1.6.3 解三角形应用举例（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.6.3 解三角形应用举例的教学设计 一、基本信息 课题 1.6.3 解三角形应用举例 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时（侧重距离与高度测量基础应用） 二、教学目标 1. 数学抽象：能从实际测量问题中抽象出三角形数学模型，理解解三角形在生产生活中的应用价值. 2. 逻辑推理：能根据实际问题的已知条件，合理选择正弦定理或余弦定理求解三角形，明确不同定理的适用场景. 3. 数学运算：熟练运用正弦定理和余弦定理进行准确计算，解决测量距离、高度的典型实际问题. 4. 直观想象：能根据题意画出准确的几何图形，明确三角形中各边、角的对应关系，正确标注仰角、俯角、方位角. 5. 数学建模：掌握解三角形应用问题的一般步骤，提升将实际问题转化为数学问题的核心能力. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 将实际测量问题转化为解三角形的数学模型. 2. 利用正弦定理和余弦定理解决两点不可到达的距离测量、底部不可到达的高度测量问题. （二）教学难点 1. 从复杂实际问题中抽象出几何图形，准确确定三角形的已知与未知元素. 2. 正确理解并运用仰角、俯角、方位角等概念，避免图形标注错误. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 启发式教学法、数学建模法、讲练结合法、小组讨论法 （二）教具准备 多媒体课件（含测量场景动画、标准几何图形）、直角三角板、量角器、直尺 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 正弦定理：（为△ABC 外接圆半径），适用条件：已知两角一边或两边及其中一边的对角. · 余弦定理：，，，适用条件：已知三边或两边及其夹角. 2. 情境引入 · 展示生活场景图片：跨河大桥的桥墩间距测量、山顶信号塔高度测量、海上船只定位. · 提问：不渡河如何测量河两岸两点的距离？不攀爬如何测量高塔的高度？这些问题都可以通过我们学过的解三角形知识解决. · 设计意图：通过真实生活问题引发学生思考，引出本节课课题，激发学生的学习兴趣. （二）新知探究（25 分钟） 1. 解三角形应用问题的一般步骤 · 引导学生小组讨论：解决实际问题需要经历哪些环节？ · 教师总结并板书： i. 分析：理解题意，明确已知量和未知量，梳理各量之间的关系. ii. 建模：画出几何图形，将实际问题转化为解三角形的数学问题. iii. 求解：根据已知条件选择合适的定理，计算三角形的未知元素. iv. 检验：检验结果是否符合实际意义，给出实际问题的答案. 2. 典型测量问题探究 类型一：两点不可到达的距离测量 · 问题：A、B 两点在河的两岸，无法直接测量 AB 的长度，如何设计测量方案？ · 方案分析：在河的一侧选取一点 C，测量 AC 的长度，以及∠BAC 和∠BCA 的度数，构造△ABC，利用正弦定理求解 AB. · 推导过程： 在△ABC 中，已知，，，则. 由正弦定理，得. 类型二：底部不可到达的高度测量 · 问题：要测量一座山的高度 AB，山脚 B 无法直接到达，如何设计测量方案？ · 方案分析：在地面选取两点 C、D，使 C、D、B 在同一直线上，测量 CD 的长度，以及在 C、D 两点测得山顶 A 的仰角、，构造△ACD 和 Rt△ABC，综合运用正弦定理和直角三角形性质求解 AB. · 推导过程： 在△ACD 中，，，. 由正弦定理，得. 在 Rt△ABC 中，，因此. （三）例题讲解（10 分钟） 例 1（测量两点间距离） 为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离，在河岸边选定一点 C，测得，，，求 A、B 两点之间的距离. · 解：在△ABC 中，. 由正弦定理，得 . 答：A、B 两点之间的距离为. · 设计意图：巩固两点不可到达的距离测量方法，规范正弦定理的解题步骤. 例 2（测量底部不可到达的高度） 在山脚 C 处测得山顶 A 的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进到达 D 点，在 D 点测得山顶 A 的仰角为，求山的高度 AB. · 解：设山高. 在 Rt△ABC 中，，故. 在△ACD 中，，，. 由正弦定理，得 . 又在 Rt△ABC 中，，因此，解得. 答：山的高度 AB 为. · 设计意图：培养学生综合运用正弦定理和直角三角形知识解决复杂高度测量问题的能力. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 在离某塔底部的 C 处，测得塔顶 A 的仰角为，则塔高 AB 为 （ ） . 2. 测量河对岸 A、B 两点的距离，在岸边选一点 C，测得，，，则 A、B 两点的距离为（ ）. （五）课后小结（2 分钟） 1. 一个核心：将实际问题转化为解三角形的数学模型. 2. 四个步骤：分析题意→建立模型→求解三角形→检验作答. 3. 两种工具：根据已知条件灵活选择正弦定理或余弦定理. 4. 两类问题：两点不可到达的距离测量、底部不可到达的高度测量. 5. 两种思想：数学建模思想、数形结合思想. 六、板书设计 1.6.3 解三角形应用举例 一、 核心定理 1. 正弦定理： 2. 余弦定理： 二、 解题一般步骤 分析 → 建模 → 求解 → 检验 三、 典型应用 1. 测量距离（两点不可到达） 2. 测量高度（底部不可到达） 四、 例题解答区 （此处预留空间用于现场推导和板书例题过程） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $