构造具体函数比较大小课件-2027届高三数学一轮复习

构造具体函数比较大小 通过变量构造具体函数 （1）若ln x－ln y＜ － （x＞1，y＞1），则（　A　） A. ey－x＞1 B. ey－x＜1 C. ey－x－1＞1 D. ey－x－1＜1 A 解析：依题意，ln x－ ＜ln y－ ，令f（t）＝t－ （t≠0），则f' （t）＝1＋ ＞0，∴f（t）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增， 又x＞1，y＞1，得ln x＞0，ln y＞0，则f（ln x）＜f（ln y），则ln x＜ln y，∴1＜x＜y，即y－x＞0，∴ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；无法确 定y－x－1与0的大小关系，故C、D不正确. 高中总复习·数学 （2）已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则 （　D　） A. c＜b＜a B. b＜c＜a C. a＜c＜b D. a＜b＜c D 高中总复习·数学 解析：三个等式可变形为 ＝ ， ＝ ， ＝ .∵ae5＝5ea，a＜ 5，∴a＞0.同理b＞0，c＞0.构造函数f（x）＝ ，x＞0，则f'（x）＝ .当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f' （x）＞0，f（x）单调递增.∵f（5）＝f（a），而0＜a＜5，故0＜a＜ 1.同理0＜b＜1，0＜c＜1，f（4）＝f（b），f（3）＝f（c）.∵f （5）＞f（4）＞f（3），∴f（a）＞f（b）＞f（c），0＜a＜b＜c＜1. 高中总复习·数学 规律方法 　　若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等 号或不等号两边，即可构造函数，再利用函数的单调性求解. 高中总复习·数学 通过数值构造具体函数 （1）设a＝ ，b＝ln ，c＝ ，其中e是自然对数的底数，则 （　B　） A. b＜a＜c B. a＜c＜b C. b＜c＜a D. c＜b＜a B 高中总复习·数学 解析： 因为a＝ ＝ ，b＝ ，c＝ ＝ ，令函数f（x）＝ ，x＞e，求导得f'（x）＝ ＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单 调递减，又3＜ ＜4，因此f（3）＞f（ ）＞f（4），所以a＜c＜b. 故选B. 高中总复习·数学 （2）已知a－ ＝ln 2a，b－ ＝ln 3b，c－e＝ln ，其中a≠ ， b≠ ，c≠e，则a，b，c的大小关系为（　A　） A. c＜a＜b B. c＜b＜a C. a＜b＜c D. a＜c＜b A 高中总复习·数学 解析：由题得a－ln a＝ －ln ，b－ln b＝ －ln ， c－ln c＝e－ln e.构造函数f（x）＝x－ln x（x＞ 0），f'（x）＝1－ ＝ ，令f'（x）＝0，得x＝ 1，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋ ∞）上单调递增，作出函数f（x）的大致图象如图所示.因为f（a）＝f（ ），f（b）＝f（ ），f（c）＝f（e），且a≠ ，b≠ ，c≠e，则由图可知b＞a＞1，0＜c＜1，所以c＜a＜b. 高中总复习·数学 规律方法 　　当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同 之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利 用函数的单调性比较大小. 高中总复习·数学 1. 已知α，β均为锐角，且α＋β－ ＞ sin β－ cos α，则（　　） A. sin α＞ sin β B. cos α＞ cos β C. cos α＞ sin β D. sin α＞ cos β 解析： 　∵α＋β－ ＞ sin β－ cos α，∴β－ sin β＞ －α－ sin （ － α），令f（x）＝x－ sin x，x∈（ 0， ），则f'（x）＝1－ cos x＞0， ∴f（x）在（ 0， ）上单调递增，∵α，β均为锐角，则 －α∈（ 0， ），β∈（ 0， ），∴β＞ －α，∴ cos β＜ cos （ －α）， sin β＞ sin （ －α），∴ cos β＜ sin α， sin β＞ cos α. √ 高中总复习·数学 2. 已知α，β∈［－ ， ］，且α sin α－β sin β＞0，则下列结论正确的是 （　　） A. α＞β B. α2＞β2 C. α＜β D. α＋β＞0 √ 解析： 　构造函数f（x）＝x sin x，则f'（x）＝ sin x＋x cos x.当x∈ ［0， ］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈［－ ，0）时，f' （x）＜0，f（x）单调递减.又f（x）为偶函数，所以α sin α－β sin β＞ 0⇔α sin α＞β sin β⇔f（α）＞f（β）⇔f（｜α｜）＞f（｜β｜）⇔｜α｜ ＞｜β｜⇔α2＞β2.故选B. 高中总复习·数学 3. 已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（　　） A. a＞0＞b B. a＞b＞0 C. b＞a＞0 D. b＞0＞a √ 解析： 　由10＝9m＞9，得m＞1.设f（x）＝xm－x－1，x＞1，则当m ＞1时，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上 单调递增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b. 高中总复习·数学 解析： 　 ＝ 两边同取自然对数得 ＝ ，设f（x）＝ ，则f' （x）＝ ，令f'（x）＞0，解得0＜x＜e，令f'（x）＜0，解得x＞e， ∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，∴f（x） 在x＝e处取得最大值f（e）＝ ，在（0，e）内，函数f（x）有唯一的零 点x＝1，在（e，＋∞）内，f（x）＞0，又∵a＞b＞0且f（a）＝f （b）＞0，∴1＜b＜e，a＞e.故选C、D. 4. 〔多选〕已知a＞b＞0，且 ＝ ，则（　　） A. 0＜b＜1 B. 0＜a＜1 C. 1＜b＜e D. a＞e √ √ 高中总复习·数学 5. （2026·广东深圳模拟）已知a，b，c∈（0，1），且a2－2ln a＋1＝ e，b2－2ln b＋2＝e2，c2－2ln c＋3＝e3，其中e是自然对数的底数，则a， b，c的大小关系是 ⁠. 解析：设f（x）＝x2－2ln x，g（x）＝ex－x，则f（a）＝g（1），f （b）＝g（2），f（c）＝g（3），又g'（x）＝ex－1＞0（x＞0），所 以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g（3）＞g（2）＞g（1）， 即f（c）＞f（b）＞f（a），因为f'（x）＝2x－ ＝ ＜0 （x∈（0，1）），所以f（x）在（0，1）内单调递减，所以a＞b＞c. a＞b＞c 高中总复习·数学 $