专题二 从几何直观的素养角度去思考命题-【崇文阁】2026中考数学学科素养关键100题

学 专题二从几何直观的素养角度去思考命题 素养关键 第13题理解数轴的作用与意义的几何直 作弧，分别交BA,BC于点M,V;②分别以 观素养—数轴是数的直观模型 M,V为圆心，以大于2MN的长为半径作 0 x+1>0, 题 [2025·滨江区二模]不等式组 的 弧，两弧在∠ABC内交于点O:③作射线 2x-1≤1 数学 BO,交AD于点E,交CD延长线于点F.若 解集在数轴上表示正确的是 CD=3,DE=2,下列结论错误的是() A-2902 B.202 R E c202 第14题能够解释代数表示的几何意义的 几何直观素养一反比例函数的几何意义 W [2025·舟山三模]如图，已知P,Q分别是反 A.∠ABE=∠CBE B.BC=5 比例函数y=与y=图象上的点，且PQ C.DE-DF D胖-号 ∥x轴，点P的坐标为（一多，2小，分别过点 变式10[2025·上虞区二模]已知平行四边 形ABCD,在边AD上画，点M,使CM⊥AD于 P,Q作PM⊥x轴于点M,QN⊥x轴于点 点M. N.若四边形PMNQ的面积为2，则k2的值 甲、乙两位同学的作图方法如下， 为 () 甲：如图1，以点C为圆心，CD长为半径画弧 交边AD于D,E两点，再分别以点E,D为 圆心，大于2ED长为半径画弧，两弧交于点 F,作射线CF交边AD于点M,则点M为符 合要求的点。 乙：如图2，分别以点C,D为圆心，大于2CD A.5 B.-5 C.1 D.-1 长为半径画弧，两弧交于点E,F,作直线EF 变式9[2025·温州模拟]如图，已知矩形 交边CD于点O,再以点O为圆心，OD长为 ABCD的面积为16，AB⊥y轴，C,D是x轴 半径画弧交边AD于点M,连结CM,则点M 上的两个点，点A,B分别在反比例函数y= 为符合要求的点. &(x>0),y=-30(x<0)的图象上，则a的 请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选 值为 择其中一种作法说明判断理由. AE D 图1 图2 第15题通过画图表示和解释图形的几何 直观素养一平行四边形的性质 第16题抛物线的图形特征由系数确定的 [2025·定海区一模]在□ABCD中，按以下 几何直观素养一抛物线的系数特征 步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径 [2025·鄞州区校级模拟]二次函数y=a.x P>4 十bx十c(a≠0)的图象如图所示，顶点的横坐 ① ① 专 标为2，点A(x1,y1)和点 ② ③ B(x2,y2)均在该函数的图象 ④ ③ ② ④ 上，则下列说法正确的是 变式13[2023·鹿城区校级三模]如图1， ( A.b=4a 将一张等腰三角形纸片ABC沿虚线剪开，得 到两个全等的三角形和两个全等的四边形小 B.若x1>x2>2,则y1>y 纸片.小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不 C.当m≠2时，am2+bm<4a+2b 重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接， D.若函数图象与x轴的一个交点的横坐标 也拼出一个矩形FHIK,但由于两个四边形 为一1，则当x<-1或x>5时，y>0 纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了 变式11[2025·宁波一模]已知二次函数y 5cm2.若AE:DE=5:3,则tanC= =ax2十bx十c(a≠0)的图象与x轴没有交 ,矩形FHIK的面积为 点，且a+b≠0，则 () cm A.a(a+2b+4c)>0 B.a(a+2b+4c)<0 C.a+2b+4c>0 D.a+2b+4c<0 第17通通过折纸、剪拼等操作活动感知图 形的结构特征的几何直观素养—图形的变 图1 图2 图3 换 第18题研究变换前后两个图形间的对应 [2023·平阳县校级三模]有数学家证明了定 关系的几何直观素养一图形的旋转 理：任意一个三角形可以剪拼成一个矩形.小 [2025·金东区二模]如图，在锐角△ABC 慧将一张三角形纸片（如图1）分割成四块，然 中，∠ACB=45°，将△ABC绕点C逆时针旋 后拼成一张矩形纸片（无缝隙无重叠），如图 转a度(0<a<180),得到△DEC,点A和点 2,分别取AB,AC的中点D,E,作DF⊥BC B的对应点分别为点D和点E,当点D落在 于点F,EG⊥BC于点G,连结EF,分别作 AB上时，恰有DE⊥BC,则a= DH⊥EF于点H,GK⊥EF于点K.若 △ABC的面积为150cm2,BC=20cm,AB= 17cm,则矩形H'HK'P的周长是 D H 第19题能够在问题情境中进行实物情境 D E 与图形表示的转换的几何直观素养一菱形 的性质 G [2025·衢州三模]如图，在矩形ABCD中， 图1 图2 AB=3,BC=6,点H,F分别在边AD,BC 变式12[2023·婺城区模拟]剪纸是中国 上，点E,G在对角线AC上.如果四边形EF 的传统文化之一.如图1，将长为12cm,宽为 GH是菱形，那么线段AH的长为 5cm的矩形纸片剪成4张小纸片，分别记为 ①，②，③，④.若这四张小纸片恰好能拼成如 图2所示的矩形，则在“小纸片①中，较长直 角边长为 cm. 544 学科 第20题通过折纸感知图形的结构特征的 过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格 几何直观素养一轴对称 点上) 素养关 [2025·新昌县一模]如图，在矩形纸片AB (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心G CD中，AB=8,AD=6,折叠纸片使边AD落 的坐标和点B的对应点B的坐标； 在对角线DB上，折痕为DG,则△DBG的面 (2)将菱形ABCD平移，使点C的对应点为 1 积为 点B,画出平移后的菱形 题 数学 G 变式14[2025·龙泉市二模]如图，在 □ABCD中，BC=3,CD=4,点E是CD边 上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE, 连结BF,点B,F,E恰好在同一直线上，延长 AF交BC于点G,则△BFG与四边形AGCD 的面积比为 变式16[2024·江北区一模]如图是由边 长为1的小正方形构成的6×5网格，点A,B 均在格点上 (1)请在图1中，画出一个格点△ABC,使 B G C △ABC为轴对称图形. 第21题能够利用画图解释几何命题进行 (2)请在图2中，画出一个格点四边形 几何推理的几何直观素养一网格中的几何 ABDE,使四边形ABDE为中心对称图形. 作图 (注：格点多边形，即多边形的每个顶点均在 [2024·柯桥区模拟]如图，在6×6的正方形 格点上) 网格中，点A,B,C均在格点上，请按要求作 A 图. (1)在图1中画一个格点△ADE,使△ADE C∽△ABC. (2)在图2中找一点F,使∠AFC=2∠ABC B 图1 图2 B A 第22题能够利用图表工具分析问题情境 中的数量关系的几何直观素养一分段函数 [2025·温州模拟]一辆快车和一辆慢车在相 距16km的A,B两站点间往返载客，两车均 图1 图2 在每天早上8：00从A站出发，快车中途不停 变式15[2025潍坊]如图，已知菱形ABCD 靠，慢车仅在A,B两站的中点C站停靠上下 的顶点在方格纸的格点上，其中A,B,C的坐 客.设两车行驶速度不变，在各站停靠时长相 标分别为(0,1)，(-2,4)，（一4,1）.该菱形经 同，两车离A站的路程为s(km),经过的时间 P>6 为t(min),上午发车后慢车第一个往返期间 去体育场，如图是他们从家到体育场所走的 专 两车行驶如图所示. 路程s(米)与小刚离家时间t(分钟)之间的对 (1)求慢车、快车的速度和他们第一次停靠的 应关系，根据图象回答下列问题： 时长 (1)小刚家到体育场的路程是 米，小 (2)求慢车和快车出发后第一次相遇时离A 聪比小刚早到体育场 分钟； 站的路程。 (2)小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ (3)慢车和快车第一次相遇后，经过多少时间 (3)体育场的下午球赛的开赛时间是14：25， 两车再次相遇？ 小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的 skm)↑ 速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算 16 快车 出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由. 个s(米) 慢车 小聪小刚 1200 g■■■■■ 0 72 (min) 500----× 8 1314 20分) 变式17[2025·杭州二模]小刚和小聪同 住一个小区，商量周日去体育场看一场足球 赛.周日下午，小刚14：00先出发去体育场， 走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后 来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向 体育场；小聪因家中有事迟出发，离家后跑步 74答案：D. 第9题B【解析】∠C=90°，∠B=32°， .∠A=90°-∠B=58°， ,BE∥AC, .∠AGB'=∠A=58, :将△BEF沿着EF折叠，得到△BEF, .∠B=∠B=32°， ∠AGB'=∠AFB+∠B', .58°=∠AFB+32°， ∴.∠AFB'=26°， 答案：B. 变式7(2-号)：【解析】：四边形ACD是边 长为a的菱形， ..AB=CB=CD=a, .DE-CE-Te, 由折叠得MH=AH,ME=CE=2a,∠EMC= ∠C=45, .∠CEM=90°， CM-ME+CE-CE- 2a, BM=a-号… .BH+MH=BH+AH=AB=a, BH+MI+BM=ata号a-(2号a. ∴△BHM的周长为(2-号)a. 答案：(2-)a 2 第10题解：去分母，得x-3-1=2.x-4, 解得x=0, 经检验x=0是分式方程的解. y- 2x4, 第11题 y= 3x+3 第12题解：(1)过点A作AP∥MN,如图1， E D M B 图1 .CD∥MN, .AP∥CD∥MN. ,AB⊥MN于点B, .∠PAB=90°， :∠CAB=140, ∴.∠PAC=140°-90°=50°， :AP∥CD, .∠DCE=∠PAC=50°； 40 (2)过点E作EF⊥AP于点F,如图2， D M:B 777777777777777777777777 图2 ,AC=35cm,CD=25cm,CE是机器人“G1”小腿 CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间. ..AE=AC+CE=AC+CD=60 cm, .EF=AE·sin∠PAC=AE·sin50°=60×0.766 =45.96≈46cm, ∴.点E距离地面的高度是46+60=106cm. 变式8解：(1).∠ACB=∠DBC一∠CAB, ∠CAB=30°，∠CBD=60°， .∠ACB=60°-30°=30°， ∴.∠CAB=∠ACB, ∴.AB=BC=36米， 答：观测者B到C处的距离为36米. (2)过点C作CF⊥AD于点F,过C作C'E⊥AD 于点E, 459 30° 人60° EB F D 则四边形CEFC是矩形， ∴.CC=EF,CF=CE, 在Rt△BCF中，CF=BC·sin60°=36X5 185(米)，BF=2BC=18(米)， 在Rt△ACF中，.∠CAF=30°，∠AFC=90°， ..AF= CF183 tan30° 5 =54(米)， 3 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠CAB=45°， .C'E=AE=CF=18√3（米）， .C'C=EF=AF-AE=(54-18√3)米， “无人机飞行的平均速度为54-18B=(9-33) 6 米/秒. 专题二从几何直观的素养角度去思考命题 第13题B 第14题D【解析】“点P是反比例函数y= x 上的点， 过点P与坐标轴围成的矩形的面积为 -号×28 ∴.过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为3一2=1， ,反比例函数在第二象限， k2=-1, 答案：D. 变式94【解析】设点A坐标为(m,号)(m>0, a>0), ,ABLy轴， 点B坐标为(-3m,a）】 m. .m·4+-3m·4=a+3a=16, 772 772 解得a=4, 答案：4. 第10题D 变式10解：甲、乙的作法都正确 图1 图2 理由：甲.如图1，连结CE,EF,DF 由作图可知，CE=CD,EF=DF, ∴.CF垂直平分线段DE,即CM⊥AD. 乙.连结OM,如图2. 由作图可知OC=OD=OM,.点C,D,M在以点O 为圆心，OD为半径的圆上， ∴.∠CMD=90°，即CM⊥AD. 第16题C【解析】：二次函数y=a.x2+bx+c (a≠0)的顶点的横坐标为2， 品-2 ∴.b=-4a,故A不正确； ,函数开口向下， .离对称轴越远函数值越小， :对称轴为直线x=2,x1>x2>2, y1<y2,故B不正确； :二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的开口向下，顶 点的横坐标为2， ∴.x=2时，函数有最大值4a十2b+c, ∴.当m≠2时，am2+bm十c<4a十2b+c,即当m≠2 时，am2+bm<4a+2b,故C正确； 函数图象与x轴的一个交点的横坐标为一1，对 称轴为直线x=2, ∴.函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为5， 由图可知：当x<一1或x>5时，y<0,故D不正 确. 答案：C 变式1山A【解析】令x=合y=4 a+2b+c= 1 4(a+2b+4c), ,二次函数的图象与x轴没有交点， .a>0时，y>0,或a<0时，y<0, .∴.a(a+2b+4c)>0. 答案：A. 第17题49【解析】如图，过点A作AQ⊥BC于 点Q, H E B FO G ,D,E是AB,AC的中点， .DE是△ABC的中位线， .DE-BC-10. .SAA8c=150,BC=20, AQ=150X2=15. 20 ,DF∥AQ,D为AB的中点， ∴.△BDFn△BAQ, 器器 DF=号AQ-号， 在Rt△EFD中，EF=√JDE+DF .SADEF- 2 DFXDE=-号EFXDH, ..DH= ×10 DFXDE_2 EF =6, 2 ..DH'=DH=6,HH'=DH'+DH=2DH=12, ,△ABC的面积为150，.矩形HHK'P的面积 为150， .HH'×HK'=150, HK'=150-25 12-2 .矩形H'HK'P的周长=2×(HH+HK')=2X (12+)=40. 答案：B 变式12 60 【解析】如图，设CD=xcm,DE=y cm,则BD=(12-x)cm. D B X ① ① y ② ③ y E③ ④ ② DE∥AB, 器常 5 ∴y=i2, 又x=y+5, 5 六x=2x+5, 41 =9 “较长直角边长为9cm. 答案：9 变式3号9 【解析】设图1中的水平虚线 与AC交于点G,与AB交于点L, M C D 图1 图2 图3 依题意得：AD为等腰三角形ABC底边上的高，EG ∥BC, AE:DE=5:3, .AE:AD=5:8, .△AGE∽△ACD, ∴.GE:CD=AE:AD=5:8, 设GE=5a,CD=8a, 由图2可知：AG=RS=EG+CD=13a, 在Rt△AGE中，AG=13a,GE=5a, 由勾股定理的AE=√AG-GE=12a, an C-m/AGE-荒盟号， 在图1中，EG∥BC,AG=13a,AE=12a, ..AG:GC=AE:DE=5:3, GC-号·AG,DE=号·AE= 5 对比图1和图2得：QR=GC-3,RN=GE=5a, QM=AE=12a, ∴QN=QR+RN=39a+5a=64 5 对比图1和图3得：FH=AE=12a,FO=GE=5a, OK=DE=36a 5 FK-F0-0K=5a+管-g。 ·S矩形Qs=S矩形FHIK十5， .QM·QN=FH·FK+5, 即12a.64=12a.64+5, 5 5 整理得36a2=25, .a>0, 5 .a6 FH=12a=10,FK=61a=61 56 SHEFHIK=FH.FK=10X61-305 63 答案号 第18题30°【解析】，将△ABC绕点C逆时针 旋转a度得到△DEC, 42 ∴.AC=CD,∠A=∠CDE,∠ACD=a, ÷∠A=∠CDA=(180°-a)÷2=90°-7a ÷∠A=∠CDE=∠CDA=90°-2a, DE⊥BC, ÷∠DCB=90°-∠CDE=90°-(90-2a)=7a: ,∠ACB=45°， 1 ∠ACD+∠DCB=45,即a+2a=45, 解得a=30° 答案：30°. 第19题 15 【解析】，四边形ABCD是矩形， H D B .∠D=90°，AD∥BC,DC=AB=3,AD=BC=6, .AC=√AD+CD=35, ,四边形EFGH是菱形， ..EG FH,OH=OF, :AD∥BC, ∴.∠OAH=∠OCF,∠AHO=∠CFO, .△AOH≌△COF(AAS), ..AO=OC, A0=3AC=35, :∠AOH=∠D=90°，∠OAH=∠DAC, .△AOHp△ADC, ..AH:AC=AO:AD, ∴AH:3v5=36:6, AH=15 4 答案只 第20题15【解析】，四边形ABCD为矩形， .AB=CD,AD=BC,∠DAB=90°， .AB=CD=8,AD=BC=6, 在Rt△BCD中，BD=√AB2+AD=10, 由折叠可知：∠DA'G=∠DAG=90°，DA'=DA= 6,AG=AG, .∠BA'G=180°-∠DA'G=90°， 设A'G=AG=x,则BG=8一x, 在Rt△BA'G中，A'B=BD-DA'=10-6=4, 由勾股定理得：BG=A'G+A'B2, .(8-x)2=x2+42, 解得x=3, .AG=3, “△DBG的面积=号BD·AG=号×10X3=15. 答案：15. 变式141：8【解析】如图，延长AD,BE,交于 点H, 3 4 2y8 5 GC .在□ABCD中，BC=3,CD=4, ∴.AB=CD=4,AD=BC=3,AB∥CD,AD∥BC, .∠1=∠2，∠DAG=∠5，∠3+∠C=180°，∠C ∠HDE, 将△ADE沿AE翻折得△AFE,点B,F,E恰好 在同一直线上， ∴AD=AF=3,∠3=∠4，DE=EF, ..AF=BC. ,∠4+∠AFB=180°， ∴∠AFB=∠C, ∠1=∠2， 在△ABF和△BEC中，∠AFB=∠C, AF=BC. .△ABF≌△BEC(AAS), ∴.BF=EC,AB=BE=4, ,点E是CD边上的中点， .BF=EC=DE=EF=2, I∠HDE=∠C, 在△DEH和△CEB中，DE=CE, ∠HED=∠BEC, ∴.△DEH≌△CEB(ASA), ..DH=CB=3,EH=EB=4, .AH=FH=6,∴.∠DAG=∠4， ,∠4=∠BFG, ∴.∠5=∠BFG, BE=BG=2. .CG=1, .∠DAG=∠5， .△BFG∽△HFA, 器台子 设△BFG边的BG上的高为h,则△AFH的边AH 上的高为3h,□ABCD的底边AD上的高为4h, 则△BFG与四边形AGCD的面积比为 BGXh 2 1 2x1+3)X 8 答案：1：8. 第21题解：(1)如图1，△ADE即为所求；（答案 不唯一) B A 图1 (2)如图2，点F即为所求 M 图2 由作图可知，MN为线段AB的垂直平分线， ,∴.∠FBA=∠FAB, .∠AFC=∠FBA+∠FAB, ∴.∠AFC=2∠ABC 变形15解：(1)平面直角坐标系如图所示， y -8 -51 B --4 3 -1 65432 2:3 4:56 =2 D 5 B 对称中心G的坐标是(0，一 )，点B的对应点B的 坐标是(2，一5)： (2)画出平移后的菱形，如图所示。 变式16解：(1)如图1，△ABC即为所求（答案不 唯一). (2)如图2，四边形ABDE即为所求（答案不唯一）. A y B B D 图1 图2 第22题 解：(1)根据题意得慢车速度为16×1× 2 立-号(km/mim):快车速度为9专（km/mim, -3 即他们第一次停靠的时长为72-2X12X2=8(分 钟)； (2)当20≤t≤32时，慢车和快车第一次相遇， 43 分别设慢车和快车的函数解析式为 s=kt十b(k≠0)，s=k1t+b1(k1≠0)， 由上可得慢车经过点(20,8)，(32,16)，快车经过点 (20,16),(32,0), 分别代人解析式后，可得 18=20k+b,116=20k1+b1, 16=32k+b:10=32k1+b1, k=2 解得 3, 3 慢车离A站的路程：关于：的函数表达式为：=号： 、16 3 快车离A站的路程s关于t的函数表达式为s= 3, 2 s 16 33 t=24, 联立两式 4.,128 解得32 31+3 31 ∴第一次相渴时离A站的路程为号km (3)由(2)得t1=12+8+4=24, s(km) 16- 快车 慢车 01 12 72 f(min) 由题意可得函数图象关于直线t=36对称，P1,P 是一组对称点， .t2-36=36-t1,即t2-36=36-24, 解得t2=48, .∴.t2-t=24 答：第一次相遇后，经过24分钟后两车再次相遇， 变式17解：(1)12006【解析】由图可知： 小刚家到体育场的路程是1200米，20一14=6（分 钟)， 即小聪比小刚早到体育场6分钟. (2)小聪的速度为1200÷(14一8)=200(m/min), 500÷200=2.5(min),8+2.5=10.5(min), 答：小刚出发10.5分钟后，小聪追上了小刚； (3)不会迟到.理由如下：小刚原来步行速度为500 ÷8=62.5(m/min), (1200-500)÷62.5=11.2(min), .小刚到达体育场所用时间为13十11.2=24.2 (min), 14:25-14:00=25(min), 即小刚出门25分钟后球赛开始， .24.2<25, .不会迟到 专题三从空间观念的素养角度去思考命题 第23题A【解析】根据三视图的概念，可知选 项A中的图形是主视图，选项B中的图形是俯视 图，选项D中的图形是左视图. 变式18D 44 第24题 A 第25题C【解析】设CP的延长线交冰壶场地 的最外圈与D,如图， E,90° D B 1809 09 F270° :∠APB=120°，CP的延长线平分∠APB, .∠APD=∠DPB=60°， ∴.∠DPE=30°， ∴∠CPF=30°， .冰壶C可表示为(3a,240), 答案：C 变式19B 第26题√6【解析】过点A作AH⊥DB于点 H, 北 D 60° H A 由题意知AB=2km,∠BAH=30°，∠DAH=45°， .∠ADH=45=∠DAH, ..DH=AH, :∠BAH=30°，AB=2(km) .BH-7AB-1(km), 在Rt△ABH中， AH=√AB2-B平=√22-1 =√3(km), ∴.DH=√3(km), 在Rt△ADH中， AD=√AH+DH平=√6. 答案√6. 变式20 解：(1)过点C作CD⊥AB,垂足为点D, 北 30° 60° A B D 由题意得：AB=36×0.5=18(海里)，∠CAD=90° -60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ,∠CBD是△ABC的一个外角， ∴.∠ACB=∠CBD-∠CAB=30°， ∴.∠CAB=∠ACB=30°，