专题四 从创新意识的素养角度去思考命题-【崇文阁】2026中考数学学科素养关键100题

学 专题四从创新意识的素养角度去思考命题 素养关 第33题感悟和欣赏数学的神奇美的创新 第36题 在解决问题的过程中感受数学探 意识素养（数学美）一多边形的外角和 究与发现的乐趣的创新意识素养（数学探 100 [2024·玉环市二模]如图，由六个正九边形 究)—圆的基本性质 题 中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”， [2025·沂水县校级一模] 数 则图中∠ABC的度数为 ( ) 我国古代数学著作《增删 算法统宗》记载“圆中方 形”问题：“今有圆田一段， 中间有个方池.丈量田地 待耕犁，恰好三分在记，池 面至周有数，每边三步无 疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意 A.60° B.70° C.80° D.90° 为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水 第34题能够在数学探究中感悟和欣赏数 池，测量出水池外圆内可耕地的面积恰好72 学的美的创新意识素养（数学探究）一列分 平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远 式方程 如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么 数学之美无处不在，数学家们研究发现，弹拨 你的计算水平就是第一了.如图，设正方形的 琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度， 边长是x步，则列出的方程是 () 例如，三根弦的长度分别是15,12,10，把它们 A.π(x+3)2-x2=72 绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别 发出很调和的乐声do,mi,s0.研究15,12,10 Bx管+3)-r=72 这三个数的倒数发现立言六立：我们 C.π(x+3)2-x2=36 D.x+3 -x2=36 称15,12,10这三个不相等的整数为一组“调 和数”.请你找一个整数x与12,8组成一组 第37题在解决问题的过程中感受数学探 “调和数”，则整数x是 ) 究与发现的乐趣的创新意识素养（数学探 A.6 B.24 究)一中位线 C.6或24 D.不存在 如图，量简的液面A 俯视 第35题 在解决问题的过程中感受数学探 一C一B呈凹形，近似 究与发现的乐趣的创新意识素养（数学探 看成圆弧，读数时视 D 究)一尺规作图 线要与液面相切于最 [2025·盐都区二模]用尺规法过直线m外 低点C(即弧中点).小 平视主… 一点P作此直线的垂线PQ,作法错误的是 温想探究仰视、俯视 对读数的影响，当他 仰视9 俯视点C时，记录量 筒上点D的高度为37mm;当他仰视点C时 （点E,C,B在同一直线)，记录量筒上点E的 高度为23mm,若点D在液面圆弧所在圆 上，量筒直径为10mm,则平视点C的高度为 mm, 第38题感悟和欣赏数学的神奇美的创新 意识素养（数学美）一图形的位似 [2025·惠阳区一模]两千四百多年前，我国 >>12 学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验 的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活 专题四 动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像 是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物 M D 理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其 中的问题.如图，若OB=30cm,OB'=20 图2 图3 cm,蜡烛火焰倒立像A'B'=6cm,则下列说 ①小丽证得△AEF≌△CDA的依据是 法中，错误的是 ( ) ②判断小强的说法是否正确，并说明理由； 【画图再探】 (2)记直线EF与△ADC的边AD的交点为 G,小明提问：当直线EF经过点C时，能求出 DG的长吗？请在图4中画出图形，并解决小 A.蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B′可 明提出的问题； 以看成是位似图形 【拓广延伸】 B.△ABO∽△A'B'O (3)当E,F,D三点共线时，连结FC,求 C.蜡烛火焰AB长9cm △FCD的面积 D.线段AB的中点与线段A'B的中点的连 线不一定经过点O 第39题了解数学表征的多样性及数学方 法的灵活性的创新意识素养（一题多解）一 四边形与面积问题 图4 备用图D 【探究情境】 有一张矩形纸片AB- CD,AB=8 cm,BC= 10cm.如图1，沿直线 AC将矩形纸片ABCD 裁剪为△ABC和 图1 △ADC,将△ABC绕点A顺时针旋转得到 第40题了解数学表征的多样性及数学方 △AEF,点B的对应点为点E. 法的灵活性的创新意识素养（一题多解）一 【补图推证】 一元二次方程的解法 (1)当△AEF的边AF经过点D时，小组探 小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方 究“如何在仅有△ADC的图中补画△AEF” 程的解”，整理了以下几种方法，请你按有关 在完成了第一步“在射线AD上截取AF= 内容补充完整： AC后，同学们就“如何确定点E的位置”先 复习日记卡片 后发言。 内容：一元二次方程解法归纳 时间：2025年 ①小丽：如图2，分别以点A,F为圆心，线段CD, 6月1日 AD长为半径画弧，两弧相交于点E.连结AE, 举例：求一元二次方程x2一x一2=0的两个解 EF,证得△AEF≌△CDA. 方法一 选择合适的一种方法（公式法、配方法、 ②小强：还可以这样画，如图3，作AF的垂直平 因式分解法)求解. 分线，交AF于点M,分别以点A,M为圆心，线 段CD,AM长为半径画弧，两弧交于点E.连结 AE,EF,也可以证得△AEF≌△CDA. ③小红：是的.点E始终在以A为圆心，CD长为 半径的圆上，且EF就是该圆的切线. 1344 (续表) (续表) 学科素养关键 方法二利用二次函数图象与坐标轴的交点求 方法1：如图3， 方法2：如图4， 解 ①过点B作I⊥AB; ①以AB为边作正方形 ②在直线L上截取BD 如图，把方程x2一x一2=0的 ABED:②取AD中点 解看成是二次函数y= =AB,连接AD: F,连接BF; 0 的图象与x轴交点的横 ③以点F为圆心，FB ③在DA上截取DE= 题 坐标，即一1,2就是方程的解。 为半径作圆弧，与DA DB: 的延长线交于点H; 数 方法三利用两个函数图象的交点求解 ④在AB上截取AC= ④以AH为边在AB (1)把方程x2一x一2 AE. 珠 侧作正方形AHGC,GC =0的解看成是一个 6 点C即为所求 5 交AB于点C,可得AC 二次函数y= D 的图象与一 C 2 AB 个一次函数y= 点C即为所求 的图象交点的横 1 H 坐标. 2-11234x C 图3 (2)画出这两个函数 -2 的图象，在x轴上标 出方程的解 F 变式24[2025·潍坊]黄金分割被广泛应 用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就 图4 已知道并能应用黄金分割.中国澳门发行的 邮票小型张《科学与科技一黄金比例》（如 【思考探究】 图1)就是用黄金分割比作为主题设计的， 1)说明图3中-p: 科學與科技·黄全比例 (2)用不同于(1)的方法，说明图4中BC c AC AB 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： ①作⊙O的两条互相垂直的半径OA和OM, 159889 取OM的中点V,连接AN; 图1 ②作∠ONA的平分线，交OA于点K; 【阅读观察】 ③过点K作OA的垂线，交⊙O于点B,E,连 接AB,AE; 材料1：黄金分割点的定义 ④截取BC=BA,CD=CB,连接BC,CD, 如图2，若线段AB上的点C清足C-S则点 DE. C称作线段AB的黄金分割点，其中S的比值称 五边形ABCDE即为所求. (3)若OA=2,根据以上作法，求证：AB=0· 作黄金分割比9= 52,而的比值为0 W5一1 BE2. M B 1十5，Φ与9互为倒数. 2 C B 图2 材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用 不同方法确定图2中线段AB的黄金分割点C) E 图5 P>14漂器 DF=0.35米，DE=0.55米，BE=22米， 漂器 .AB=14, 答：树AB的高度为14米. (2)选择方案二解决问题. 由题意，知HE=CG=113-60=53(米). ∠ACE=y=45°，∠AEC=90°， ..AE=CE, ,∠AGH=0=25°，∠AHG=90°， :AH ··号tan25可得A二5312tam25°， CE 53 53 AE=CE=1-an25≈1-0.47100C米)， .AB=AE+EB=CE+CF=160(米)， ∴.山体的海拔高度约为160米. 变式23(1)解：过点D作DG⊥BE,垂足为点G, 如图. D30° 45° EGCB :斜坡C℉的坡比为i=1:3, 0%g ∴.设DG=x米，则CG=3x米， 在Rt△DCG中， CD=√DG+CG=√/x+(3x)=√10x(米). ,CD=3√10米， ∴.√/10x=3√10， 解得x=3, ∴DG=3米，CG=9米， .从点C到点D的过程中上升的高度为3米. (2)解：过点D作DH⊥AB,垂足为点H,如图 由题意得DG=BH=3米，DH=BG, 设BC=y米， .CG=9米， 230 X45° BC用合 .DH=BG=CG+BC=(y+9)米， 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， .AB=BC·tan45°=y(米)， 在Rt△ADH中，∠ADH=30°， ÷AH=DH·tan30°=5(y+9)米， 3 .AH+BH=AB, 46 5(y十9)+3= 3 解得y=6√3+9， .AB=(6V5+9)米， .大树AB的高度为(6√3十9)米。 专题四从创新意识的素养角度去思考命题 第33题C 第4题C【解析】根据题意得方二日 12'x-12=8-元 24-号或x=6 经检验都为分式方程的解， 则整数x是6或24. 第35题D 第36题B 第37题(30-2√6) 嘴视 【解析】如图，连结BD, OC,OC交AB于点G, D ./DAB=90°， ∴BD是⊙O的直径， 由垂径定理得，AG=BG, 平视… ,∴.OG是△BAD的中位 线， 仰视 .OC∥DE, 能品 ..BC=CE, 0C=7DE=3×(37-23)=7, ∴.⊙0的直径为14. ,AB=10,.AD=√142-102=4W6, .AE=14-46. CF/AB席- ∴.EF=7-26, ∴.点C的高度即点F的高度为7-2√6+23=30一 2√6(mm). 第38题D 第39题解：(1)①SSS【解析】在△AEF和 △CDA中， (AE=CD, AF=AC, EF-AD, ,.△AEF≌△CDA(SSS). ②小强的说法正确.理由如下： 图1 如图1，连结EM MN是AF的垂直平分线， ..AM=FM, 由作图得：AE=CD,AM=EM, ∴.AM=EM=FM, '.∠AEM=∠EAM,∠FEM=∠EFM, ∠AEF+∠EAF+∠AFE=180°， ∴.∠AEM+∠FEM=90°=∠ADC, 在AABF和RACDA中，ACP: .Rt△AEF≌Rt△CDA(HL), (2)如图2，设DG=xcm,则AG=(10-x)cm, 图2 四边形ABCD是矩形， .BC∥AD,∠D=90°， ∴.∠ACB=∠CAD, 由旋转得：AC=AF,EF=BC=10,∠AFE= ∠ACB, ∴.∠ACF=∠AFC, ∴.∠CAD=∠ACF, .'.AG=CG=(10-x)cm, ,∠D=90°， ..CG2=DG2+CD2, .(10-x)2=x2+82, 号 DG=号cm (3)分两种情况： ①如图3，过点C作CG⊥EF于点G, 6 G E 图3 由旋转得：AE=AB=8,∠AED=90°， ∴.∠EAD+∠ADE=90°， .'AD=10 cm, .'ED=6 cm, .'EF=BC=10 cm, .DF=10-6=4cm, .∠ADC=90°， .∠ADE+∠CDG=90°， .∠CDG=∠EAD, ∴.sin∠CDG=sin∠EAD, 品0即g-品 ”8-10 .∴.CG=4.8cm, 5am=DF.G=×4X4.8=96em: ②如图4，过点C作CG⊥EF于点G, B.--- G 图4 在Rt△AED中，DE=√102-82=6cm, '.'EF=10 cm, .DF=10+6=16cm, :∠CGD=∠ADC=90°， ,∴.∠CDG+∠DCG=∠CDG+∠ADE=90°， .∠ADE=∠DCG, ∴.cos∠ADE=cos∠DCG, 器品即品兴 ∴.CG=4.8cm, Sa-DF.CG-XI6X4.8-38.4 em', 综上，△FCD的面积是9.6或38.4cm. 第40题方法一解：x2-x一2=0， (x-2)(x+1)=0, 解得x=2或x=-1. 方法二 x2-x-2 方法三(1)x2x十2 (2)如图 y个 65 2 Z2-101234x -2 变式24(1)解：设BD=a,则AB=2a, 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=√5a, ..AE=AD-DE=AD-BD=(V5-1)a, .AC=AE=(W5-1)a, A-Da …AB2a、 (2)解：延长GC交DE于点M, 47 M 在Rt△BAF中，根据勾股定理，得AB=BF2一AF, ..AB2=(BF+AF)(BF-AF), .BF=FH,FA=FD, .BF+AF=FH+FD-HD.BF-AF=FH-AF =AH-HG, .AB2=HD·HG .S正方形ABED=S矩形HGMD, .S矩形CBEM=S正方形AHGC, .CB·BE=AC,即CB·AB=AC% 柴能 (3)证明：半径OA=2, .ON=1,AN=√5， 过点K作KG⊥AN于点G, ,NK平分∠ONA, M C D E .OK=KG, .△NOK≌△NGK(HL), ..NO=NG=1, .AG=√5-1， 在Rt△KGA中，KG+AG=KA, 设OK=x,则x2+(5-1)2=(2-x)2, 解得x=51 2 0K=3-⑤ 21 连接OB,在Rt△BKO中，BK=OB2-OK, …BK?=5+5 2 在Rt△BKA中，AB=BK2十AK, .AB2=10-2√5， 根据垂径定理，得BE=2BK, .BE2=4BK2=10+2√5， “=(5-1)=3-5 2 2 ÷g.BE=3,5×10+25)=10-25, 2 ∴.AB2=g2·BE 专题五从运算能力的素养角度去思考命题 第41题D 48 第42题D 第43题A【解析】因为x1,x2是一元二次方程 x2-mx+15=0的两个实数根， 所以x1十x2=m,x1x2=15. 又因为x1一x2=2, 所以(x一x2)2=4,则(x1十x2)2-4x1x2=4, 即m2-4×15=4, 解得m=士8， 所以m的值为士8. 答案：A. 变式25x=3【解析】x2一ax十6a=0有两个 不同的解， .设另一个解是x=m, .2a·m=6a, ∴.m=3, 答案：x=3. 变式26解：(1)根据题意，得△=b2-4ac=16一 4(m-1)>0,解得m<5. ∴.只要是m<5的整数即可，如：令m=1 (2)当m=1时，则得方程x2十4.x=0, :a,B是方程x2+4x=0的两个实数根， ∴.a+B=-4,a3=0, ∴.a2+g+aB=(a十3)2-a3=(-4)2-0=16. 第44题B【解析】.图象经过点(0,2)， ∴.c=2>0,故C正确； ,抛物线顶点在第四象限， :a>0,6-4ac>0,-2>0,故A.D正确： .b<0,故B不正确. 变式27C【解析】：函数图象经过点(2,0)， ∴.2k十b=0,即k=- b,故D透项正确，不符合题 意； 函数图象不经过第二象限， ∴.k>0,b<0,故A选项正确，不符合题意； ∴b<0,故B选项正确，不符合题意； ,b<0,.k十b<0,故C选项错误，符合题意. 第45题D【解析】过点C作CT⊥x轴，连结 AC,交BE于点Q,过点A作AW⊥FE,过点C作 CH⊥FE,连接OC,CF,如图， y个 、OH W B C :AE:DE=3:1, 带 ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC, .∴.△AEQ△CBQ,