2.1 第15课时 对顶角、补角和余角（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

第二章 相交线与平行线 ① 两条直线的位置关系 第15课时 对顶角、补角和余角 知 识储备 1.对顶角的概念：两个角有公共顶点，它们的两边的 具有这种位置的关系的两个角叫 作对顶角。性质：对顶角 2.互补：一般地，如果两个角的和是 ,那么称这两个角互为补角，也称互补。 互余：如果两个角的和是 ,那么称这两个角互为余角，也称互余。 性质：同角或等角的补角 ;同角或等角的余角 核⊙讲解 知识点1对顶角 例1下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( 变1观察如图所示的各角，图①中有 对对顶 角，图②中有 对对顶角，图③中有 2 对对顶角。（不含平角） D 例2如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分 变2如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC: ∠BOD,若∠AOC=40°，则∠COE的度数 ∠AOD=2:3,则∠BOD的度数为 是 D 知识点2补角和余角 例3如果∠A=25°，那么∠A的余角的度数是变3若∠ax=47°20'，则∠α的余角的度数是 ;∠A的补角的度数是 ,∠a的补角的度数是 ●19（● 数学·七年级下册（北师大版） 课堂过关 ®第一关过基础 1.在下图中，∠1和∠2为对顶角的是 ( )2.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( 1 个2 B B D 90° 2 3.已知∠1和∠2互余，若∠1=42°，则∠2的度 4.(2025·福建福州·开学考试)由∠1+∠2=90°， 数为 ( ) ∠1+∠3=90°，得到∠2=∠3的依据是( A.38° B.48° C.58 D.138° A同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 脚第二关 过能力 5.下列说法中，正确的是 ) 6.(1)若一个角的补角的度数是这个角的3倍， A.一个角的补角一定大于这个角 则这个角的补角的度数为 B.如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等 (2)已知∠A=40°，∠B与∠A互为余角，则∠B C.有理数的相反数一定比0小 的补角的度数为 D.有理数的绝对值一定比0大 第三关过思维 7.如图，将两块三角板的直角顶点重合。 (1)写出以点C为顶点的所有相等的角； (2)若∠ACB=148°，求∠DCE的度数； (3)猜想：∠ACB与∠DCE之间的数量关系。 ●20（●由题意，得2+-头x+y=7, 所以x2+y2=21, 所以种草区域的面积和为2xy十之xy=xy =x+)2-(x+y2=7,21=14。 2 2 答：种草区域的面积和为14m2。 4整式的除法 第13课时单项式除以单项式 知识储备 系数同底数幂指数 核心讲解 例1C变1D 例2解：因为ax3yz÷(-2x‘y4)=5xyz, 所以a÷(-2)=5,3-c=1,b-4=1, 解得a=-10,b=5,c=2, 所以a十bc=-10+5×2=0, 即a十bc的值为0。 变2解：因为a(x"y)3÷(3xy)2=4xy, 所以ax3my2÷9xy2m=4x2y2, 所以a÷9=4,3m-4=2,12-2n=2, 解得a=36,m=2,n=5。 例3解：原式=27a6c÷(-6a6)=-号abc. 变3(12a(2)-号6例450 变4解：(3×103)÷(8103)=(3÷8)×(108÷103) =3.75×10. 答：光的速度是这颗人造地球卫星速度的3.75×10倍 课堂过关 1.B2.C3.D4.C 5.(1)- 2m2n(2)8x(3)-1.2X10 ④r+2y-y 6.(1)解：原式=2a-a-4a=-3a。 (2)解：原式=8xy·(-3xy2)÷6xy =-24x0y3÷6.xy =-4x°y。 7.解：因为a=1.6×10°，b=4×103, 所以a2÷2b=(1.6×10)2÷(2×4×103) =2.56×1018÷(8×103) =0.32×1015 =3.2×104。 8.解：因为m(xy÷(2xy)=xt= x3y2恒 立，所以买=g3a-6=3,36-4=2, 解得m=号，a=3,6=2. 第14课时多项式除以单项式 知识储备 每一项相加 核心讲解 例1B变1C例22a3-4a2变22a-3b 参考苔案 例3解：(1)原式=(a3b-3ab+2ab)÷a2b =ab-3+2a2b; (2)原式=(4xy2-8xy十2x-2x)÷(-2xy) =(4xy2-8xy)÷(-2xy) =-2y+4。 变3解：原多项式为(8ab-4a十2a)÷号a=16ab 8a2+4a, 所以正确结果为(1606-8d+4a)÷合a=32ab 16a+8。 课堂过关 1.B2.D3.4n+24.-3y+4x 5.解：(1)原式=12ax3÷3ax-27ax÷3ax=4x2-9; (2)原式=4xy÷2xy+8.xy2÷2xy2-2xy2÷2xy =2xy十4x-1. 6.解：(1)(a+b)(a-b)=a2-b (2)运用完全平方公式时漏掉“一4ab”这一项 (3)原式=(a-2b)(a十2b-a十2b)÷2b =(a-2b)·4b÷2b =2a-4b。 第一章章末复习 思维导图 a+am a"b” 。…1己系数相同字母不变 分配律每一项相加每一项相加 a2-b2a2±2ab+b 系数同底数幂指数每一项相加 考点复习基础练 1.63332.-2xy3.D 考点复习提升练 1.B2.D3.24.85.-2x+y6.5x3-15x2+30z 7.(1)90(2)7×10-68.-19.512 10.解：原式=9xy(x+xy-y)-3xy(3x+3xy+y) =9x'y+9xy-9x'y-9x'y-9xy-3x'y =-12x2y, 4 当x=一 y=-号时，原式=-12×9×器=-108。 第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第15课时对顶角、补角和余角 知识储备 1.反向延长线相等2.180°90°相等相等 核心讲解 例1D变12612 成 例2160°变272 例365°155°变342°40'132°40 课堂过关 1.B2.D3.B4.A5.B6.(1)135°(2)130° 7.解：(1)由题意得∠ACD=∠BCE=90°， 所以∠ACE+∠DCE=∠DCE+∠BCD, 所以∠ACE=∠BCD, 所以以点C为顶点的相等的角有∠ACD和∠BCE,∠ACE 和∠BCD: (2)因为∠ACB=148°，∠BCE=90°， 数学七年级下册（北师大版） 所以∠ACE=148°-90°=58°， 所以∠DCE=90°-∠ACE=90°-58°=32°； (3)因为∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE=90 +90°=180°， 所以∠ACB与∠DCE之间的数量关系为∠ACB+∠DC =180°。 第16课时垂直 知识储备 1.直角互相垂直垂线垂足2.(1)一条(2)最短 3.长度垂线段 核心讲解 例1解：(1)如答图1，直线1即为所求； 答图1 答图2 (2)如答图2，直线1'即为所求。 变1C 例2解：(1)∠2∠3 (2)因为∠AFD=155°， 所以∠BFD=180°-∠AFD=180°-155°-25°， 因为EF⊥AB,所以∠BFE=90°， 所以∠DFE=∠BFD+∠BFE=25°+90°=115°。 变2解：(1)因为EO⊥OF,所以∠EOF=90°， 又因为∠BOF=36°， 所以∠EOB=∠EOF-∠BOF=90°-36°=54°， 所以∠EOA=180°-∠E0B=180°-54°=126°， 又因为OC平分∠AOE, 所以∠AOC=∠EOC= 2∠AOE=1 1 X126°=63。 (2)27 课堂过关 1.B2.C3.1.74 4.解：(1)如答图，线段AB、直线AC即为所求。 (2)如答图，DE即为所求。 答图 (3)DE 5.解：(1)25° (2)90°-号 (3)EO⊥FO,理由如下： 因为OE平分∠AOD,OF平分∠BOD, 且∠AOD+∠BOD=180°， 所以∠EOD-=合∠AOD,∠FOD=2∠BOD, 所以∠B0D+∠RPOD-=号∠AOD+号∠BOD=90, 所以EO⊥FO。 2探索直线平行的条件 第17课时 利用同位角判定两直线平行 知识储备 1.上方（同一方）左侧（同侧）2.平行3.有且只有 4.平行 核心讲解 例1对顶角相等13ABCD 同位角相等，两直线平行 变19090等量代换已知∠1∠4 等角的余角相等同位角相等，两直线平行 例2A 变2对顶角相等23ac同位角相等，两直线平行 bc平行于同一直线的两条直线互相平行 课堂过关 1.A2.A 3.(1)BE∥DF (2)同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 (3)AB平行于同一条直线的两条直线平行 4.B5.B6.∠ACD,∠CDB 7.解：EC∥DF。理由如下： .BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∠DBC=号∠ABC, ∠ECB=7∠ACB(角平分线定义). 又.∠ABC=∠ACB, ·∠DBC=∠ECB(等式性质)。由∠F=∠DBC(已知)， ∴∠F=∠ECB(等量代换)。 .CE∥DF(同位角相等，两直线平行)。 第18课时利用内错角、 同旁内角判定两直线平行 知识储备 1.之间两侧之间同侧2.相等互补 核心讲解 例1D变1D 例2解：AB∥CD。理由：因为∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3， 所以∠1=∠4，所以AB∥CD。 变2DEBC同位角相等，两直线平行对顶角相等 DFAB同旁内角互补，两直线平行 课堂过关 1.D2.B3.∠4和∠7∠1和∠04.D 5.B6.∠EAB=∠C(答案不唯一) 7.解：AD∥BC.理由如下： 因为∠1=25°，∠B=65°，AB⊥AC, 所以∠BAD=90°+25°=115°。 因为∠BAD+∠B=115°+65°=180°，所以AD∥BC 专题4平行线的判定方法 1.B2.C 3.解：因为长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕， 所以MN∥AB,MN∥CD,所以AB∥CD, 所以另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有AB与CD平行。 4.解：AC与BD平行；AE与BF平行，理由如下： 因为∠1=35°，∠2=35°， 所以∠1=∠2， 6