第10节 三角形中的三线问题 课件-2027届高三数学一轮复习

第10节　三角形中的三线问题 课标要求 三角形中的三线问题常常涉及“爪形”三角形，“爪形”三角形是指 在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形， 一般涉及三角形的高线、中线、角平分线的计算.通常可以采用“邻补角 策略”“算两次策略”等利用正弦定理、余弦定理列方程求解. 目录/ CONTENTS 提能点一 高线问题 01 提能点二 中线问题 02 提能点三 角平分线问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 提能点一 高线问题 目 录 〔一题多解〕（2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝ 3C，2 sin （A－C）＝ sin B. （1）求 sin A； 解： ∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π， ∴4C＝π，则C＝ . ∵2 sin （A－C）＝ sin B＝ sin （π－A－C）＝ sin （A＋C）， ∴2 sin A cos C－2 cos A sin C＝ sin A cos C＋ cos A sin C， 则 sin A cos C＝3 cos A sin C，∴ sin A＝3 cos A＞0. 又 sin 2A＋ cos 2A＝1，∴ sin A＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）设AB＝5，求AB边上的高. 解：法一　设AB边上的高为h， 由（1）易得 cos A＝ ，则 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin （ ＋A）＝ cos A＋ sin A＝ . 在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，得AC＝ ＝ ＝2 . 又S△ABC＝ ·AC·AB· sin A＝ ·AB·h， ∴h＝AC sin A＝2 × ＝6. 即AB边上的高为6. 高中总复习·数学 目 录 法二　由（1）得 sin A＝3 cos A，则A是锐角， cos A＝ ， sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ × ＋ × ＝ . 由正弦定理 ＝ ，得AC＝ ＝ ＝2 ，故AB边上的高 为AC sin A＝2 × ＝6. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边 的长度. 高线的两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关. 提醒　设h1，h2，h3为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝ ∶ ∶ ＝ ∶ ∶ . 高中总复习·数学 目 录 练1 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 cos C＝ . （1）求角B的大小； 解： 由余弦定理的推论得 ＝ ，所以a2＋b2－c2＝2a （a－c sin B）， 所以b2＝a2＋c2－2ac sin B. 又因为b2＝a2＋c2－2ac cos B， 所以 sin B＝ cos B，则tan B＝1. 因为B∈（0，π），所以B＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若边AB上的高为 ，求 cos C的值. 解： 因为△ABC的面积S＝ ac sin B＝ ac＝ ，则a＝ c， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝ ＋c2－2× c×c× ＝ c2， 所以b＝ c，所以 cos C＝ ＝ ＝－ . 高中总复习·数学 目 录 02 PART 提能点二 中线问题 目 录 中线长定理：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝ （AB2＋ AC2）－ BC2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin C＝c sin B，C＝ . （1）求B的大小； 解： ∵a sin C＝c sin B，∴由正弦定理，得 sin A sin C＝ sin C sin B， ∵0＜C＜π，∴ sin C＞0，∴ sin A＝ sin B，∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴A ＝B或A＋B＝π（舍去）， ∵A＋B＋C＝π，且C＝ ，∴B＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若△ABC的面积为 ，求BC边上中线的长. 解：依题意得 ＝ ab sin C，∵A＝B，∴a＝b，∴ ＝ a2 sin ＝ ，得a＝b＝ ， 由正弦定理，得c＝ ＝3，设BC的中点为D，连接AD，如图， ∵AD2＝ （AB2＋AC2）－ BC2，∴AD＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 中线问题的处理策略 （1）可根据两角互补或面积相等用正、余弦定理建立方程求解； （2）采用向量法使问题简化：在△ABC中，若D为边BC的中点，则 ＝ （ ＋ ），两边平方即可得到三角形边长之间的关系； （3）利用中线长定理求解. 高中总复习·数学 目 录 练2 〔一题多解〕在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝ 5，则BC＝（　　） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　法一　设BC＝2x，则BD＝CD＝x.在△ACD 中，由余弦定理的推论可得， cos ∠ADC＝ ＝ .在△ABD中，由余弦定理的推论可得， cos ∠ADB＝ ＝ .又∠ADC＋∠ADB＝π，所以 cos ∠ADC＝－ cos ∠ADB，所以有 ＝－ ，整理可得x2＝12，解得x＝2 ，所以BC＝4 . 高中总复习·数学 目 录 法二　 ＝ （ ＋ ），则 ＝ （ ＋ ＋2 · ），即 25＝ （25＋49＋2×5×7× cos ∠BAC），解得 cos ∠BAC＝ ，所以 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠BAC＝25＋49－2×5×7× ＝48，所 以BC＝4 . 法三 由题意，直接将已知条件代入中线长公式AD2＝ （AB2＋AC2）－ BC2得25＝ （25＋49）－ BC2，所以BC2＝48，BC＝4 . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点三 角平分线问题 目 录 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4， 且4 cos C＝ b－c sin A. （1）求A； 解： 根据题意可得 a cos C＋c sin A＝ b， 由正弦定理得 sin A cos C＋ sin A sin C＝ sin B， 又 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C，所以 sin A sin C＝ cos A sin C. 又 sin C≠0，所以 sin A＝ cos A， 则tan A＝ .因为A∈（0，π），所以A＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）已知AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝ ，求 △ABC的面积. 解：因为S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，所以 bc· sin ∠BAC＝ AM·c· sin ∠BAM＋ AM·b· sin ∠CAM， 又AM平分∠BAC，所以∠BAM＝∠CAM＝ ∠BAC＝ ，所以 bc× ＝ × c× ＋ × b× ， 高中总复习·数学 目 录 则 bc＝ （b＋c），即bc＝ （b＋c）.在△ABC中，由余弦定 理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC， 即16＝b2＋c2－bc，所以16＝（b＋c）2－3bc＝（b＋c）2－ （b＋ c），解得b＋c＝2 （舍负）， 所以bc＝ （b＋c）＝ ×2 ＝ ， 故S△ABC＝ bc sin ∠BAC＝ × × ＝ ，即△ABC的面积为 . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 角平分线问题的处理策略 （1）在△ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： ＝ ；②利用 两个小三角形面积和等于大三角形面积处理；③ ＝ ； 高中总复习·数学 目 录 （2）角平分线张角定理：在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，如果∠BAD＝α，AD是∠BAC的角平分线，则有 cos α＝ （ ＋ ）. 高中总复习·数学 目 录 练3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2a＋c ＝2b cos C. （1）求B； 解： 由2a＋c＝2b cos C及正弦定理得，2 sin A＋ sin C＝2 sin B cos C， 即2 sin （B＋C）＋ sin C＝2 sin B cos C， 即2 cos B sin C＋ sin C＝0. 因为 sin C＞0，所以 cos B＝－ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）∠BAC的平分线AD交BC边于点D，当c＝2，AD＝ 时，求CD 的长. 解： 在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B， 化简得BD2＋2BD－3＝0，又BD＞0，解得BD＝1. 因为AD是∠BAC的平分线，所以由角平分线定理得 ＝ ＝2. 设CD＝m，m＞0，则AC＝2m，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝ AB2＋BC2－2×AB×BC× cos B，即4m2＝4＋（1＋m）2－2×2×（1＋ m）×（－ ），整理得3m2－4m－7＝0，又m＞0，解得m＝ ，所以 CD＝ . 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：74分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1. 在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ ，∠BAC的角平分线 交BC于D，则AD＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 解析： 　由余弦定理得 cos 60°＝ ，整理得AC2－2AC－2＝ 0，得AC＝1＋ .又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以 ×2AC sin 60°＝ ×2AD sin 30°＋ AC×AD sin 30°，所以AD＝ ＝ ＝2. 高中总复习·数学 目 录 2. 在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AH为△ABC的高 线，则 · ＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°＝7，即BC＝ ，所以S△ABC＝ AB·AC sin 120°＝ BC·AH，所 以AH＝ ＝ ，由向量数量积的几何意义得 · ＝｜ ｜2＝（ ）2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2 ＝ac，延长BC至点D，使得BC＝CD，若AD＝2 ，AB＝2，则a＝ （　　） A. 1 B. √ C. 2 D. 3 解析： 　因为a2＋c2－b2＝ac，所以 cos B＝ ＝ ＝ ，又因为0＜B＜π，所以B＝ ，如图所示，由 BD＝2a，且AD＝2 ，AB＝2，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝4＋（2a）2－2×2×2a× cos ＝4＋4a2－4a＝12，解得a＝2或a＝－1（负值舍去）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 4. 〔多选〕在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝ 1， cos ∠BAC＝ ，以下结论正确的是（　　） A. AB＝8 B. ＝ C. AB＝6 D. △ABD的面积为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 解析： 　如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD ＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得 cos 2α ＝2 cos 2α－1＝ ，且0°＜α＜45°，所以 cos α＝ ，在 Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝AD cos α＝ ，在Rt△ACB中，AB＝ ＝ ×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理， ＝ ＝ × ＝ ，故B正确；因为 cos α＝ ，且0°＜α＜45°，所以 sin α＝ ，所以S△ABD＝ AD·AB· sin α＝ ×6× ＝ ，故D正确，故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为 AC边上的中线，BD＝2，且a cos C－2b cos B＋c cos A＝0，则△ABC的 面积为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 解析：由a cos C－2b cos B＋c cos A＝0，得 sin A cos C＋ sin C cos A＝2 sin B cos B，即 sin （A＋C）＝2 sin B cos B，即 sin B＝2 sin B cos B，由 sin B≠0，得 cos B＝ ，故B＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B⇒9＝ a2＋c2－ac.由中线长定理知BD2＝ （BA2＋BC2）－ AC2＝ （c2＋a2） － b2，即4＝ （9＋ac）－ ，∴ac＝ ，∴S△ABC＝ ac sin B＝ × × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 6. 在△ABC中，B＝ ，BC边上的高等于 BC，则 cos A＝ ⁠ ⁠. 解析：设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得 a ＝c sin ＝ c，则a＝ c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ ac＝ c2＋c2－3c2＝ c2，则b＝ c.由余弦定理，可得 cos A＝ ＝ ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 7. （13分）（2026·山东青岛模拟）已知△ABC的三个内角A，B，C所对 的边分别为a，b，c，若2b sin A＋b sin B＝c sin 2B. （1）求角C； 解： 因为2b sin A＋b sin B＝c sin 2B， 所以2 sin B sin A＋ sin 2B＝2 sin C sin B cos B， 因为在△ABC中， sin B＞0， 所以2 sin A＋ sin B＝2 sin C cos B，又 sin A＝ sin （B＋C）， 所以2（ sin B cos C＋ cos B sin C）＋ sin B＝2 sin C cos B， 所以2 sin B cos C＋ sin B＝0.因为在△ABC中， sin B＞0，所以 cos C＝－ ， 因为0＜C＜π，所以C＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 （2）若点D在边AB上，b＝2，CD＝1，请在下列三个条件中任选一个， 求边长AB. ①CD为△ABC的一条中线；②CD为△ABC的一条角平分线；③CD为 △ABC的一条高线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 解： 若选①，因为 ＝ （ ＋ ），所以 ＝ （ ＋ 2 · ＋ ）， 即4＝4＋a2＋2×2×a×（ － ），化简得a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0 （舍去）. 所以AB＝ ＝2 . 若选②，因为S△ABC＝S△CAD＋S△CBD， 所以 ×2×a× sin ＝ ×2×1× sin ＋ ×1×a× sin ，解得a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 所以AB＝ ＝2 . 若选③，则S△ABC＝ ×2×a× sin ＝ ×AB×1，解得AB＝ a. 所以AB2＝22＋a2－2×2×a×（ － ）＝3a2，即a2－a－2＝0，解得a＝ 2或a＝－1（舍去）， 所以AB＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 8. （15分）（2026·江苏宿迁模拟）记△ABC的内角A，B，C所对边分别 为a，b，c，面积为S，且S＝a2 sin 2B. （1）证明：tan B＝3tan A； 解： 证明：因为S＝a2 sin 2B，所以 ac sin B＝2a2 sin B cos B， 在△ABC中， sin B＞0，所以c＝4a cos B. 由正弦定理 ＝ ，得 sin C＝4 sin A cos B. 因为A＋B＋C＝180°， 所以 sin C＝ sin （180°－A－B）＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B， 所以4 sin A cos B＝ sin A cos B＋ cos A sin B，即 cos A sin B＝3 sin A cos B， 所以tan B＝3tan A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 （2）若A＝45°，BC边上的高为6，求b. 解： 因为A＝45°，所以tan A＝1，由（1）知tan B＝3. 因为tan B＝ ＝3，又因为 sin 2B＋ cos 2B＝1，解得 sin 2B＝ ， cos 2B＝ . 因为tan B＝3＞0，所以B∈（ 0， ），所以 sin B＝ ， cos B＝ . 由S＝a2 sin 2B＝ a×6，得a2×（2 sin B cos B）＝3a，解得a＝5. 由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，解得b＝3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 9. （15分）〔一题多解〕（2026·吉林长春质量监测）在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积记为S，已知3c sin C＝ ， sin B＝3 sin C. （1）求A； 解： 因为3c sin C＝ ， 所以3c sin C＝ ＝ ， 即 cos ∠BAC＝ ，又∠BAC∈（0，π），所以∠BAC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 （2）若BC边上的中线长为1，点D在BC上，且AD为∠BAC的平分线， 求CD的长. 解： 法一　设BC边的中点为E，连接AE（图略），由题知AE＝1， 且 ＝ （ ＋ ）， 因为 sin B＝3 sin C，所以由正弦定理得b＝3c， 所以 ＝ （ ＋ ）2＝ （ ＋ ＋2 · ）， 即1＝ （ c2＋9c2＋2·c·3c· cos ）， 所以c2＝ ，c＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 因为AD是∠BAC的平分线，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 所以 c·3c· sin ＝ c·AD· sin ＋ ·3c·AD· sin ， 所以AD＝ c， 所以在△ACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD× cos ∠CAD＝9c2＋ c2－2×3c× c× cos ＝ c2， 所以CD＝ c＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 法二　因为 sin B＝3 sin C，所以由正弦定理得，b＝3c. 由中线定理得，1＝ ，即a2＝20c2－4. 在△ABC中，由余弦定理得 cos ∠BAC＝ ＝ － ＝ ，得c2＝ ， 所以a2＝ ，即a＝ . 由角平分线定理得， ＝ ，即CD＝3BD， 所以CD＝ a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高中总复习·数学 目 录 $