240 220 200 -- 180 160 8 0000 -L 0 4812162024283236 秒 ④二次 ⑤把(4,196)和(8,144)的坐标分别代入s=at+bt +256,可得 1196=16a+4b+256, 144=64a+8b+256, 1 a=4 b=-16, 9=74-162+256. (2)321【解析】由题意得，当s=0时， 0=-16+256, .t=32. ∴.最后2秒钟，即当t=30时，s=1； 又当t=32时，s=0, .1-0=1(米)， 答案：32,1.