压轴04 动量定理与动量守恒定律（压轴题专练）（北京专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴04 动量定理与动量守恒定律 命题预测 动量定理与动量守恒是北京高考物理核心压轴必考模块，常以计算题压轴、选择题压轴、实验综合呈现，命题聚焦多过程动量变化、系统动量守恒、临界极值、碰撞/爆炸/反冲、电磁动量、实际科技情境六大方向。近5年北京卷显著强化多物体系统、板块＋弹簧＋碰撞复合、电磁场动量、航天与碰撞装备、流体动量等高阶情境，强调冲量是动量变化的量度、系统动量守恒的条件与矢量性，突出系统性、矢量性、瞬时性、关联性。 预计2026年北京三模与高考仍以多过程动量定理综合、系统动量守恒与临界约束、碰撞模型规律、电磁流体动量、实际装置动量建模为核心，侧重多对象、多过程、多约束、多运动形式的综合分析，区分度极高，是高分必破专题。 高频考法 1. 冲量与动量的矢量计算、变力冲量的图像法求解 2. 动量定理的多过程、多对象、曲线运动综合应用 3. 动量守恒定律的条件判断、系统选取与矢量式书写 4. 弹性碰撞、完全非弹性碰撞、一般非弹性碰撞的规律与拓展 5. 板块＋弹簧＋碰撞＋圆周复合过程的动量与能量综合 6. 约束条件下动量临界问题（共速、分离、不脱离、最大势能） 7. 流体动量、连续介质作用模型（风、水流、粒子流） 8. 实际科技情境（航天反冲、电磁弹射、碰撞缓冲、火箭发射）动量建模 知识·技法·思维 考向01 冲量与动量（矢量运算、变力冲量） 1. 核心概念： · 动量：，矢量，方向与速度同向。 · 冲量：（恒力），矢量，方向与力同向。 2. 变力冲量求解： · 图像法：F-t图像面积表示冲量。 · 等效法：由动量定理求解变力冲量。 3. 矢量运算规则： · 一维：规定正方向，用正负表示方向，代数运算。 · 二维：正交分解，分方向列动量与冲量方程。 考向02 动量定理的多过程、多对象、曲线运动综合 1. 核心表达式： · · 合冲量等于动量变化，与路径无关，只看初末动量。 2. 适用场景： · 多阶段运动：加速、碰撞、圆周、反弹。 · 变力作用：弹力、摩擦力、冲击力、安培力。 · 曲线运动：平抛、圆周、斜抛、轨迹复杂运动。 · 多对象整体：系统合冲量等于系统总动量变化。 3. 解题思路： · 确定初末动量→找所有力的冲量→列矢量方程→不分析中间细节。 考向03 动量守恒定律（条件、系统、矢量性） 1. 守恒核心条件： · 系统合外力为零；或内力远大于外力（碰撞、爆炸、打击）。 · 某一方向合外力为零→该方向动量守恒。 2. 三大表达式： · 矢量式： · 分量式：分方向独立守恒（北京高频考点） · 系统式：， 3. 易错点提示： · 动量守恒是矢量守恒，必须先规定正方向。 · 速度必须相对同一惯性参考系（通常对地）。 考向04 碰撞模型（弹性/非弹性/完全非弹性） 1. 弹性碰撞（无机械能损失）： · 动量守恒＋机械能守恒 · 动碰静结论：， 2. 完全非弹性碰撞（共速，机械能损失最大）： · 动量守恒＋共速条件 · 能量损失： 3. 一般非弹性碰撞： · 动量一定守恒，机械能一定减少，介于两者之间。 考向05 复合过程（板块、弹簧、碰撞、圆周） 1. 高频组合模型： · 碰撞＋弹簧：动量守恒＋能量守恒＋共速临界。 · 板块＋碰撞：动量守恒＋摩擦生热＋相对位移。 · 圆周＋碰撞：最高点临界＋碰撞动量变化。 2. 分析流程： · 分段锁定守恒条件→确定系统与过程→联立动量＋能量方程。 3. 核心方法： · 弹簧最大压缩/伸长：两物体共速，动量守恒优先。 · 碰撞瞬间：弹簧弹力不突变，内力远大于外力。 考向06 约束条件下动量临界问题 1. 典型临界情境： · 物体刚好不脱离：共速，相互作用力为零。 · 弹簧最大势能：两物体共速，动量守恒。 · 滑块不滑出木板：共速，相对位移最大。 · 双物体分离临界：加速度相同，弹力为零。 2. 数理结合： · 矢量运算＋二次函数极值＋不等式判定。 3. 解题思路： · 临界状态→受力/运动条件→动量方程→极值求解。 考向07 流体动量与连续介质作用 1. 核心模型： · 水流、风力、粒子流、等离子体连续冲击。 · 电磁场中粒子流、电流元的动量与冲量。 2. 研究方法： · 取Δt 时间内的介质质量为研究对象。 · 动量定理： 考向08 实际科技情境动量建模 1. 航天与推进： · 火箭反冲、卫星变轨、探测器着陆：动量守恒＋反冲模型。 2. 电磁装备： · 电磁弹射、轨道炮、磁制动：安培力冲量＋动量变化。 3. 缓冲与防护： · 碰撞缓冲、跌落保护：动量定理＋时间/位移延长。 4. 建模原则： · 忽略次要约束，抓住系统、过程、守恒条件三要素。 典例·靶向·突破 题型01 冲量与动量 1．（24-25高三·北京·二轮复习）如图所示，倾角为30°、间距为L、足够长的光滑平行金属导轨的底端接阻值为R的电阻；质量为m的金属棒通过跨过轻质光滑定滑轮的细线与质量为4m的重物相连，滑轮左侧细线与导轨平行；金属棒的电阻为R、长度为L，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现将重物由静止释放，其下落高度h时达到最大速度v，重力加速度大小为g，空气阻力及导轨电阻不计，此过程中下列说法中不正确的是（　　） A．细线的拉力一直减小 B．金属棒所受安培力的冲量大小为 C．金属棒克服安培力做功为m(7gh-5v2) D．该过程所经历的时间为 题型解码 以动量与冲量的矢量性为核心，融合电磁感应情境，依托F‑t图像、平均电动势与动量定理求解变力冲量，兼顾系统动力学分析，突出冲量‑动量变化的定量关联，是动量与电磁综合题的核心突破口。 题型02 动量定理的多过程、多对象、曲线运动综合 2．（25-26高二上·北京东城·期末）如图所示，间距为d的水平光滑导轨一端连接阻值为R的电阻，另一端与半径为l的半圆形光滑竖直导轨MO'N相连，M、N分别表示半圆形导轨的最高点、最低点，O'为半圆形导轨的中点，与圆心O等高，导轨间距也为d。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现有一质量为m的金属棒从水平导轨上P点（P、N间距离为s）开始以大小为v0的初速度沿导轨运动，金属棒能够通过半圆形导轨的最高点M且速度大小为v，运动过程中始终与轨道接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，重力加速度为g，对金属棒从P到M的运动过程： (1)求金属棒克服安培力做的功W克安。 (2)a、请描述电阻R中电流方向的变化情况（用“a”、“b”表示）； b、根据（2）a中的描述，分别求出沿不同方向通过电阻R的电荷量。 (3)假设金属棒质量很小而磁场很强，可以不考虑金属棒的重力，在此种情况下分析从P到M的过程中导轨给金属棒弹力的冲量，说明其方向并求出其大小IN。 题型解码 以动量定理为核心工具，处理曲线、变安培力、多阶段复杂运动，通过分过程做功、分方向动量、分段电荷量拆解问题，强化矢量运算与状态分析，适配电磁＋力学复合的高阶综合场景。 题型03 动量守恒定律 3．（25-26高三上·北京·月考）如图甲所示，台球是深受大众喜爱的娱乐健身活动。台球在运动和撞击过程中，运动情况较为复杂。在不考虑球的转动和摩擦的情况下，可认为台球碰撞过程无机械能损失，相互作用力沿球心连线方向。 （1）如图乙所示，某次比赛中，母球离杆后沿直线运动一段距离后，以的速度与目标球发生对心弹性碰撞，目标球被撞后沿同一直线运动，与CD挡壁碰撞后反弹进入球洞A。已知两台球的质量均为，且可视为质点，目标球与CD挡壁的作用时间为，反弹前后速度的方向与CD挡壁间的夹角均为60°，速度大小均为。重力加速度。求： a．目标球被撞后瞬间速度的大小； b．CD挡壁对目标球作用力的大小和方向。（提示：在处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。） （2）如图丙所示，某同学通过观察得出结论：在台球桌面上，台球m以初速度和静止的球M发生弹性斜碰时，碰后两球的速度方向总是互相垂直，即。已知两台球大小相同、质量相等，请分析说明该同学得出的结论是否正确。 题型解码 紧抓动量守恒矢量本质，拓展至二维斜碰与分方向守恒应用，结合弹性碰撞规律与坐标系分解，考查守恒条件判断、系统选取与空间动量守恒，体现高考对矢量思维的深度要求。 题型04 碰撞模型 4．（25-26高三上·北京西城·期末）利用人造卫星环绕土星进行探索是研究土星的重要手段。在土星赤道上空有大量离散物质绕土星旋转，组成半径范围为r0至7r0、厚度很薄的“土星光环”。“土星光环”中半径为2r0处存在极窄的环状狭缝，离散物质极少，可供人造卫星穿越光环，进行观测研究。 现设计一颗人造卫星做穿过该狭缝、经过两极上空的圆周运动，其轨道平面与土星赤道平面垂直。设土星是质量为M的均匀球体，卫星质量为m，已知万有引力常量为G，仅考虑土星的引力影响，取无限远处为引力势能零点，卫星在距离土星中心r的位置处，其引力势能表示为。 (1)求卫星在穿越狭缝的轨道上运动的周期T。 (2)在狭缝中存在极少量绕土星做圆周运动的颗粒，若卫星在穿越狭缝的过程中恰好与一个质量为m0的颗粒撞击（m0<m），撞击过程可视为完全非弹性碰撞。将卫星与颗粒看作一个系统。 a.求碰撞前瞬间系统的动量大小p。 b.求碰撞后瞬间系统的速度大小v。 c.若碰撞后的运动过程中卫星恰好能沿土星光环边缘擦过，请结合开普勒第二定律分析m0与m的质量关系。 题型解码 以天体场景下的垂直完全非弹性碰撞为载体，融合万有引力、机械能守恒与开普勒定律，构建动量守恒＋能量守恒＋几何约束的三维模型，突出多规律联立与临界极值求解。 题型05 复合过程 5．（2026高三·北京·专题练习）如图甲，物块A、B的质量分别是mA=4.0kg和mB=3.0kg，两物块之间用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触；另有一物块C从t=0时，以一定速度向右运动。在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v—t图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．墙壁对物块B的弹力在4~12s的时间内对B的冲量I的大小为12N·s B．物块C的质量为4kg C．B离开墙后的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为8J D．B离开墙后的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为4J 题型解码 整合碰撞＋弹簧多模型联动，以共速为能量极值临界，用动量守恒贯通全程、能量守恒求解势能，强化系统思维与多过程分段分析能力，是北京卷高频压轴结构。 题型06 约束条件下动量临界问题 6．（22-23高三下·北京东城·月考）如图所示，木板B静止于光滑水平地面上，在其左端放一可视为质点的木块A，已知木块A的质量MA＝2kg，木板B的质量MB＝6kg，长L＝4m。某时刻，一块橡皮泥C以速度v0＝12m/s射向木块A，并与A粘在一起，在A和C一起滑动的同时，立即给B施加一个水平向右的拉力F，已知橡皮泥C的质量mc＝1kg，A与B的动摩擦因数µ＝0.1，重力加速度g＝10m/s2。求： (1)若F＝15N，A相对B向右滑行的最大距离； (2)要使A从B上滑落，拉力F大小应满足的条件。 题型解码 以共速、相对滑动、滑落分离为临界特征，结合碰撞、摩擦力、外力约束，构建动量守恒＋运动学关联＋受力临界联立框架，考查动量与动力学结合的综合分析素养。 题型07 流体动量与连续介质作用 7．（25-26高三下·北京·开学考试）对于物理问题，常常可以从微观角度进行研究，能更加深刻地理解其物理本质。从微观角度研究，也可以帮助我们理解宏观上表现的物理特性。 (1)单个微小粒子撞击巨大物体的力是局部而短促的脉冲，但大量粒子撞击物体的平均效果是均匀而持续的力，宏观上表现为压力。我们假定单位体积内粒子数量为n，每个粒子的质量为m，粒子运动速率均为v，如果所有粒子都垂直物体表面运动并与其碰撞，碰撞后粒子垂直物体表面返回的速度大小也是v，利用所学力学知识，导出物体表面单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。 (2)对于一定质量的密闭理想气体，若用N表示单位时间内分子与容器壁单位面积碰撞的次数，分子的质量为m，速率为v，假设分子与容器壁的碰撞都是垂直容器壁方向，且碰撞前后速率不变。 ①请通过计算写出气体对容器壁的压强表达式。 ②若改变密闭气体的温度和体积，但保持的比值不变，请问N如何变化？ (3)在压缩气体做功的过程中，关于机械能是如何转化为内能的，可以参考下图，建立如下模型：活塞某时刻以某速度运动压缩气体，气体分子迎面撞到运动着的活塞，与活塞发生相互作用，分子在弹离活塞时速率会变反。只考虑分子与活塞之间的相互作用力，假定分子与活塞的相互作用是弹性正撞。 ①研究一个分子与活塞的相互作用，通过计算说明为何分子在弹离活塞时比碰上去之前速率更大。（计算中所需物理量自行设定） ②简述压缩气体做功导致气体内能变大的原因。 题型解码 以微元法＋动量定理为核心，构建粒子流、气体分子连续冲击模型，延伸至弹性碰撞与内能转化，贯通宏观压强与微观机理，适配北京卷创新思维与建模考查方向。 题型08 实际科技情境动量建模 8．（2025·北京昌平·二模）随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥秘。 (1)探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得轨道半径的三次方与周期的二次方的比值为k。已知引力常量为G。求该星球的质量M。 (2)太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击氙原子使之电离，氙离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和氙离子）的初始质量为，每个氙离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出的离子数为n。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时刻（），求探测器的加速度大小a随时间t的变化规律。 (3)深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应”实现加速。设质量为的探测器以相对太阳的速率飞向质量为的行星，行星相对太阳的轨道速率为，方向与相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略太阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为，方向与相反；行星运动方向不变。已知，各速度在极远处可视为平行；探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。 ①推导的表达式（用表示）； ②简要说明“引力弹弓效应”能使探测器明显加速的原因。 题型解码 立足航天推进、引力弹弓真实科技情境，将反冲、电场加速、弹性碰撞转化为动量守恒模型，强调实际问题物理化、复杂过程简化，体现高考应用与迁移能力要求。 1．（2024·北京顺义·一模）动量p和力F都是矢量，在处理二维问题时，为简化问题研究，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究，即将二维问题转化为一维问题。 （1）质量为m的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前的速度大小是v0，碰撞后的速度大小是v，如图1所示。分别求出碰撞前后x、y方向小球的动量变化Δpx、Δpy； （2）质量均为m的球1和球2构成一个系统，不考虑系统的外力作用，球1沿x轴正向以速度v1与静止的球2碰撞，碰撞后两球的速度的偏角分别为=53°、=37°，如图2所示。求碰后两球速度的大小和。 （3）轻绳两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，其俯视图如图3所示。对小球M施加一瞬时冲量，使它获得方向与绳垂直的速度。分别求出在轻绳两端小球发生碰撞前瞬间三个小球速度的大小。 2．（2019·北京东城·三模）通过静电场和引力场的比较，可以进一步认识“场”的性质。 （1）地球视为质量分布均匀的球体，已知地球质量为，引力常量为。 a.仿照电场强度的定义，试写出地球外部距离地心处“引力场强”的表达式，并指出其方向； b.如图甲所示，设地表和离地表高度处的引力场强大小分别为，已知地球半径，请估算的值（保留1位有效数字），这一结果说明什么？ （2）在研究点电荷周围的静电场时，空间范围比带电体的线度大得多，不能简单利用以上处理办法．如图乙所示，带电量为的点电荷固定不动，在处分别由静止释放两个不同的带正电粒子，只在电场力作用下运动到B处．请自设必要的物理量，分析说明： a.在AB过程中，若它们所用的时间相同，则需要满足什么条件？ b.在AB过程中，若它们动量的变化相同，又需要满足什么条件？ 3．（2021高三·北京·专题练习）物理问题的研究首先要确定研究对象。当我们研究水流、气流等流体问题时，经常会选取流体中的一小段来进行研究，通过分析能够得出一些有关流体的重要结论。某同学应用压力传感器完成以下实验，如图1所示，他将一根均匀的细铁链上端用细线悬挂在铁架台上，调整高度使铁链的下端刚好与压力传感器的探测面接触。剪断细线，铁链逐渐落在探测面上。传感器得到了探测面所受压力随时间的变化图像（图2）。通过对图线分析发现铁链最上端落到探测面前后瞬间的压力大小之比大约是N1：N2＝3：1，后来他换用不同长度和粗细的铁链重复该实验，都得到相同结果。请你通过理论推理来说明实验测得的结果是正确的。（推理过程中需要用到的物理量的字母请自行设定） 4．（18-19高三上·北京·期中）质量为的飞机模型，在水平跑道上由静止匀加速起飞，假定起飞过程中受到的平均阻力恒为飞机所受重力的倍，发动机牵引力恒为，离开地面起飞时的速度为，重力加速度为．求： （1）飞机模型的起飞距离（离开地面前的运动距离）以及起飞过程中平均阻力的冲量． （2）若飞机起飞利用电磁弹射技术，将大大缩短起飞距离．图甲为电磁弹射装置的原理简化示意图，与飞机连接的金属块（图中未画出）可以沿两根相互靠近且平行的导轨无摩擦滑动．使用前先给电容为的大容量电容器充电，弹射飞机时，电容器释放储存电能所产生的强大电流从一根导轨流入，经过金属块，再从另一根导轨流出；导轨中的强大电流形成的磁场使金属块受磁场力而加速，从而推动飞机起飞． ①在图乙中画出电源向电容器充电过程中电容器两极板间电压与极板上所带电荷量的图象，在此基础上求电容器充电电压为时储存的电能． ②当电容器充电电压为时弹射上述飞机模型，在电磁弹射装置与飞机发动机同时工作的情况下，可使起飞距离缩短为．若金属块推动飞机所做的功与电容器释放电能的比值为，飞机发动的牵引力及受到的平均阻力不变．求完成此次弹射后电容器剩余的电能． 5．（14-15高三上·北京·期中）如图甲所示为车站使用的水平传送装置的示意图。绷紧的传送带长度L=6.0m，以v=6.0m/s的恒定速率运行，传送带的水平部分AB距离水平地面的高度h=0.45m。现有一行李箱（可视为质点）质量m=10kg，以v0＝5.0m/s的水平初速度从A端滑上传送带，被传送到B端时没有被及时取下，行李箱从B端水平抛出，行李箱与传送带间的动摩擦因数μ＝0.20，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。试分析求解： （1）行李箱从传送带上A端运动到B端过程中摩擦力对行李箱冲量的大小； （2）为运送该行李箱电动机多消耗的电能； （3）若传送带的速度v可在0～8.0m/s之间调节，仍以v0的水平初速度从A端滑上传送带，且行李箱滑到B端均能水平抛出。请你在图乙中作出行李箱从B端水平抛出到落地点的水平距离x与传送带速度v的关系图像。（要求写出作图数据的分析过程） 6．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，长为l的细绳上端悬于P点，下端拴一质量为m的小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．细绳的拉力大小等于 B．小球转动半圈，绳拉力的冲量与竖直方向夹角为 C．小球转动半圈，重力的冲量等于 D．小球转动半圈，绳拉力的冲量等于 7．（25-26高三上·北京昌平·期末）笛卡尔主张以动量（mv）量度运动，他认为：“在物质中存在一定量的运动，它的总和在世界上永远不会增加也不会消失。” 动量决定了物体在力的阻碍下能够运动多长时间，动量定理反映了力对时间的累积效应。 (1)一个质量为m的物体在光滑的水平面上受到恒力F的作用，做匀变速直线运动。在初始时刻，物体的速度为v0​，经过一段时间Δt，它的速度为v。请结合上述情境，根据牛顿运动定律推导动量定理。 (2)某同学用如图 1 所示实验装置验证动量定理。光滑轨道固定在水平面内，压力传感器固定在轨道的一端，前面装有弹簧圈的小车沿轨道运动并与压力传感器发生碰撞，与计算机相连的压力传感器记录下碰撞过程中传感器所受压力大小F，并描绘出F−t图像如图2所示。根据图像可得出小车受到压力的冲量大小，请写出如何根据图像确定碰撞过程中小车受到压力的冲量大小。 (3)现代切割技术常用的一种“水刀”如图3所示，它将水从高压水枪中高速射出，形成很细的圆柱形水束。用“水刀”切割钢板，水束以速度v垂直射向钢板，水射到钢板后的速度可视为0。请建立合理的物理模型，论证水束对钢板的平均冲击力大小F与v的关系满足。 8．（2026·北京西城·一模）北京正负电子对撞机是我国高能物理研究的重大科技基础设施，由长202米的直线加速器、周长240米的圆形储存环、北京谱仪和同步辐射实验装置等组成。已知元电荷为e，不计电子间的相互作用。 (1)直线加速器采用行波加速技术，可近似认为电子在加速过程中始终处于大小恒定的等效匀强电场中。位于加速器前端的电子枪发出的电子束（初速度可视为0）经加速管加速，动能达到Ek时撞击钨转换靶产生正负电子对。 a.求加速管中等效匀强电场的电压U。 b.设电子枪单位时间发射的电子个数为n，电子撞击靶的速率为v，请建立合理的物理模型，论证电子束对钨转换靶产生的冲击力大小F与v的关系满足，并确定α的值。 (2)接近光速c的电子进入圆形储存环，在磁场束缚下做圆周运动。运动过程中，电子因圆周运动持续均匀地向外辐射电磁波而损失能量，但其速度变化极小，可近似认为保持光速c不变。由爱因斯坦质能方程可知，接近光速运动的粒子能量变化时，其质量会发生明显变化。已知电子的初始能量为E0，每圈损失的能量为，为了保持电子在半径为R的轨道上做圆周运动，请推导磁感应强度B随时间t变化的关系式（忽略磁场变化引起的感生电场的影响）。 9．（2016·北京朝阳·二模）“大自然每个领域都是美妙绝伦的。”随着现代科技发展，人类不断实现着“上天入地”的梦想，但是“上天容易入地难”，人类对脚下的地球还有许多未解之谜。地球可看作是半径为R的球体。 （1）以下在计算万有引力时，地球可看作是质量集中在地心的质点。 a．已知地球两极的重力加速度为g1，赤道的重力加速度为g2，求地球自转的角速度ω； b．某次地震后，一位物理学家通过数据分析，发现地球的半径和质量以及两极的重力加速度g1都没变，但赤道的重力加速度由g2略微减小为g3，于是他建议应该略微调整地球静止卫星的轨道半径。请你求出静止卫星调整后的轨道半径与原来的轨道半径r之比。 （2）图1是地球内部地震波随深度的分布以及由此推断出的地球内部的结构图。在古登堡面附近，横波（S）消失且纵波（P）的速度与地表处的差不多，于是有人认为在古登堡面附近存在着很薄的气态圈层，为了探究气态圈层的压强，两位同学提出了以下方案。 甲同学的方案：如图2所示，由于地球的半径非常大，设想在气态圈层的外侧取一底面积很小的柱体，该柱体与气态圈层的外表面垂直。根据资料可知古登堡面的半径为R1，气态圈层之外地幔及地壳的平均密度为，平均重力加速度为g，地球表面的大气压强相对于该气态圈层的压强可忽略不计。 乙同学的方案：设想在该气态圈层内放置一个正方体，并且假定每个气体分子的质量为m，单位体积内的分子数为n，分子大小可以忽略，其速率均相等，且与正方体各面碰撞的机会均等，与各面碰撞前后瞬间，分子的速度方向都与各面垂直，且速率不变。根据古登堡面附近的温度可推知气体分子运动的平均速率为v。 请你选择其中的一种方案求出气态圈层的压强p。 10．（11-12高三上·北京·期中）低空跳伞是一种极限运动，一般在高楼、悬崖、高塔等固定物上起跳。人在空中降落过程中所受空气阻力随下落速度的增大而增大，而且速度越大空气阻力增大得越快。因低空跳伞下落的高度有限，导致在空中调整姿态、打开伞包的时间较短，所以其危险性比高空跳伞还要高。一名质量为70kg的跳伞运动员背有质量为10kg的伞包从某高层建筑顶层跳下，且一直沿竖直方向下落，其整个运动过程的图像如图所示。已知2.0s末的速度为18m/s，10s末拉开绳索开启降落伞，16.2s时安全落地，并稳稳地站立在地面上。g取10m/s2，请根据此图像估算： （1）起跳后2s内运动员（包括其随身携带的全部装备）所受平均阻力的大小； （2）运动员从脚触地到最后速度减为零的过程中，若不计伞的质量及此过程中的空气阻力，则运动员所需承受地面的平均冲击力多大； （3）开伞前空气阻力对跳伞运动员（包括其随身携带的全部装备）所做的功（结果保留三位有效数字）。 11．（2026·北京东城·一模）磁悬浮列车是一种新型交通工具。 (1)某实验车按照设定的模式做直线运动。图1所示为该车由静止启动时，加速度随时间的变化曲线，求当加速度时，实验车速度的大小； (2)图2所示为磁悬浮列车的一种简化驱动模式：水平地面上有两根足够长的平行直导轨，导轨间有等间距的匀强磁场和，磁场沿竖直（垂直纸面）方向，二者方向相反。固定在实验车底部的线框的宽度与磁场间隔相等，当匀强磁场和同时以恒定速度向右运动时，线框受到的安培力驱动实验车向前运动。设线框的边长与导轨间距均为，线框的匝数为总电阻为，实验车与线框的总质量为，磁场运动的速度为，假设实验车受到的阻力恒为，求实验车的最大速率； (3)在列车高速运行过程中，空气阻力可能占列车运行总阻力的以上，因此减少磁悬浮列车所受的空气阻力十分重要。假设空气分子与列车车头发生弹性碰撞，列车车头表面光滑，在上述假设前提下完成下列问题： a.将列车车头简化为以速率水平匀速运动的长方体。试证明列车车头所受空气阻力大小与的关系满足，并确定的值； b.实际生活中，磁悬浮列车车头呈细长的流线型，如图3所示。请通过必要计算分析说明，设计为流线型时列车车头所受空气阻力f2小于f1。 12．（24-25高三上·北京·月考）利用物理模型对复杂现象进行分析，是重要的科学思维方法。 已知太阳的质量为M，半径为R，万有引力常量为G。 (1)太阳的外层大气不断向四周膨胀，形成由太阳径向向外的粒子流，通常被称为太阳风。关于太阳风的成因，一种观点认为：由于太阳外层温度高，粒子的动能较大，能够克服太阳的引力向外层空间运动。 ①已知质量为m的粒子与太阳中心相距r时具有的引力势能为（以无穷远处势能为零）。忽略粒子间的相互作用。求在距离太阳中心2R处、质量为m的粒子，为了脱离太阳引力的束缚所需的最小速率vmin。 ②太阳风会造成太阳质量的损失。已知太阳风粒子的平均质量为m，探测器在距离太阳r处，探测到该处单位体积内太阳风粒子的数目为n，太阳风粒子在探测器周围的平均速率为v。求单位时间内太阳因太阳风而损失的质量∆m。 (2)彗星的彗尾主要由尘埃粒子和气体组成。一种观点认为：太阳光辐射的压力和太阳的引力，对彗尾尘埃粒子的运动起关键作用。假定太阳光的辐射功率P0恒定，尘埃粒子可视为密度相同、半径不都相等的实心球体，辐射到粒子上的太阳光被全部吸收，太阳光的能量E、动量p、光速c的关系为。如图所示，当彗星运动到A处，部分尘埃粒子被释放出来，不再沿彗星轨道运动。已知沿轨道切线方向释放的三个尘埃粒子，分别沿直线Ab和曲线Aa、Ac运动。关于造成这三个尘埃粒子轨迹分开的原因，有同学认为是它们被释放出来时的速度大小不同所致。请判断该同学的结论是否正确，并通过分析讨论来说明。 13．（2025·北京海淀·一模）如图1所示，把一个质量为的小球连接在劲度系数为的轻质弹簧的右端，弹簧的左端固定，小球置于光滑水平面，小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。以弹簧原长时小球的位置为坐标原点，以水平向右为正方向建立坐标轴。小球在运动过程中弹簧形变始终在弹性限度内，忽略摩擦阻力的影响。 (1)把小球拉向点的右方处，然后由静止释放，小球沿着坐标轴做往复运动。 a.在图2中画出弹簧弹力随变化的示意图，并由此求出小球从点向处运动过程中，弹簧弹力对小球做的功。 b.求小球从处运动到处的过程中，弹簧对小球的冲量。 (2)弹簧振子在运动过程中，求弹簧弹力对小球做正功时，其瞬时功率的最大值。 14．（17-18高三下·北京·阶段练习）甲图是我国自主研制的200mm离子电推进系统，已经全面应用于我国航天器。离子电推进系统的核心部件为离子推进器，它采用喷出带电离子的方式实现飞船的姿态和轨道的调整，具有大幅减少推进剂燃料消耗、操控更灵活、定位更精准等优势。 离子推进器的工作原理如图乙所示，推进剂氙原子P喷注入腔室C后，被电子枪G射出的电子碰撞而电离，成为带正电的氙离子。氙离子从腔室C中飘移过栅电极A的速度大小可忽略不计，在栅电极A、B之间的电场中加速，并从栅电极B喷出。在加速氙离子的过程中飞船获得推力。 已知栅电极A、B之间的电压为U，氙离子的质量为m、电荷量为q，AB间距为d，推进器单位时间内喷射的氙离子数目N。 (1)将该离子推进器固定在地面上进行试验。求： a. 氙离子经A、B之间的电场加速后，通过栅电极B时的速度v的大小，以及离子束的等效电流I； b. 求喷射离子过程中，对推进器产生的反冲作用力大小； (2)配有推进器的飞船在太空运行时，处于完全失重状态，为了构建推进器在太空中运作情景，离子推进器可视为放置在光滑的水平地面上．已知推进器的质量为M，且工作时质量保持不变，推进器刚开始运动的极短时间，可认为瞬间喷出N′个离子，即这些离子相对于地面以相同的速度同时喷出； c. 求喷出时每个离子的速度以及电场力对每个离子做的功； d. 这一过程中飞船向后移动的距离； e. 随着时间的推移，喷出的离子的动能逐渐变大还是变小？简要说明理由。 15．（2020·北京延庆·一模）在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使在不停地做热运动（速率约几百米每秒）的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时间， 为此已发明了“激光制冷”的技术。即利用激光作用于原子，使原子运动速率变慢，从而温度降低。 (1)若把原子和入射光子分别类比为一辆小车和一个小球，则“激光制冷”与下述的力学模型相似。如图所示，一辆质量为m的小车（左侧固定一轻质挡板以速度v0水平向右运动；一个动量大小为p。质量可以忽略的小球水平向左射入小车后动量变为零；紧接着不断重复上述过程，最终小车将停下来。设地面光滑。求： ①第一个小球入射后，小车的速度大小v1； ②从第一个小球入射开始计数到小车停止运动，共入射多少个小球? (2)近代物理认为，原子吸收光子的条件是入射光的频率接近于原子吸收光谱线的中心频率如图所示，现有一个原子A水平向右运动，激光束a和激光束b分别从左右射向原子A，两束激光的频率相同且都略低于原子吸收光谱线的中心频率、请分析： ①哪束激光能被原子A吸收?并说明理由； ②说出原子A吸收光子后的运动速度增大还是减小。 16．（21-22高三上·北京顺义·期中）如图所示。ABC为固定在竖直平面内的足够高足够长的光滑轨道，BC段水平。AB段与BC段平滑连接。质量小球从高为处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为的小球发生碰撞，碰撞前后两球的运动方向处于同一水平线上。求: （1）若两小球碰撞后粘连在一起，求碰后它们的共同速度和损失的机械能， （2）若两小球在碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后两小球速度的大小， （3）若两小球在碰撞过程中无机械能损失，且。为使两小球能发生第二次碰撞，求k应满足的条件。 17．（22-23高三上·北京昌平·期中）碰撞过程中的动量和能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为了方便探究，我们选用的碰撞小球为弹性小球、碰撞前后速度在同一直线上、无机械能损失的简化模型。 如图1所示，将一个大质量的弹性球A（质量为）和一个小质量的弹性球B（质量为）叠放在一起，从初始高度由静止竖直下落，不计空气阻力，且远大于球的半径。设A球与地面作用前的速度大小为（为未知量），A球和地面相碰后，以原速反弹；反弹后它和以向下运动的B球碰撞，如图2（甲）所示。碰后如图2（乙）所示。取竖直向上为正方向。 （1）a.求； b.有同学认为，两物体（选为一个系统）在竖直方向碰撞，由于重力的影响，系统动量不再守恒。现通过实验及计算说明这一问题。 某次实验时，测得，，，A和B碰撞时间，重力加速度g取。 ①求A和B相互作用前瞬间系统的总动量大小； ②求A和B相互作用过程中，系统总动量的变化量大小； ③计算的值。据此实验及结果，你认为物体在竖直方向碰撞过程中，是否可以应用动量守恒定律？并简要说明理由。 （2）若不计系统重力的影响，且，求碰撞后，球上升的最大高度。 18．（25-26高三上·北京·月考）某种型号的笔由弹簧、内芯和外壳三部分构成。小明同学在探究这种笔的弹跳问题时，发现笔的弹跳过程可简化为三个阶段：①把笔竖直倒立于水平硬桌面上，下压外壳使其下端接触桌面（如图1所示）；②把笔由静止释放，外壳竖直上升，当速度达到某一值时，弹簧恢复原长，此时外壳恰好与静止的内芯接触并碰撞，碰撞过程时间极短，碰撞后内芯与外壳具有竖直向上的共同速度（如图2所示）；③然后，内芯与外壳以相同速度离开桌面一起向上运动（如图3所示）。小明用计算机画出外壳的动能随上升高度h变化的部分图像如图所示。图中所标数据均为已知量，外壳上升到时，笔离开桌面，外壳上升最大高度为。 弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计弹簧质量和空气阻力。已知当弹簧的形变量为x时，弹簧的弹性势能为。 (1)在图中定性画出外壳从上升到最大高度过程中图像，并求外壳和内芯碰撞后瞬间的共同速度大小v； (2)求外壳的质量和碰撞前外壳的速度大小； (3)求内芯的质量。 19．（20-21高三上·北京·期中）“势阱”是量子力学中的常见概念，在经典力学中也有体现。当粒子在某力场中运动，势能函数曲线在空间某范围内势能存在最小值，形如陷阱，粒子很难跑出来。各种形式的势能函数只要具有这种特点，我们都可以称它为势阱，比如重力势阱、引力势阱、弹力势阱等。 （1）如图甲所示，光滑轨道abcd固定在竖直平面内形成一重力势阱，两侧高分别为kH（k＞1）和H。3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号），质量均为m，2号和3号小球紧挨着静置于水平轨道的b处，1号小球从左侧a处沿着轨道从静止开始向下运动，在b处与其他小球发生弹性碰撞，碰撞前后都在轨道上运动。已知重力加速度为g。 ①计算说明3号小球离开该势阱在水平轨道cd运动时的速度大小。 ②若将2号球左侧涂胶（不计胶的质量），1、2号球碰撞后粘在一起，发现全部3个球都能离开该势阱，分析说明k满足什么条件？ （2）我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，从而摆脱地球引力势阱的束缚，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。 ①已知，取无限远处为零势能点，间距为r，质量分别为m1、m2的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：，式中G为引力常量且大小已知。假设地球是一半径为R，质量为M且质量分布均匀的球体，通过理论分析可知，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。在如图乙所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。并在纵坐标上标出探测器在地球表面时所具有的引力势能。 ②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。已知地球公转周期为12个月，如图丙所示，探测器由地球公转轨道上的H点开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，经霍曼转移轨道在I点到达火星。“天问一号”已于2020年7月23日发射升空，请根据上述信息推断“天问一号”到达火星的时间？请查阅资料，结合“天问一号”真实到达时间，对推断时间给出评价。（可能需要用到的数据：） 20．（2020高三·北京·专题练习）如图所示，质量是M的木板静止在光滑水平面上，木板长为l0。一个质量为m的小滑块以初速度v0从左端滑上木板，由于滑块与木板间的摩擦作用，木板也开始向右滑动。滑块滑到木板右端时，两者恰好相对静止。求： (1)两者相对静止时共同速度为多少？ (2)此过程中有多少热量生成？ (3)滑块与木板间动摩擦因数多大？ 21．（2020·北京海淀·一模）在物理学中，研究微观物理问题可以借鉴宏观的物理模型，可使问题变得更加形象生动。弹簧的弹力和弹性势能变化与分子间的作用力以及分子势能变化情况有相似之处，因此在学习分子力和分子势能的过程中，我们可以将两者类比，以便于理解。 (1)质量相等的两个小球用劲度系数为k，原长为l0的轻弹簧相连，并置于光滑水平面上。现给其中一个小球沿着弹簧轴线方向的初速度，整个系统将运动起来，已知在此后的运动过程中弹簧的弹性势能大小Ep与弹簧的长度l的关系如图甲所示。 ①请说明曲线斜率的含义； ②已知弹簧最小长度为l1，求弹簧的最大长度l2为多大？ (2)研究分子势能是研究物体内能的重要内容。已知某物体中两个分子之间的势能Ep与两者之间距离r的关系曲线如图乙所示。 ①由图中可知，两分子间距离为r0时，分子势能最小，请说出r=r0时两分子间相互作用力的大小，并定性说明曲线斜率绝对值的大小及正负的物理意义； ②假设两个质量相同的分子只在分子力作用下绕两者连线的中点做匀速圆周运动，当两者相距为r1时，分子的加速度最大，此时两者之间的分子势能为Ep1，系统的动能与分子势能之和为E。请在如图乙所示的Ep—r曲线图像中的r轴上标出r1坐标的大致位置，并求出此时两分子之间的分子作用力大小。 22．（24-25高三上·北京·期中）如图所示，光滑的凹槽ABCD固定在水平面上，凹槽横截面为圆弧的一部分，其半径R10m，弧长ABCD5cm，凹槽边长LADLBC0.2m，取g10m/s2。 (1)如图1所示，将一个可看作质点的小球自A点静止释放，求小球的运动周期。 (2)如图2所示，在A点给小球一个沿AD方向的初速度，使小球恰能通过C点，则初速度v应为多少？ (3)若凹槽并未固定，而是可在光滑水平面上自由移动，则可能会导致不同的运动结果。已知小球与凹槽的质量之比为1∶4，初始时刻自A点将小球静止释放，求： ⅰ.凹槽的最大位移（保留一位有效数字）； ⅱ.以初始时刻A点的位置为原点，在AB平面建立直角坐标系，此时凹槽圆心的坐标记为，试写出小球运动的轨迹方程，并说明其运动轨迹的形状。 23．（2025·北京海淀·一模）寻求守恒量，是解决物理问题的重要方法。 (1)如图1所示，用细线悬挂的两个完全相同的小球，静止时恰能接触且悬线平行、球心等高。把小球1向左拉起一定高度h后由静止释放，与小球2发生弹性正碰。已知重力加速度为g，求碰后瞬间小球2的速度大小v。 (2)某同学设计了一个“电磁弹射”装置，并将其简化成如图2所示的模型。在水平光滑导轨上，固定着两个相同的“载流线圈”，放置着三个质量均为m的小磁铁充当“磁性弹头”，弹头2和弹头3左侧都非常靠近无磁性的、质量均为m的弹性“圆柱”。弹头和圆柱可以在水平导轨上沿轴线自由移动，圆柱静止时，其左端恰好位于载流线圈圆心处。发射过程如下：弹头1仅受载流线圈1施加的磁力作用从静止开始加速运动，通过碰撞将动能传给中间的弹头2；弹头2被载流线圈2加速，通过碰撞将动能传给弹头3，弹头3最终被弹出。 弹头可视为半径为r，电流大小恒为I、方向如图2方框中所示的单匝细圆线圈，且r远小于载流线圈半径。所有碰撞均可视为弹性正碰，不考虑弹头之间的磁力作用，相邻两线圈之间的距离足够远，水平轨道足够长。 a．标出载流线圈1和载流线圈2中电流的方向。 b．已知载流线圈1在弹头1处产生磁场的磁感应强度的轴向分量Bx和径向分量Br。求弹头1在图2方框中所示情况下受到载流线圈1的作用力的大小F。 c．通过查阅资料得知：电流为i、面积为S的单匝细圆线圈放入磁感应强度为B的外界匀强磁场中所具有的“势能”可表示为，其中θ为细圆线圈在轴向上产生的磁场与外界匀强磁场之间的夹角。 已知载流线圈1和载流线圈2在各自圆心处产生的磁感应强度大小均为 求弹头3理论上能获得的速度上限 24．（19-20高三上·北京·期中）如图所示，有一质量为M=2kg的平板小车静止在光滑的水平地面上，现有质量均为m=1kg的小物块A和B（均可视为质点），由车上P处分别以初速度v1=2m/s向左和v2=4m/s向右运动，最终A、B两物块恰好停在小车两端与车相对静止没有脱离小车。已知两物块与小车间的动摩擦因数都为μ=0.1，取g=10m/s2。求： （1）求物块A刚开始滑动时加速度a大小； （2）求物块A、B与小车相对静止时共同速度v共及物块A、B在小车上滑动过程中产生的热量Q （3）求整个过程中物块B相对小车的位移x相大小。 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴04 动量定理与动量守恒定律 命题预测 动量定理与动量守恒是北京高考物理核心压轴必考模块，常以计算题压轴、选择题压轴、实验综合呈现，命题聚焦多过程动量变化、系统动量守恒、临界极值、碰撞/爆炸/反冲、电磁动量、实际科技情境六大方向。近5年北京卷显著强化多物体系统、板块＋弹簧＋碰撞复合、电磁场动量、航天与碰撞装备、流体动量等高阶情境，强调冲量是动量变化的量度、系统动量守恒的条件与矢量性，突出系统性、矢量性、瞬时性、关联性。 预计2026年北京三模与高考仍以多过程动量定理综合、系统动量守恒与临界约束、碰撞模型规律、电磁流体动量、实际装置动量建模为核心，侧重多对象、多过程、多约束、多运动形式的综合分析，区分度极高，是高分必破专题。 高频考法 1. 冲量与动量的矢量计算、变力冲量的图像法求解 2. 动量定理的多过程、多对象、曲线运动综合应用 3. 动量守恒定律的条件判断、系统选取与矢量式书写 4. 弹性碰撞、完全非弹性碰撞、一般非弹性碰撞的规律与拓展 5. 板块＋弹簧＋碰撞＋圆周复合过程的动量与能量综合 6. 约束条件下动量临界问题（共速、分离、不脱离、最大势能） 7. 流体动量、连续介质作用模型（风、水流、粒子流） 8. 实际科技情境（航天反冲、电磁弹射、碰撞缓冲、火箭发射）动量建模 知识·技法·思维 考向01 冲量与动量（矢量运算、变力冲量） 1. 核心概念： · 动量：，矢量，方向与速度同向。 · 冲量：（恒力），矢量，方向与力同向。 2. 变力冲量求解： · 图像法：F-t图像面积表示冲量。 · 等效法：由动量定理求解变力冲量。 3. 矢量运算规则： · 一维：规定正方向，用正负表示方向，代数运算。 · 二维：正交分解，分方向列动量与冲量方程。 考向02 动量定理的多过程、多对象、曲线运动综合 1. 核心表达式： · · 合冲量等于动量变化，与路径无关，只看初末动量。 2. 适用场景： · 多阶段运动：加速、碰撞、圆周、反弹。 · 变力作用：弹力、摩擦力、冲击力、安培力。 · 曲线运动：平抛、圆周、斜抛、轨迹复杂运动。 · 多对象整体：系统合冲量等于系统总动量变化。 3. 解题思路： · 确定初末动量→找所有力的冲量→列矢量方程→不分析中间细节。 考向03 动量守恒定律（条件、系统、矢量性） 1. 守恒核心条件： · 系统合外力为零；或内力远大于外力（碰撞、爆炸、打击）。 · 某一方向合外力为零→该方向动量守恒。 2. 三大表达式： · 矢量式： · 分量式：分方向独立守恒（北京高频考点） · 系统式：， 3. 易错点提示： · 动量守恒是矢量守恒，必须先规定正方向。 · 速度必须相对同一惯性参考系（通常对地）。 考向04 碰撞模型（弹性/非弹性/完全非弹性） 1. 弹性碰撞（无机械能损失）： · 动量守恒＋机械能守恒 · 动碰静结论：， 2. 完全非弹性碰撞（共速，机械能损失最大）： · 动量守恒＋共速条件 · 能量损失： 3. 一般非弹性碰撞： · 动量一定守恒，机械能一定减少，介于两者之间。 考向05 复合过程（板块、弹簧、碰撞、圆周） 1. 高频组合模型： · 碰撞＋弹簧：动量守恒＋能量守恒＋共速临界。 · 板块＋碰撞：动量守恒＋摩擦生热＋相对位移。 · 圆周＋碰撞：最高点临界＋碰撞动量变化。 2. 分析流程： · 分段锁定守恒条件→确定系统与过程→联立动量＋能量方程。 3. 核心方法： · 弹簧最大压缩/伸长：两物体共速，动量守恒优先。 · 碰撞瞬间：弹簧弹力不突变，内力远大于外力。 考向06 约束条件下动量临界问题 1. 典型临界情境： · 物体刚好不脱离：共速，相互作用力为零。 · 弹簧最大势能：两物体共速，动量守恒。 · 滑块不滑出木板：共速，相对位移最大。 · 双物体分离临界：加速度相同，弹力为零。 2. 数理结合： · 矢量运算＋二次函数极值＋不等式判定。 3. 解题思路： · 临界状态→受力/运动条件→动量方程→极值求解。 考向07 流体动量与连续介质作用 1. 核心模型： · 水流、风力、粒子流、等离子体连续冲击。 · 电磁场中粒子流、电流元的动量与冲量。 2. 研究方法： · 取Δt 时间内的介质质量为研究对象。 · 动量定理： 考向08 实际科技情境动量建模 1. 航天与推进： · 火箭反冲、卫星变轨、探测器着陆：动量守恒＋反冲模型。 2. 电磁装备： · 电磁弹射、轨道炮、磁制动：安培力冲量＋动量变化。 3. 缓冲与防护： · 碰撞缓冲、跌落保护：动量定理＋时间/位移延长。 4. 建模原则： · 忽略次要约束，抓住系统、过程、守恒条件三要素。 典例·靶向·突破 题型01 冲量与动量 1．（24-25高三·北京·二轮复习）如图所示，倾角为30°、间距为L、足够长的光滑平行金属导轨的底端接阻值为R的电阻；质量为m的金属棒通过跨过轻质光滑定滑轮的细线与质量为4m的重物相连，滑轮左侧细线与导轨平行；金属棒的电阻为R、长度为L，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现将重物由静止释放，其下落高度h时达到最大速度v，重力加速度大小为g，空气阻力及导轨电阻不计，此过程中下列说法中不正确的是（　　） A．细线的拉力一直减小 B．金属棒所受安培力的冲量大小为 C．金属棒克服安培力做功为m(7gh-5v2) D．该过程所经历的时间为 【答案】A 【详解】A．根据题意，对重物和金属棒组成的系统受力分析可得4mg-mgsin30°-F安=5ma 金属棒受到的安培力为 随着系统开始运动，棒的加速度沿金属导轨向上，速度逐渐增大，安培力逐渐增大，则系统做加速度逐渐减小的加速运动，直至加速度为零时系统以速度v做匀速直线运动。对重物受力分析可得4mg-FT=4ma 根据上述分析可知细线的拉力一直增大，速度最大后拉力大小保持不变，故A错误； B．金属棒所受安培力的冲量为 平均电流为 平均电动势为 联立可得 故B正确； C．重物由静止释放到下落高度h时，由能量守恒定律得4mgh=mghsin30°+(m+4m)v2+Q总 解得Q总=m(7gh-5v2) 根据功能关系可知金属棒克服安培力做的功为 W=Q总=m(7gh-5v2) 故C正确； D．对系统由动量定理可知(4mg-mgsin30°)·Δt-I安=5mv 联立解得Δt= 故D正确。 本题选不正确的，故选A。 题型解码 以动量与冲量的矢量性为核心，融合电磁感应情境，依托F‑t图像、平均电动势与动量定理求解变力冲量，兼顾系统动力学分析，突出冲量‑动量变化的定量关联，是动量与电磁综合题的核心突破口。 题型02 动量定理的多过程、多对象、曲线运动综合 2．（25-26高二上·北京东城·期末）如图所示，间距为d的水平光滑导轨一端连接阻值为R的电阻，另一端与半径为l的半圆形光滑竖直导轨MO'N相连，M、N分别表示半圆形导轨的最高点、最低点，O'为半圆形导轨的中点，与圆心O等高，导轨间距也为d。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现有一质量为m的金属棒从水平导轨上P点（P、N间距离为s）开始以大小为v0的初速度沿导轨运动，金属棒能够通过半圆形导轨的最高点M且速度大小为v，运动过程中始终与轨道接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，重力加速度为g，对金属棒从P到M的运动过程： (1)求金属棒克服安培力做的功W克安。 (2)a、请描述电阻R中电流方向的变化情况（用“a”、“b”表示）； b、根据（2）a中的描述，分别求出沿不同方向通过电阻R的电荷量。 (3)假设金属棒质量很小而磁场很强，可以不考虑金属棒的重力，在此种情况下分析从P到M的过程中导轨给金属棒弹力的冲量，说明其方向并求出其大小IN。 【答案】(1) (2)[1]先从a至b    后从b至a [2]      (3)，方向水平向左 【详解】（1）金属棒从P到M的运动过程，由动能定理可得 解得 （2）[1] 金属棒从P运动至过程中，金属棒有水平向右的速度分量，依据右手定则可得，电阻R中电流流向为从a至b；金属棒从运动至M过程中，金属棒有水平向左的速度分量，依据右手定则可得，电阻R中电流流向为从b至a。 [2] 金属棒从P运动至过程中 金属棒从运动至M过程中 （3）从P到M的过程中,通过电阻R的电荷量 对导体棒列动量定理，取水平向左为正方向 其中 解得 方向水平向左。 题型解码 以动量定理为核心工具，处理曲线、变安培力、多阶段复杂运动，通过分过程做功、分方向动量、分段电荷量拆解问题，强化矢量运算与状态分析，适配电磁＋力学复合的高阶综合场景。 题型03 动量守恒定律 3．（25-26高三上·北京·月考）如图甲所示，台球是深受大众喜爱的娱乐健身活动。台球在运动和撞击过程中，运动情况较为复杂。在不考虑球的转动和摩擦的情况下，可认为台球碰撞过程无机械能损失，相互作用力沿球心连线方向。 （1）如图乙所示，某次比赛中，母球离杆后沿直线运动一段距离后，以的速度与目标球发生对心弹性碰撞，目标球被撞后沿同一直线运动，与CD挡壁碰撞后反弹进入球洞A。已知两台球的质量均为，且可视为质点，目标球与CD挡壁的作用时间为，反弹前后速度的方向与CD挡壁间的夹角均为60°，速度大小均为。重力加速度。求： a．目标球被撞后瞬间速度的大小； b．CD挡壁对目标球作用力的大小和方向。（提示：在处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。） （2）如图丙所示，某同学通过观察得出结论：在台球桌面上，台球m以初速度和静止的球M发生弹性斜碰时，碰后两球的速度方向总是互相垂直，即。已知两台球大小相同、质量相等，请分析说明该同学得出的结论是否正确。 【答案】（1）a．2.4m/s，b．，方向直于CD挡壁向上；（2）正确，见解析 【详解】（1）a.设母球和目标球碰撞后的速度分别为，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 联立解得 ， 即目标球被撞后瞬间速度的大小为。 b.建立如图所示坐标系，将目标球与CD挡壁碰撞前后的速度沿两坐标轴方向分解。 可知x轴方向动量变化为 y方向动量变化为 因此碰撞前后目标球的动量变化为 方向沿y轴正方向，即垂直于CD挡壁向上。设CD挡壁对目标球的作用力为F，根据动量定理 解得 方向直于CD挡壁向上。 （2）该同学的得出的结论正确。 由于两球碰撞遵循动量守恒定律和机械能守恒定律，碰前动量水平向右，所以碰后垂直于初速度方向的动量为零，又因为两球质量相等，所以 又有 联立解得 题型解码 紧抓动量守恒矢量本质，拓展至二维斜碰与分方向守恒应用，结合弹性碰撞规律与坐标系分解，考查守恒条件判断、系统选取与空间动量守恒，体现高考对矢量思维的深度要求。 题型04 碰撞模型 4．（25-26高三上·北京西城·期末）利用人造卫星环绕土星进行探索是研究土星的重要手段。在土星赤道上空有大量离散物质绕土星旋转，组成半径范围为r0至7r0、厚度很薄的“土星光环”。“土星光环”中半径为2r0处存在极窄的环状狭缝，离散物质极少，可供人造卫星穿越光环，进行观测研究。 现设计一颗人造卫星做穿过该狭缝、经过两极上空的圆周运动，其轨道平面与土星赤道平面垂直。设土星是质量为M的均匀球体，卫星质量为m，已知万有引力常量为G，仅考虑土星的引力影响，取无限远处为引力势能零点，卫星在距离土星中心r的位置处，其引力势能表示为。 (1)求卫星在穿越狭缝的轨道上运动的周期T。 (2)在狭缝中存在极少量绕土星做圆周运动的颗粒，若卫星在穿越狭缝的过程中恰好与一个质量为m0的颗粒撞击（m0<m），撞击过程可视为完全非弹性碰撞。将卫星与颗粒看作一个系统。 a.求碰撞前瞬间系统的动量大小p。 b.求碰撞后瞬间系统的速度大小v。 c.若碰撞后的运动过程中卫星恰好能沿土星光环边缘擦过，请结合开普勒第二定律分析m0与m的质量关系。 【答案】(1) (2)a.；b.；c. 【详解】（1）根据万有引力定律 代入人造卫星轨道半径2r0后可求得其角速度为 因周期 故卫星在穿越狭缝的轨道上运动的周期 （2）a.根据万有引力定律 狭缝中的颗粒及人造卫星的速度大小均为 因狭缝中的颗粒与人造卫星分别处于赤道轨道与极地轨道，在碰撞前瞬间两物体的速度方向互相垂直，故系统的动量大小 b.因撞击过程系统动量守恒，碰撞后瞬间系统的速度大小 整理得 c.卫星与颗粒完全非弹性碰撞后，系统具有的机械能为 系统从撞击点到土星光环边缘过程中，机械能守恒，设其在土星光环边缘的速度大小为，则机械能为 将其代入碰撞后瞬间机械能表达式化简后可求得 因运动过程中卫星恰好能沿土星光环边缘擦过，撞击点和土星光环边缘点为椭圆长轴上的两个端点，根据开普勒第二定律在椭圆长轴上的关系 代入得 两边平方化简后得 代入， 化简得 解得 因 故 题型解码 以天体场景下的垂直完全非弹性碰撞为载体，融合万有引力、机械能守恒与开普勒定律，构建动量守恒＋能量守恒＋几何约束的三维模型，突出多规律联立与临界极值求解。 题型05 复合过程 5．（2026高三·北京·专题练习）如图甲，物块A、B的质量分别是mA=4.0kg和mB=3.0kg，两物块之间用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触；另有一物块C从t=0时，以一定速度向右运动。在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v—t图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．墙壁对物块B的弹力在4~12s的时间内对B的冲量I的大小为12N·s B．物块C的质量为4kg C．B离开墙后的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为8J D．B离开墙后的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为4J 【答案】D 【详解】B．由乙图可知物块C速度为 A、C碰撞过程由动量守恒定律 解得物块C的质量为mC=2kg，B错误； A．在4~12s的时间内弹簧对A、C的冲量为 墙壁对物块B的弹力在4~12s的时间内对B的冲量I的大小等于弹簧对AC冲量的大小，则为24N·s，A错误； CD．B离开墙后的过程中，当A、B、C共速时弹簧弹性势能最大，则由动量守恒定律 解得 弹簧具有的最大弹性势能，C错误，D正确。 故选D。 题型解码 整合碰撞＋弹簧多模型联动，以共速为能量极值临界，用动量守恒贯通全程、能量守恒求解势能，强化系统思维与多过程分段分析能力，是北京卷高频压轴结构。 题型06 约束条件下动量临界问题 6．（22-23高三下·北京东城·月考）如图所示，木板B静止于光滑水平地面上，在其左端放一可视为质点的木块A，已知木块A的质量MA＝2kg，木板B的质量MB＝6kg，长L＝4m。某时刻，一块橡皮泥C以速度v0＝12m/s射向木块A，并与A粘在一起，在A和C一起滑动的同时，立即给B施加一个水平向右的拉力F，已知橡皮泥C的质量mc＝1kg，A与B的动摩擦因数µ＝0.1，重力加速度g＝10m/s2。求： (1)若F＝15N，A相对B向右滑行的最大距离； (2)要使A从B上滑落，拉力F大小应满足的条件。 【答案】(1) 2 m  (2)见解析 【详解】（1）与碰撞，由动量守恒定律 滑上木板后做匀减速运动，有 ， 两者速度相同时，有 得： 滑行距离 滑行距离 最大距离： （2）到右端滑落的临界条件是到达的右端时，具有共同的速度 则 又 再代入 得 即从的右端滑落 若在到达的右端之前，就与具有相同的速度，之后相对向左滑动，最后从的左端滑落，即有： 题型解码 以共速、相对滑动、滑落分离为临界特征，结合碰撞、摩擦力、外力约束，构建动量守恒＋运动学关联＋受力临界联立框架，考查动量与动力学结合的综合分析素养。 题型07 流体动量与连续介质作用 7．（25-26高三下·北京·开学考试）对于物理问题，常常可以从微观角度进行研究，能更加深刻地理解其物理本质。从微观角度研究，也可以帮助我们理解宏观上表现的物理特性。 (1)单个微小粒子撞击巨大物体的力是局部而短促的脉冲，但大量粒子撞击物体的平均效果是均匀而持续的力，宏观上表现为压力。我们假定单位体积内粒子数量为n，每个粒子的质量为m，粒子运动速率均为v，如果所有粒子都垂直物体表面运动并与其碰撞，碰撞后粒子垂直物体表面返回的速度大小也是v，利用所学力学知识，导出物体表面单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。 (2)对于一定质量的密闭理想气体，若用N表示单位时间内分子与容器壁单位面积碰撞的次数，分子的质量为m，速率为v，假设分子与容器壁的碰撞都是垂直容器壁方向，且碰撞前后速率不变。 ①请通过计算写出气体对容器壁的压强表达式。 ②若改变密闭气体的温度和体积，但保持的比值不变，请问N如何变化？ (3)在压缩气体做功的过程中，关于机械能是如何转化为内能的，可以参考下图，建立如下模型：活塞某时刻以某速度运动压缩气体，气体分子迎面撞到运动着的活塞，与活塞发生相互作用，分子在弹离活塞时速率会变反。只考虑分子与活塞之间的相互作用力，假定分子与活塞的相互作用是弹性正撞。 ①研究一个分子与活塞的相互作用，通过计算说明为何分子在弹离活塞时比碰上去之前速率更大。（计算中所需物理量自行设定） ②简述压缩气体做功导致气体内能变大的原因。 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3)①见解析；②活塞的机械能通过碰撞转化为了气体分子的动能，从而使气体的内能增加 【详解】（1）取物体表面面积为S，在时间Δt内，撞击到该面积上的粒子来自于一个底面积为S、高为的柱体内。该柱体的体积为 其中粒子的总数为 每个粒子垂直撞击表面后以原速率反弹，其动量变化为 在Δt时间内，所有粒子的总动量变化为 根据动量定理，可得物体表面受到的平均作用力 单位面积所受的压力（即压强）为 （2）①单个分子的动量变化分子垂直碰撞容器壁后速率不变，动量变化为 单位时间内，单位面积上碰撞的分子数为N，因此总动量变化（即容器壁受到的总冲量）为 根据动量定理，压强等于单位时间内单位面积上受到的冲量，因此 ②理想气体状态方程为，变形可得 题目中保持不变，因此压强p也保持不变。分子的平均速率与热力学温度T的平方根成正比，当温度T升高时，分子的平均速率增大。由①中得到的压强表达式，在压强p不变的情况下，N与v成反比，所以可知当温度T升高时，N减小；温度T降低，则N增大。 （3）①设分子质量m；碰撞前分子相对地面的速率：v（方向向左）；活塞质量：M；碰撞前活塞相对地面的速率：u（方向向右，压缩气体） 碰撞为弹性正碰，满足动量守恒和动能守恒。以向右为正方向，根据动量守恒有 动能守恒 联立两式，解得碰撞后分子的速率 由于活塞质量，可近似，，代入得： 分子弹离活塞时的速率大小为，这明显大于碰撞前的速率。 ②压缩气体时，活塞对气体做功，从微观上看：运动的活塞会与迎面碰撞的气体分子发生弹性碰撞。根据①的计算，碰撞后分子的速率会增大，即分子的平均动能增加。理想气体的内能只与分子的平均动能有关，因此分子平均动能的增加，导致了气体内能的增大。简单来说，就是活塞的机械能通过碰撞转化为了气体分子的动能，从而使气体的内能增加。 题型解码 以微元法＋动量定理为核心，构建粒子流、气体分子连续冲击模型，延伸至弹性碰撞与内能转化，贯通宏观压强与微观机理，适配北京卷创新思维与建模考查方向。 题型08 实际科技情境动量建模 8．（2025·北京昌平·二模）随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥秘。 (1)探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得轨道半径的三次方与周期的二次方的比值为k。已知引力常量为G。求该星球的质量M。 (2)太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击氙原子使之电离，氙离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和氙离子）的初始质量为，每个氙离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出的离子数为n。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时刻（），求探测器的加速度大小a随时间t的变化规律。 (3)深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应”实现加速。设质量为的探测器以相对太阳的速率飞向质量为的行星，行星相对太阳的轨道速率为，方向与相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略太阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为，方向与相反；行星运动方向不变。已知，各速度在极远处可视为平行；探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。 ①推导的表达式（用表示）； ②简要说明“引力弹弓效应”能使探测器明显加速的原因。 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 【详解】（1）探测器绕星球沿圆轨道匀速率运行时，万有引力提供向心力 即 可得 （2）氙离子经加速电压U加速后，相对探测器的速度大小为v，根据动能定理得 在t时间内喷出氙离子质量为 根据动量定理得 联立解得 根据牛顿第三定律知：探测器获得的反冲作用力大小为 探测器质量随时间的变化规律为 探测器加速度随时间的变化规律为 （3）①设探测器绕过行星后，行星速率为，以行星运动方向为正方向，根据动量守恒定律得 根据机械能守恒定律得 联立解得 由于 得。 ②行星与探测器相互作用时，发生动量和能量的转化。由于行星与探测器相对运动，行星具有较大的轨道速率，且，行星动能（或动量）损失很小，探测器却获得了较大的速率。 题型解码 立足航天推进、引力弹弓真实科技情境，将反冲、电场加速、弹性碰撞转化为动量守恒模型，强调实际问题物理化、复杂过程简化，体现高考应用与迁移能力要求。 1．（2024·北京顺义·一模）动量p和力F都是矢量，在处理二维问题时，为简化问题研究，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究，即将二维问题转化为一维问题。 （1）质量为m的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前的速度大小是v0，碰撞后的速度大小是v，如图1所示。分别求出碰撞前后x、y方向小球的动量变化Δpx、Δpy； （2）质量均为m的球1和球2构成一个系统，不考虑系统的外力作用，球1沿x轴正向以速度v1与静止的球2碰撞，碰撞后两球的速度的偏角分别为=53°、=37°，如图2所示。求碰后两球速度的大小和。 （3）轻绳两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，其俯视图如图3所示。对小球M施加一瞬时冲量，使它获得方向与绳垂直的速度。分别求出在轻绳两端小球发生碰撞前瞬间三个小球速度的大小。 【答案】（1）；；（2）；；（3）见解析 【详解】（1）碰撞前后x方向小球的动量变化 碰撞前后y方向小球的动量变化 （2）设碰后两球速度大小分别为、，规定x轴的正方向为正方向，x轴方向的动量守恒表达式如下 规定y轴的正方向为正方向，y轴方向的动量守恒表达式如下 联立，可得 ， （3）由对称性，当两端小球发生碰撞时示意图如图所示， 设两小球沿二者球心连线方向速度大小为vx，在垂直两小球球心连线方向的速度大小为vy，由机械能守恒定律和动量守恒定律，有 ， 解得 ， 可知在轻绳两端小球发生碰撞前瞬间，中央小球速度的大小为。 2．（2019·北京东城·三模）通过静电场和引力场的比较，可以进一步认识“场”的性质。 （1）地球视为质量分布均匀的球体，已知地球质量为，引力常量为。 a.仿照电场强度的定义，试写出地球外部距离地心处“引力场强”的表达式，并指出其方向； b.如图甲所示，设地表和离地表高度处的引力场强大小分别为，已知地球半径，请估算的值（保留1位有效数字），这一结果说明什么？ （2）在研究点电荷周围的静电场时，空间范围比带电体的线度大得多，不能简单利用以上处理办法．如图乙所示，带电量为的点电荷固定不动，在处分别由静止释放两个不同的带正电粒子，只在电场力作用下运动到B处．请自设必要的物理量，分析说明： a.在AB过程中，若它们所用的时间相同，则需要满足什么条件？ b.在AB过程中，若它们动量的变化相同，又需要满足什么条件？ 【答案】（1）a   ，方向指向地心；b  0.3%，说明在地球表面上在一定的高度范围内引力场强基本恒定不变；（2）a.  两粒子来说的值相等；b  两粒子来说mq相等 【详解】（1）a.类比电场强度定义式 该点引力场强弱为 位于距地心r处的某点表达式 方向指向地心 B根据 这一结果说明在地球表面上在一定的高度范围内引力场强基本恒定不变 （2）a.设AB两点距离-Q的距离分别为rA和rB，粒子带电量为+q，质量为m；由于两粒子从A点由静止释放，到达B点的时间相同，可知粒子到达B点的速度vB相同；由能量关系可知，粒子在AB两点的电势能和动能之和守恒，则 即 则对两粒子来说 即 即对两粒子来说的值相等 b. 在AB过程中，若它们动量的变化相同，由 以及 解得 则对两粒子来说mq相等 3．（2021高三·北京·专题练习）物理问题的研究首先要确定研究对象。当我们研究水流、气流等流体问题时，经常会选取流体中的一小段来进行研究，通过分析能够得出一些有关流体的重要结论。某同学应用压力传感器完成以下实验，如图1所示，他将一根均匀的细铁链上端用细线悬挂在铁架台上，调整高度使铁链的下端刚好与压力传感器的探测面接触。剪断细线，铁链逐渐落在探测面上。传感器得到了探测面所受压力随时间的变化图像（图2）。通过对图线分析发现铁链最上端落到探测面前后瞬间的压力大小之比大约是N1：N2＝3：1，后来他换用不同长度和粗细的铁链重复该实验，都得到相同结果。请你通过理论推理来说明实验测得的结果是正确的。（推理过程中需要用到的物理量的字母请自行设定） 【答案】见详解 【详解】设单位长度的铁链质量为b，铁链的总长度为L，当铁链的最上端落在探测面上时，选取铁链最上端的一小段为研究对象，其质量为 根据自由落体运动公式 可知 取向下方向为正方向，根据动量定理有 解得 由牛顿第三定律知，探测面受到铁链最上端的压力为 此时除最上端外，其余部分的铁链已经落在探测面上，对探测面的压力为：N＝mg  其中：m＝bL则探测面受到的总压力为 当铁链的最上端落在探测面上后，探测面受到的压力大小为 由此可得：N1：N2＝3：1，实验结果是正确的。 4．（18-19高三上·北京·期中）质量为的飞机模型，在水平跑道上由静止匀加速起飞，假定起飞过程中受到的平均阻力恒为飞机所受重力的倍，发动机牵引力恒为，离开地面起飞时的速度为，重力加速度为．求： （1）飞机模型的起飞距离（离开地面前的运动距离）以及起飞过程中平均阻力的冲量． （2）若飞机起飞利用电磁弹射技术，将大大缩短起飞距离．图甲为电磁弹射装置的原理简化示意图，与飞机连接的金属块（图中未画出）可以沿两根相互靠近且平行的导轨无摩擦滑动．使用前先给电容为的大容量电容器充电，弹射飞机时，电容器释放储存电能所产生的强大电流从一根导轨流入，经过金属块，再从另一根导轨流出；导轨中的强大电流形成的磁场使金属块受磁场力而加速，从而推动飞机起飞． ①在图乙中画出电源向电容器充电过程中电容器两极板间电压与极板上所带电荷量的图象，在此基础上求电容器充电电压为时储存的电能． ②当电容器充电电压为时弹射上述飞机模型，在电磁弹射装置与飞机发动机同时工作的情况下，可使起飞距离缩短为．若金属块推动飞机所做的功与电容器释放电能的比值为，飞机发动的牵引力及受到的平均阻力不变．求完成此次弹射后电容器剩余的电能． 【答案】（1）．（2）； 【详解】(1)平均阻力为 依据牛顿第二定律和运动学规律有 ， 设飞机的起飞距离为，依据运动学公式 解得 设飞机的起飞时间为，依据运动学公式 平均阻力的冲量 解得 平均阻力冲量的方向与飞机运动方向相反。 (2)①电容器电压为时，电容器储存电能 设电容器释放的电能为，由动能定理有 解得 电容器剩余的电能 解得 ②依据图像可得电容器储存电能的规律 由于 则电容器充电电压为时，电容器储存电能 5．（14-15高三上·北京·期中）如图甲所示为车站使用的水平传送装置的示意图。绷紧的传送带长度L=6.0m，以v=6.0m/s的恒定速率运行，传送带的水平部分AB距离水平地面的高度h=0.45m。现有一行李箱（可视为质点）质量m=10kg，以v0＝5.0m/s的水平初速度从A端滑上传送带，被传送到B端时没有被及时取下，行李箱从B端水平抛出，行李箱与传送带间的动摩擦因数μ＝0.20，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。试分析求解： （1）行李箱从传送带上A端运动到B端过程中摩擦力对行李箱冲量的大小； （2）为运送该行李箱电动机多消耗的电能； （3）若传送带的速度v可在0～8.0m/s之间调节，仍以v0的水平初速度从A端滑上传送带，且行李箱滑到B端均能水平抛出。请你在图乙中作出行李箱从B端水平抛出到落地点的水平距离x与传送带速度v的关系图像。（要求写出作图数据的分析过程） 【答案】（1）10N·s；（2）60J；（3）答案见详解 【详解】（1）行李箱刚滑上传送带时做匀加速直线运动，设行李箱受到的摩擦力为Ff，根据牛顿第二定律有 Ff＝μmg＝ma 解得 a＝μg＝2.0 m/s2 设行李箱速度达到v＝6.0 m/s时的位移为s1 v2－v02＝2as1 s1＝＝2.75m 即行李箱在传动带上能加速达到传送带的速度6.0 m/s，设摩擦力的冲量为If，依据动量定理 If＝mv－mv0 解得 If＝10N·s （2）在行李箱匀加速运动的过程中，传送带上任意一点移动的长度 s＝vt＝3 m 行李箱与传送带摩擦产生的内能 Q＝μmg（s-s1） 行李箱增加的动能 设电动机多消耗的电能为E，根据能量转化与守恒定律得 E＝ΔEk+Q 解得 E＝60J （3）若行李箱一直做匀减速直线运动，到达右端的速度 v1＝＝1.0m/s 若行李箱一直做匀加速直线运动，到达右端的速度 v2＝＝7.0m/s 若传送带的速度 v < v1 行李箱将一直做匀减速运动，到达右端后滑出，之后做平抛运动，时间 水平位移 x＝v1t = 0.3m 若传送带的速度 v1< v < v0 行李箱将先做匀减速运动，达到与传速带共速后匀速滑出，行李箱的水平位移 式中 为恒量，即水平位移x与传送带速度v成正比。 若传送带的速度 v>7.0m/s 时，行李箱一直做匀加速运动，到达右端后滑出，水平位移 x＝v2t＝2.1 m 行李箱从传送带水平抛出后的x-v图像如图所示 6．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，长为l的细绳上端悬于P点，下端拴一质量为m的小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．细绳的拉力大小等于 B．小球转动半圈，绳拉力的冲量与竖直方向夹角为 C．小球转动半圈，重力的冲量等于 D．小球转动半圈，绳拉力的冲量等于 【答案】C 【详解】A．小球竖直方向有 解得细绳的拉力大小，故A错误； BC．对小球有 解得， 小球转动半圈，重力的冲量 小球转动半圈，动量变化量大小 设绳拉力的冲量与竖直方向夹角为，则 联立解得 可知，故B错误，故C正确； D．小球转动半圈，根据动量原理，可知绳拉力的冲量 联立解得绳拉力的冲量，故D错误。 故选C。 7．（25-26高三上·北京昌平·期末）笛卡尔主张以动量（mv）量度运动，他认为：“在物质中存在一定量的运动，它的总和在世界上永远不会增加也不会消失。” 动量决定了物体在力的阻碍下能够运动多长时间，动量定理反映了力对时间的累积效应。 (1)一个质量为m的物体在光滑的水平面上受到恒力F的作用，做匀变速直线运动。在初始时刻，物体的速度为v0​，经过一段时间Δt，它的速度为v。请结合上述情境，根据牛顿运动定律推导动量定理。 (2)某同学用如图 1 所示实验装置验证动量定理。光滑轨道固定在水平面内，压力传感器固定在轨道的一端，前面装有弹簧圈的小车沿轨道运动并与压力传感器发生碰撞，与计算机相连的压力传感器记录下碰撞过程中传感器所受压力大小F，并描绘出F−t图像如图2所示。根据图像可得出小车受到压力的冲量大小，请写出如何根据图像确定碰撞过程中小车受到压力的冲量大小。 (3)现代切割技术常用的一种“水刀”如图3所示，它将水从高压水枪中高速射出，形成很细的圆柱形水束。用“水刀”切割钢板，水束以速度v垂直射向钢板，水射到钢板后的速度可视为0。请建立合理的物理模型，论证水束对钢板的平均冲击力大小F与v的关系满足。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）根据匀变速直线运动速度与时间的关系式有 解得物体做匀变速直线运动的加速度为 对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律有 变形得 其中是合外力的冲量，是末动量，是初动量，即合外力的冲量等于物体动量的变化，这就是动量定理。 （2）根据冲量的定义有 所以在图像中，冲量的大小等于图像与坐标轴围成的面积。具体操作：通过数方格、割补法等方式计算图2中曲线与轴围成的面积，该面积的数值即为小车受到压力的冲量大小。 （3）建立物理模型（柱状模型）：取极短时间内射到钢板上的水为研究对象，设水柱的横截面积为，水的密度为，则该段水柱的长度为 质量为 设钢板对水的平均作用力为，由题意可知，其方向与水的运动方向相反，由于水射到钢板后速度变为0，则对水列动量定理方程有 联立解得 根据牛顿第三定律可知，水柱对钢板的平均冲击力为 由于、均为定值，因此水束对钢板的平均冲击力的大小F与v的平方成正比，即。 8．（2026·北京西城·一模）北京正负电子对撞机是我国高能物理研究的重大科技基础设施，由长202米的直线加速器、周长240米的圆形储存环、北京谱仪和同步辐射实验装置等组成。已知元电荷为e，不计电子间的相互作用。 (1)直线加速器采用行波加速技术，可近似认为电子在加速过程中始终处于大小恒定的等效匀强电场中。位于加速器前端的电子枪发出的电子束（初速度可视为0）经加速管加速，动能达到Ek时撞击钨转换靶产生正负电子对。 a.求加速管中等效匀强电场的电压U。 b.设电子枪单位时间发射的电子个数为n，电子撞击靶的速率为v，请建立合理的物理模型，论证电子束对钨转换靶产生的冲击力大小F与v的关系满足，并确定α的值。 (2)接近光速c的电子进入圆形储存环，在磁场束缚下做圆周运动。运动过程中，电子因圆周运动持续均匀地向外辐射电磁波而损失能量，但其速度变化极小，可近似认为保持光速c不变。由爱因斯坦质能方程可知，接近光速运动的粒子能量变化时，其质量会发生明显变化。已知电子的初始能量为E0，每圈损失的能量为，为了保持电子在半径为R的轨道上做圆周运动，请推导磁感应强度B随时间t变化的关系式（忽略磁场变化引起的感生电场的影响）。 【答案】(1)a.；b.1 (2) 【详解】（1）a．电子加速过程，根据动能定理，有 解得 b．假设电子与靶撞击后被靶吸收，速度减为0，t内与靶撞击的电子个数 设电子质量为m，撞击过程根据动量定理，有 解得 根据牛顿第三定律，电子束对钨转换靶产生的冲击力大小，即 由此可知 （2）电子在磁场中做圆周运动，有 所以 由 可得 由题意得，， 联立可得 9．（2016·北京朝阳·二模）“大自然每个领域都是美妙绝伦的。”随着现代科技发展，人类不断实现着“上天入地”的梦想，但是“上天容易入地难”，人类对脚下的地球还有许多未解之谜。地球可看作是半径为R的球体。 （1）以下在计算万有引力时，地球可看作是质量集中在地心的质点。 a．已知地球两极的重力加速度为g1，赤道的重力加速度为g2，求地球自转的角速度ω； b．某次地震后，一位物理学家通过数据分析，发现地球的半径和质量以及两极的重力加速度g1都没变，但赤道的重力加速度由g2略微减小为g3，于是他建议应该略微调整地球静止卫星的轨道半径。请你求出静止卫星调整后的轨道半径与原来的轨道半径r之比。 （2）图1是地球内部地震波随深度的分布以及由此推断出的地球内部的结构图。在古登堡面附近，横波（S）消失且纵波（P）的速度与地表处的差不多，于是有人认为在古登堡面附近存在着很薄的气态圈层，为了探究气态圈层的压强，两位同学提出了以下方案。 甲同学的方案：如图2所示，由于地球的半径非常大，设想在气态圈层的外侧取一底面积很小的柱体，该柱体与气态圈层的外表面垂直。根据资料可知古登堡面的半径为R1，气态圈层之外地幔及地壳的平均密度为，平均重力加速度为g，地球表面的大气压强相对于该气态圈层的压强可忽略不计。 乙同学的方案：设想在该气态圈层内放置一个正方体，并且假定每个气体分子的质量为m，单位体积内的分子数为n，分子大小可以忽略，其速率均相等，且与正方体各面碰撞的机会均等，与各面碰撞前后瞬间，分子的速度方向都与各面垂直，且速率不变。根据古登堡面附近的温度可推知气体分子运动的平均速率为v。 请你选择其中的一种方案求出气态圈层的压强p。 【答案】（1）a．，b．；（2）甲同学：，乙同学： 【详解】（1）a．设地球的质量为M，对于质量为m的物体，在两极有 ① 在赤道，根据牛顿第二定律有 ② 联立①②可得 b．设地震后地球自转的角速度为，根据牛顿第二定律有 ③ 设静止卫星的质量为，根据牛顿第二定律，地震前有 ④ 地震后有 ⑤ 联立①②③④⑤可得 （2）甲同学的方案： 设该柱体的底面积为S，则柱体的总重力为 ⑥ 该柱体静止，支持力与重力的合力为零。即 ⑦ 由牛顿第三定律可知，柱体对气态圈层的压力 ⑧ 气态圈层中的气体压强为 ⑨ 联立⑥⑦⑧⑨式可得 乙同学的方案： 设正方体边长为a，时间内与一个面发生碰撞的气体分子数为N，则 ⑩，⑪ 设该面与气体分子间的压力大小为F，由动量定理得 ⑫ 则气体的压强为 ⑬ 联立⑩⑪⑫⑬式可得 10．（11-12高三上·北京·期中）低空跳伞是一种极限运动，一般在高楼、悬崖、高塔等固定物上起跳。人在空中降落过程中所受空气阻力随下落速度的增大而增大，而且速度越大空气阻力增大得越快。因低空跳伞下落的高度有限，导致在空中调整姿态、打开伞包的时间较短，所以其危险性比高空跳伞还要高。一名质量为70kg的跳伞运动员背有质量为10kg的伞包从某高层建筑顶层跳下，且一直沿竖直方向下落，其整个运动过程的图像如图所示。已知2.0s末的速度为18m/s，10s末拉开绳索开启降落伞，16.2s时安全落地，并稳稳地站立在地面上。g取10m/s2，请根据此图像估算： （1）起跳后2s内运动员（包括其随身携带的全部装备）所受平均阻力的大小； （2）运动员从脚触地到最后速度减为零的过程中，若不计伞的质量及此过程中的空气阻力，则运动员所需承受地面的平均冲击力多大； （3）开伞前空气阻力对跳伞运动员（包括其随身携带的全部装备）所做的功（结果保留三位有效数字）。 【答案】（1）80N；（2）2800N；（3） 【详解】（1）由图可知，起跳后前2s内运动员的运动近似是匀加速直线运动，其加速度为 设运动员所受平均阻力为f，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）由图可知，运动员脚触地时的速度，经时间速度减为零，设此过程中运动员所受平均冲击力大小为F，根据动量定理有 代入数据解得 （3）由图可知，10s末开伞时的速度v=40m/s，内图像与坐标轴围成的小格数约为小格，开伞前10s内运动员下落的高度约为 设前10s内空气阻力对运动员所做功为W，根据动能定理有 代入数据解得 11．（2026·北京东城·一模）磁悬浮列车是一种新型交通工具。 (1)某实验车按照设定的模式做直线运动。图1所示为该车由静止启动时，加速度随时间的变化曲线，求当加速度时，实验车速度的大小； (2)图2所示为磁悬浮列车的一种简化驱动模式：水平地面上有两根足够长的平行直导轨，导轨间有等间距的匀强磁场和，磁场沿竖直（垂直纸面）方向，二者方向相反。固定在实验车底部的线框的宽度与磁场间隔相等，当匀强磁场和同时以恒定速度向右运动时，线框受到的安培力驱动实验车向前运动。设线框的边长与导轨间距均为，线框的匝数为总电阻为，实验车与线框的总质量为，磁场运动的速度为，假设实验车受到的阻力恒为，求实验车的最大速率； (3)在列车高速运行过程中，空气阻力可能占列车运行总阻力的以上，因此减少磁悬浮列车所受的空气阻力十分重要。假设空气分子与列车车头发生弹性碰撞，列车车头表面光滑，在上述假设前提下完成下列问题： a.将列车车头简化为以速率水平匀速运动的长方体。试证明列车车头所受空气阻力大小与的关系满足，并确定的值； b.实际生活中，磁悬浮列车车头呈细长的流线型，如图3所示。请通过必要计算分析说明，设计为流线型时列车车头所受空气阻力f2小于f1。 【答案】(1)55m/s (2) (3)a.2     b.见解析 【详解】（1）列车由静止开始启动，根据a-t图线与坐标轴所围的面积等于速度，可得当加速度时，实验车速度的大小 （2）当车速为v时，金属框中感应电动势为 金属框中感应电流为 又因为 根据牛顿第二定律 列车速度最大时，则有 解得实验车的最大速率为 （3）a.设空气密度为，单个空气分子的质量为m0，车头截面积为S，则依题意，如图所示 空气分子以速率v撞到车头上，时间内撞击车头的空气质量     因为空气分子与车头发生弹性碰撞，所以，碰撞后，空气分子将以原速率反弹回来，根据动量定理 解得 即：f1与v的关系满足，即 b. 磁悬浮列车车头设计成细长的流线型时，可以简化为：车头平面与水平地面 成角度的斜面。如图所示 空气分子与车头发生弹性碰撞，垂直斜面分速度反向，平行斜面分速度不变。所以根据动量定理，有 可得 所以列车车头所受空气阻力f2小于f1. 12．（24-25高三上·北京·月考）利用物理模型对复杂现象进行分析，是重要的科学思维方法。 已知太阳的质量为M，半径为R，万有引力常量为G。 (1)太阳的外层大气不断向四周膨胀，形成由太阳径向向外的粒子流，通常被称为太阳风。关于太阳风的成因，一种观点认为：由于太阳外层温度高，粒子的动能较大，能够克服太阳的引力向外层空间运动。 ①已知质量为m的粒子与太阳中心相距r时具有的引力势能为（以无穷远处势能为零）。忽略粒子间的相互作用。求在距离太阳中心2R处、质量为m的粒子，为了脱离太阳引力的束缚所需的最小速率vmin。 ②太阳风会造成太阳质量的损失。已知太阳风粒子的平均质量为m，探测器在距离太阳r处，探测到该处单位体积内太阳风粒子的数目为n，太阳风粒子在探测器周围的平均速率为v。求单位时间内太阳因太阳风而损失的质量∆m。 (2)彗星的彗尾主要由尘埃粒子和气体组成。一种观点认为：太阳光辐射的压力和太阳的引力，对彗尾尘埃粒子的运动起关键作用。假定太阳光的辐射功率P0恒定，尘埃粒子可视为密度相同、半径不都相等的实心球体，辐射到粒子上的太阳光被全部吸收，太阳光的能量E、动量p、光速c的关系为。如图所示，当彗星运动到A处，部分尘埃粒子被释放出来，不再沿彗星轨道运动。已知沿轨道切线方向释放的三个尘埃粒子，分别沿直线Ab和曲线Aa、Ac运动。关于造成这三个尘埃粒子轨迹分开的原因，有同学认为是它们被释放出来时的速度大小不同所致。请判断该同学的结论是否正确，并通过分析讨论来说明。 【答案】(1)①；② (2)见解析 【详解】（1）①要使粒子脱离太阳引力的束缚至少需满足 解得 ②设太阳风粒子由太阳向空间各方向均匀射出，在极短时间∆t内，太阳风粒子可视为均匀分布在半径为r、厚度为Δx的球壳内，如图所示 该段时间内太阳因太阳风而损失的质量与该球壳内的粒子质量相同，有 解得 （2）该同学的结论不正确，造成三个尘埃粒子轨迹分开的原因是因为粒子半径不同所致，设半径为R的粒子运动到距离太阳r处时，∆t时间内接受到的太阳光能量为 ∆t时间内接受到的动量为 设粒子受到的辐射压力为F压，根据动量定理有 解得 设尘埃粒子的密度为ρ，该粒子的质量为 该粒子运动到距离太阳r处时所受的引力为 解得 运动路径Ab为直线的尘埃粒子受力平衡，即 由上式可见，F引、F压的比值与尘埃粒子到太阳的距离r无关，也与速度大小无关，仅由尘埃粒子的半径R决定，由于Ac路径向内弯曲，说明 即该尘埃粒子的半径 由于Aa路径向外弯曲，说明 即该尘埃粒子的半径 13．（2025·北京海淀·一模）如图1所示，把一个质量为的小球连接在劲度系数为的轻质弹簧的右端，弹簧的左端固定，小球置于光滑水平面，小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。以弹簧原长时小球的位置为坐标原点，以水平向右为正方向建立坐标轴。小球在运动过程中弹簧形变始终在弹性限度内，忽略摩擦阻力的影响。 (1)把小球拉向点的右方处，然后由静止释放，小球沿着坐标轴做往复运动。 a.在图2中画出弹簧弹力随变化的示意图，并由此求出小球从点向处运动过程中，弹簧弹力对小球做的功。 b.求小球从处运动到处的过程中，弹簧对小球的冲量。 (2)弹簧振子在运动过程中，求弹簧弹力对小球做正功时，其瞬时功率的最大值。 【答案】(1)示意图 ；，大小为，方向水平向左 (2) 【详解】（1）a.以水平向右为正方向，则 图像与x轴围成图形的面积表示弹力F做的功，则功 b.弹簧和小球整体的机械能守恒，有 得小球在点速度大小为 小球从处运动到处的过程中，由动量定理，有 解得弹簧对小球的冲量 大小为，方向水平向左。 （2）位移大小为x时，由整体机械能守恒，有 得速度大小 弹力的瞬时功率大小 得 由数学不等式知识，可知当时，即时，此时最大 最大值为 14．（17-18高三下·北京·阶段练习）甲图是我国自主研制的200mm离子电推进系统，已经全面应用于我国航天器。离子电推进系统的核心部件为离子推进器，它采用喷出带电离子的方式实现飞船的姿态和轨道的调整，具有大幅减少推进剂燃料消耗、操控更灵活、定位更精准等优势。 离子推进器的工作原理如图乙所示，推进剂氙原子P喷注入腔室C后，被电子枪G射出的电子碰撞而电离，成为带正电的氙离子。氙离子从腔室C中飘移过栅电极A的速度大小可忽略不计，在栅电极A、B之间的电场中加速，并从栅电极B喷出。在加速氙离子的过程中飞船获得推力。 已知栅电极A、B之间的电压为U，氙离子的质量为m、电荷量为q，AB间距为d，推进器单位时间内喷射的氙离子数目N。 (1)将该离子推进器固定在地面上进行试验。求： a. 氙离子经A、B之间的电场加速后，通过栅电极B时的速度v的大小，以及离子束的等效电流I； b. 求喷射离子过程中，对推进器产生的反冲作用力大小； (2)配有推进器的飞船在太空运行时，处于完全失重状态，为了构建推进器在太空中运作情景，离子推进器可视为放置在光滑的水平地面上．已知推进器的质量为M，且工作时质量保持不变，推进器刚开始运动的极短时间，可认为瞬间喷出N′个离子，即这些离子相对于地面以相同的速度同时喷出； c. 求喷出时每个离子的速度以及电场力对每个离子做的功； d. 这一过程中飞船向后移动的距离； e. 随着时间的推移，喷出的离子的动能逐渐变大还是变小？简要说明理由。 【答案】(1)a.， ；b. ；(2)c.，； d. ； e.动能越来越小 【详解】（1）a．由动能定理 得 所以 b．由动量定理 解得 根据牛顿第三定律 （2）c．根据能量守恒 根据动量守恒 得 所以 根据动能定理 d．根据动量守恒 得，两边同时对时间累积 又 所以 e．随着时间的推移，离子喷出时的动能越来越小．原因：随着时间的推移，推进器由于具有初速度，相同时间内，xM逐渐变大，xm越来越小，电场力对离子做功越来越小，获得的动能越来越小。 15．（2020·北京延庆·一模）在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使在不停地做热运动（速率约几百米每秒）的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时间， 为此已发明了“激光制冷”的技术。即利用激光作用于原子，使原子运动速率变慢，从而温度降低。 (1)若把原子和入射光子分别类比为一辆小车和一个小球，则“激光制冷”与下述的力学模型相似。如图所示，一辆质量为m的小车（左侧固定一轻质挡板以速度v0水平向右运动；一个动量大小为p。质量可以忽略的小球水平向左射入小车后动量变为零；紧接着不断重复上述过程，最终小车将停下来。设地面光滑。求： ①第一个小球入射后，小车的速度大小v1； ②从第一个小球入射开始计数到小车停止运动，共入射多少个小球? (2)近代物理认为，原子吸收光子的条件是入射光的频率接近于原子吸收光谱线的中心频率如图所示，现有一个原子A水平向右运动，激光束a和激光束b分别从左右射向原子A，两束激光的频率相同且都略低于原子吸收光谱线的中心频率、请分析： ①哪束激光能被原子A吸收?并说明理由； ②说出原子A吸收光子后的运动速度增大还是减小。 【答案】(1)① v0；②；(2)①激光束，理由见解析b ；②减小 【详解】(1)①取向右方向为正，小车与小球水平方向动量守恒 得 ②设入射n个小球后小车将停下来，由动量守恒定律得 解得。 (2)① 激光束b                 理由是原子A向右运动，是迎着激光束b运动的，根据多普勒效应，这个原子感受到激光束b的频率升高，进一步接近了原子吸收光谱线的中心频率，原子从激光束b吸收光子的几率增大。原子A的运动方向和激光束a的传播方向相同，所以它感受到激光束a的频率减小，根据多普勒效应，这个原子感受到激光束a的频率降低，进一步远离了原子吸收光谱线的中心频率，原子从激光束a吸收光子的几率减小。综上所述，原子A吸收了激光束b的光子。 ②减小。由动量守恒定理得 所以是减小了。 16．（21-22高三上·北京顺义·期中）如图所示。ABC为固定在竖直平面内的足够高足够长的光滑轨道，BC段水平。AB段与BC段平滑连接。质量小球从高为处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为的小球发生碰撞，碰撞前后两球的运动方向处于同一水平线上。求: （1）若两小球碰撞后粘连在一起，求碰后它们的共同速度和损失的机械能， （2）若两小球在碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后两小球速度的大小， （3）若两小球在碰撞过程中无机械能损失，且。为使两小球能发生第二次碰撞，求k应满足的条件。 【答案】（1），；（2），；（3） 【详解】（1）质量小球碰撞前的速度为v0，则有 若两小球碰撞后粘连在一起，根据动量守恒定律有 联立解得 （2）若发生弹性碰撞，则有 联立解得 （3）若两小球在碰撞过程中无机械能损失，且，则有 ， 为使两小球能发生第二次碰撞，则有 联立解得 17．（22-23高三上·北京昌平·期中）碰撞过程中的动量和能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为了方便探究，我们选用的碰撞小球为弹性小球、碰撞前后速度在同一直线上、无机械能损失的简化模型。 如图1所示，将一个大质量的弹性球A（质量为）和一个小质量的弹性球B（质量为）叠放在一起，从初始高度由静止竖直下落，不计空气阻力，且远大于球的半径。设A球与地面作用前的速度大小为（为未知量），A球和地面相碰后，以原速反弹；反弹后它和以向下运动的B球碰撞，如图2（甲）所示。碰后如图2（乙）所示。取竖直向上为正方向。 （1）a.求； b.有同学认为，两物体（选为一个系统）在竖直方向碰撞，由于重力的影响，系统动量不再守恒。现通过实验及计算说明这一问题。 某次实验时，测得，，，A和B碰撞时间，重力加速度g取。 ①求A和B相互作用前瞬间系统的总动量大小； ②求A和B相互作用过程中，系统总动量的变化量大小； ③计算的值。据此实验及结果，你认为物体在竖直方向碰撞过程中，是否可以应用动量守恒定律？并简要说明理由。 （2）若不计系统重力的影响，且，求碰撞后，球上升的最大高度。 【答案】（1）a.；b.①；②；③，本实验中，系统所受重力的冲量只占系统作用前总动量的1.8%，重力的影响可以忽略，所以可以应用动量守恒定律；（2） 【详解】（1）a.球和球从高度处由静止下落，到达水平面时的速度均为，则 解得 b.①作用前瞬间系统的总动量为 ②A和B相互作用过程中，由动量定理得，对A球 对B球 由牛顿第三定律知 解得 ③经分析知 本实验中，系统所受重力的冲量只占系统作用前总动量的1.8%，重力的影响可以忽略，所以可以应用动量守恒定律。 （2）A球和B球碰撞过程中，动量守恒、机械能守恒。 解得 如果 则球上升的最大高度为 由于 所以 18．（25-26高三上·北京·月考）某种型号的笔由弹簧、内芯和外壳三部分构成。小明同学在探究这种笔的弹跳问题时，发现笔的弹跳过程可简化为三个阶段：①把笔竖直倒立于水平硬桌面上，下压外壳使其下端接触桌面（如图1所示）；②把笔由静止释放，外壳竖直上升，当速度达到某一值时，弹簧恢复原长，此时外壳恰好与静止的内芯接触并碰撞，碰撞过程时间极短，碰撞后内芯与外壳具有竖直向上的共同速度（如图2所示）；③然后，内芯与外壳以相同速度离开桌面一起向上运动（如图3所示）。小明用计算机画出外壳的动能随上升高度h变化的部分图像如图所示。图中所标数据均为已知量，外壳上升到时，笔离开桌面，外壳上升最大高度为。 弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计弹簧质量和空气阻力。已知当弹簧的形变量为x时，弹簧的弹性势能为。 (1)在图中定性画出外壳从上升到最大高度过程中图像，并求外壳和内芯碰撞后瞬间的共同速度大小v； (2)求外壳的质量和碰撞前外壳的速度大小； (3)求内芯的质量。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）外壳上升到时，笔离开桌面，之后做竖直上抛，机械能是守恒的，即 随着高度的增加，动能是均匀减小的，故画出的图像如下图所示 上升的过程中，有 解得 （2）上升高度为时，外壳的动能最大，此时有弹簧弹力等于外壳的重力； 当上升高度为时，弹簧恢复原长，所以有 解得 从刚开始运动，到弹簧恢复原长的过程中，弹性势能转化为外壳的重力势能和动能，即有 解得 （3）外壳与内芯碰撞时，动量守恒，即 所以， 19．（20-21高三上·北京·期中）“势阱”是量子力学中的常见概念，在经典力学中也有体现。当粒子在某力场中运动，势能函数曲线在空间某范围内势能存在最小值，形如陷阱，粒子很难跑出来。各种形式的势能函数只要具有这种特点，我们都可以称它为势阱，比如重力势阱、引力势阱、弹力势阱等。 （1）如图甲所示，光滑轨道abcd固定在竖直平面内形成一重力势阱，两侧高分别为kH（k＞1）和H。3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号），质量均为m，2号和3号小球紧挨着静置于水平轨道的b处，1号小球从左侧a处沿着轨道从静止开始向下运动，在b处与其他小球发生弹性碰撞，碰撞前后都在轨道上运动。已知重力加速度为g。 ①计算说明3号小球离开该势阱在水平轨道cd运动时的速度大小。 ②若将2号球左侧涂胶（不计胶的质量），1、2号球碰撞后粘在一起，发现全部3个球都能离开该势阱，分析说明k满足什么条件？ （2）我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，从而摆脱地球引力势阱的束缚，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。 ①已知，取无限远处为零势能点，间距为r，质量分别为m1、m2的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：，式中G为引力常量且大小已知。假设地球是一半径为R，质量为M且质量分布均匀的球体，通过理论分析可知，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。在如图乙所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。并在纵坐标上标出探测器在地球表面时所具有的引力势能。 ②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。已知地球公转周期为12个月，如图丙所示，探测器由地球公转轨道上的H点开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，经霍曼转移轨道在I点到达火星。“天问一号”已于2020年7月23日发射升空，请根据上述信息推断“天问一号”到达火星的时间？请查阅资料，结合“天问一号”真实到达时间，对推断时间给出评价。（可能需要用到的数据：） 【答案】（1）①②k≥36；（2）①当r≥R时，，当0≤rR时，， ；②用时约为0.70倍的地球公转周期，即8.4个月左右，因此“天问一号”将于2021年4月初到达火星。火星与地球半径不是严格的1.5倍关系，火星和地球的公转轨道实际不共面，实际火星轨道为椭圆轨道等，这些建模过程中忽略的因素都会对结果造成影响。 【详解】（1）①1号小球与2、3小球碰撞之前的速度为v0，则由机械能守恒定律有 解得 由于3个小钢球完全相同，故由动量守恒定律可得1号小球把它的速度传递给3号小球，即 又由机械能守恒定律的 联立两式解得 ②若将2号球左侧涂胶，1、2号球碰撞后粘在一起，再与3号小球相碰，设碰后1、2号球速度为，3号小球速度为，则由动量守恒定律可得 若要3个球碰后都能离开该势阱，只要满足 ， 即可，联立解得：k≥36 （2）①当r≥R时，根据引力势能公式可得 当0≤rR时，则距离地心为r处的探测器受到地球引力作用部分的质量为 故地球内部万有引力 从地球外部向内部运动，万有引力做正功，则有 根据功能关系可得，从地球表面向内部运动 故地球内部势能的表达式为 整理即为 函数曲线如图所示 ②用时约为0.70倍的地球公转周期，即8.4个月左右，因此“天问一号”将于2021年4月初到达火星。火星与地球半径不是严格的1.5倍关系，火星和地球的公转轨道实际不共面，实际火星轨道为椭圆轨道等，这些建模过程中忽略的因素都会对结果造成影响。 20．（2020高三·北京·专题练习）如图所示，质量是M的木板静止在光滑水平面上，木板长为l0。一个质量为m的小滑块以初速度v0从左端滑上木板，由于滑块与木板间的摩擦作用，木板也开始向右滑动。滑块滑到木板右端时，两者恰好相对静止。求： (1)两者相对静止时共同速度为多少？ (2)此过程中有多少热量生成？ (3)滑块与木板间动摩擦因数多大？ 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】(1)木板与滑块组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 解得两者相对静止时共同速度为 (2)由能量守恒定律得 解得 (3)此过程产生的热量是由于摩擦产生的，因而有 解得滑块与木板间动摩擦因数 21．（2020·北京海淀·一模）在物理学中，研究微观物理问题可以借鉴宏观的物理模型，可使问题变得更加形象生动。弹簧的弹力和弹性势能变化与分子间的作用力以及分子势能变化情况有相似之处，因此在学习分子力和分子势能的过程中，我们可以将两者类比，以便于理解。 (1)质量相等的两个小球用劲度系数为k，原长为l0的轻弹簧相连，并置于光滑水平面上。现给其中一个小球沿着弹簧轴线方向的初速度，整个系统将运动起来，已知在此后的运动过程中弹簧的弹性势能大小Ep与弹簧的长度l的关系如图甲所示。 ①请说明曲线斜率的含义； ②已知弹簧最小长度为l1，求弹簧的最大长度l2为多大？ (2)研究分子势能是研究物体内能的重要内容。已知某物体中两个分子之间的势能Ep与两者之间距离r的关系曲线如图乙所示。 ①由图中可知，两分子间距离为r0时，分子势能最小，请说出r=r0时两分子间相互作用力的大小，并定性说明曲线斜率绝对值的大小及正负的物理意义； ②假设两个质量相同的分子只在分子力作用下绕两者连线的中点做匀速圆周运动，当两者相距为r1时，分子的加速度最大，此时两者之间的分子势能为Ep1，系统的动能与分子势能之和为E。请在如图乙所示的Ep—r曲线图像中的r轴上标出r1坐标的大致位置，并求出此时两分子之间的分子作用力大小。 【答案】(1)①弹簧的弹力，②l2=2 l0- l1；(2)①见解析，②图见解析， 【详解】(1)①曲线的斜率代表了弹簧的弹力 ②当弹簧最长或最短时，两球共速，由动量守恒定律得 mv0=2mv共 由能量守恒定律得 可得当弹簧最长和最短时，弹簧的弹性势能相等，因此弹簧的形变量相等，即有 l2- l0= l0- l1 得 l2=2l0- l1 (2)① r=r0时，分子间相互作用力大小为零；斜率绝对值的大小，反映分子间相互作用力的大小；斜率的正、负，反映分子间相互作用力是引力或斥力。 ② r1的坐标如图所示，是引力部分斜率最大的位置； 由能量守恒定律得 Ek+Ep1=E 其中Ek为系统的动能。 设分子的质量为m，则 对其中一个分子,由牛顿第二定律得 联立得 22．（24-25高三上·北京·期中）如图所示，光滑的凹槽ABCD固定在水平面上，凹槽横截面为圆弧的一部分，其半径R10m，弧长ABCD5cm，凹槽边长LADLBC0.2m，取g10m/s2。 (1)如图1所示，将一个可看作质点的小球自A点静止释放，求小球的运动周期。 (2)如图2所示，在A点给小球一个沿AD方向的初速度，使小球恰能通过C点，则初速度v应为多少？ (3)若凹槽并未固定，而是可在光滑水平面上自由移动，则可能会导致不同的运动结果。已知小球与凹槽的质量之比为1∶4，初始时刻自A点将小球静止释放，求： ⅰ.凹槽的最大位移（保留一位有效数字）； ⅱ.以初始时刻A点的位置为原点，在AB平面建立直角坐标系，此时凹槽圆心的坐标记为，试写出小球运动的轨迹方程，并说明其运动轨迹的形状。 【答案】(1) (2) (3)ⅰ.；ⅱ. ，椭圆。 【详解】（1）因为弧长远小于，所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性，符合类单摆模型，其圆弧半径为类单摆的摆长，由单摆的周期公式可得，小球的运动周期 （2）小球的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是以速度沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面上的往复运动，设全程所用时间为，小球恰能通过C点，则 且 联立解得初速度 （3）ⅰ.若凹槽并未固定，小球和凹槽组成的系统水平方向动量守恒，小球和凹槽的质量之比为1∶4，分别设为和 ，故水平方向 两边均乘以 解得 小球运动到凹槽的最右端时，凹槽位移最大，此时 又 联立解得凹槽的最大位移 ⅱ.以初始时刻A点的位置为原点，在AB平面建立直角坐标系，此时凹槽圆心的坐标记为，则当小球向右运动到位置时，凹槽向左运动距离，且圆弧半径 分析几何关系 整理得小球运动的轨迹方程为 轨迹为椭圆。 23．（2025·北京海淀·一模）寻求守恒量，是解决物理问题的重要方法。 (1)如图1所示，用细线悬挂的两个完全相同的小球，静止时恰能接触且悬线平行、球心等高。把小球1向左拉起一定高度h后由静止释放，与小球2发生弹性正碰。已知重力加速度为g，求碰后瞬间小球2的速度大小v。 (2)某同学设计了一个“电磁弹射”装置，并将其简化成如图2所示的模型。在水平光滑导轨上，固定着两个相同的“载流线圈”，放置着三个质量均为m的小磁铁充当“磁性弹头”，弹头2和弹头3左侧都非常靠近无磁性的、质量均为m的弹性“圆柱”。弹头和圆柱可以在水平导轨上沿轴线自由移动，圆柱静止时，其左端恰好位于载流线圈圆心处。发射过程如下：弹头1仅受载流线圈1施加的磁力作用从静止开始加速运动，通过碰撞将动能传给中间的弹头2；弹头2被载流线圈2加速，通过碰撞将动能传给弹头3，弹头3最终被弹出。 弹头可视为半径为r，电流大小恒为I、方向如图2方框中所示的单匝细圆线圈，且r远小于载流线圈半径。所有碰撞均可视为弹性正碰，不考虑弹头之间的磁力作用，相邻两线圈之间的距离足够远，水平轨道足够长。 a．标出载流线圈1和载流线圈2中电流的方向。 b．已知载流线圈1在弹头1处产生磁场的磁感应强度的轴向分量Bx和径向分量Br。求弹头1在图2方框中所示情况下受到载流线圈1的作用力的大小F。 c．通过查阅资料得知：电流为i、面积为S的单匝细圆线圈放入磁感应强度为B的外界匀强磁场中所具有的“势能”可表示为，其中θ为细圆线圈在轴向上产生的磁场与外界匀强磁场之间的夹角。 已知载流线圈1和载流线圈2在各自圆心处产生的磁感应强度大小均为 求弹头3理论上能获得的速度上限 【答案】(1) (2)a.；b. ；c. 【详解】（1）在小球1下落过程，依据动能定理有 可得 弹性碰撞过程中，以的方向为正方向，机械能和动量均守恒、 联立可得 （2）a.如图 b.可将细圆线圈视为由许多小段通电直导线组成，所有小段通电导线在径向磁场作用下安培力方向均向右，将每一小段通电导线受到的安培力求和，即为周长为的细圆线圈（即弹头）受到的总安培力可得 c.为使弹头3获得理论上的速度上限，应将弹头1放到左侧足够远处，且保证两弹性圆柱也足够长。设弹头1运动到载流线圈1处的速度大小为，根据能量守恒可得 弹头1与弹性圆柱之间发生弹性碰撞，设碰后弹头1和弹性圆柱的速度大小分别为和，根据弹性碰撞过程中，以的方向为正方向，机械能和动量均守恒，则有、 可得=0，= 即速度发生交换。同理，左侧的弹性圆柱与弹头2之间弹性碰撞后，速度也交换，弹头2获得速度继续向右运动。 与上述过程类似，设弹头2运动到载流线圈2处的速度大小为，根据能量守恒可得 接下来弹头2与右侧弹性圆柱交换速度、右侧弹性圆柱与弹头3交换速度，弹头3获得的最速度上限为 24．（19-20高三上·北京·期中）如图所示，有一质量为M=2kg的平板小车静止在光滑的水平地面上，现有质量均为m=1kg的小物块A和B（均可视为质点），由车上P处分别以初速度v1=2m/s向左和v2=4m/s向右运动，最终A、B两物块恰好停在小车两端与车相对静止没有脱离小车。已知两物块与小车间的动摩擦因数都为μ=0.1，取g=10m/s2。求： （1）求物块A刚开始滑动时加速度a大小； （2）求物块A、B与小车相对静止时共同速度v共及物块A、B在小车上滑动过程中产生的热量Q （3）求整个过程中物块B相对小车的位移x相大小。 【答案】(1) 1m/s2 (2)9.5J  (3)7.5m 【分析】本题考查动量定理和动能定理的应用。 【详解】（1）由牛顿第二定律： 解得： （2）取A、B、小车系统为研究对象，取v2方向为正方向，由动量守恒有： 解得： 由能量守恒有： 解得： （3）由题意可知，当AB都在小车上滑动时，小车保持静止，A、B均做加速度为a的匀减速，当A减速至零时B的速度v3=2m/s，设从开始至A减速至0，B的位移为x1 由运动学方程： 解得： 由题意：A减速至零后与车相对静止一起向右加速；B继续减速直至A、B和车共速，此过程中系统生热均来自于B与车相对滑动，设B相对车滑行距离x2，由能量守恒有： 解得： 所以 57 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴04 动量定理与动量守恒定律 典例·靶向·突破 题型01 冲量与动量 1． 【答案】A 【详解】A．根据题意，对重物和金属棒组成的系统受力分析可得4mg-mgsin30°-F安=5ma 金属棒受到的安培力为 随着系统开始运动，棒的加速度沿金属导轨向上，速度逐渐增大，安培力逐渐增大，则系统做加速度逐渐减小的加速运动，直至加速度为零时系统以速度v做匀速直线运动。对重物受力分析可得4mg-FT=4ma 根据上述分析可知细线的拉力一直增大，速度最大后拉力大小保持不变，故A错误； B．金属棒所受安培力的冲量为 平均电流为 平均电动势为 联立可得 故B正确； C．重物由静止释放到下落高度h时，由能量守恒定律得4mgh=mghsin30°+(m+4m)v2+Q总 解得Q总=m(7gh-5v2) 根据功能关系可知金属棒克服安培力做的功为 W=Q总=m(7gh-5v2) 故C正确； D．对系统由动量定理可知(4mg-mgsin30°)·Δt-I安=5mv 联立解得Δt= 故D正确。 本题选不正确的，故选A。 题型02 动量定理的多过程、多对象、曲线运动综合 2． 【答案】(1) (2)[1]先从a至b    后从b至a [2]      (3)，方向水平向左 【详解】（1）金属棒从P到M的运动过程，由动能定理可得 解得 （2）[1] 金属棒从P运动至过程中，金属棒有水平向右的速度分量，依据右手定则可得，电阻R中电流流向为从a至b；金属棒从运动至M过程中，金属棒有水平向左的速度分量，依据右手定则可得，电阻R中电流流向为从b至a。 [2] 金属棒从P运动至过程中 金属棒从运动至M过程中 （3）从P到M的过程中,通过电阻R的电荷量 对导体棒列动量定理，取水平向左为正方向 其中 解得 方向水平向左。 题型03 动量守恒定律 3． 【答案】（1）a．2.4m/s，b．，方向直于CD挡壁向上；（2）正确，见解析 【详解】（1）a.设母球和目标球碰撞后的速度分别为，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 联立解得 ， 即目标球被撞后瞬间速度的大小为。 b.建立如图所示坐标系，将目标球与CD挡壁碰撞前后的速度沿两坐标轴方向分解。 可知x轴方向动量变化为 y方向动量变化为 因此碰撞前后目标球的动量变化为 方向沿y轴正方向，即垂直于CD挡壁向上。设CD挡壁对目标球的作用力为F，根据动量定理 解得 方向直于CD挡壁向上。 （2）该同学的得出的结论正确。 由于两球碰撞遵循动量守恒定律和机械能守恒定律，碰前动量水平向右，所以碰后垂直于初速度方向的动量为零，又因为两球质量相等，所以 又有 联立解得 题型04 碰撞模型 4． 【答案】(1) (2)a.；b.；c. 【详解】（1）根据万有引力定律 代入人造卫星轨道半径2r0后可求得其角速度为 因周期 故卫星在穿越狭缝的轨道上运动的周期 （2）a.根据万有引力定律 狭缝中的颗粒及人造卫星的速度大小均为 因狭缝中的颗粒与人造卫星分别处于赤道轨道与极地轨道，在碰撞前瞬间两物体的速度方向互相垂直，故系统的动量大小 b.因撞击过程系统动量守恒，碰撞后瞬间系统的速度大小 整理得 c.卫星与颗粒完全非弹性碰撞后，系统具有的机械能为 系统从撞击点到土星光环边缘过程中，机械能守恒，设其在土星光环边缘的速度大小为，则机械能为 将其代入碰撞后瞬间机械能表达式化简后可求得 因运动过程中卫星恰好能沿土星光环边缘擦过，撞击点和土星光环边缘点为椭圆长轴上的两个端点，根据开普勒第二定律在椭圆长轴上的关系 代入得 两边平方化简后得 代入， 化简得 解得 因 故 题型05 复合过程 5． 【答案】D 【详解】B．由乙图可知物块C速度为 A、C碰撞过程由动量守恒定律 解得物块C的质量为mC=2kg，B错误； A．在4~12s的时间内弹簧对A、C的冲量为 墙壁对物块B的弹力在4~12s的时间内对B的冲量I的大小等于弹簧对AC冲量的大小，则为24N·s，A错误； CD．B离开墙后的过程中，当A、B、C共速时弹簧弹性势能最大，则由动量守恒定律 解得 弹簧具有的最大弹性势能，C错误，D正确。 故选D。 题型06 约束条件下动量临界问题 6． 【答案】(1) 2 m  (2)见解析 【详解】（1）与碰撞，由动量守恒定律 滑上木板后做匀减速运动，有 ， 两者速度相同时，有 得： 滑行距离 滑行距离 最大距离： （2）到右端滑落的临界条件是到达的右端时，具有共同的速度 则 又 再代入 得 即从的右端滑落 若在到达的右端之前，就与具有相同的速度，之后相对向左滑动，最后从的左端滑落，即有： 题型07 流体动量与连续介质作用 7． 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3)①见解析；②活塞的机械能通过碰撞转化为了气体分子的动能，从而使气体的内能增加 【详解】（1）取物体表面面积为S，在时间Δt内，撞击到该面积上的粒子来自于一个底面积为S、高为的柱体内。该柱体的体积为 其中粒子的总数为 每个粒子垂直撞击表面后以原速率反弹，其动量变化为 在Δt时间内，所有粒子的总动量变化为 根据动量定理，可得物体表面受到的平均作用力 单位面积所受的压力（即压强）为 （2）①单个分子的动量变化分子垂直碰撞容器壁后速率不变，动量变化为 单位时间内，单位面积上碰撞的分子数为N，因此总动量变化（即容器壁受到的总冲量）为 根据动量定理，压强等于单位时间内单位面积上受到的冲量，因此 ②理想气体状态方程为，变形可得 题目中保持不变，因此压强p也保持不变。分子的平均速率与热力学温度T的平方根成正比，当温度T升高时，分子的平均速率增大。由①中得到的压强表达式，在压强p不变的情况下，N与v成反比，所以可知当温度T升高时，N减小；温度T降低，则N增大。 （3）①设分子质量m；碰撞前分子相对地面的速率：v（方向向左）；活塞质量：M；碰撞前活塞相对地面的速率：u（方向向右，压缩气体） 碰撞为弹性正碰，满足动量守恒和动能守恒。以向右为正方向，根据动量守恒有 动能守恒 联立两式，解得碰撞后分子的速率 由于活塞质量，可近似，，代入得： 分子弹离活塞时的速率大小为，这明显大于碰撞前的速率。 ②压缩气体时，活塞对气体做功，从微观上看：运动的活塞会与迎面碰撞的气体分子发生弹性碰撞。根据①的计算，碰撞后分子的速率会增大，即分子的平均动能增加。理想气体的内能只与分子的平均动能有关，因此分子平均动能的增加，导致了气体内能的增大。简单来说，就是活塞的机械能通过碰撞转化为了气体分子的动能，从而使气体的内能增加。 题型08 实际科技情境动量建模 8． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 【详解】（1）探测器绕星球沿圆轨道匀速率运行时，万有引力提供向心力 即 可得 （2）氙离子经加速电压U加速后，相对探测器的速度大小为v，根据动能定理得 在t时间内喷出氙离子质量为 根据动量定理得 联立解得 根据牛顿第三定律知：探测器获得的反冲作用力大小为 探测器质量随时间的变化规律为 探测器加速度随时间的变化规律为 （3）①设探测器绕过行星后，行星速率为，以行星运动方向为正方向，根据动量守恒定律得 根据机械能守恒定律得 联立解得 由于 得。 ②行星与探测器相互作用时，发生动量和能量的转化。由于行星与探测器相对运动，行星具有较大的轨道速率，且，行星动能（或动量）损失很小，探测器却获得了较大的速率。 1． 【答案】（1）；；（2）；；（3）见解析 【详解】（1）碰撞前后x方向小球的动量变化 碰撞前后y方向小球的动量变化 （2）设碰后两球速度大小分别为、，规定x轴的正方向为正方向，x轴方向的动量守恒表达式如下 规定y轴的正方向为正方向，y轴方向的动量守恒表达式如下 联立，可得 ， （3）由对称性，当两端小球发生碰撞时示意图如图所示， 设两小球沿二者球心连线方向速度大小为vx，在垂直两小球球心连线方向的速度大小为vy，由机械能守恒定律和动量守恒定律，有 ， 解得 ， 可知在轻绳两端小球发生碰撞前瞬间，中央小球速度的大小为。 2． 【答案】（1）a   ，方向指向地心；b  0.3%，说明在地球表面上在一定的高度范围内引力场强基本恒定不变；（2）a.  两粒子来说的值相等；b  两粒子来说mq相等 【详解】（1）a.类比电场强度定义式 该点引力场强弱为 位于距地心r处的某点表达式 方向指向地心 B根据 这一结果说明在地球表面上在一定的高度范围内引力场强基本恒定不变 （2）a.设AB两点距离-Q的距离分别为rA和rB，粒子带电量为+q，质量为m；由于两粒子从A点由静止释放，到达B点的时间相同，可知粒子到达B点的速度vB相同；由能量关系可知，粒子在AB两点的电势能和动能之和守恒，则 即 则对两粒子来说 即 即对两粒子来说的值相等 b. 在AB过程中，若它们动量的变化相同，由 以及 解得 则对两粒子来说mq相等 3． 【答案】见详解 【详解】设单位长度的铁链质量为b，铁链的总长度为L，当铁链的最上端落在探测面上时，选取铁链最上端的一小段为研究对象，其质量为 根据自由落体运动公式 可知 取向下方向为正方向，根据动量定理有 解得 由牛顿第三定律知，探测面受到铁链最上端的压力为 此时除最上端外，其余部分的铁链已经落在探测面上，对探测面的压力为：N＝mg  其中：m＝bL则探测面受到的总压力为 当铁链的最上端落在探测面上后，探测面受到的压力大小为 由此可得：N1：N2＝3：1，实验结果是正确的。 4． 【答案】（1）．（2）； 【详解】(1)平均阻力为 依据牛顿第二定律和运动学规律有 ， 设飞机的起飞距离为，依据运动学公式 解得 设飞机的起飞时间为，依据运动学公式 平均阻力的冲量 解得 平均阻力冲量的方向与飞机运动方向相反。 (2)①电容器电压为时，电容器储存电能 设电容器释放的电能为，由动能定理有 解得 电容器剩余的电能 解得 ②依据图像可得电容器储存电能的规律 由于 则电容器充电电压为时，电容器储存电能 5． 【答案】（1）10N·s；（2）60J；（3）答案见详解 【详解】（1）行李箱刚滑上传送带时做匀加速直线运动，设行李箱受到的摩擦力为Ff，根据牛顿第二定律有 Ff＝μmg＝ma 解得 a＝μg＝2.0 m/s2 设行李箱速度达到v＝6.0 m/s时的位移为s1 v2－v02＝2as1 s1＝＝2.75m 即行李箱在传动带上能加速达到传送带的速度6.0 m/s，设摩擦力的冲量为If，依据动量定理 If＝mv－mv0 解得 If＝10N·s （2）在行李箱匀加速运动的过程中，传送带上任意一点移动的长度 s＝vt＝3 m 行李箱与传送带摩擦产生的内能 Q＝μmg（s-s1） 行李箱增加的动能 设电动机多消耗的电能为E，根据能量转化与守恒定律得 E＝ΔEk+Q 解得 E＝60J （3）若行李箱一直做匀减速直线运动，到达右端的速度 v1＝＝1.0m/s 若行李箱一直做匀加速直线运动，到达右端的速度 v2＝＝7.0m/s 若传送带的速度 v < v1 行李箱将一直做匀减速运动，到达右端后滑出，之后做平抛运动，时间 水平位移 x＝v1t = 0.3m 若传送带的速度 v1< v < v0 行李箱将先做匀减速运动，达到与传速带共速后匀速滑出，行李箱的水平位移 式中 为恒量，即水平位移x与传送带速度v成正比。 若传送带的速度 v>7.0m/s 时，行李箱一直做匀加速运动，到达右端后滑出，水平位移 x＝v2t＝2.1 m 行李箱从传送带水平抛出后的x-v图像如图所示 6． 【答案】C 【详解】A．小球竖直方向有 解得细绳的拉力大小，故A错误； BC．对小球有 解得， 小球转动半圈，重力的冲量 小球转动半圈，动量变化量大小 设绳拉力的冲量与竖直方向夹角为，则 联立解得 可知，故B错误，故C正确； D．小球转动半圈，根据动量原理，可知绳拉力的冲量 联立解得绳拉力的冲量，故D错误。 故选C。 7． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）根据匀变速直线运动速度与时间的关系式有 解得物体做匀变速直线运动的加速度为 对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律有 变形得 其中是合外力的冲量，是末动量，是初动量，即合外力的冲量等于物体动量的变化，这就是动量定理。 （2）根据冲量的定义有 所以在图像中，冲量的大小等于图像与坐标轴围成的面积。具体操作：通过数方格、割补法等方式计算图2中曲线与轴围成的面积，该面积的数值即为小车受到压力的冲量大小。 （3）建立物理模型（柱状模型）：取极短时间内射到钢板上的水为研究对象，设水柱的横截面积为，水的密度为，则该段水柱的长度为 质量为 设钢板对水的平均作用力为，由题意可知，其方向与水的运动方向相反，由于水射到钢板后速度变为0，则对水列动量定理方程有 联立解得 根据牛顿第三定律可知，水柱对钢板的平均冲击力为 由于、均为定值，因此水束对钢板的平均冲击力的大小F与v的平方成正比，即。 8． 【答案】(1)a.；b.1 (2) 【详解】（1）a．电子加速过程，根据动能定理，有 解得 b．假设电子与靶撞击后被靶吸收，速度减为0，t内与靶撞击的电子个数 设电子质量为m，撞击过程根据动量定理，有 解得 根据牛顿第三定律，电子束对钨转换靶产生的冲击力大小，即 由此可知 （2）电子在磁场中做圆周运动，有 所以 由 可得 由题意得，， 联立可得 9． 【答案】（1）a．，b．；（2）甲同学：，乙同学： 【详解】（1）a．设地球的质量为M，对于质量为m的物体，在两极有 ① 在赤道，根据牛顿第二定律有 ② 联立①②可得 b．设地震后地球自转的角速度为，根据牛顿第二定律有 ③ 设静止卫星的质量为，根据牛顿第二定律，地震前有 ④ 地震后有 ⑤ 联立①②③④⑤可得 （2）甲同学的方案： 设该柱体的底面积为S，则柱体的总重力为 ⑥ 该柱体静止，支持力与重力的合力为零。即 ⑦ 由牛顿第三定律可知，柱体对气态圈层的压力 ⑧ 气态圈层中的气体压强为 ⑨ 联立⑥⑦⑧⑨式可得 乙同学的方案： 设正方体边长为a，时间内与一个面发生碰撞的气体分子数为N，则 ⑩，⑪ 设该面与气体分子间的压力大小为F，由动量定理得 ⑫ 则气体的压强为 ⑬ 联立⑩⑪⑫⑬式可得 10． 【答案】（1）80N；（2）2800N；（3） 【详解】（1）由图可知，起跳后前2s内运动员的运动近似是匀加速直线运动，其加速度为 设运动员所受平均阻力为f，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）由图可知，运动员脚触地时的速度，经时间速度减为零，设此过程中运动员所受平均冲击力大小为F，根据动量定理有 代入数据解得 （3）由图可知，10s末开伞时的速度v=40m/s，内图像与坐标轴围成的小格数约为小格，开伞前10s内运动员下落的高度约为 设前10s内空气阻力对运动员所做功为W，根据动能定理有 代入数据解得 11． 【答案】(1)55m/s (2) (3)a.2     b.见解析 【详解】（1）列车由静止开始启动，根据a-t图线与坐标轴所围的面积等于速度，可得当加速度时，实验车速度的大小 （2）当车速为v时，金属框中感应电动势为 金属框中感应电流为 又因为 根据牛顿第二定律 列车速度最大时，则有 解得实验车的最大速率为 （3）a.设空气密度为，单个空气分子的质量为m0，车头截面积为S，则依题意，如图所示 空气分子以速率v撞到车头上，时间内撞击车头的空气质量     因为空气分子与车头发生弹性碰撞，所以，碰撞后，空气分子将以原速率反弹回来，根据动量定理 解得 即：f1与v的关系满足，即 b. 磁悬浮列车车头设计成细长的流线型时，可以简化为：车头平面与水平地面 成角度的斜面。如图所示 空气分子与车头发生弹性碰撞，垂直斜面分速度反向，平行斜面分速度不变。所以根据动量定理，有 可得 所以列车车头所受空气阻力f2小于f1. 12． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【详解】（1）①要使粒子脱离太阳引力的束缚至少需满足 解得 ②设太阳风粒子由太阳向空间各方向均匀射出，在极短时间∆t内，太阳风粒子可视为均匀分布在半径为r、厚度为Δx的球壳内，如图所示 该段时间内太阳因太阳风而损失的质量与该球壳内的粒子质量相同，有 解得 （2）该同学的结论不正确，造成三个尘埃粒子轨迹分开的原因是因为粒子半径不同所致，设半径为R的粒子运动到距离太阳r处时，∆t时间内接受到的太阳光能量为 ∆t时间内接受到的动量为 设粒子受到的辐射压力为F压，根据动量定理有 解得 设尘埃粒子的密度为ρ，该粒子的质量为 该粒子运动到距离太阳r处时所受的引力为 解得 运动路径Ab为直线的尘埃粒子受力平衡，即 由上式可见，F引、F压的比值与尘埃粒子到太阳的距离r无关，也与速度大小无关，仅由尘埃粒子的半径R决定，由于Ac路径向内弯曲，说明 即该尘埃粒子的半径 由于Aa路径向外弯曲，说明 即该尘埃粒子的半径 13． 【答案】(1)示意图 ；，大小为，方向水平向左 (2) 【详解】（1）a.以水平向右为正方向，则 图像与x轴围成图形的面积表示弹力F做的功，则功 b.弹簧和小球整体的机械能守恒，有 得小球在点速度大小为 小球从处运动到处的过程中，由动量定理，有 解得弹簧对小球的冲量 大小为，方向水平向左。 （2）位移大小为x时，由整体机械能守恒，有 得速度大小 弹力的瞬时功率大小 得 由数学不等式知识，可知当时，即时，此时最大 最大值为 14． 【答案】(1)a.， ；b. ；(2)c.，； d. ； e.动能越来越小 【详解】（1）a．由动能定理 得 所以 b．由动量定理 解得 根据牛顿第三定律 （2）c．根据能量守恒 根据动量守恒 得 所以 根据动能定理 d．根据动量守恒 得，两边同时对时间累积 又 所以 e．随着时间的推移，离子喷出时的动能越来越小．原因：随着时间的推移，推进器由于具有初速度，相同时间内，xM逐渐变大，xm越来越小，电场力对离子做功越来越小，获得的动能越来越小。 15． 【答案】(1)① v0；②；(2)①激光束，理由见解析b ；②减小 【详解】(1)①取向右方向为正，小车与小球水平方向动量守恒 得 ②设入射n个小球后小车将停下来，由动量守恒定律得 解得。 (2)① 激光束b                 理由是原子A向右运动，是迎着激光束b运动的，根据多普勒效应，这个原子感受到激光束b的频率升高，进一步接近了原子吸收光谱线的中心频率，原子从激光束b吸收光子的几率增大。原子A的运动方向和激光束a的传播方向相同，所以它感受到激光束a的频率减小，根据多普勒效应，这个原子感受到激光束a的频率降低，进一步远离了原子吸收光谱线的中心频率，原子从激光束a吸收光子的几率减小。综上所述，原子A吸收了激光束b的光子。 ②减小。由动量守恒定理得 所以是减小了。 16． 【答案】（1），；（2），；（3） 【详解】（1）质量小球碰撞前的速度为v0，则有 若两小球碰撞后粘连在一起，根据动量守恒定律有 联立解得 （2）若发生弹性碰撞，则有 联立解得 （3）若两小球在碰撞过程中无机械能损失，且，则有 ， 为使两小球能发生第二次碰撞，则有 联立解得 17． 【答案】（1）a.；b.①；②；③，本实验中，系统所受重力的冲量只占系统作用前总动量的1.8%，重力的影响可以忽略，所以可以应用动量守恒定律；（2） 【详解】（1）a.球和球从高度处由静止下落，到达水平面时的速度均为，则 解得 b.①作用前瞬间系统的总动量为 ②A和B相互作用过程中，由动量定理得，对A球 对B球 由牛顿第三定律知 解得 ③经分析知 本实验中，系统所受重力的冲量只占系统作用前总动量的1.8%，重力的影响可以忽略，所以可以应用动量守恒定律。 （2）A球和B球碰撞过程中，动量守恒、机械能守恒。 解得 如果 则球上升的最大高度为 由于 所以 18． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）外壳上升到时，笔离开桌面，之后做竖直上抛，机械能是守恒的，即 随着高度的增加，动能是均匀减小的，故画出的图像如下图所示 上升的过程中，有 解得 （2）上升高度为时，外壳的动能最大，此时有弹簧弹力等于外壳的重力； 当上升高度为时，弹簧恢复原长，所以有 解得 从刚开始运动，到弹簧恢复原长的过程中，弹性势能转化为外壳的重力势能和动能，即有 解得 （3）外壳与内芯碰撞时，动量守恒，即 所以， 19． 【答案】（1）①②k≥36；（2）①当r≥R时，，当0≤rR时，， ；②用时约为0.70倍的地球公转周期，即8.4个月左右，因此“天问一号”将于2021年4月初到达火星。火星与地球半径不是严格的1.5倍关系，火星和地球的公转轨道实际不共面，实际火星轨道为椭圆轨道等，这些建模过程中忽略的因素都会对结果造成影响。 【详解】（1）①1号小球与2、3小球碰撞之前的速度为v0，则由机械能守恒定律有 解得 由于3个小钢球完全相同，故由动量守恒定律可得1号小球把它的速度传递给3号小球，即 又由机械能守恒定律的 联立两式解得 ②若将2号球左侧涂胶，1、2号球碰撞后粘在一起，再与3号小球相碰，设碰后1、2号球速度为，3号小球速度为，则由动量守恒定律可得 若要3个球碰后都能离开该势阱，只要满足 ， 即可，联立解得：k≥36 （2）①当r≥R时，根据引力势能公式可得 当0≤rR时，则距离地心为r处的探测器受到地球引力作用部分的质量为 故地球内部万有引力 从地球外部向内部运动，万有引力做正功，则有 根据功能关系可得，从地球表面向内部运动 故地球内部势能的表达式为 整理即为 函数曲线如图所示 ②用时约为0.70倍的地球公转周期，即8.4个月左右，因此“天问一号”将于2021年4月初到达火星。火星与地球半径不是严格的1.5倍关系，火星和地球的公转轨道实际不共面，实际火星轨道为椭圆轨道等，这些建模过程中忽略的因素都会对结果造成影响。 20． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】(1)木板与滑块组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 解得两者相对静止时共同速度为 (2)由能量守恒定律得 解得 (3)此过程产生的热量是由于摩擦产生的，因而有 解得滑块与木板间动摩擦因数 21． 【答案】(1)①弹簧的弹力，②l2=2 l0- l1；(2)①见解析，②图见解析， 【详解】(1)①曲线的斜率代表了弹簧的弹力 ②当弹簧最长或最短时，两球共速，由动量守恒定律得 mv0=2mv共 由能量守恒定律得 可得当弹簧最长和最短时，弹簧的弹性势能相等，因此弹簧的形变量相等，即有 l2- l0= l0- l1 得 l2=2l0- l1 (2)① r=r0时，分子间相互作用力大小为零；斜率绝对值的大小，反映分子间相互作用力的大小；斜率的正、负，反映分子间相互作用力是引力或斥力。 ② r1的坐标如图所示，是引力部分斜率最大的位置； 由能量守恒定律得 Ek+Ep1=E 其中Ek为系统的动能。 设分子的质量为m，则 对其中一个分子,由牛顿第二定律得 联立得 22． 【答案】(1) (2) (3)ⅰ.；ⅱ. ，椭圆。 【详解】（1）因为弧长远小于，所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性，符合类单摆模型，其圆弧半径为类单摆的摆长，由单摆的周期公式可得，小球的运动周期 （2）小球的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是以速度沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面上的往复运动，设全程所用时间为，小球恰能通过C点，则 且 联立解得初速度 （3）ⅰ.若凹槽并未固定，小球和凹槽组成的系统水平方向动量守恒，小球和凹槽的质量之比为1∶4，分别设为和 ，故水平方向 两边均乘以 解得 小球运动到凹槽的最右端时，凹槽位移最大，此时 又 联立解得凹槽的最大位移 ⅱ.以初始时刻A点的位置为原点，在AB平面建立直角坐标系，此时凹槽圆心的坐标记为，则当小球向右运动到位置时，凹槽向左运动距离，且圆弧半径 分析几何关系 整理得小球运动的轨迹方程为 轨迹为椭圆。 23． 【答案】(1) (2)a.；b. ；c. 【详解】（1）在小球1下落过程，依据动能定理有 可得 弹性碰撞过程中，以的方向为正方向，机械能和动量均守恒、 联立可得 （2）a.如图 b.可将细圆线圈视为由许多小段通电直导线组成，所有小段通电导线在径向磁场作用下安培力方向均向右，将每一小段通电导线受到的安培力求和，即为周长为的细圆线圈（即弹头）受到的总安培力可得 c.为使弹头3获得理论上的速度上限，应将弹头1放到左侧足够远处，且保证两弹性圆柱也足够长。设弹头1运动到载流线圈1处的速度大小为，根据能量守恒可得 弹头1与弹性圆柱之间发生弹性碰撞，设碰后弹头1和弹性圆柱的速度大小分别为和，根据弹性碰撞过程中，以的方向为正方向，机械能和动量均守恒，则有、 可得=0，= 即速度发生交换。同理，左侧的弹性圆柱与弹头2之间弹性碰撞后，速度也交换，弹头2获得速度继续向右运动。 与上述过程类似，设弹头2运动到载流线圈2处的速度大小为，根据能量守恒可得 接下来弹头2与右侧弹性圆柱交换速度、右侧弹性圆柱与弹头3交换速度，弹头3获得的最速度上限为 24． 【答案】(1) 1m/s2 (2)9.5J  (3)7.5m 【分析】本题考查动量定理和动能定理的应用。 【详解】（1）由牛顿第二定律： 解得： （2）取A、B、小车系统为研究对象，取v2方向为正方向，由动量守恒有： 解得： 由能量守恒有： 解得： （3）由题意可知，当AB都在小车上滑动时，小车保持静止，A、B均做加速度为a的匀减速，当A减速至零时B的速度v3=2m/s，设从开始至A减速至0，B的位移为x1 由运动学方程： 解得： 由题意：A减速至零后与车相对静止一起向右加速；B继续减速直至A、B和车共速，此过程中系统生热均来自于B与车相对滑动，设B相对车滑行距离x2，由能量守恒有： 解得： 所以 4 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $