导数与函数的最值课件-2027届高三数学一轮复习

第5节　导数与函数的最值 课标要求 1. 理解函数最值与极值的关系. 2. 会求闭区间上函数的最大值、最小值. 3. 了解最值在现实生活中的应用. 目录/ CONTENTS 考点一 求函数的最值 01 考点二 由函数的最值求参数 02 提能点 生活中的优化问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 求函数的最值 目 录 1. 如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条 ⁠的曲 线，那么它必有最大值和最小值. 2. 若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的 ⁠ ，f（b）为函数的 ；若函数f（x）在区间[a，b]上单调 递减，则f（a）为函数的 ，f（b）为函数的 ⁠. 连续不断　 最小 值　 最大值　 最大值　 最小值　 高中总复习·数学 目 录 结论：（1）若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则f（x）一定在区间 端点处取得最值； （2）若函数在区间[a，b]上的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值 点； （3）若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一 定是函数相应的最值点. 高中总复习·数学 目 录 已知函数f（x）＝ －ln x（a∈R）. （1）讨论f（x）的单调性； 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ ， ①若a≤0，则f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋ ∞）上单调递减； ②若a＞0，则当x＞a时，f'（x）＜0；当0＜x＜a时，f'（x）＞0，所以 f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减. 高中总复习·数学 目 录 （2）求f（x）在［ ，e］上的最大值g（a）. 解：f'（x）＝ ，由（1）知， 当a≤ 时，f（x）在［ ，e］上单调递减， 所以f（x）max＝f（ ）＝2－ae； 当 ＜a＜e时，f（x）在［ ，a］上单调递增，在[a，e]上单调递减， 所以f（x）max＝f（a）＝－ln a； 当a≥e时，f（x）在［ ，e］上单调递增，所以f（x）max＝f（e）＝－ . 综上，g（a）＝ 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 利用导数求给定区间上函数最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最 值. 2. 若所给函数f（x）含参数，需先求函数的定义域、导函数，通过对参 数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f（x）的最值. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2026·江苏南京、盐城模拟）用min{x，y}表示x，y中较小的 数.已知函数f（x）＝ ，则min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为 （　C　） A. B. C. D. ln 2 C 高中总复习·数学 目 录 解析： ∵f（x）＝ ，∴f'（x）＝ ，易 知f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋ ∞）上单调递减，由题意，令f（x）＝f（x＋ln2），即 ＝ ，解得x＝ln 2. 作出y＝f（x）与y＝f（x＋ln 2）的大致图象如图所示.则min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为两函数图象交点处函数值，为 . 高中总复习·数学 目 录 （2）函数f（x）＝ －2ln x＋2x的最小值为 ⁠. 解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ex－ ＋2＝ ，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）的最小 值为f（1）＝e＋2. e＋2 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 由函数的最值求参数 目 录 （1）（2026·河北名校联考）已知函数f（x）＝ln x－ax的最大值为 0，则a＝（　D　） A. －e B. －1 C. D. D 解析： 由f（x）＝ln x－ax，得f'（x）＝ －a＝ ，x＞0.若a≤0， 则f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无最大值，则a＞0，则f（x）在 （0， ）上单调递增，在（ ，＋∞）上单调递减， 所以f（x）max＝f （ ）＝ln －1＝0，解得a＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2） （2025·山东聊城期中）设f（x）＝ 若f（－ 1）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是 ⁠. [0，1] 高中总复习·数学 目 录 解析：当x≤－1时，f（x）＝（x＋a）2，对称轴为直线x＝－a，当－ a≥－1，即a≤1时，f（x）min＝f（－1）；当－a＜－1，即a＞1时，f （x）min＝f（－a），不符合题意，所以a≤1.当x＞－1时，f（x）＝ex －x＋a，则f'（x）＝ex－1，令f'（x）＝0，则x＝0，当x∈（－1，0） 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，f （x）单调递增，则x＝0是函数f（x）的极小值点.又f（－1）为f（x） 的最小值，则满足f（－1）≤f（0），即（a－1）2≤1＋a，解得 0≤a≤3.又a≤1，所以实数a的取值范围是[0，1]. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在 区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个 是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）（2026·江苏宿迁模拟）若函数f（x）＝ 有最大 值，则k的最大值为（　C　） A. B. C. D. C 高中总复习·数学 目 录 解析： 当x≥2时，f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，当2≤x＜e时，f' （x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，函数f（x） 单调递减，则函数f（x）在x＝e处取得极大值，且极大值为f（e）＝ ， 因为函数f（x）＝ 有最大值，则 解得 0≤k≤ ，因此实数k的最大值为 .故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）内存在最小值， 则实数a的取值范围为（　A　） A. [－1，2） B. C. D. [－1，1） A 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意得f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）.当f'（x） ＞0时，得x＜0或x＞2，当f'（x）＜0时，得0＜x＜2，故 函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋ ∞）， 单调递减区间为（0，2），即x＝2时，函数f（x）取得极 小值f（2）＝－1，画出f（x）的图象如图.当x3－3x2＋3＝ －1时，（x＋1）（x－2）2＝0，解得x＝－1或x＝2，故要使函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上存在最小值，需有 解得－1≤a＜2，即实数a的取值范围为[－1，2）. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 生活中的优化问题 目 录 （1）小李准备向银行贷款x（0＜x≤10）万元全部用于某产品的加工 与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式y＝ln x－x － ＋9，要使年利润最大，小李应向银行贷款（　B　） A. 3万元 B. 4万元 C. 5万元 D. 6万元 B 高中总复习·数学 目 录 解析： 依题意，得y'＝ －1＋ ＝ ＝ （0＜ x≤10），令y'＞0，得0＜x＜4，令y'＜0，得4＜x≤10，所以函数y＝ln x －x－ ＋9在（0，4）内单调递增，在（4，10）内单调递减，所以当x ＝4时，函数取得最大值. 高中总复习·数学 目 录 （2）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量y（单 位：L）关于行驶速度x（单位：km/h）的解析式可以表示为y＝ x3 － x＋9（0＜x≤120）.若甲、乙两地相距200 km，当从甲地到乙地耗油 最少时，汽车匀速行驶的速度是（　C　） A. 70 km/h B. 80 km/h C. 90 km/h D. 100 km/h C 高中总复习·数学 目 录 解析：当速度为x km/h，汽车从甲地到乙地需行驶 h，设耗油量为f （x） L，依题意得f（x）＝（ x3－ x＋9）× ＝ x2＋ －8（0＜x≤120），则f'（x）＝ x－ （0＜x≤120）.令f'（x）＝ 0，得x＝90，当x∈（0，90）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈ （90，120）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.所以当x＝90时，从甲地 到乙地耗油最少. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　解决最优化问题，应从以下几个方面入手：（1）设出自变量、因变 量，建立函数关系式y＝f（x），并确定其定义域；（2）求函数的导函 数f'（x），解方程f'（x）＝0；（3）比较函数在区间端点和使f'（x）＝0 的点的函数值的大小，求最大（小）值；（4）回归实际问题. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱 的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（　B　） A. 2 B. C. 1 D. π B 高中总复习·数学 目 录 解析： 设圆柱的底面半径为r，高为x，由题意可得2×2πr＋2x＝ 6，即r＝ ，圆柱的体积V＝π（ ）2·x＝ （9x－6x2＋x3）（0＜x ＜3），V'＝ （9－12x＋3x2）＝ （3－4x＋x2），令V'＝0，解得x ＝1或x＝3（舍去），所以当x∈（0，1）时，V'＞0，V单调递增；当 x∈（1，3）时，V'＜0，V单调递减；当x＝1时，V取得极大值，也是最 大值，此时高为1，半径为 ，底面半径和高的比值为 ，故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）李某要建一个面积为512 m2的矩形蔬菜场，一边利用原有的墙壁（墙 壁足够长），其他三边要修建栅栏，当修建栅栏所用的材料最省时，矩形 蔬菜场的两邻边长分别为（　A　） A. 32 m，16 m B. 64 m，8 m C. 128 m，4 m D. 256 m，2 m A 高中总复习·数学 目 录 解析： 设要建的矩形蔬菜场与原墙壁平行的一边边长为x m，与原墙 相邻的两边边长均为y m，则xy＝512，设所修建栅栏的长为l m，则l＝x ＋2y＝ ＋2y（y＞0），令l'＝－ ＋2＝0，解得y＝16（y＝－16舍 去），当0＜y＜16时，l'＜0；当y＞16时，l'＞0，所以当y＝16时，l取得 极小值，也就是最小值，此时x＝ ＝32. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：93分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 函数f（x）＝x－ln x在区间（0，e]上的最小值为（　　） A. e－1 B. 1 C. －e D. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　因为f'（x）＝1－ ＝ ，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当 x∈（1，e]时，f'（x）＞0，所以当x＝1时，f（x）取得最小值1－ln 1＝ 1.故选B. 高中总复习·数学 目 录 2. 当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋ 取得最大值－2，则f'（2）＝ （　　） A. 1 B. C. － D. －1 √ 解析： 　由题意知，f（1）＝aln 1＋b＝b＝－2.求导得f'（x）＝ － （x＞0），因为f（x）的定义域为（0，＋∞），所以易得f'（1）＝a －b＝0，所以a＝－2，所以f'（2）＝ － ＝－ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 已知函数f（x）＝x－ sin x，x∈[0，π]，则f（x）的最大值为 （　　） A. － B. C. － D. π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由f（x）＝x－ sin x，x∈[0，π]，可得f'（x）＝1－ cos x，x∈[0，π]，令f'（x）＝0可得 cos x＝ ，又x∈[0，π]，所以x＝ ，当x∈ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈ 时，f' （x）＞0，f（x）单调递增；易知f（0）＝0，f（π）＝π，因此f（x） 的最大值为π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝ln x的图象分别相交于点 M，N，则当｜MN｜最小时t的值为（　　） A. 1 B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由已知条件可得｜MN｜＝t2－ln t，设f（t）＝t2－ln t（t＞ 0），则f'（t）＝2t－ .令f'（t）＝0，可得t＝ .当0＜t＜ 时，f' （t）＜0，∴当t＝ 时，f（t）可取得最小值f（ ），即得当｜MN｜ 最小时，t＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 〔多选〕对于函数f（x）＝－2ln x＋x2－3x，下列说法正确的是 （　　） A. f（x）在区间（2，＋∞）上单调递增 B. 2是函数f（x）的极大值点 C. f（x）的单调递减区间是（0，2） D. 函数f（x）的最小值为－2ln 2－2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　∵f（x）＝－2ln x＋x2－3x，x∈（0，＋∞），∴f'（x） ＝－ ＋2x－3＝ ＝ ，令f'（x）＝0，则x＝2，令f' （x）＜0，解得0＜x＜2，令f'（x）＞0，解得x＞2，∴f（x）在（0， 2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，2是函数f（x）的极小值 点，故A、C正确，B错误；又f（x）min＝f（2）＝－2ln 2＋4－6＝－2ln 2 －2，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f' （x）的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为（0， 1），则（　　） A. 函数y＝f（x）·ex为增函数 B. 函数y＝f（x）·ex为减函数 C. 函数y＝ 的最大值为1 D. 函数y＝ 的最小值为1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由导数与函数单调性的关系得f（x）的图象为实曲线，f' （x）的图象为虚曲线，且当x＜0时，f（x）＜f'（x），当x＞0时，f （x）＞f'（x），设g（x）＝f（x）·ex，则g'（x）＝[f（x）＋f' （x）]·ex＞0，∴g（x）在R上单调递增，故A正确，B错误；设h（x） ＝ ，则h'（x）＝ ＝ ，则h（x）在 （－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴h（x）在x＝0 处有最大值h（0）＝ ＝1，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 若函数f（x）＝ 在区间［ ，a］上的最小值为2e，则a的取值范围 是 ⁠. 解析：由f（x）＝ ，得f'（x）＝ ，所以函数f（x）在 （ ， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，且f（ ）＝2e，所以 ∈［ ，a］，即a≥ ，所以a的取值范围是［ ，＋∞）. ［ ，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 若函数f（x）＝（2x＋1）ln x－ax是（0，＋∞）上的增函数，则实 数a的最大值为 ⁠. 解析： f（x）＝（2x＋1）ln x－ax的定义域为（0，＋∞），若f（x）在 （0，＋∞）上单调递增，则f'（x）＝2ln x＋ －a≥0恒成立，即 a≤2ln x＋ ＋2.设h（x）＝2ln x＋ ＋2，则h'（x）＝ － ＝ ， x∈（0，＋∞），当x∈（ 0， ）时，h'（x）＜0，函数h（x）在 （ 0， ）内单调递减；当x∈（ ，＋∞）时，h'（x）＞0，函数h（x） 在（ ，＋∞）上单调递增，故h（x）min＝h（ ）＝2ln ＋4＝4－2ln 2，所以a≤4－2ln 2.故实数a的最大值为4－2ln 2. 4－2ln 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 若在半径为R的圆内作内接等腰三角形，则当底边上的高为 ⁠ 时，它的面积最大. 解析：如图所示，设圆内接等腰三角形的底边长为2x，高 为h，则h＝AO＋DO＝R＋ .解得x2＝h（2R－ h），于是内接三角形的面积为S＝ ·2x·h＝ ·h ＝ ，从而S'＝ （2Rh3－h4 （2Rh3－h4）'＝ （2Rh3－h4 （6Rh2－4h3）＝ .令S'＝0，解得h＝ R. 由于不考虑不存在的情况，所以在区间（0，2R）内列表如下： R　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 h （0， R） R （ R，2R） S' ＋ 0 － S 单调递增 最大值 单调递减 由表可知，当h＝ R时，等腰三角形的面积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （15分）（2026·江西名校联考）已知函数f（x）＝ex（2x2＋ax－ 1），其中a∈R. 若f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x ＋by＋1＝0.求： （1）函数f（x）的解析式； 解： 依题意，f（0）＝－1，切点（0，－1）在切线2x＋by＋1＝0 上，则b＝1， f'（x）＝ex（2x2＋ax－1）＋ex（4x＋a）＝ex[2x2＋（a＋4）x＋a－1]， 而f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线斜率为－2，则f'（0）＝a－ 1＝－2，解得a＝－1， 所以f（x）＝ex（2x2－x－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）函数f（x）在区间[－3，1]上的最值. 解： 由（1）知，f'（x）＝ex（2x2＋3x－2）＝ex（x＋2）（2x－ 1），由f'（x）＝0得x＝－2或x＝ ， 当－3≤x≤－2或 ≤x≤1时，f'（x）≥0，当－2＜x＜ 时，f'（x）＜0， 所以f（x）在[－3，－2]， 上单调递增，在 内单调递减， 又f（－3）＝ ，f（－2）＝ ，f（ ）＝－ ， f（1）＝0， 所以f（x）在区间[－3，1]上的最大值为 ，最小值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 函数结构是值得关注的对象.为了研究y＝xx（x＞0）的结构，两边取 对数，可得ln y＝ln xx，即ln y＝xln x，两边取指数，得eln y＝exln x，即y＝ exln x，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结合上述材料，y＝xx（x ＞0）的最小值为（　　） A. 1 B. e C. D. e－e √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由y＝xx（x＞0），两边取对数，可得ln y＝ln xx，即ln y＝xln x，令g（x）＝xln x（x＞0），则g'（x）＝ln x＋1，当x∈（0， ） 时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（ ，＋∞）时，g'（x）＞ 0，g（x）单调递增，∴g（x）min＝g（ ）＝－ ，∴ln y≥－ ， y≥ ，y的最小值为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝2x3－ax2＋b，若f（x）在区间[0，1]上 的最小值为－1，最大值为1，则a的值可以是（　　） A. 0 B. 4 C. 3 D. 3 √ √ 解析： 函数f（x）＝2x3－ax2＋b，则f'（x）＝6x2－2ax＝6x（x － ），令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ .①当a≤0时，若0≤x≤1，则f' （x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在[0，1]上的最小 值为f（0）＝b，最大值为f（1）＝2－a＋b.因为f（x）在区间[0，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 上的最小值为－1，最大值为1，所以 解得 故 选项A正确.②当a≥3时，若0≤x≤1，则f'（x）≤0，f（x）在[0，1]上 单调递减，所以f（x）在[0，1]上的最大值为f（0）＝b，最小值为f （1）＝2－a＋b.因为f（x）在区间[0，1]上的最小值为－1，最大值为 1，所以 解得 故选项B正确.由于选项C、D都 是大于3的数，所以当0＜a＜3时，选项C、D不成立.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. （2025·河南南阳一模）设函数f（x）＝1－ex，g（x）＝ln（ax2－ 4x＋3），其中e是自然对数的底数，若对任意x1∈[0，＋∞），都存在 x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：因为f（x1）＝1－ ，x1∈[0，＋∞），所以f（x1）∈（－∞， 0].又因为对任意x1∈[0，＋∞），都存在x2∈R，使得f（x1）＝g （x2），所以g（x2）的值域包含（－∞，0]，所以ax2－4x＋3∈（0，k] （k≥1）.若a＝0，则－4x＋3＞0，解得x＜ ，符合题意.若a＜0，则 即 所以a＜0.若a＞0，则 即 所以0＜a≤ .综上所述，a≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）已知函数f（x）＝ln x－ax，x∈（0，e]，其中e为自然对数 的底数. （1）若x＝1为f（x）的极值点，求f（x）的单调区间和最大值； 解： ∵f（x）＝ln x－ax，x∈（0，e]， ∴f'（x）＝ ，由f'（1）＝0，得a＝1. ∴f'（x）＝ ， ∴x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，e]时，f'（x）＜0， ∴f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，e]， f（x）的极大值为f（1）＝－1，也即f（x）的最大值为f（1）＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）是否存在实数a，使得f（x）的最大值是－3？若存在，求出a的 值；若不存在，说明理由. 解： ∵f（x）＝ln x－ax，∴f'（x）＝ ， ①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递增， 得f（x）的最大值是f（e）＝1－ae＝－3，解得a＝ ＞0，舍去； ②当a＞0时，由f'（x）＝ ＝0，得x＝ ， 当0＜ ＜e，即a＞ 时， x∈（ 0， ）时，f'（x）＞0，x∈（ ，e］时，f'（x）＜0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 ∴f（x）的单调递增区间是（ 0， ），单调递减区间是（ ，e］， 又f（x）在（0，e]上的最大值为－3，∴f（ ）＝－1－ln a＝－3，∴a ＝e2； 当e≤ ，即0＜a≤ 时，f（x）在（0，e]上单调递增， ∴f（x）的最大值是f（e）＝1－ae＝－3，解得a＝ ＞ ，舍去. 综上，存在a符合题意，此时a＝e2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $