第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 课标要求 1. 了解任意角的概念和弧度制. 2. 能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 目录/ CONTENTS 考点一 角的概念 01 考点二 弧度制及应用 02 考点三 任意角的三角函数 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 角的概念 目 录 1. 定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形. 2. 分类： 3. 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集 合S＝ ⁠. 端点　 {β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　 高中总复习·数学 目 录 结论：象限角与轴线角 （1）象限角 （2）轴线角 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 〔多选〕下列命题正确的是（　　） A. 终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝k·360°，k∈Z} B. 终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z} C. 第三象限角的集合为{α｜180°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°， k∈Z} D. 在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－ 315° √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　A项显然正确；B中，终边落在y轴上的角的集合为 （或{α｜α＝ ＋kπ，k∈Z}），角度与弧度不能 混用，故错误；C中，第三象限角的集合为{α｜180°＋k·360°＜α＜ 270°＋k·360°，k∈Z}，故错误；D中，所有与45°角终边相同的角可 表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0° （k∈Z），解得－ ≤k＜－ （k∈Z），从而当k＝－2时，β＝－ 675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确. 高中总复习·数学 目 录 2. 〔多选〕若α是第二象限角，则（　　） A. －α是第三象限角 B. 是第三象限角 C. ＋α是第二象限角 D. 2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为α是第二象限角，可得 ＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，对 于A，可得－π－2kπ＜－α＜－ －2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限， 所以A正确；对于B，可得 ＋kπ＜ ＜ ＋kπ，k∈Z，当k为偶数时， 位于第一象限；当k为奇数时， 位于第三象限，所以B错误；对于C，可 得2π＋2kπ＜ ＋α＜ ＋2kπ，k∈Z，即2（k＋1）π＜ ＋α＜ ＋2 （k＋1）π，k∈Z，所以 ＋α位于第一象限，所以C错误；对于D，可得 π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半 轴上，所以D正确. 高中总复习·数学 目 录 3. 终边在直线y＝ x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为 　{－ ， ⁠. 解析：在坐标系中画出直线y＝ x（图略），可以发现它与x轴的夹角 为 ，在[0，2π）内，终边在直线y＝ x上的角有 和 ；在[－2π， 0）内满足条件的角有－ 和－ ，故满足条件的角α构成的集合为{－ ，－ ， ， }. {－ ， － ， ， } 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 1. 确定nα， （n∈N*）的终边位置的方法：先用终边相同的角的形式表 示出角α的范围，再写出nα或 的范围，然后根据n的可能取值讨论确定 nα或 的终边所在位置. 2. 利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角. 提醒　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的 角有无数个，它们之间相差360°的整数倍. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 弧度制及应用 目 录 1. 定义：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度 单位用符号rad表示. 半径长　 高中总复习·数学 目 录 角α的弧度数公式 ｜α｜＝ （弧长用l表示） 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ 　（ ）°　 弧长公式 l＝ ⁠ 扇形面积公式 S＝ 　 lr　＝ 　 ｜α｜r2　 提醒：应用公式l＝｜α｜r，S＝ lr＝ ｜α｜r2时，α的度量制度必须是 弧度制. （ ）°　 ｜α｜r　 lr　 ｜α｜r2　 2. 公式 高中总复习·数学 目 录 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. （1）若α＝60°，R＝6，求扇形的周长； 解： 因为α＝60°＝ ，所以扇形的周长为l＋2R＝ ×6＋2×6＝2π ＋12. 高中总复习·数学 目 录 （2）若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角α为多 少弧度. 解： 由扇形的周长为20，得αR＋2R＝20， 所以R＝ ，则扇形的面积S＝ αR2＝ α· ＝ ≤ ＝25， 当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号. 所以扇形面积的最大值为25，此时扇形的圆心角α为2弧度. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 应用弧度制解决问题的注意点 （1）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任 意两个.要注意角的单位必须是弧度； （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数（或基本不等式） 的最值问题； （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三 角形. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以 对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为 圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛 三角形的周长为2π，则其面积是 ⁠； 2π－2 高中总复习·数学 目 录 解析： 由条件可知， ＝ ＝ ＝ ，等边三角形的边长AB＝BC ＝AC＝ ＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇 形面积为 × ×2＝ ，中间等边△ABC的面积S＝ ×2× ＝ .所 以莱洛三角形的面积是3× －2 ＝2π－2 . 高中总复习·数学 目 录 （2）已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长 AB＝ ⁠. 解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝4，l＝4－2r， ＜r＜ 2，则扇形的面积S＝ lr＝ （4－2r）r＝（2－r）r＝－r2＋2r＝－（r －1）2＋1，所以当r＝1时，S取得最大值1，此时l＝2，则扇形的圆心角α ＝ ＝2，则AB＝2r sin ＝2 sin 1. 2 sin 1 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 任意角的三角函数 目 录 1. 定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P （x，y），那么 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ ⁠. 2. 定义的推广：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原 点O的距离为r，则 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ （x≠0）. 3. 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. y　 x　 （x≠0）　 高中总复习·数学 目 录 （1）以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直 线y＝x上，则有（　C　） A. sin α＝－ B. cos α＝ C. sin α＋ cos α＝± D. tan α＝±1 C 高中总复习·数学 目 录 解析： 当角α的终边在第一象限时，在其终边上任取一点P（a，a），a ＞0，则r＝ a，故 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝1， sin α＋ cos α＝ ；当角α的终边在第三象限时，在其终边上任取一点P（－a，－a）， a＞0，则r＝ a，故 sin α＝－ ， cos α＝－ ，tan α＝1， sin α＋ cos α＝－ ，故选C. 高中总复习·数学 目 录 解析：由｜ cos θ｜＝ cos θ，可知 cos θ≥0，结合 sin θ cos θ＜0，得 sin θ ＜0， cos θ＞0，故选D. （2）已知 sin θ cos θ＜0，且｜ cos θ｜＝ cos θ，则角θ是（　D　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 D 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 三角函数定义的应用 （1）直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及 这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值； （2）已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数 的方程，求参数的值. 2. 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限 角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定 角所在象限，那就要进行分类讨论求解. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1） sin 2· cos 3·tan 4的值（　A　） A. 小于0 B. 大于0 C. 等于0 D. 不存在 解析： 因为 ＜2＜3＜π＜4＜ ，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以 sin 2＞0， cos 3＜0，tan 4＞0，所以 sin 2· cos 3·tan 4＜0. A 高中总复习·数学 目 录 （2）若角θ的终边经过点P（－ ，m）（m≠0），且 sin θ＝ m，则 cos θ＝ ⁠. 解析：r＝ ，由 sin θ＝ ＝ m，整理得m2＝5，则r＝ ＝ ＝2 .所以 cos θ＝ ＝－ . － 高中总复习·数学 目 录 三角函数线的应用 　　通过人A必修一 P210探究，我们知道在平面直角坐标系中，角α的终 边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，过点A（1， 0）作x轴的垂线，交角α的终边或其反向延长线于点T（如图），有向线 段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角 函数线. 高中总复习·数学 目 录 若α∈（ 0， ），有PM＜ ＜AT，即 sin α＜α＜tan α. 高中总复习·数学 目 录 （1）在平面直角坐标系中， ， ， ， 是圆x2＋y2＝1上的四 段弧（如图），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α ＜ cos α＜ sin α，则点P所在的圆弧是（　C　） A. B. C. D. C 高中总复习·数学 目 录 解析： 由三角函数线可知，在 上，tan α＞ sin α，不满足；在 上， tan α＞ sin α，不满足；在 上， sin α＞0， cos α＜0，tan α＜0，且 cos α ＞tan α，满足；在 上，tan α＞0， sin α＜0， cos α＜0，不满足. 高中总复习·数学 目 录 解析：因为 sin α＞ cos α，且0≤α＜2π.所以当 cos α＞0 时，可得tan α＞ ，在单位圆中画出满足tan α＞ 的三 角函数线，可知此时 ＜α＜ ，图中的浅色阴影区域（不 包括边界）为此时角α的范围；当 cos α＜0时，可得tan α＜ ，此时借助单位圆中的三角函数线，可知此时 ＜α＜ ，图中的深色阴影区域（不包括边界）为此时角α的范围；当 cos α＝0时， sin α＝±1，只有 sin α＝1满足条件 sin α＞ cos α，此时α＝ .综上可得， ＜α＜ . （2）设0≤α＜2π，若 sin α＞ cos α，则角α的取值范围是 　（ ， ⁠. （ ， ） 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是（　　） A. 2kπ＋45°（k∈Z） B. k·360°＋ （k∈Z） C. k·360°－315°（k∈Z） D. kπ＋ （k∈Z） √ 解析： 　与角 的终边相同的角可以写成2kπ＋ （k∈Z）或k·360° ＋45°（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错 误，C正确. 高中总复习·数学 目 录 2. 已知角α的终边经过点P（1，－2），则（　　） A. sin α＝ B. cos α＝－ C. tan α＝－ D. tan α＝－2 √ 解析： 　∵角α的终边经过点P（1，－2），∴ sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ，tan α＝－2，故A、B、C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 我国空间站备受世界瞩目，那么你知道我国空间站运行的轨道是什么形 状吗？据来自中国载人航天工程办公室消息称，“天和”核心舱组合体轨 道参数为：远地点高度约为394.7千米，近地点高度约为394.2千米，简直 比地球绕日运行轨道还圆！若把空间站运行轨道看作圆形轨道，距地球表 面的距离取394千米，已知地球半径约为6 370千米，则空间站绕地球每旋 转 弧度，飞行的路程约为（取π≈3.14）（　　） A. 3 300千米 B. 3 334千米 C. 3 540千米 D. 3 640千米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　空间站绕地球飞行的半径约为394＋6 370＝6 764（千米），所 以空间站绕地球每旋转 弧度，飞行的路程约为l＝αr＝6 764× ≈6 764× ≈3 540（千米）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 已知a＝ sin ，b＝ cos ，c＝tan ，则（　　） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜c＜a D. b＜a＜c √ 解析 　由如图的三角函数线知，MP＜AT，因为 ＞ ，所以MP＞OM，所以 cos ＜ sin ＜tan ，所以b ＜a＜c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 如果θ是第三象限角，则（　　） A. sin 2θ＞0且tan 2θ＞0 B. sin ＞0且tan 2θ＞0 C. sin 2θ＞0且tan ＜0 D. sin ＞0且tan ＞0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为θ是第三象限角，则2kπ＋π＜θ＜ ＋2kπ，k∈Z，所以kπ ＋ ＜ ＜ ＋kπ，k∈Z，所以 是第二或第四象限角，则 sin ＞0或 sin ＜0，tan ＜0，故排除B、D. 又4kπ＋2π＜2θ＜3π＋4kπ，k∈Z，所以 2θ的终边在第一、第二象限或在y轴的非负半轴上，则 sin 2θ＞0，当2θ的 终边在y轴的非负半轴上时，tan 2θ无意义，故排除A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知角θ的终边经过点（－2，－ ），且θ与α的终边关于x轴 对称，则（　　） A. sin θ＝－ B. α为钝角 C. cos α＝－ D. 点（tan θ，tan α）在第四象限 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为角θ的终边经过点（－2，－ ），所以 sin θ＝－ ＝ － ，故A正确；因为θ与α的终边关于x轴对称，所以α的终边经过点 （－2， ），则α为第二象限角，不一定为钝角，且 cos α＝ ＝－ ，故B错误，C正确；因为tan θ＝ ＞0，tan α＝－ ＜0，所以点（tan θ，tan α）在第四象限，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 若角θ是第四象限角，则y＝ ＋ ＋ ＝ ⁠ ⁠. 解析：由题知， sin θ＜0， cos θ＞0，tan θ＜0，所以y＝ ＋ ＋ ＝－1＋1－1＝－1. － 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为 ⁠. 解析：设扇形的半径为R（R＞0），圆心角为α，则 αR2＝4，所以α＝ ，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋ ≥2 ＝8，当且仅当2R＝ ， 即R＝2时，取等号，所以周长最小时半径的值为2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 角α的终边在直线y＝ x上，则 cos α＝ 　　± 　　. 解析：当角α的终边位于第一象限时，取直线y＝ x上位于第一象限的一 个点的坐标，如（2，3），则 cos α＝ ＝ ，同理，当角α的终边位 于第三象限时，取直线上一个点的坐标为（－2，－3），则 cos α＝－ . ± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知 ＝－ ，且lg（ cos α）有意义. （1）试判断角α所在的象限； 解： 由 ＝－ ，得 sin α＜0， 由lg（ cos α）有意义，可知 cos α＞0， 所以α是第四象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若角α的终边上有一点M（ ，m），且OM＝1（O为坐标原点）， 求m的值及 sin α的值. 解： 因为OM＝1，所以（ ）2＋m2＝1， 解得m＝± .又α为第四象限角，故m＜0， 从而m＝－ ， sin α＝ ＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到 △AB'C'，点B经过的路径为弧BB'，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴 影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 3π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意，扇形B'AB的圆心角α＝45°＝ ，且∠BAC＝60°， AC＝3，所以AB＝AB'＝6，所以S扇形B'AB＝ α·AB2＝ × ×36＝ ，且 S△ABC＝S△AB'C'＝ ×AC'×B'C'＝ ×3×3 ＝ ，所以阴影部分的面积 为S扇形B'AB＋S△AB'C'－S△ABC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为（1， 0），∠BOA＝ ，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运 动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（　　） A. 经过1 s后，∠BOA的弧度数为 ＋3 B. 经过 s后，扇形AOB的弧长为 C. 经过 s后，扇形AOB的面积为 D. 经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA 的弧度数为 ＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝ ＋ ＋2× ＝ ， 故扇形AOB的弧长为 ×1＝ ，故B正确；经过 s后，∠AOB＝ ＋ ＋2× ＝ ，故扇形AOB的面积为S＝ × ×12＝ ，故C不正确；设 经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t（1＋2）＋ ＝2π，解得t ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 已知角α的终边在如图阴影部分所表示的范围内（不含边界），则角α 的范围为 ⁠. （k∈Z） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为{α｜ ＋2kπ＜α＜ ＋2kπ，k∈Z}∪{α｜ ＋2kπ＜α＜ ＋2kπ，k∈Z}＝{α｜ ＋2kπ＜α ＜ ＋2kπ，k∈Z}∪{α｜ ＋（2k＋1）π＜α＜ ＋（2k＋1）π， k∈Z}＝{α｜ ＋kπ＜α＜ ＋kπ，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·山东济宁模拟）某单位拟建一个扇环形状的花坛（如 图所示），该扇环由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两 条线段围成.按设计要求，扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径 为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ（弧度）. （1）求θ关于x的函数关系式； 解： 由题意得，30＝θ（10＋x）＋2（10－x）， ∴θ＝ （0＜x＜10）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用 为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比 为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？ 解： 花坛的面积为 θ（102－x2）＝（5＋x）（10－ x）＝－x2＋5x＋50， 装饰总费用为9θ（10＋x）＋8（10－x）＝170＋10x， ∴花坛的面积与装饰总费用的比y＝ （0＜x＜10）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 令t＝17＋x，则t∈（17，27），则y＝ － （t＋ ）≤ － ＝ ， 当且仅当t＝ ，即t＝18时，y取得最大值，最大值为 ，此时x＝1，θ ＝ . 故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $