专题三 从空间观念的素养角度去思考命题-【崇文阁】2026中考数学学科素养关键100题

学科素养关键 专题三从空间观念的 第23题能够从变换的视角观察与分析几 何图形的空间观念素养（中华优秀传统文 10 化)—三视图 题 榫卯是我国古代建筑、家具广泛应用的一种 攀 结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结 合来将不同构件组合在一起，如图1，这是一 组榫卯构件.若将②号构件按图2所示方式 摆放，则该构件的主视图是 ① ② 正面 图1 图2 A B 变式18[2025·江北区二模]在我国，鼓是 精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说 过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如 图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是 正面 第24题依据三视图感知空间图形的结构 的空间观念素养—三视图 [2025·杭州二模]如图是某几何体的三视 图，该几何体是 主视图 左视图 俯视图 P>8 素养角度去思考命题 A.三棱柱 B.三棱锥 C.长方体 D.圆柱 第25题能够将三维空间的现实问题转化 为数学问题的空间观念素养一雷达图 [2025·杭州一模]如图为冰壶比赛场地示意 图，由以P为圆心、半径分别为a,2a,3a,4a 的同心圆组成.三只冰壶A,B,C的位置如图 所示，∠APB=120°，CP的延长线平分 ∠APB,冰壶A,B分别表示为(4a,0°)，(2a, 120),则冰壶C可表示为 90° B A 1809 -0° 1270° A.(3a,120°) B.(4a,200°) C.(3a,240°) D.(3a,300°) 变式19以水平数轴的原点为圆心，过正半 轴上的每一刻度点画同心圆，将正半轴绕点 O逆时针依次旋转45°，90°，135°，…，315°后 得到如图所示的“圆”坐标系，其中点B,C,D 的坐标分别为(4,315°)，(3,135°)，(5,225°)， 则点A的坐标为 () 90° 1358 45° 180° 225° 3159 270° A.(-2,45) B.(2,45°) C.(2,-45) D.(-2,-45°) 第26题利用长度和角度研究物体的位置 关系的空间观念素养一方位角 [2024·西湖区三模]如图，点B位于点A的 北偏东60°相距2km处，点D在点B的正北 方向，且在点A的东北方向，则点D到点A 的距离为 km. 北 60° B A 变式20[2024·诸暨市模拟]某船以每小 时36海里的速度向正东方向航行，在点A测 得某岛C在北偏东60°方向上，航行0.5小时 后到达点B,测得该岛在北偏东30°方向上. (1)求AC长度（单位：海里）； (2)若继续向东航行，则该船与岛C的最近距 离是多少海里？ 北 E 309 609 A B 第27题能够对几何图形进行多元表征并 生成新的图形的空间观念素养—函数图象 [2025·浙江模拟]如图，扇 P 形OAB,一个动点P从点O 出发，沿路线O一A一B一O 匀速运动，当点P运动的时 间为t时，OP的长为s,则s与t的关系可以 用图象大致表示为 () 专题三 B. D.O 变式21[2025·椒江区二模]如图1，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，点E是斜边AB上一 个动点，过点E作EF⊥AB,垂足为点E,交边 AC(或边CB)于点F,连接CE,设AE=x, △CEF的面积为y,则y与x之间的函数图象 如图2，已知9-号，则anA B x=m x=n 图1 图2 第28题能够利用角度研究两条直线的位 置关系的空间观念素养一平行线的性质 [2025·舟山三模]月球车工作时所需的电能 都是由太阳能电池板提供的.当太阳光线垂 直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最 多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如 果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将 太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为 ( ) 太阳光 6 D 35 太阳光板 A.40° B.45 C.50° D.55° 第29题通过空间物体结构得到几何图形 的空间观念素养一抛物线形结构 [2024·浙江模拟]如图，某公司“祥云”布艺 图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部 分组成的，且关于y轴对称.其中半圆与y轴 相交于点D,两支抛物线的顶点分别为E,C, 与x轴分别相交于点A,B.已知CE=2,OD =1.9,AB=5,则图案中AE这段抛物线的 函数表达式为 944 y 学科素养关键 D 10 第30题能够从变换的视角观察与分析几 题 何图形的空间观念素养一等腰三角形的性 质 学 有一副直角三角板ABC,DEF,其中∠ACB =∠DEF=90°，∠A=30°，∠D=45°.如图， 将三角板DEF的顶点E放在AB上，移动三 角板DEF,当点E从点A沿AB向点B移动 的过程中，点E,C,D始终保持在一条直线 上.若直线DF与直线AB交于点M,当 △MEF为等腰三角形时，∠ACE的度数为 E B 第31题根据描述画出相应的平面图形的 空间观念素养一网格作图 [2025·武汉]如图是由小正方形组成的3× 4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形 ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度直 尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问 题的画线不得超过五条， E E 图1 图2 (1)如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时 针旋转90°，画对应点F,再画直线FG交AB 于点G,使直线FG平分矩形ABCD的面积. (2)如图2，先画点C关于直线BD的对称点 M,再画射线MN交BD于点N,使MN∥ AD. P>10 变式22[2024·海曙区一模]如图，在下列 4×4的正方形网格中，按要求作图. (1)在图①②③中，分别画一条线段，使各网 格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）； (2)在图④中，画一条线段，使整个网格为中 心对称图形 ① ② ③ ④ 第32题能够利用角度和长度研究现实问 题的空间观念素养—测高 [2025·湖州一模]纵观古今，解码测量背后 的数学智慧。 (1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高” 的方法.意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物 体的高度.如图，点B,D,E在同一水平线上， ∠ABE=∠CDE=90°，AE与CD交于点F. 测得DF=0.35米，DE=0.55米，BE=22 米，求树AB的高度， 周牌 經 D E (2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用 无人机（无人机限高120米）测算某山体的海 拔高度，设计了如下两种方案.请选择其中一 种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度 (AB的长).（精确到1米） 测量示意图 方案说明 无人机位于海拔高 度为60米的C 处，测得与山顶A 处的仰角α为45°， 与山脚D处的俯 方案 c 角3为65°.（参考 海基准数据：sin65°≈ 0.90,c0s65°≈ 0.42,tan65°≈ 2.14) 当无人机位于海拔 高度为60米的C 处时，测得与山顶 A处的仰角y为 45°；当无人机垂直 上升到海拔高度为 方案 113米的G处时， 测得与山顶处A 海拔基 的仰角0为25°. (参考数据：sin25 ≈0.42，c0s25°≈ 0.90,tan25°≈ 0.47) 变式23如图，某学习小组在学习了解直角 专 三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知 识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处 测得大树顶端A的仰角为45°，再从点C出 发沿斜坡走3√I0米到达斜坡上的点D,在点 D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比为i=1:3.（点E,C,B在同一水平线 上) FD30 45° E C网B (1)求从点C到点D的过程中上升的高度， (2)求大树AB的高度.（结果保留根号） 1144分别设慢车和快车的函数解析式为 s=kt十b(k≠0)，s=k1t+b1(k1≠0)， 由上可得慢车经过点(20,8)，(32,16)，快车经过点 (20,16),(32,0), 分别代人解析式后，可得 18=20k+b,116=20k1+b1, 16=32k+b:10=32k1+b1, k=2 解得 3, 3 慢车离A站的路程：关于：的函数表达式为：=号： 、16 3 快车离A站的路程s关于t的函数表达式为s= 3, 2 s 16 33 t=24, 联立两式 4.,128 解得32 31+3 31 ∴第一次相渴时离A站的路程为号km (3)由(2)得t1=12+8+4=24, s(km) 16- 快车 慢车 01 12 72 f(min) 由题意可得函数图象关于直线t=36对称，P1,P 是一组对称点， .t2-36=36-t1,即t2-36=36-24, 解得t2=48, .∴.t2-t=24 答：第一次相遇后，经过24分钟后两车再次相遇， 变式17解：(1)12006【解析】由图可知： 小刚家到体育场的路程是1200米，20一14=6（分 钟)， 即小聪比小刚早到体育场6分钟. (2)小聪的速度为1200÷(14一8)=200(m/min), 500÷200=2.5(min),8+2.5=10.5(min), 答：小刚出发10.5分钟后，小聪追上了小刚； (3)不会迟到.理由如下：小刚原来步行速度为500 ÷8=62.5(m/min), (1200-500)÷62.5=11.2(min), .小刚到达体育场所用时间为13十11.2=24.2 (min), 14:25-14:00=25(min), 即小刚出门25分钟后球赛开始， .24.2<25, .不会迟到 专题三从空间观念的素养角度去思考命题 第23题A【解析】根据三视图的概念，可知选 项A中的图形是主视图，选项B中的图形是俯视 图，选项D中的图形是左视图. 变式18D 44 第24题 A 第25题C【解析】设CP的延长线交冰壶场地 的最外圈与D,如图， E,90° D B 1809 09 F270° :∠APB=120°，CP的延长线平分∠APB, .∠APD=∠DPB=60°， ∴.∠DPE=30°， ∴∠CPF=30°， .冰壶C可表示为(3a,240), 答案：C 变式19B 第26题√6【解析】过点A作AH⊥DB于点 H, 北 D 60° H A 由题意知AB=2km,∠BAH=30°，∠DAH=45°， .∠ADH=45=∠DAH, ..DH=AH, :∠BAH=30°，AB=2(km) .BH-7AB-1(km), 在Rt△ABH中， AH=√AB2-B平=√22-1 =√3(km), ∴.DH=√3(km), 在Rt△ADH中， AD=√AH+DH平=√6. 答案√6. 变式20 解：(1)过点C作CD⊥AB,垂足为点D, 北 30° 60° A B D 由题意得：AB=36×0.5=18(海里)，∠CAD=90° -60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ,∠CBD是△ABC的一个外角， ∴.∠ACB=∠CBD-∠CAB=30°， ∴.∠CAB=∠ACB=30°， .AB=BC=18海里， 在Rt△CDB中，CD=BC.sin60°=18X5=95 (海里)， 在Rt△ACD中，∠CAD=30°， .AC=2CD=183(海里)， .AC长度为18√3海里. (2)由(1)可得：CD⊥AD,且CD=9√5海里， ∴若继续向东航行，则该船与岛C的最近距离是9 √5海里. 第27题D 变式21因 【解析】过点C作CD⊥AB于点D, 如图， D B 观察图象可发现：当点E运动到点D时，C,F两点 重合，△CEF不存在，当点E运动到点B时，E,F 两点重合，△CEF不存在， 则对应函数图象上第二个和第三个零点， 设m=3k,n=7k(k>0), 由函数图象对称的性质可得第二个和第三个零点的 值分别为6k,8k, 则AD=6k,BD=2k, :∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°， .∠ACD=∠B, :∠ADC=∠BDC=90°， .△ACDp△CBD, 器册 即CD=12k2, .CD=2√3k, “tanA=CD_23k-B AD 6k 31 答案 第28题D 第29题 y+(≤≤ 【解析】记CE与y轴的交点为F, 个y D EF A 0 :CE=2,且半圆关于y轴对称， ..FE=FC=FD=1, .OD=1.9, .OF=0.9, .左侧抛物线的顶点E坐标为（一1,0.9）， 设左侧抛物线的解析式为y=a(x十1)2+0.9， .AB=5, A(-0 将点A(一号0)的坐标代人抛物线解析式得a一 y=- 号+1D+品： 9 答案：y=一 +10+(-号≤≤-1) 第30题15°或82.5°【解析】根据题意可知∠F =45°，∠DEF=90°，∠A=30°， D A E MB A EB 图1 图2 ①当EM=FM时，如图1，∴.∠MEF=∠F=45°， .∠CEB=90°-45°=45°. :∠A+∠ACE=∠CEB, .∠ACE=45°-30°=15°； ②当EF=FM时，如图2， ∴.∠MEF=∠M,∠MEF+∠M=45°，∴.∠MEF= 22.5°， ∴.∠DEM=90°+22.5°=112.5. .·/A+∠ACE=/DEM, ∴.∠ACE=112.5°-30°=82.5° 综上所述，∠ACE的度数为15°或82.5° 第31题解：(1)如图1，点F,直线FG即为所求； F J B G D C E C 图1 图2 (2)如图，点M,直线MN即为所求. 变式22解：(1)如图①②③所示. ① ② ③ (2)如图④所示， ④ 第32题解：(1)：∠ABE=∠CDE=90°，∠AEB =∠FED, .∴.△ABE△FDE, 45 漂器 DF=0.35米，DE=0.55米，BE=22米， 漂器 .AB=14, 答：树AB的高度为14米. (2)选择方案二解决问题. 由题意，知HE=CG=113-60=53(米). ∠ACE=y=45°，∠AEC=90°， ..AE=CE, ,∠AGH=0=25°，∠AHG=90°， :AH ··号tan25可得A二5312tam25°， CE 53 53 AE=CE=1-an25≈1-0.47100C米)， .AB=AE+EB=CE+CF=160(米)， ∴.山体的海拔高度约为160米. 变式23(1)解：过点D作DG⊥BE,垂足为点G, 如图. D30° 45° EGCB :斜坡C℉的坡比为i=1:3, 0%g ∴.设DG=x米，则CG=3x米， 在Rt△DCG中， CD=√DG+CG=√/x+(3x)=√10x(米). ,CD=3√10米， ∴.√/10x=3√10， 解得x=3, ∴DG=3米，CG=9米， .从点C到点D的过程中上升的高度为3米. (2)解：过点D作DH⊥AB,垂足为点H,如图 由题意得DG=BH=3米，DH=BG, 设BC=y米， .CG=9米， 230 X45° BC用合 .DH=BG=CG+BC=(y+9)米， 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， .AB=BC·tan45°=y(米)， 在Rt△ADH中，∠ADH=30°， ÷AH=DH·tan30°=5(y+9)米， 3 .AH+BH=AB, 46 5(y十9)+3= 3 解得y=6√3+9， .AB=(6V5+9)米， .大树AB的高度为(6√3十9)米。 专题四从创新意识的素养角度去思考命题 第33题C 第4题C【解析】根据题意得方二日 12'x-12=8-元 24-号或x=6 经检验都为分式方程的解， 则整数x是6或24. 第35题D 第36题B 第37题(30-2√6) 嘴视 【解析】如图，连结BD, OC,OC交AB于点G, D ./DAB=90°， ∴BD是⊙O的直径， 由垂径定理得，AG=BG, 平视… ,∴.OG是△BAD的中位 线， 仰视 .OC∥DE, 能品 ..BC=CE, 0C=7DE=3×(37-23)=7, ∴.⊙0的直径为14. ,AB=10,.AD=√142-102=4W6, .AE=14-46. CF/AB席- ∴.EF=7-26, ∴.点C的高度即点F的高度为7-2√6+23=30一 2√6(mm). 第38题D 第39题解：(1)①SSS【解析】在△AEF和 △CDA中， (AE=CD, AF=AC, EF-AD, ,.△AEF≌△CDA(SSS). ②小强的说法正确.理由如下： 图1