指数与对数的运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与对数的运算”核心考点，依据高考评价体系梳理了指数幂化简、对数运算及实际应用三大考查方向，通过教材习题改编与高考真题分析，明确指数幂运算占45%、对数恒等变形占40%的高频考点分布，归纳出选择、填空及解答题的常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+思维路径+素养提升”的备考设计，如以2024全国甲卷对数方程题为例，拆解“指对互化、统一底数”的解题步骤，培养学生的运算能力与逻辑思维。特设“解题模板库”和“易错警示”，通过母题变式训练，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准规划复习，助力高效备考。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第6节　指数与对数的运算 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第6节　指数与对数的运算 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 两个高考关键点 关键点1 指数幂的运算与化简 1.(人教A版必修第一册教材习题改编)化简(x<0,y<0)得(　　) [命题点❶] A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y D 解析:因为x<0,y<0,所以=|2x2y|=-2x2y. 返回目录 2.(人教A版必修第一册教材习题改编)已知5m=10,5n=2,则=(　　) [命题点❷] A.2 B.3 C.20 D.5 D 解析:=5 返回目录 3.(苏教版必修第一册教材习题改编)已知=3,则a+a-1=　　　　　; a2+a-2=　　　　　.[命题点❸] 7 47 解析:由=3,两边平方得a+a-1+2=9,即a+a-1=7,同理,a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47. 返回目录 关键点2 对数的运算与恒等变形 4.(人教A版必修第一册教材习题改编)下列各式正确的是(　　)[命题点❹] A.log3(27×92)=5 B.lg 5+lg 2=1 C.ln 3+ln=1 D.log35-log315= B 解析:对于A,log3(27×92)=log3(33×34)=7log33=7,故A错误;对于B,lg 5+ lg 2=lg 10=1,故B正确;对于C,ln 3+ln=ln 1=0,故C错误;对于D,log35-log315=log3=-1,故D错误. 返回目录 5.(人教A版必修第一册教材习题改编)设lg 2=a,lg 3=b,则log1210=(　　) [命题点❹] A. B. C.2a+b D.2b+a A 解析:log1210= 返回目录 6.(人教A版必修第一册教材习题改编)若xlog34=1,则4x+4-x=(　　) [命题点❹] A.1 B.2 C. D. D 解析:∵xlog34=1,∴x=log43,∴4x=3,∴4x+4-x=3+故选D. 返回目录 7.(人教A版必修第一册教材习题改编)若log35·log2527=a,则a=　　　　　.[命题点❺] 解析:log35·log2527=log35·lo33=log35·log53=,所以a= 返回目录 回归教材•考教衔接 1.根式的概念及性质[❶] (1)概念:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0,记作=0. ③()n=a(n∈N*,且n>1). ④=a(n为大于1的奇数). ⑤=|a|=(n为大于1的偶数). 返回目录 2.分数指数幂[❷] 规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 3.有理指数幂的运算性质[❸] aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 4.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 返回目录 5.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①=N;②logaab=b(a>0,且a≠1). (2)对数的运算性质[❹] 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R). (3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).[❺] 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　指数幂的化简与求值 命题视角:聚焦分数指数幂与根式的互化、运算性质的灵活运用及综合化简求值. 例1 化简:(1)÷(1-2)×; 解:原式==a. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(0.008 1-[3×()0]-1×[81-0.25+(3-10×0.02. 解:原式=[()4]-(3×1)-1×[3-1+-10×[(0.3)3-10×0.3=-3=0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (1)已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)=　　　　　.  7 解析:由f(a)=3得2a+2-a=3,所以(2a+2-a)2=9,即22a+2-2a+2=9.所以22a+2-2a=7,故f(2a)=22a+2-2a=7. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)化简与求值: ①(-(2)0.5+(0.027; ②(a>0,b>0). 解:①原式=(-()0.5+(0.3+0.09=-0.16. ②原式=÷(÷(÷(÷(ab)= 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 1.指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数幂的形式,也不能既有分母又含有负指数. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　对数式的化简与求值 命题视角:综合考查对数的运算性质、换底公式、指对互化及恒等变形能力. 例2 (1)已知2m=9n=6,则的值等于(　　) A. B.3 C.1 D.2 C 解析:因为2m=9n=6,则m=log26,n=log96,所以=log62,=log69,因此=log62+log69=log6(2)=1,故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　) A.25 B.5 C. D. C 解析:由2a=5两边取以2为底的对数,得a=log25.又b=log83=log23,所以a-3b=log25-log23=log2=2log4=log4,所以4a-3b=,故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (3)(2024·全国甲,15)已知a>1且=-,则a=　　　　　.  64 解析:由log2a=-,得(log2a)2-5log2a-6=0,即(log2a+1)(log2a-6)=0,又a>1,则log2a+1>0,所以log2a=6,则a=64. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (1)计算:①log225·log3(2)·log59=　　　　　;  ②(+eln 3+lo-log34·log23=　　　　　.  6 解析:①log225·log3(2)·log59=log252·log3log532=6log25·log32·log53=6. ②原式=(+3-log2-2log32·log23=+3--2=3. 3 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2026·重庆阶段练习)已知log45=a,log252=b,则ab=　　　　　.  解析:因为log45=a,log252=b,可得a=log25,b=log52,所以ab=log25log52 =log25 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 灵活运用指对互化与换底公式,统一底数是简化计算、实现目标转化的关键. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　指数、对数运算的实际应用 命题视角:聚焦增长、衰减模型的实际情境,通过建模、列方程、求参数来考查运算能力. 例3 (2025·北京,9)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　) A.2 B.4 C.20 D.40 B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由题意,得klog2(1.024×109)-klog2106=20,即klog2=20, ∴klog21 024=20,∴10k=20,解得k=2,即T=2log2N. ∴2log2(4.096×109)-2log2(1.024×109)=2log24=4.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (2026·北京顺义开学考试)古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时,其体内的碳14含量会保持在一定的水平,设为N0.当生物体死亡后,碳14会发生衰变,且碳14含量N(t)随时间t(单位:年)的变化规律满足N(t)=N0e-λt,其中λ是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5 730年,即每经过5 730年,碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石,经测量该古生物化石碳14含量为N0.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间(单位:年)的大致范围是(　　)(参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10) A.(9 800,10 000) B.(12 800,13 000) C.(13 800,14 000) D.(14 800,15 000) D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:依题意,N(5 730)=N0e-5 730λ=N0,得N0e-5 730λ=,两边同时取对数得, -5 730λ=-ln 2,解得λ=,则N(t)=N0,令N(t)=N0,得,两边同时取对数得,-t=-ln 6,所以t= 5 730+14 864.78∈(14 800,15 000).故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 指数与对数运算实际应用的解题策略 (1)理解题意、弄清题目条件与所求之间的关系; (2)理解问题中各量的含义及其关系式中各字母的含义,明确已知和未知; (3)根据已知条件代入求解,如果所求变量在幂的指数位置上,则要借助对数进行求解. 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:强调实际应用情境,将运算嵌入人口、金融、科技等真实情境进行考查. 1.记河流水质为d=,并且d越大,河流水质越好.若S不变,且d1=2.1,d2=2.2,则n1与n2的关系为(　　) A.n1<n2 B.n1>n2 C.若S<1,则n1<n2;若S>1,则n1>n2 D.若S<1,则n1>n2;若S>1,则n1<n2 C 返回目录 解析:∵d1==2.1,d2==2.2,若S<1,则n1,n2∈(0,1)且n1<n2;若S>1,则n1,n2∈(1,+∞),且n1>n2.故选C. 返回目录 命题趋势2:注重综合与创新,与其他知识点(如函数、不等式)结合,设计新颖的运算与变形路径. 2.(2026·河北衡水开学考试)已知正数a,b满足=3,则3a+2b的最小值为(　　) A.9 B.12 C.18 D.24 D 解析:=3,所以=1,因为a,b为正数,所以3a+2b=(3a+2b)()=12+12+2=24,当且仅当,即a=4,b=6时,等号成立,所以3a+2b的最小值为24.故选D. 返回目录 3.(2026·广东江门阶段练习)设f(x)=则f(f(2))=　 　　.  2 解析:由题可知,f(2)=log2(22-1)=log23,因为log23<2,所以f(f(2))=f(log23)=2=2 返回目录 模块内融合:常作为工具,用于求解函数的定义域、解析式及分析指数函数的性质. 4.已知指数函数f(x)的图象经过点(2,4),若f(m)-f(2n)=,则m-n的最小值为　　　　　.  解析:设f(x)=ax(a>0且a≠1),将(2,4)代入f(x)=ax,得a=2,所以f(x)=2x,从而2m-22n=,即2m=22n+, 所以2m-n==2n+2,当且仅当2n=,即n=时取等号,所以m-n,故m-n的最小值为 返回目录 模块外融合:作为解决实际问题的数学模型,在物理、化学、生物等学科的衰变、增长、pH计算等问题中作为核心计算工具. 5.(2026·北京开学考试)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%,当血氧饱和度低于90%时,需要吸氧治疗,在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位:时)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数.已知S0=60%,给氧1小时后,血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,则至少还需要给氧时间(单位:时)为(　　) (精确到0.1,参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10) A.0.5 B.0.7 C.0.9 D.1.1 A 返回目录 解析:设使得血氧饱和度达到90%,给氧时间至少还需要t-1小时,由题意可得80%=60%eK,90%=60%eKt,得到8=6eK,9=6eKt,则K=ln 8-ln 6= 3ln 2-ln 2-ln 3=2ln 2-ln 3,Kt=ln 9-ln 6=2ln 3-ln 2-ln 3=ln 3-ln 2,则t=1.5,则给氧时间至少还需要1.5-1=0.5小时.故选A. 返回目录 $