吉林长春市实验中学2026届高三下学期数学冲刺训练3

长春市实验中学2026届高考数学冲刺训练（3） 一、单选题 1．已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 2．边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 3．正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．从1，2，3，4，5，6，7这 7 个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件 ： “第一次抽到的数字是奇数”，事件 ： “第二次抽到的数字是偶数”，则 （    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 7．已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为 C．的极小值为 D．方程有两个不同的解 8．已知数列满足：，则（   ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．设数列满足，则既有最大项，又有最小项 三、填空题 9．展开式中第4项的系数为______． 10．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___________． 四、解答题 11．已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 12．记的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求角； (2)若，，求的长. 团结 勤奋 求实 创新 团结 勤奋 求实 创新 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月15日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A B D AB ACD 1．B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 2．A 【分析】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得. 【详解】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A.    3．D 【分析】以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】在正三棱柱中， 以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，   ，不妨取 则， ， 设异面直线与所成角为， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 4．A 【分析】利用古典概率求出事件,的概率，再用条件概率公式计算即可. 【详解】：第一次抽到奇数的概率，总共有7个数字，奇数4个，故. :第一次抽到奇数且第二次抽到偶数的概率，分步计算：第一次抽奇数有4种选择，第二次抽偶数有3种选择，总情况数为，故. 根据条件概率公式代入得：. 故选：A. 5．B 【分析】分别解对应的不等式，再根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为函数，所以由得； 由得，所以，所以． 因为，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及对数不等式的解法，属于基础题型. 6．D 【分析】根据焦点三角形，利用双曲线的性质、余弦定理、向量的相关知识得出和之间的关系，从而求出双曲线的离心率. 【详解】不妨设，记，，，由，得， 在中，由余弦定理，得，两式相减，得， 因为为的中点，所以， 所以，又，所以， 所以，又，所以，解得， 所以. 故选：D 7．AB 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解；对于C，求导后求极值；对于D，函数与的交点个数判断. 【详解】对于A，由，得， 所以， ，所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，由，得，解得， 所以的单调递减区间为，故B正确； 对于C，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，故C错误； 对于D，由C选项可知的最大值为， 当时，，当时，，    所以函数与的图像的交点个数为1，即有1个解，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用导数分析得的图像，从而得解. 8．ACD 【详解】当时，； 当时， . 当时，上式亦成立，所以，故A正确； 对B：的前n项和为，故B错误； 对C：， 所以的前100项和为： ，故C正确； 对D：， 当时，，并且单调递减，； 当时，，并且单调递减，. 所以最小，最大，故D正确. 9． 【分析】先由偶函数定义得到时解析式，求出切点坐标，再求导得到切线的斜率，由点斜式求出切线方程. 【详解】任取，则，，又为偶函数，， 所以， 所以，所以切点坐标为， 又，所以， 即切线的斜率，所以切线的点斜式方程为， 整理得， 故答案为：. 10． 【分析】由二项展开式的通项公式求解. 【详解】由展开式的通项公式可得， ， 所以展开式中第4项的系数为． 故答案为：. 11．(1)极小值为1，无极大值 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值与导数的关系，即可求得答案； （2）先判断出，即可将方程有两个不等实根，转化为与有2个交点的问题，结合函数的导数判断函数单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为R，， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为，无极大值． （2）方程，当时，显然方程不成立， 所以，则，方程有两个不等实根， 即与的图象有2个交点， ，当或时，， 在区间和上单调递减，且时，， 当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得极小值也即最小值，， 所以与有2个交点时，， 故a的取值范围为． 12．(1) (2) 【分析】（1）将边化为角后，可用表示出、，再利用余弦定理的推论计算即可得； （2）由可得，利用正弦定理与同角三角函数基本关系计算可得，再计算出后利用余弦定理计算即可得解. 【详解】（1）由，则，故， 则，故， 则， 又，则； （2）因为，由（1）可有，故， 由正弦定理，由（1）知， 则， 又，故， 由，则， 在中，有， 即.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $