8.2+特殊的平行四边形（5）正方形的性质与判定 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第8章 四边形 8.2 特殊的平行四边形 第5课时 正方形 新课导入 在下面的图片中，我们可以找到熟悉的正方形. 情景引入 新课讲解 1、正方形的定义： 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形(square). 2、尝试：正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系？在图中的括号中分别填入恰当的条件. 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等且有一个角是直角 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形． A B C D 正方形ABCD ∵AB＝BC＝CD＝DA， ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 数学概念 还有其他的方法判定正方形吗？你能尝试证明这些判定方法吗？ 数学建构 新课讲解 3、于是，我们得到正方形的判定定理： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)有一个角是直角的菱形是正方形. 如图，在矩形ABCD中， 如果AB=BC， 那么矩形ABCD是正方形. A B C D 如图，在菱形ABCD中， 如果∠ABC=90°， 那么菱形ABCD是正方形. A B C D 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. A B C D 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形，且AB= BC，∴四边形ABCD是正方形. 归纳总结 定理2：有一个角是直角的菱形是正方形. A B C D 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形，且∠A= 90°，∴四边形ABCD是正方形. 归纳总结 新课讲解 4、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图所示:   正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 已知：四边形ABCD是矩形，且AB＝BC． 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC． 又∵AB＝BC， ∴AB＝BC＝CD＝AD． ∵AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° ∴四边形ABCD是正方形． 数学建构 A B C D A B C D 已知：四边形ABCD是菱形，且∠A＝90°． 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BC． ∵AB∥CD，∠A＝90°， ∴∠D＝180°－∠A＝90°． 同理可证∠B＝∠C＝90°． ∵AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 数学建构 新课讲解 3、于是，我们得到正方形的性质定理： (1)正方形的四条边相等，四个角都是直角； (2)正方形的对角线相等且互相垂直平分. 如图，如果四边形ABCD是正方形， 那么AB=BC=CD=DA. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD A B C D 尝试练习 6、尝试练习（书本第83页练习）： 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√” 性质 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等         四边相等         四个角都是直角         对角线互相平分         对角线互相垂直         对角线相等         是中心对称图形         是轴对称图形       √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 正方形的性质 边---- 角---- 对角线---- 对边平行，四边相等 四个角都是直角 相等、垂直且互相平分， 每一条对角线平分一组对角 A B C D O 既是中心对称图形， 又是轴对称图形． 对称性---- 归纳总结 正方形的判定定理 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形． A B C D 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形． 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，且∠A＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 数学知识 　　你能用更为直观的方法描述平行四边形、矩形、菱形以及正方形之间的关系吗？ 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等且有一个角是直角 （　　　　　　　　　　　　　　　） （　　　　　　　　　　　　　　） （　　　　　　　） （　　　　　　　） 平行 四边形 矩形 菱形 一般 四边形 正方形 四条边相等，四个角都是直角 数学建构 例1 (教材典例) 如图，在正方形ABCD中,点A',B',C',D'分别在边AB,BC,CD,DA上,并且AA'=BB'=CC'=DD'..连接A'B',B'C',C'D',D'A'. 求证：四边形A'B'C'D'是正方形． 分析： 由已知可证 △AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'， 得四边形A'B'C'D'是菱形， 再证有一个角是直角即可. 例题讲解 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA(正方形的性质定理). ∵AA'=BB'=CC'=DD'， ∴D'A=A'B=B'C=C'D. ∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'（SAS）, ∴D'A'=A'B'=B'C'=C'D'. ∴四边形A'B'C'D'是菱形， 由△AA'D'≌△BB'A',可得∠AD'A'=∠BA'B'. ∵∠A=90°,∴∠AA'D'+∠AD'A'=90°. ∴∠AA'D'+∠BA'B'=90°. ∴∠D'A'B'=90°. ∴四边形A'B'C'D'是正方形(正方形的判定定理). . 补讲例题 （2024秋•化州市期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形；   例1 ● 例题 证明 图　形 边 角 对角线 对称性 平行四边形         矩形         菱形         正方形         结合正方形与矩形、菱形的关系，请你从“边、角、对角线、对称性”四个方面，梳理正方形的性质，填写下表： 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 四边相等 对角相等 四个角都是直角 对角相等 互相平分 互相平分且相等 互相平分且垂直 中心对称 中心对称 轴对称 中心对称 轴对称 中心对称 轴对称 互相平分 相等且垂直 四个角都是直角 对边平行 四边相等 数学建构 正方形的性质定理 性质定理1：正方形的四条边相等，四个角都是直角． A B C D O 性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分． 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， 　∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD． 数学知识 课堂小结 正方形的定义： 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形. 正方形的判定： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)有一个角是直角的菱形是正方形. 正方形的性质： (1)正方形的四条边相等，四个角都是直角； (2)正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形的性质 四条边都相等 两组对边分别平行 两条对角线互相平分 边 对角线 角 两组对角分别相等，邻角分别互补 四个角都是直角 两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角 对角线相等 正方形 课堂小结 此图形象的说明了正方形的性质实际上一般平行四边形性质+矩形特性+菱形特性组合而成 谢谢大家 $