6.3－6.5 数学建模案例-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

6．3－6．5　数学建模案例 [课标解读]　1．掌握数学建模活动实行的主要过程，体会数学中建模的思想．2．了解数学建模的社会需要． 一、教材探究 从“最佳视角”、“曼哈顿距离”、“人数估计”三个案例中分析总结数学建模的过程． 二、实例说明如何建模 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离？ 【模型准备】 这个问题涉及重心的概念，关于重心的结果有：设xOy平面上有n个质点，它们的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，对应的质量分别为m1，m2，…，mn，则该质点系的重心坐标满足的关系式为． 【模型假设】 (1)所有砖块的长度和重量均为一个单位． (2)参与叠放的砖块有足够多． (3)每块砖块的密度都是均匀的，密度系数相同． (4)最底层的砖块可以完全水平且平稳地放在地面上． 【模型构成】 (1)考虑两块砖块的叠放情况 对只有两块砖块的叠放，注意到此时叠放后的砖块平衡主要取决于上面的砖块，而下面的砖块只起到支撑作用，假设在叠放平衡的前提下，上面砖块超过下面砖块右端的最大前伸距离x，选择下面砖块的最右端为坐标原点，建立如图所示的坐标系，因为砖块是均匀的，所以它的重心在其中心位置，且其质量可以认为是集中在重心的，于是每个砖块可以认为是质量为1且其坐标在重心位置的质点，因为下面的砖块总是稳定的，要想上面的砖块与下面的砖块离开最大的位移且不掉下来，则上面的砖块重心应该恰好在底下砖块最右端位置，因此可以得到上面砖块在位移最大且不掉下来的重心水平坐标为x＝(因为砖块的长度是1)，于是上面的砖块可以向右前伸的最大距离为． (2)考虑n＋1块砖块的叠放情况 两块砖块的情况解决了，如果再加一块砖块，叠放情况如何呢？如果增加的砖块放在原来两块砖块的上边，那么此砖块是不能再向右前伸了(为什么)，除非再移动底下的砖块，但这样会使问题复杂化，因为这里讨论的是建模问题，不是搭砖块的问题，为了便于问题的讨论，把前两块搭好的砖块看做一个整体且不移动它们的相对位置，而把增加的砖块插入在最底下的砖块下方，于是问题又归结为两块砖块的叠放问题，不过这次是质量不同的两块砖块的叠放问题，这个处理可以推广到n＋1块砖块的问题，即假设已经叠放好n(n>1)块砖块后，再加一块砖块的叠放问题． 学生用书第148页 下面就n＋1(n>1)块砖块的叠放问题来讨论，假设增加的一块砖块插入最底层，选择底层砖块的最右端为坐标原点建立如图坐标系，考虑上面的n块砖块的重心关系，把上面的n块砖块分成两部分；从最高层开始的前n－1块砖块，记它们的水平重心为x1，总质量为n－1；与最底层砖块相连的第n块砖块，记它的水平重心为x2，质量为1． 此外，把上面的n块砖块看做一个整体，并记它的重心水平坐标为，显然n块砖块的质量为n，那么，在保证平衡的前提下，上面n块砖块的水平重心应该恰好在最底层砖块的右端，即有＝0，假设第n块砖块超过最底层砖块右端的最大距离为z，同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n－1的，于是在上图的坐标下，第n块砖块的水平重心坐标为x2＝z－，故由重心的关系，有＝＝＝0． z·(n－1)＋(z－)＝0z＝． 于是，对3块砖块(即n＝2)的叠放有，第3块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸＋； 对4块砖块(n＝3)的叠放有，第4块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸＋＋； 对n＋1块砖块的叠放，设从第n＋1块砖块的右端到第1块砖块的右端最远距离为dn＋1，则有dn＋1＝＋＋…＋， 所以当n→＋∞时，有dn＋1→＋∞，这说明随着砖块数量的无限增加，最顶层的砖块可以前伸到无限远的地方． [应用体验] 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比，血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比． 下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据． 表　一些动物的体重和脉搏率 动物名 体重/g 脉搏率/(心跳次数·min－1) 鼠 25 670 大鼠 200 420 豚鼠 300 300 兔 2 000 205 小狗 5 000 120 大狗 30 000 85 羊 50 000 70 马 450 000 38 回答下面的问题： (1)请根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型； (2)从表可以看出，体重越轻的动物脉搏率越高．请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型． 解