第一章 第5节 第一课时 二次函数及其性质 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“二次函数及其性质”核心考点，依据新课标要求梳理解析式（一般式、顶点式、零点式）、图象性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）及最值问题，通过高考真题改编题（如人教A版、北师大版改编）明确高频考点分布，归纳解析式求解、图象辨析、闭区间最值三大常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“考点突破+分类讨论+真题训练”策略，如例3通过对称轴与区间位置关系分三类求最值，培养数学思维的逻辑性，训练题涵盖单选、多选等高考题型，解析中强调韦达定理、配方法等技巧，帮助学生掌握答题方法，教师可据此系统开展复习，提升备考效率。

数学 高考总 复 习 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第5节　一元二次函数、方程和不等式 第一课时　二次函数及其性质 理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 课标要求 索引 内容索引 知识诊断自测 01 考点聚焦突破 02 03 课时对点精练 索引 3 知识诊断自测 01 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)= _______________________. (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为_______________. (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. ax2+bx+c(a≠0) (m,n) 索引 5 2.二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 ___ 值域 R 索引 6 对称轴 x=___ 顶点坐标 _____________________ 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 - 减 增 增 减 索引 7 常用结论与微点提醒 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 索引 8 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　　) (2)二次函数y=x2-x与y=2x2-2x零点相同,但解析式不同,故(2)错误. (3)当对称轴x=-∉[m,n]时,最值则不是,故(3)错误. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ × (2)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是.(　　) × 索引 9 2.(北师大必修一P34T1(2)改编)函数y=-3x2+12x-8的最大值为____________.  y=-3(x2-4x+4)+4 =-3(x-2)2+4≤4. 4 索引 10 3.(人教A必修一P100T4改编)若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为____________________.  (-∞,40]∪[160,+∞) 依题意知,≥20或≤5, 解得k≥160或k≤40. 索引 11 4.(人教B必修一P139T8改编)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为____________.  f(x)=x2-4x 由题意,可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0), 又图象过原点, 所以f(0)=4a-4=0,a=1, 所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x. 索引 12 考点聚焦突破 02 13 例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=__________.  -4x2+4x+7 法一(利用“一般式”) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 考点一　二次函数的解析式 所以所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 索引 法二(利用“顶点式”) 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1), 所以抛物线的对称轴为x==,所以m=. 又根据题意,函数有最大值8,所以n=8, 所以f(x)=a+8. 因为f(2)=-1, 所以a+8=-1,解得a=-4, 所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 索引 法三(利用“零点式”) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8, 即=8. 解得a=-4或a=0(舍). 故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 索引 感悟提升 求二次函数解析式的选择规律 索引 训练1 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x=2,且方程f(x)=0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为____________.  f(x)=x2-4x+3 依题意,设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0), 由二次函数f(x)的图象过点(0,3), 得f(0)=3, 所以4a+h=3,即h=3-4a, 所以f(x)=a(x-2)2+3-4a, 索引 令f(x)=0,即a(x-2)2+3-4a=0, 所以ax2-4ax+3=0, 设方程的两根为x1,x2, 则x1+x2=4,x1x2=, 所以+=(x1+x2)2-2x1x2=16-, 所以16-=10,解得a=1, 所以f(x)=x2-4x+3. 索引 例2 (1)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,a+b+c=0,则f(x)的图象可能是(　　) D 因为a>b>c,a+b+c=0, 故a+a+a>a+b+c=0即a>0, 而c+c+c<a+b+c=0,故c<0, B,C中图象开口向下,不符合a>0,而A中图象过原点,与c<0矛盾,故选D. 考点二　二次函数的图象 索引 (2)(多选)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则下列说法正确的是(　 　) ACD 由二次函数图象开口向下知a<0, 对称轴为x=-=1,即2a+b=0,故b>0. 又因为f(0)=c>0,所以abc<0. f(2)=f(0)=4a+2b+c>0,f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0. A.2a+b=0 B.4a+2b+c<0 C.9a+3b+c<0 D.abc<0 索引 感悟提升 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取“与x轴的交点”;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 索引 训练2 (多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b AD 因为图象与x轴交于两点, 所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确; 对称轴为x=-1, 即-=-1,2a-b=0,B错误; 索引 结合图象,当x=-1时,y>0, 即a-b+c>0,C错误; 由对称轴为x=-1知,b=2a. 根据抛物线开口向下,知a<0, 所以5a<2a,即5a<b,D正确. 索引 例3 已知二次函数g(x)=x2-2mx-1. (1)当m=1时,求g(x)在[-1,2]上的最大值; 考点三　二次函数的最值 当m=1时,g(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 故g(x)在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增, 又g(-1)=2,g(2)=-1,则g(-1)>g(2). 故g(x)在[-1,2]上的最大值为g(-1)=2. 索引 (2)求g(x)在区间[-1,2]上的最小值. g(x)=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1,x∈[-1,2], 当m≤-1时,g(x)在[-1,2]上单调递增, g(x)min=g(-1)=2m; 当-1<m<2时,g(x)min=g(m)=-m2-1; 当m≥2时,g(x)在[-1,2]上单调递减, g(x)min=g(2)=3-4m. 索引 感悟提升 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定和轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 索引 训练3 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=3x2-5x+2. (1)求f(x)的解析式; 因为f(x)-2f(-x)=3x2-5x+2,① 用-x替换x,得 f(-x)-2f(x)=3x2+5x+2,② 联立①②,解得f(x)=-3x2-x-2. 索引 (2)若g(x)=-f(x)-2x2+x在区间[a,a+1]内有最小值2,求实数a的值. 由题可得,g(x)=-f(x)-2x2+x=x2+2x+2, 对称轴为x=-1,则g(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增. 当a+1≤-1,即a≤-2时,g(x)min=g(a+1)=a2+4a+5=2, 解得a=-3或a=-1(舍); 当a<-1<a+1,即-2<a<-1时, g(x)min=g(-1)=1≠2,不合题意; 当a≥-1时,g(x)min=g(a)=a2+2a+2=2, 解得a=0或a=-2(舍). 综上,a=-3或a=0. 索引 课时对点精练 03 一、单选题 1.当1≤x≤2时,函数y=-x2-x+1的最大值和最小值分别是(　　) A.5,1 B.1,-5 C.-1,-5 D.5,-1 C 函数y=-x2-x+1=-+, 当1≤x≤2时,函数y=-x2-x+1的最大值和最小值分别是-1,-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 2.函数y=x2-2ax+3在(-∞,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.[-3,+∞) D.(-∞,-3] A 易知函数y=x2-2ax+3的单调递减区间是(-∞,a],故a≥3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 3.已知函数y=2x2+bx+c的两个零点分别为-2,1,则函数的解析式为(　　) A.y=2x2-2x-4 B.y=2x2+2x-4 C.y=2x2-2x+4 D.y=2x2+2x+4 B 依题意,x1=-2,x2=1是方程2x2+bx+c=0的两个根,代入可得 解得b=2,c=-4, 所以y=2x2+2x-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 4.某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车,每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时,未租出的汽车就会多4辆,租出的汽车每天需要维护费20元.当租赁公司的日收益最大时,每辆车的日租金为(　　) A.155 B.165 C.178 D.185 D 设每辆车的日租金为x元,租赁公司的日收益为W元,则每辆车的日收益为(x-20)元,租赁公司日出租车辆数为200-×4, 所以W=(x-20)=-x2+296x-5 600. 所以当x=-=185时,W取得最大值. 则每辆车的日租金为185元时,租赁公司的日收益最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 5.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax2+x+1和函数g(x)=ax+1的图象不可能是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 若a=0,则f(x)=x+1,g(x)=1,A可能; 若a<0,则f(x)的图象开口向下,过点(0,1),对称轴为x=->0, g(x)的图象过点(0,1)和, 且-<-,B可能; 若0<a<,则f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-<0,与x轴有两个交点,过点(0,1), g(x)的图象过点(0,1)和, 且->-,C不可能; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 若a>,则f(x)的图象开口向上,与x轴没有交点,过点(0,1), 对称轴为x=-<0, g(x)的图象过点(0,1)和, 且->-,D可能. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 6.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则m的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.[0,3] C.(-∞,2] D.[1,3] D 曲线y=x2-2x+3的对称轴为x=1, 当x=1时,ymin=2,当x=-1时,y=6, 又当x=3时,y=6, 结合图象可知m的取值范围是[1,3],故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 7.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则(　　) A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0 C 因为二次函数f(x)的对称轴为直线x=-,f(0)=a=f(-1)>0, 则函数f(x)的减区间为,增区间为, 所以f(x)的大致图象如图所示. 由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0, 所以f(m+1)>f(0)>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 8.已知函数f(x)=x2+2x+1,则以下结论一定正确的是(　　 ) A.f(-1)=0 B.f(x)的最小值为1 C.f(x)的顶点坐标为(-1,0) D.f(x)的图象关于直线x=-1对称 ACD 因为f(x)=x2+2x+1=(x+1)2, 所以对称轴x=-1,f(-1)=0, 所以顶点坐标为(-1,0),f(x)的最小值为0, 所以ACD正确,B错误. 二、多选题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 9.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴是直线x=-1,且过点(-3,0),下列说法正确的是(　　 ) A.abc<0 B.2a-b=0 C.3a+c=0 D.若(-5,y1),(3,y2) 为抛物线上两点,则y1>y2 ABC 由图知该抛物线开口向上,故a>0, ∵对称轴是直线x=-1,∴-=-1, 故b=2a>0,即2a-b=0,故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方, ∴c<0,故A正确; 由抛物线对称性得该函数图象必过点(1,0),可得a+b+c=0,结合b=2a, 可得3a+c=0,故C正确; 易知点(-5,y1),(3,y2)到对称轴距离相等,故y1=y2,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 10.已知二次函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=2x2-2,则函数f(x)的解析式为___________________.  f(x)=x2-2x-1 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为f(x+2)+f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c+ax2+bx+c =2ax2+(4a+2b)x+4a+2b+2c=2x2-2, 三、填空题 所以f(x)=x2-2x-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 11.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是________.  [-2,0] 当0≤x≤1时,φ(x)=x2-mx+m, 此时φ(x)单调递增,则≤0,即m≤0; 当x>1时,φ(x)=x2+mx-m, 此时φ(x)单调递增,则-≤1,则m≥-2. 综上,实数m的取值范围是[-2,0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 12. (2026·徐州质检)函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是____________.  [2,4] 解方程f(x)=x2-4x+2=2,解得x=0或x=4, 解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2, 由于f(x)在[a,b]上的值域为[-2,2]. 若f(x)在[a,b]上单调, 则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4], 此时b-a取得最小值2; 若f(x)在[a,b]上不单调,且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4], 所以b-a的最大值为4.所以b-a的取值范围是[2,4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 13.已知函数f(x)=x2-ax+4. (1)当a=3时,求f(x)在区间[1,3]上的值域; 四、解答题 当a=3时,f(x)=x2-3x+4=+, 则f(x)在上单调递减,在上单调递增, ∴f(x)min=f=,f(x)max=f(3)=4, ∴f(x)在区间[1,3]上的值域为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 (2)若f(x)在区间[0,2]上的最大值为4,求a的取值范围. ∵f(x)=x2-ax+4,x∈[0,2],开口向上, 则f(x)的最大值为f(0)和f(2)两个中的较大者, 而f(0)=4,要使f(x)在区间[0,2]上的最大值为4,则f(2)≤4, ∴4-2a+4≤4,∴a≥2,故a的取值范围为[2,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其两零点分别为0,4,且当-1≤x≤4时,最大值为10. (1)求函数的解析式; 由题意知,方程ax2+bx+c=0有两实数根分别为0,4, 所以0+4=-,0×4==0, 所以c=0,b=-4a,所以二次函数为y=ax2-4ax,对称轴为x=-=2, 当a>0时,当x=-1时,最大值为10=a+4a=5a,所以a=2, 所以当a>0时,函数解析式为y=2x2-8x, 当a<0时,当x=2时,最大值为10=4a-8a=-4a,所以a=-, 所以当a<0时,函数解析式为y=-x2+10x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 (2)设a>0,当t≤x≤t+1时,求函数的最小值. 当a>0时,函数的解析式为y=2x2-8x,开口向上,对称轴为x=2, 当t≤1时,x∈[t,t+1]时,函数单调递减, 当x=t+1时,ymin=2t2-4t-6; 当1<t≤2时,x∈[t,2]时,函数单调递减,x∈(2,t+1]时,函数单调递增, 当x=2时,ymin=-8; 当t>2时,x∈[t,t+1]时,函数单调递增,当x=t时,ymin=2t2-8t. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 本课结束 由题意得 综上,g(x)min= 所以 综上所述,ymin= $