第20章 勾股定理 章末复习 教案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 章末复习 教学目标 1．形成对本章知识体系的整体认知，理解并掌握勾股定理及其逆定理，发展几何直观和推理能力． 2．熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题与数学问题，体会转化与建模等数学思想，提升运算能力，增强应用意识． 教学重点 勾股定理及其逆定理的运用． 教学难点 勾股定理及其逆定理的运用． 教学过程 复习导入 请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！ 1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ 2. 赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 3. 已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？ 4. 勾股定理的逆定理是如何证明的？ 【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生系统回顾本章知识内容，形成对勾股定理及其逆定理知识体系的整体认知，为后续系统复习与知识整合奠定基础． 要点复习 【要点一】勾股定理及其应用 知识点1　勾股定理 文字语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 符号语言：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2． 变式：b2＝c2－a2；a＝；b＝；c＝． 知识点2　勾股定理的验证 “赵爽弦图”，通过对图形的分割、拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理．核心方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”． S大正方形的面积＝c2＝4×＋(b－a)2，化简可得a2＋b2＝c2． 知识点3　勾股定理的应用 1．已知直角三角形任意两边长，求第三边长． 2．证明包含平方关系的几何问题． 3．解决与直角三角形有关的实际问题：先将实际问题抽象为数学问题，确定直角三角形，再利用勾股定理进行求解． 知识点4　利用勾股定理在数轴上表示实数 1．画长为（n是正整数）的线段：关键是找到两个实数a，b，使其满足a2＋b2＝n，构造直角边长分别为a和b的直角三角形，斜边长即为． 2．在数轴上画出表示（n是正整数）的点的方法：①构造以实数a，b（a2＋b2＝n）为直角边长的直角三角形，其斜边长即为；②以原点为圆心，为半径画弧，找到与数轴正半轴的交点，该点即为数轴上表示的点． 【例1】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 【答案】C． 【解析】当所求边为斜边时，由勾股定理，得； 当所求边为直角边时，边长为4的边是斜边，由勾股定理，得. 即第三边长为5或． 【归纳】利用勾股定理求直角三角形的第三条边长时，需分清斜边和直角边，若无法明确哪一条边是斜边，则需要分情况讨论． 【例2】池塘中一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分CA＝0.4米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC＝1.2米，求这株荷花的茎长OA． 【答案】解：设荷花的茎长为x米 ， 由题意，得OA＝OB＝x，OC＝x－0.4． ∵ ∠BCO＝90°， ∴ OC2＋BC2＝OB2， ∴ ( x－0.4)2＋1.22＝x2， 解得x＝2． 答：这株荷花的茎长OA为2米． 【归纳】利用勾股定理解决实际问题时，关键是先建立直角三角形模型，再合理假设未知数，最后根据勾股定理列方程求解． 【例3】（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．请你证明：a2＋b2＝c2． （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝3，b＝4，则空白部分的面积为______． （3）如图3，分别以Rt△ABC的三条边为基础向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC＝S1，S△BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，求S1，S2，S3之间的关系． 【答案】（1）证明：S大正方形＝(a＋b)2＝4×ab＋c2． ∴ (a＋b)2＝4×ab＋c2， ∴ a2＋b2＝c2． （2）解：设空白部分的面积是S， ∵ a＝3，b＝4， ∴ S＝c2－2×ab ＝a2＋b2－ab ＝32＋42－3×4 ＝13． （3）在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋AC2＝BC2． 在正方形ABED中，AD∥BE，AB＝BE， ∴ S△EBC＝＝AB2． 同理，S△BCG＝AC2． ∵ S正方形BCIH＝BC2，AB2＋AC2＝BC2， ∴ 2S1＋2S2＝S3． 【归纳】利用等积法验证勾股定理的本质是用两种不同的方式表示同一个图形的面积，然后通过等式变形推导得到a2＋b2＝c2． 利用勾股定理解决与面积有关的问题： （1） 把图形的面积转化为直角三角形边长的平方； （2）利用勾股定理得到直角三角形三边之间的数量关系，进而得出几何图形面积之间的关系． 【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生加深对勾股定理及其应用的理解，提升推理和运算能力． 【要点二】勾股定理的逆定理及其应用 知识点1　勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角．它是判定直角三角形的一个依据． 知识点2　勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．即a2＋b2＝c2中，若a，b，c为正整数，那么a，b，c为一组勾股数． 常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25． 知识点3　勾股定理的逆定理的应用 1．判断一个三角形是不是直角三角形． 2．解决实际问题：例如航海问题等． 知识点4　勾股定理及其逆定理的综合应用 解决实际或数学问题：先观察图形，找出直角三角形，用勾股定理计算未知边长；再利用勾股定理的逆定理判断目标三角形是否是直角三角形． 【例1】勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，我们称之为勾股数．下列各组数为勾股数的是（ ） A．9，40，41 B．9，16，20 C．1，2， D．，， 【答案】A． 【详解】A选项，因为92＋402＝412，所以9，40，41是一组能成为直角三角形三边长的正整数，为勾股数； B选项，92＋162＝337≠202，所以9，16，20不能成为直角三角形的三边长，不是勾股数； C选项，1，2，中不全是正整数，不是勾股数； D选项，，，都不是正整数，不是勾股数． 【归纳】判断勾股数的步骤： （1）判断三个数是否均是正整数； （2）计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； （3）若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数，反之则不是． 【例2】某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB⊥BC，且满足AB＝6米，BC＝8米，CD＝24米，AD＝26米，则这块草坪的面积是 平方米． 【答案】． 【解析】如图，连接AC， ∵ 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴ AC＝＝＝10， ∴ S△ABC＝＝24． ∵ AC＝10，CD＝24，AD＝26， ∴ AC2＋CD2＝102＋242＝676，AD2＝262＝676， ∴ AC2＋CD2＝AD2， ∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， ∴ S△ACD＝＝120， ∴ S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝24＋120＝144． 【归纳】（1）判断三角形是不是直角三角形的“三步法”． ①找最长边，计算平方； ②计算较小两边长的平方和； ③比较是否相等． （2）不规则图形求面积时，可以通过添加辅助线将不规则图形转化为规则图形，再求面积之和． 【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生进一步巩固对勾股定理及其逆定理的理解和应用，发展几何直观和推理能力，提升运算能力． 【要点三】利用勾股定理解决最短路径问题 【例1】如图是一个长方体的货柜，已知它的高为3 m，底面是边长为2 m的正方形．现在点A处有一只壁虎，想沿长方体表面爬行，最后到达点C处，则壁虎爬行的最短路程是多少？ 【答案】解：（1）如图，将长方体的右表面翻折至前表面，使A，C两点共面，连接AC，则线段AC的长度即为此种情况的最短路程． AC＝＝＝5． （2）如图，将长方体的后表面翻折至上表面，使A，C两点共面，连接AC，则线段AC的长度即为此种情况的最短路程． 　　AC＝＝＝． 　　∵ ＞5， ∴ 壁虎爬行的最短路程是5 m． 　　【归纳】立体图形中最短路径问题． 第1步，展开，将立体图形展开为平面图形；（注意：①只需展开包含相关点的面； ②可能存在多种展开方法．） 　　第2步，定点，确定相关点的位置； 　　第3步，连线，连接相关点，构造直角三角形； 第4步，计算，根据勾股定理求解． 【例2】如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和某宝塔B，某镇准备开发某桑葚基地C，经测量C位于A的北偏东方向，C位于B的北偏东的方向，且AB＝4 km． （1）求宝塔B与桑葚基地C的距离； （2）为方便游客到C采摘桑葚，该镇准备由C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求这条最短公路的长（结果保留根号）． 【答案】解：（1）根据题意得，∠CAB＝30°，∠ABC＝120°， ∴ ∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°， ∴ ∠ACB＝∠CAB＝30°， ∴ BC＝AB＝4． ∴ 宝塔B与桑葚基地C的距离为4 km． （2）如图，过点C作CD⊥l于点D， 在Rt△BCD中，BC＝4，∠CBD＝90°－30°＝60°， ∴ ∠BCD＝30°， ∴ BD＝BC＝2． 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＝CD2＋BD2， ∴ CD＝＝． 即最短公路的长为 km． 【归纳】“垂线段最短”类问题． （1）作垂线：过定点向定直线作垂线段； （2）定边角：根据条件，结合三角形内角和等，确定已知角和已知边； （3）计算长度：在直角三角形中，利用勾股定理或者直角三角形的性质求垂线段长． 【例3】如图所示，小区A与公路l的距离AC＝200 m，小区B与公路的距离BD＝ 400 m．已知CD＝800 m，现要在公路旁建造一家利民超市P，使超市P到A，B两小区的路程之和最短． （1）请在图中画出点P，并写出画法． （2）求PA＋PB的最小值． 【答案】解：（1）如图，作点A关于l的对称点，连接，交l于点P，P即为所求的点． （2）由对称性，得PA＋PB的最小值为线段的长． 如图，过点作，交BD的延长线于点E． 在Rt△中，＝CD＝800， BE＝BD＋DE＝BD＋＝400＋200＝600， ∴ ＝＝＝1000． ∴ PA＋PB的最小值为1000 m． 【归纳】“两定一动”最小值问题 （1）对称转化：作其中一个定点关于直线的对称点； （2）连线找交点：连接对称点与另外一个定点，与直线的交点即为所求点； （3）计算：构造直角三角形，利用两点之间线段最短的性质，用勾股定理计算得出线段长度，即为最短距离和． 　　【设计意图】通过例题讲解，让学生理解利用勾股定理解决最短路径问题的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力． 课堂小结 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材43～44页复习题20第1～9题． 学科网（北京）股份有限公司 $