精品解析：河北辛集中学2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试题

河北辛集中学2025-2026学年度第二学期期中 高二数学试题 命题教师：孙立坦 校对教师：赵艳 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. C. 5 D. 3. 为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ） A. B. C. D. 6. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 7. 已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（ ） A. 80个 B. 86个 C. 116个 D. 136个 8. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四个命题中，说法正确的是（ ） A. 在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好 B. 若经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位 C. 残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高 D. 成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1 10. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项正确的是（ ） A. 在第9条斜线上，各数之和为55 B. 在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小 C. 在第条斜线上，共有个数 D. 在第11条斜线上，最大的数是 11. 有个编号分别为1，2，3，…，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 13. 已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项． 14. 把分别写有1、2、3、4、5、6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面是的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 17. 平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 违章驾驶员人数 （Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程； （Ⅱ）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数． 参考公式：，． 18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 年龄 次数 每周0～2次 70 55 36 59 每周3～4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率． 参考公式：． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. （1）求两粒子进入室都为上旋状态的概率； （2）若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2025-2026学年度第二学期期中 高二数学试题 命题教师：孙立坦 校对教师：赵艳 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为， 由正态分布关于均值对称可得，解得. 故选：. 2. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到的通项公式，从而得到，从而得到展开式的系数. 【详解】的通项公式为， 当时，， 当时，， 故展开式中的系数为. 故选：D 3. 为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，令时，求得，结合残差的概念，即可求得样本点的残差，得到答案. 【详解】由关于的回归方程为，且样本点， 当时，可得，所以残差为. 故选：A. 4. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 5. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 6. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 7. 已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（ ） A. 80个 B. 86个 C. 116个 D. 136个 【答案】C 【解析】 【分析】由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论：从平面内取3个点不共线，平面内取1个点，从平面内取2个点，平面内取2个点，从平面内取1个点，平面内取3个点，结合数的计算公式和分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论： 从平面内取3个点不共线，平面内取1个点共有种情况； 从平面内取2个点，平面内取2个点共有种情况； 从平面内取1个点，平面内取3个点共有种情况， 所以从这9个点为顶点的三棱锥最多有个三棱锥. 故选：C. 8. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四个命题中，说法正确的是（ ） A. 在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好 B. 若经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位 C. 残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高 D. 成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据决定系数以及相关系数的定义可判断AD，根据残差的定义可判断C，根据回归方程的计算可判断B. 【详解】对于A，决定系数越接近1，则拟合效果越好，由于，所以的拟合效果好，故A正确， 对于B，经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位时，，故响应变量增加0.8个单位，故B错误， 对于C，残差带状图区域越窄，模型拟合的精度越高，故C正确， 对于D，成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1，故D错误， 故选：AC 10. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项正确的是（ ） A. 在第9条斜线上，各数之和为55 B. 在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小 C. 在第条斜线上，共有个数 D. 在第11条斜线上，最大的数是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的杨辉三角数据特征，逐项分析计算、判断作答. 【详解】对于A，因从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，…，从第3项起，每一项是其相邻前两项的和， 则第8条斜线上各数之和为，因此，第9条斜线上各数之和为，A不正确； 对于B，由定义及图中规律知，在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小，B正确； 对于C，从上往下每条斜线上的数据个数为1，1，2，2，3，3，4，4，…，均满足， 所以在第条斜线上，共有个数，C正确； 对于D，在第11条斜线上，最大的数是，D正确. 故选：BCD 11. 有个编号分别为1，2，3，…，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式即可判断AC，由条件概率的公式即可判断B，由与的关系，即可得到，从而判断D. 【详解】由题意，从1号盒子取球有两种情况：取出的球是白球和取出的球是黑球， 若从1号盒子取出的球是白球，概率为， 此时2号盒子中有2个白球和1个黑球，则从2号盒子取出的球是白球，概率为， 即，依此类推， 若从1号盒子取出的球是黑球，概率为， 此时2号盒子中有1个白球和2个黑球，则从2号盒子取出的球是白球，概率为， 即，依此类推， 由全概率公式 ， 所以A错误； 因为，则，所以B正确； 由全概率公式，时， ， 所以， ，所以C正确； 由，则， 因为，， 所以，即， 则，当时，， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据两点分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，. . 13. 已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项． 【答案】6 【解析】 【分析】先应用赋值法求出，再应用通项公式计算求解即可. 【详解】令，得，则或（舍去）． ∴的展开式的通项为． 当时，为有理项，故有理项共有6项． 故答案为：6. 14. 把分别写有1、2、3、4、5、6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为_______. 【答案】60 【解析】 【详解】把卡片按数字顺序排成一列：，每个人拿到的若超过一张，必须是连号，说明每个人拿到的卡片在这列中必须形成一个连续段。 所以问题等价于：把 1∼6 分成 3 个非空连续段，再把这 3 段分给甲、乙、丙。 先把 6 张卡片切成 3 个非空连续段。 在 1,2,3,4,5,6 之间有 5 个空隙： 从这 5 个空隙中选 2 个作为分段点：种, 得到的 3 段可以分别分给甲、乙、丙，三个人有：种安排. 因此不同分法共有：种 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，建立方程，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以所求切线方程为； 【小问2详解】 因为，所以， 设过原点的切线切于点， 则切线方程为：，又其过原点， 所以，所以， 所以切线l的方程为，即为． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面是的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 因为是正三角形，是的中点，所以， 因为侧面底面，，侧面底面， 所以侧面， 平面，所以， 又，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点垂直于平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 易得，平面的一个法向量， 设平面的法向量， 则，令，则，， 则， 设二面角的大小为， 则， 则， 所以二面角的正弦值为. 17. 平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 违章驾驶员人数 （Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程； （Ⅱ）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数． 参考公式：，． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人. 【解析】 【分析】（Ⅰ）计算出和，然后根据公式，求出和，得到回归直线方程；（Ⅱ）根据回归直线方程，代入 【详解】解：（Ⅰ）由表中数据，计算；， ， ， 所以与之间的回归直线方程为； （Ⅱ）时，， 预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人． 【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程，根据回归方程进行预测，属于简单题. 18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 年龄 次数 每周0～2次 70 55 36 59 每周3～4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率． 参考公式：． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关； （2） 0 1 2 . （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的列联表，求得卡方值，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）根据题意，结合全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列：： 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件，则， ， 则， 所以小明星期天选择跑步的概率为. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 19. 如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. （1）求两粒子进入室都为上旋状态的概率； （2）若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 【答案】（1） （2）①分布列见详解，期望，方差； ② 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案； （2）①根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望和方差； ②根据二项式定理即可求得最大项. 【小问1详解】 设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”， 则，， 则. 【小问2详解】 ①返回室的粒子个数的可能性为，，，， 服从二项分布： ，， ，， ， 所以期望，方差； ②的可能取值为，此时， 个粒子返回室的概率为， 则， 所以， 当时，取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $