第5节 复数 课件-2027届高三数学一轮复习

第5节　复数 课标要求 1. 通过方程的解，认识复数. 2. 理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3. 掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 目录/ CONTENTS 考点一 复数的有关概念 01 考点二 复数的四则运算 02 考点三 复数的几何意义 03 课时跟踪训练 05 考点四 复数集内一元二次方程的解 04 01 PART 考点一 复数的有关概念 目 录 1. 复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数 单位，a，b分别是它的 与 .当且仅当b＝0时，a＋bi 是实数；当b≠0时，a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi叫做纯 虚数. 2. 复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ （a，b，c，d∈R）. 3. 共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为共轭复数. 4. 复数的模：向量 的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对 值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝ ⁠. 实部　 虚部　 a＝c且b＝d　 　 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. （2026·海南海口模拟）下列关于复数的说法，正确的是（　　） A. 复数i是最小的纯虚数 B. 在复数范围内，模为1的复数共有1，－1，i和－i四个 C. i与－i是一对共轭复数 D. 虚轴上的点都表示纯虚数 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　虚数不能比大小，故A错误；对于复数z＝a＋bi（a， b∈R），但凡满足a2＋b2＝1，其模均为1，显然不仅四个，比如a＝ ， b＝ 时，｜z｜＝1，故B错误；由共轭复数的定义可知C正确；原点 （0，0）也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误. 高中总复习·数学 目 录 2. （2025·新高考Ⅰ卷1题）（1＋5i）i的虚部为（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 6 √ 解析： 　因为（1＋5i）i＝i＋5i2＝－5＋i，所以其虚部为1.故选C. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知复数z＝m2－7m＋6＋（m2－36）i是纯虚数，则实数m的值为 （　　） A. ±6 B. 1或6 C. －6 D. 1 √ 解析： 　由题意可得m2－7m＋6＝0且m2－36≠0，则m＝1. 高中总复习·数学 目 录 4. 设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则｜x＋yi｜＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 √ 解析： 　因为（1＋i）x＝1＋yi，x，y∈R，所以x＋xi＝1＋yi，所以 解得 所以｜x＋yi｜＝ . 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 解决复数概念问题的两个注意事项 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 复数的四则运算 目 录 1. 复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）. （1）z1±z2＝（a＋bi）±（c＋di）＝ ⁠； （2）z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝ ⁠； （3） ＝ ＝ 　 　＝ 　 ＋ i　（c＋ di≠0）. （a±c）＋（b±d）i　 （ac－bd）＋（ad＋bc）i　 　 ＋ i　 高中总复习·数学 目 录 2. 复数加法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： （1）交换律：z1＋z2＝ ⁠； （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ ⁠. z2＋z1　 z1＋（z2＋z3）　 高中总复习·数学 目 录 3. 复数乘法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律： （1）交换律：z1z2＝ ⁠； （2）结合律：（z1z2）z3＝ ⁠； （3）乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝ ⁠. z2z1　 z1（z2z3）　 z1z2＋z1z3　 结论：（1）i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0， n∈N*； （2）（1±i）2＝±2i， ＝i， ＝－i. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2025·全国Ⅱ卷2题）已知z＝1＋i，则 ＝（　A　） A. －i B. i C. －1 D. 1 解析： ＝ ＝－i.故选A. A 高中总复习·数学 目 录 解析：由 ＝－i可得z＝－i，所以＝i，由z2 026＝（－i）2 026＝（－i）2 024·（－i）2＝i2 024·（－1）＝－1可得＋z2 026＝i－1.故选C. （2）已知z＝ ，则 ＋z2 026＝（　C　） A. －i B. 2i C. i－1 D. i＋1 C 高中总复习·数学 目 录 规律方法 复数代数形式运算的策略 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝ （　C　） A. －1－i B. －1＋i C. 1－i D. 1＋i 解析： 法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋ ＝1－ i.故选C. C 法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝ ＝ 1－i. 高中总复习·数学 目 录 解析： z＝ ＝ ＝ ＝ － i，所以 ＝ ＋ i，所 以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. （2）（2026·甘肃白银模拟）已知复数z＝ ，i为虚数单位， 是z的共轭复数，则 ＝ 　 ＋ i　　. ＋ i 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 复数的几何意义 目 录 1. 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b）. 2. 复数z＝a＋bi 平面向量 . 3. 复数z的方程在复平面上表示的图形 （1）a≤｜z｜≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆 环； （2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）为圆心，r为半径 的圆. 高中总复习·数学 目 录 4. 复数加减运算的几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角 形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义， 即 ＝ ＋ ， ＝ － . 提醒：复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点的坐标为（a， b），而不是（a，bi）. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·北京丰台模拟）在复平面内，复数z＝i（1－i）的共轭 复数 对应的点位于（　D　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 因为z＝i（1－i）＝1＋i，所以＝1－i，共轭复数对应的点坐标 为（1，－1），位于第四象限.故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·湖南长沙模拟）在复平面内，复数z1对应的点与复数z2＝ 对应的点关于实轴对称，则z1＝（　C　） A. 1＋i B. －1－i C. －1＋i D. 1－i 解析：由z2＝ ＝ ＝ ＝－1－i，所以z1＝－1＋i. 故选C. C 高中总复习·数学 目 录 规律方法 对复数几何意义的再理解 （1）复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即z＝a＋bi（a， b∈R）⇔Z（a，b）⇔ ； （2）由于｜z1－z2｜表示z1，z2在复平面内对应点Z1，Z2之间的距离，因 此可由此判断复数对应点的轨迹问题，并结合平面解析几何知识解决最值 问题. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）（2026·广东佛山模拟）复平面上A，B两点对应的复数分别是1 ＋3i，－2＋i，向量 对应的复数为z，则｜z｜＝（　　） A. 17 B. C. 13 D. √ 解析： 　由题意可得A（1，3），B（－2，1），则 ＝（－3， －2），所以z＝－3－2i，得｜z｜＝ ＝ .故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi（a，b∈R）， 且｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，试求｜z－3＋ i｜的最小值. 解：法一　由｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，得复数z在复平面内对应 的点Z到点（0，1）与点（－2，1）的距离相等， 则点Z在直线x＝－1上.｜z－3＋ i｜表示点Z与点（3，－ ）的距离， 过点（3，－ ）作直线x＝－1的垂线，垂足为P（图略）， 当点Z与点P重合时，｜z－3＋ i｜取得最小值4. 高中总复习·数学 目 录 法二　因为z＝a＋bi（a，b∈R），则z－i＝a＋（b－1）i，z＋2－i＝ （a＋2）＋（b－1）i， 由｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，可得 ＝ ， 解得a＝－1，则z＝－1＋bi， 所以z－3＋ i＝－4＋（b＋ ）i， 因此｜z－3＋ i｜＝ ≥4，当且仅当b＝－ 时，等号成立， 故｜z－3＋ i｜的最小值为4. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 考点四 复数集内一元二次方 程的解 目 录 实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若存在虚根，则两根必为共 轭复数. （1）（2026·湖南怀化模拟）若复数z是x2＋x＋1＝0的根，则｜z｜ ＝（　B　） A. B. 1 C. 2 D. 3 B 高中总复习·数学 目 录 解析： ∵x2＋x＋1＝0，∴由求根公式得x＝ ＝ ，即z＝ ，∴当z＝－ ＋ i时，｜z｜＝ ＝1；当z＝ － － i时，｜z｜＝ ＝1.综上，｜z｜＝1. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕已知关于x的方程x2＋tx＋1＝0（－2＜t＜2）的两复数根 为z1和z2，则（　ABC　） A. z1＝ B. z1·z2＝1 C. ｜z1｜＝｜z2｜ D. ＝ 解析：实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，所以A、C正确；由根与 系数的关系知B正确； ＝ ＝ ， D错误.故选A、B、C. ABC 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功 能没有变化，仍然适用. 2. 对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去 了，其他仍适用. 高中总复习·数学 目 录 练3 若关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根.求这个实根及相应 的实数k的值. 解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（ ＋kx0＋2）＋（2x0＋ k）i＝0. 由复数相等的条件得 ＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，解得 或 高中总复习·数学 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：80分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·四川成都诊断）已知复数z＝ （其中i为虚数单位），则z的 虚部是（　　） A. － B. － i C. D. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　z＝ ＝ ，所以z的虚部是－ . 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·甘肃白银模拟）已知a∈R，i是虚数单位，（a＋2i）（a－2i） ＝4，则a＝（　　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 3 √ 解析： 　（a＋2i）（a－2i）＝a2－4i2＝a2＋4＝4，解得a＝0.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 〔一题多解〕设复数z满足 ＝－i，则｜z｜＝（　　） A. i B. C. 1 D. √ 解析： 　因为 ＝－i，所以1＋z＝－i（1－z），z＝ . 法一 所以｜z｜＝ ＝ ＝1.故选C. 法二 因为z＝ ＝ ＝ ＝－i，所以｜z｜＝｜－i｜＝1. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·河北张家口模拟）已知复数z＝（2＋i）2i3，则z在复平面内对 应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 √ 解析： 　z＝（2＋i）2i3＝（3＋4i）（－i）＝4－3i，z在复平面内对应 的点的坐标为（4，－3），它位于第四象限.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·湖北武汉二模）已知复数z＝1＋i，则｜2i＋ ｜＝（　　） A. B. C. 3 D. 4 √ 解析： 　因为复数z＝1＋i，所以＝1－i，所以｜2i＋｜＝｜2i＋1－ i｜＝｜1＋i｜＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知实数a满足 ＝2－i，复数z＝2＋（a－1）i，则 （　　） A. z为纯虚数 B. 的虚部为－2 C. ｜z｜＝2 D. z· ＝－8 √ √ 解析： 　因为a＋i＝（2－i）（1＋i）＝2＋i＋1＝3＋i，所以a＝3，则 z＝2＋2i，A错误； ＝2－2i， 的虚部为－2，B正确；｜z｜＝ ＝ 2 ，C正确；z· ＝（2＋2i）（2－2i）＝8，D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 若复数6＋5i与－3＋4i分别对应向量 与 ，则向量 对应的复数 为 ⁠. 解析：因为复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量 与 ，所以表示向量 的复数为6＋5i－（－3＋4i）＝9＋i. 9＋i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·天津红桥模拟预测）已知i是虚数单位，若复数z＝ （m∈R）是实数，则m＝ ⁠. 解析：z＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，若复数z＝ （m∈R）是实数，则 ＝0，解得m＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·四川广安模拟）在复平面内，复数z的对应点坐标为（1，－ 2），则z2的共轭复数为 ⁠. 解析：∵复数z的对应点坐标为（1，－2），∴z＝1－2i，∴z2＝（1－ 2i）2＝1－4i＋4i2＝－3－4i，∴z2的共轭复数为－3＋4i. －3＋4i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. 已知i为虚数单位，复数z满足1≤｜z＋1＋i｜≤ ，则｜z－1－i｜ 的最大值为 ⁠. 解析：设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z＋1＋i｜＝｜ （x＋1）＋（y＋1）i｜，因为1≤｜z＋1＋i｜ ≤ ，所以1≤（x＋1）2＋（y＋1）2≤2，所以 （x，y）在如图所示的阴影上.因为｜z－1－i｜＝｜z －（1＋i）｜表示z在复平面内对应的点Z到点（1，1）的距离，而点（1，1）到点（－1，－1）的距离为2 ，大圆的半径为 ，所以｜z－1－i｜的最大值为3 . 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 〔一题多解〕已知1－2i是关于复数z的方程z2－mz＋n＝0（m， n∈R）的一个根，则m＋n＝（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 √ 解析： 　法一　将1－2i代入方程可得（1－2i）2－m（1－2i）＋n＝0， 整理得1＋4i2－4i－m＋2mi＋n＝0，即－3－m＋n＋（2m－4）i＝0，可 得 解得 所以m＋n＝7.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 法二　因为1－2i是z2－mz＋n＝0的一个根.所以1＋2i也是z2－mz＋n＝0 的根，所以m＝（1－2i）＋（1＋2i）＝2，n＝（1－2i）（1＋2i）＝5， 所以m＋n＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕〔一题多解〕已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，则下列说法正确的有（　　） A. 若z1－z2＜0，则z1＜z2 B. 若 ＋ ＝0，则｜z1｜＝｜z2｜ C. 若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则 · ＝0 D. 若 ⊥ ，则z1·z2＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，z1－z2＜0，如z1＝1＋i，z2＝2＋i，此时z1与z2无大小 关系，A错；对于B， ＋ ＝0，∴ ＝－ ，∴｜ ｜＝｜－ ｜，∴ ＝ ，∴｜z1｜＝｜z2｜，B对；对于C，法一　 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），｜z1＋z2｜＝｜z1－ z2｜，即 ＝ ，则ac＋ bd＝0， · ＝ac＋bd＝0.法二　由复数的几何意义知：∵｜z1＋ z2｜＝｜z1－z2｜，∴｜ ＋ ｜＝｜ － ｜，∵ 与 对 应矩形的相邻两边，∴ · ＝0，C对；对于D，设 ＝（1，1）， ＝（1，－1），此时 · ＝0但z1z2＝2≠0，D错.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 已知复数z满足1≤｜z－（1－i）｜≤2，则复数z在复平面内对应的 点Z所在区域的面积为 ⁠. 解析：令z＝a＋bi（a，b∈R），则1≤｜（a－1）＋（b＋1）i｜ ≤2，所以1≤（a－1）2＋（b＋1）2≤4，即对应的点Z所在区域的面积 是圆心为（1，－1），半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，所以所求 区域的面积为4π－π＝3π. 3π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （13分）设虚数z满足｜2z＋3｜＝ ｜ ＋2｜. （1）求证：｜z｜为定值； （1）证明：将z＝x＋yi（x，y∈R，y≠0）代入｜2z＋3｜＝ ｜ ＋ 2｜，得｜（2x＋3）＋2yi｜＝ ｜（x＋2）－yi｜， 即 ＝ · ， 整理得x2＋y2＝3，即｜z｜＝ ， ∴｜z｜为定值. 解：设z＝x＋yi（x，y∈R，y≠0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）是否存在实数k，使得 ＋ 为实数？若存在，求出k的值；若不存 在，说明理由. 解：假设存在实数k，使得 ＋ 为实数， 即 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ － ）i为实数， ∴ － ＝0，∵y≠0，∴k＝± ，故存在实数k，使得 ＋ 为实数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $