6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

教学设计 6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界 教学设计 一、基本信息 课题 6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学抽象：理解数学建模的核心概念，体会数学建模是用数学语言刻画现实问题、建立数学与现实世界联系的过程. 2. 逻辑推理：能识别实际问题中的数学要素，初步学会对实际问题进行简化和抽象，提炼出数学关系. 3. 数学建模：掌握数学建模的一般步骤，能独立完成简单实际问题的建模全过程，感受数学建模的应用价值. 4. 数学运算：在函数、几何等简单建模案例中，准确完成数值计算和模型求解. 5. 直观想象：能将实际问题中的几何关系、数量关系转化为数学图形和表达式，培养几何直观和数据直观能力. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 数学建模的定义与核心内涵. 2. 数学建模的六个基本步骤. 3. 用函数模型解决简单的生活实际问题. （二）教学难点 1. 从复杂的实际问题中抽象出数学问题，合理作出简化假设. 2. 理解数学建模是一个 “迭代优化” 的循环过程. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 案例教学法、启发式教学法、小组讨论法、情境体验法 （二）教具准备 多媒体课件（含数学建模案例视频、生活场景图片）、实际问题任务卡、计算器、直尺 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 回顾初中及高中已学的用数学解决实际问题的例子：一次函数解决行程问题、二次函数解决最值问题、勾股定理解决几何测量问题. · 提问：这些问题的解决过程有什么共同点？（引导学生说出 “将实际问题转化为数学问题”） 2. 情境引入 · 展示 3 个贴近生活的问题： ① 为什么超市的购物车、饮料瓶大多设计成圆柱形？ ② 如何根据自己的通话时长选择最划算的手机套餐？ ③ 学校操场的跑道为什么要设计成 “直道 + 弯道” 的形式？ · 提问：这些问题看似与数学无关，其实都可以用数学方法找到最优解.我们把这种用数学解决实际问题的系统化过程称为 “数学建模”. · 设计意图：通过学生熟悉的生活场景激发兴趣，自然引出课题，让学生初步感知数学建模的实用性. （二）新知探究（25 分钟） 1. 数学建模的概念 · 教师讲解：数学建模是对现实世界中的特定对象，为了特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构的过程. · 核心解读：数学建模的本质是 \\“实际问题数学化”\\，即把现实中的问题转化为可以用数学公式、图形、表格等表达的问题，再通过数学求解得到结论，最终指导实践. 2. 数学建模的一般步骤（核心内容） · 结合经典案例 “矩形场地围栏问题”，分步讲解建模流程： 案例：用总长 100m 的栅栏围一个矩形场地，如何围才能使场地面积最大？ a. 提出问题：明确问题背景和目标 —— 在栅栏总长固定的情况下，求矩形场地的最大面积. b. 作出假设：对问题进行简化，忽略次要因素 · 假设场地为标准矩形，无凹凸变形； · 假设栅栏无损耗，接口处长度忽略不计； · 假设场地边界的厚度为 0. c. 建立模型：用数学符号表示变量和关系 设矩形的长为，宽为，面积为. 由周长公式得：，即. 因此面积模型为：，其中. d. 求解模型：运用数学知识求解 由二次函数性质可知，当时，取得最大值，此时. e. 检验模型：将结果代入实际问题验证 当长和宽均为 25m（即正方形）时，面积最大为 625，符合生活常识，结果合理. f. 应用模型：将结论推广到实际场景 若要围出最大面积的矩形场地，应设计为正方形，边长为 25m. · 强调：数学建模是一个循环过程.如果检验结果不符合实际，需要返回第二步，修改假设，重新建立模型，直到结果合理为止. 3. 数学建模的常见类型与应用领域 · 常见类型：函数模型（一次、二次、指数、对数）、几何模型、统计模型、优化模型、概率模型. · 应用领域：展示图片和短视频，介绍数学建模在日常生活（交通、购物）、工业生产（产品设计、质量控制）、科学研究（天气预报、航天工程）、社会经济（市场预测、资源分配）中的应用，如哥尼斯堡七桥问题、人口增长模型、新冠疫情传播预测模型. （三）案例讲解（10 分钟） 案例：手机套餐选择问题 已知某运营商推出两种 4G 套餐： · 套餐 A：月租 38 元，包含 100 分钟国内通话，超出部分每分钟 0.2 元； · 套餐 B：月租 58 元，包含 200 分钟国内通话，超出部分每分钟 0.15 元. 若小明每月的通话时间为分钟（），不考虑短信、流量等其他费用，如何选择套餐更划算？ 1. 建模过程 a. 提出问题：根据每月通话时长，选择总费用最低的套餐. b. 作出假设：小明每月通话时间稳定，无国际长途、漫游通话. c. 建立模型：设每月通话总费用为元，分三种情况讨论： · 当时，，； · 当时，，； · 当时，，. d. 求解模型： · 当时，，选择套餐 A 更划算； · 当时，，两种套餐费用相同； · 当时，，选择套餐 B 更划算. e. 检验模型：代入，得，，选 A；代入，得，，选 B，结果符合实际. f. 应用模型：学生可根据自己的通话时长，为家人推荐合适的套餐. 2. 设计意图：通过学生身边的真实案例，让学生亲身体验建模的完整流程，体会数学建模的实用性和趣味性. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 用一根长为 24cm 的铁丝围成一个长方形，求这个长方形面积的最大值，并写出此时长方形的长和宽. 2. 思考：如果将铁丝围成一个圆形，面积会比正方形更大吗？（课后验证） · 学生独立完成后，教师请 1 名学生展示解题过程，点评并强调建模步骤的规范性. （五）课后小结（2 分钟） 1. 一个核心概念：数学建模是将实际问题转化为数学问题并求解的过程. 2. 六个基本步骤：提出问题→作出假设→建立模型→求解模型→检验模型→应用模型. 3. 一个重要思想：数学来源于生活，又服务于生活，数学建模是连接数学与现实的桥梁. 六、板书设计 6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界 一、数学建模的概念 实际问题数学问题数学结论实际应用 二、数学建模的一般步骤 1. 提出问题 2. 作出假设 3. 建立模型 4. 求解模型 5. 检验模型 6. 应用模型（循环优化） 三、常见模型与应用 · 函数模型、几何模型、统计模型 · 生活、工业、科研、经济 四、案例解答区 （预留空间书写手机套餐问题的建模过程） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $