吉林长春市实验中学2026届高三下学期数学冲刺训练6

长春市实验中学2026届高考数学冲刺训练（6） 一、单选题 1．若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的离心率为（     ） A．3 B． C．2 D． 2．已知，则“，”是“的图像关于点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．定义在上的奇函数满足，.当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．过点 且与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （    ） A． B． C． D． 5．若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好 是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 二、多选题 7．成对数据和的一元线性回归模型为，依据模型可建立经验回归方程，用回归方程可得到响应变量的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果．对下列四幅残差图的描述正确的是（    ） A．图甲显示残差的方差随观测时间变大而变大 B．图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设 C．图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分 D．图丁说明残差与观测时间有线性相关性，故满足一元线性回归模型对随机误差的假设 8．记的内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 10．抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，为上一点，若，则__________． 四、解答题 11．已知两个数列与，满足，且 (1)求证：是等差数列. (2)记，求数列的前项和 12．如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 团结 勤奋 求实 创新 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 6参考答案 1．A 【详解】，解得，故A 正确，故选：A. 2．A 【详解】解：，令，即，，即的对称中心，， ，”是“的图象关于点对称的”充分不必要条件，故选：A 3．D 【详解】由，得，即， 因为为奇函数，所以，所以，所以 所以的周期，所以. 因为为上的奇函数，所以，因为当时，，所以， 由，当时， 所以.故选：D. 4．【答案】D 【详解】圆的方程化简为，即圆心坐标，半径，点距离圆心距离， 因此，，所以. 5．B 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示，由图可知，.故选：B 6．D 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确.故选：D 7．ABC 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，由图可知残差的方差随观测时间变大而变大，故A正确； 对于B选项，残差比较均匀地分布在水平带状区域内，满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故B正确； 对于C选项，由图知残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分，故C正确； 对于D选项，由图知残差与有线性关系，不符合题意，故D错误. 8．BCD 【详解】对于A，因为，，所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得，所以，，所以或， 若，则，所以，此时，，则，此时，所以B正确， 对于C，由选项B可知，所以，所以，所以C正确， 对于D，由正弦定理得 ， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以，所以D正确.故选：BCD 9． 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为，当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则，两式相除得，即， 则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为，所以， ， 所以，则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为，因为， 又，所以，所以，所以该等比数列公比为.故答案为：. 10． 【答案】 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 因此准线与轴交点，可得，由题意. 设，在抛物线上满足，又， 因此代入整理得，解得正根（抛物线横坐标非负）. 在中，由抛物线焦半径性质得，代入得， 根据余弦定理代入得. 11．【详解】（1）由知. 则，，所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，， ， 相减得：， ，得. 12．【详解】（1）由题意证明如下，在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面，∴，， ∵平面，平面，，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上，则， 在平面中，∴，∴线段中点坐标， 直线的斜率：，直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：，即， 当时，，解得：，∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：，∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $