指、对、幂的大小比较课件-2027届高三数学一轮复习

指、对、幂的大小比较 　　指、对、幂的大小比较是高考命题的热点，主要考查指数、对数的互 化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质.比较大小时， 既有常规方法，也有一些灵活巧妙的方法，一般以选择题或填空题的形式 出现. 高中总复习·数学 单调性法比较大小 （1）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则a，b，c的大小关 系为（　A　） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. b＜c＜a D. c＜b＜a 解析： 根据函数y＝0.3x在R上单调递减可知a＝0.30.6＜b＝0.30.5，根 据函数y＝x0.5在R上单调递增可知b＝0.30.5＜c＝0.40.5，故a＜b＜c.故 选A. A 高中总复习·数学 （2）已知a＝log41.25，b＝log51.2，c＝log48，则（　C　） A. a＞b＞c B. c＞b＞a C. c＞a＞b D. a＞c＞b 解析：c＝log48＞log41.25＝a，a＝log41.25＝ ＞ ＞ ＝ log51.2＝b，综上，c＞a＞b. C 高中总复习·数学 规律方法 单调性法比较大小的应用技巧 （1）底数相同，指数不同，如 和 ，利用指数函数y＝ax的单调性比 较大小； （2）指数相同，底数不同，如 和 ，利用幂函数y＝xa的单调性比较 大小； （3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的 单调性比较大小. 高中总复习·数学 中间值法比较大小 （1）已知a＝ sin ，b＝20.1，c＝log2 ，则（　A　） A. b＞c＞a B. b＞a＞c C. a＞c＞b D. a＞b＞c 解析： a＝ sin ＝ ，因为20＜20.1＜21，所以1＜b＜2，因为log2 ＜ log2 ＜log22，所以 ＜c＜1，所以b＞c＞a.故选A. A 高中总复习·数学 （2）已知a＝log42，b＝log83，c＝（ ，则a，b，c的大小关系为 （　B　） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. a＜c＜b D. c＜b＜a 解析：由已知得a＝log42＝ ，由y＝log8x是增函数可知b＝log83＞log8 ＝ ，而c＝（ ＝ ＜ ，所以c＜a＜b.故选B. B 高中总复习·数学 规律方法 　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0， ，1”对所比较的数进行 划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选 择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 高中总复习·数学 构造函数法比较大小 （1）已知a＝e，b＝3log3e，c＝ ，则a，b，c的大小关系为 （　C　） A. c＜a＜b B. a＜c＜b C. a＜b＜c D. b＜c＜a C 解析： 设f（x）＝ ，x≥e，则f'（x）＝ ≥0恒成立，所以函 数f（x）在[e，＋∞）上单调递增，a＝f（e），b＝3log3e＝ ＝f （3），c＝ ＝f（5），因为e＜3＜5，所以f（e）＜f（3）＜f（5）， 所以a＜b＜c. 高中总复习·数学 （2）已知a，b，c均为正实数，满足a＋5a＝5，b＋log2b＝5，c＋c3＝ 5，则（　D　） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. b＞c＞a D 解析：函数f（x）＝x＋5x在（0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝1，f （1）＝6，可得0＜a＜1；函数f（x）＝x＋log2x在（0，＋∞）上单调 递增，且f（3）＝3＋log23＜5，f（4）＝4＋log24＝6，可得3＜b＜4；函 数f（x）＝x＋x3在（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝2，f（2）＝2 ＋23＝10，可得1＜c＜2，所以b＞c＞a. 高中总复习·数学 规律方法 构造函数法比较大小的常见构造方法 （1）同形构造：根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据 单调性来比较数的大小； （2）不同形构造：可以两两做差构造新函数，再通过导数判断单调性， 根据单调性来比较数的大小. 高中总复习·数学 特殊值法比较大小 （1）已知a＞b＞1，0＜c＜ ，则下列结论正确的是（　C　） A. ac＜bc B. abc＜bac C. alogbc＜blogac D. logac＜logbc 解析： 取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝ ，则ac＝ ，bc＝ ，∴ac＞ bc，故A错误；abc＝4× ＝ ，bac＝2× ＝ ，∴abc＞bac，故B错 误；logac＝log4 ＝－1，logbc＝log2 ＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－ 2，∴alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误. C 高中总复习·数学 （2）已知a＝2x，b＝ln x，c＝x3，若x∈（0，1），则a，b，c的大小 关系是（　B　） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞b＞a D. c＞a＞b 解析：取x＝ ，则a＝ ＞1，b＝ln ＜0，0＜c＝（ ）3＜1，所以a＞ c＞b.故选B. B 高中总复习·数学 规律方法 　　当要比较大小的几个量不是具体数值，而是具有某种等量关系的几个 字母时，可以将其中的字母取一组符合等量关系的特殊的简单数值，通过 这组特殊数值来确定它们的大小关系. 高中总复习·数学 作差（商）法比较大小 设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则（　　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. a＜c＜b √ 高中总复习·数学 解析： 　∵ ＝log312＝1＋log34＝1＋ ＝1＋ ， ＝log540＝1＋ log58＝1＋ ＝1＋ ，∴ － ＝ － ＝ ＝ ＝ ＜0，∴ ＜ ，又b＞0，c＞0，∴b＞ c；∵ ＝1＋log58＜1＋log5 ＝1＋log5 ＝ ，∴c＞ ，∵ ＝log26 ＝1＋log23＞1＋log2 ＝1＋log2 ＝ ，∴a＜ ，∴a＜c.∴a＜c＜b. 高中总复习·数学 规律方法 1. 一般情况下，作差或者作商可以处理底数不同的对数比较大小问题. 2. 作差或者作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法. 高中总复习·数学 图象法比较大小 （1）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷8题）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5 ＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为（　B　） A. x＞y＞z B. x＞z＞y C. y＞x＞z D. y＞z＞x 解析： 法一　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则 x＝2t－2＝f（t），y＝3t－3＝g（t），z＝5t－5＝h （t），在同一平面直角坐标系中画出函数f（t），g （t），h（t）的图象，由图可知x，y，z的关系不可 能为x＞z＞y，故选B. B 高中总复习·数学 法二　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝ ，y＝ ，z＝ ， 此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z ＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝ 64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B. 高中总复习·数学 （2）若正数x，y，z满足5x＝6y＝log7z，则下列选项正确的是（　D　） A. z＞y＞x B. x＞z＞y C. y＞z＞x D. z＞x＞y D 解析：不妨令5x＝6y＝log7z＝k（k＞ 0），设f（x）＝5x，g（x）＝6x，h （x）＝log7x，p（x）＝k，在同一坐 标系中分别作出函数f（x），g （x），h（x），p（x）的图象（如图所示），由图象可知z＞x＞y.故选D. 高中总复习·数学 规律方法 　　涉及某些由指数式、对数式给出的几个数的大小比较问题，可以把这 几个数视为对应的指数函数、对数函数与另外某个函数图象交点的横坐 标，利用图象的直观性解决. 高中总复习·数学 1. 设a＝log0.42，b＝log0.32，c＝0.30.4，则（　　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜b＜a D. a＜c＜b √ 解析： 　a＝log0.42＝ ，b＝log0.32＝ ，由y＝log2x在（0， ＋∞）上单调递增，得log20.3＜log20.4＜0，所以 ＜ ＜0，所 以a＜b＜0，由c＝0.30.4＞0，得a＜b＜c. 高中总复习·数学 2. 已知a＝ ，b＝40.6，c＝log38，则a，b，c的大小关系为 （　　） A. a＜c＜b B. b＜c＜a C. c＜b＜a D. c＜a＜b √ 解析： 　由于a＝ ＝21.1＞2，b＝40.6＝21.2＞21.1＝a＞2，c＝ log38＜log39＝2，所以c＜a＜b. 高中总复习·数学 3. 已知log2a＝ （a≠2），log3b＝ （b≠3），log4c＝ （c≠4），则 （　　） A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. a＜c＜b √ 高中总复习·数学 解析： 　由log2a＝ ⇒ ＝ ⇒ ＝ ，同理 ＝ ， ＝ ，构 造函数f（x）＝ ，f'（x）＝ ，当x＞e时，f'（x）＝ ＜0，当 0＜x＜e时，f'（x）＝ ＞0，可得函数f（x）在（0，e）上单调递 增，在（e，＋∞）上单调递减，而2＜e＜3＜4，又由 ＝ ，a≠2， c≠4，可得a＝4，c＝2，9＞8⇒2ln 3＞3ln 2⇒ ＞ ，又由e＜3，b≠3 及f（x）的单调性，可知2＜b＜e，故c＜b＜a.故选B. 高中总复习·数学 4. 若（ ）a＝log2a，（ ）b＝b2， ＝2－c，则正数a，b，c的大小关 系是（　　） A. c＜a＜b B. c＜b＜a C. a＜c＜b D. a＜b＜c √ 解析： 　由（ ）a＝log2a，则a为y＝（ ）x与 y＝log2x交点的横坐标，同理，b为y＝（ ）x与y ＝x2交点的横坐标，c为y＝（ ）x与y＝ 交点 的横坐标，作出y＝（ ）x，y＝log2x，y＝x2， y＝ 的图象如图所示，由图可知，c＜b＜a.故选B. 高中总复习·数学 $