压轴09 用力学三大观点处理多过程运动问题（压轴题专练）（北京专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴09 用力学三大观点处理多过程运动问题 命题预测 力学三大观点（牛顿运动定律、动量定理/动量守恒、能量守恒/功能关系）是北京高考物理压轴核心骨架，近5年持续聚焦多阶段变加速、多物体相互作用、场力叠加、临界衔接、图像关联、科技建模等高阶综合情境，突出过程拆解、状态关联、规律优选、等效转化四大核心思维，是区分高分段的核心模块。 预计2026年北京三模与高考，将延续“多过程嵌套、多力综合、观点融合、情境前沿”命题逻辑，以变加速多段运动、碰撞/相互作用、场力（重力/电场力）叠加、临界极值、图像推导、实际应用为核心，侧重规律优选、过程建模、临界分析、综合运算，是高分突破必争压轴专题。 高频考法 1. 多段变加速：匀变衔接、变力作用、阶段受力突变、运动状态转折 2. 动量观点：动量定理微元、系统动量守恒、冲量关联、碰撞模型 3. 能量观点：功能关系、能量守恒、势能转化、变力做功 4. 场力叠加：重力＋电场力、变力场、复合场多过程 5. 临界极值：速度/位移极值、受力临界、状态突变、衔接临界 6. 图像关联：v-t、a-t、F-x、E-x图像、规律推导、数形结合 7. 多物体：连接体、板块模型、相互作用、动量能量联立 8. 科技情境：变加速装置、碰撞应用、能量回收、动力系统建模 知识·技法·思维 考向01 多段变加速运动（过程拆解） 1. 阶段受力分析： · 匀变速衔接：恒力作用、加速度突变、运动状态转折（匀加→匀减/匀速）。 · 变力作用：变加速（F随v/x/t变化）、动态受力、加速度动态变化。 · 场力突变：重力/电场力叠加、场强突变、受力突变引发运动转折。 2. 过程衔接规律： · 速度衔接：相邻阶段末速度＝初速度，矢量守恒。 · 位移关联：分段位移叠加、几何约束、边界限制。 · 时间关联：分段时间累加、运动周期、阶段时长推导。 3. 方法选择： · 短时间/瞬时：优先动量定理（微元、冲量、瞬时作用）。 · 长过程/位移：优先能量守恒/功能关系（变力做功、能量转化）。 · 恒力/匀变速：牛顿定律＋运动学（加速度、时间、位移直接关联）。 考向02 动量观点综合应用（冲量与守恒） 1. 动量定理（微元/全程）： · 变力冲量：微元求和（）、变力作用全程分析。 · 场力冲量：重力/电场力冲量、恒力冲量直接计算，变力冲量用动量定理计算。 · 瞬时作用：碰撞、冲击、短时间作用，动量定理优先（忽略位移、聚焦速度变化）。 2. 动量守恒（系统/临界）： · 守恒条件：合外力为零、内力远大于外力（碰撞/瞬时）、某方向合外力为零。 · 系统选取：多物体系统、内力分析、守恒方向判定。 · 临界守恒：共速临界、速度极值、碰撞临界（弹性/非弹性）。 3. 动量能量联立： · 碰撞模型：弹性碰撞（动量＋动能守恒）、非弹性碰撞（动量守恒＋动能损失）。 · 多物体相互作用：动量守恒＋能量守恒、联立求解速度/位移极值。 考向03 能量观点综合应用（功能与守恒） 1. 功能关系（变力做功）： · 变力做功：、安培力/电场力/变力做功、全程功能关系。 · 场力做功：重力做功（）、电场力做功（）、势能转化。 · 其他力做功：摩擦力/阻力做功、内能转化、能量损耗。 2. 能量守恒（系统/全程）： · 系统能量：动能＋重力势能＋电势能＋内能＝恒量，全程能量转化。 · 变加速能量：动能变化、势能变化、变力做功。 · 临界能量：极值动能、极值势能、能量分配的临界。 3. 图像能量： · E-x、Ek-x、W-F图像、面积表示做功、斜率表示力、数形结合推导。 考向04 三大观点融合建模（选择与联立） 1. 方法选择的原则： · 恒力＋匀变速：牛顿定律＋运动学（直接关联a、t、x、v）。 · 变力/长过程：能量守恒/功能关系（规避变力积分、聚焦能量变化）。 · 瞬时/短时间：动量定理（忽略位移、冲量关联速度变化）。 · 多物体/相互作用：动量守恒＋能量守恒（联立求解、规避内力分析）。 2. 多过程联立： · 分段规律：每段优选对应观点、分段列式、状态量关联。 · 全程联立：动量定理＋能量守恒、牛顿定律＋能量关系、跨过程联立求解。 3. 等效转化： · 变加速等效：等效恒力、等效加速度、简化运动模型。 · 碰撞等效：弹性碰撞等效、速度交换、简化计算。 考向05 场力叠加多过程（重力＋电场力） 1. 复合场受力： · 重力＋匀强电场：等效重力、等效加速度、匀变速多过程。 · 重力＋交变电场：变加速、周期性运动、阶段受力突变。 · 变电场＋恒重力：动态受力、加速度变化、运动转折。 2. 多过程分析： · 场强恒定：等效重力场、匀变速运动、三大观点通用。 · 场强突变：受力突变、运动转折、分段建模。 · 周期性场：往复运动、周期关联、能量周期性转化。 考向06 临界极值分析（速度/位移/能量） 1. 速度极值： · 最大速度：合力为零、动力＝阻力、收尾匀速。 · 最小速度：临界受力、速度为零、状态转折。 · 极值速度：场力平衡、变力临界、运动极限。 2. 位移极值： · 最大位移：速度为零、动能耗尽、能量临界。 · 临界位移：边界约束、受力临界、运动极限。 3. 能量极值： · 极值动能：速度极值、能量分配临界。 · 极值势能：位移极值、势能极值、能量转化临界。 考向07 图像关联多过程（数形结合） 1. 运动图像（v-t/a-t）： · v-t图像：斜率＝加速度、面积＝位移、分段运动、状态转折。 · a-t图像：面积＝速度变化、变加速动态分析、受力关联。 2. 能量/力图像（F-x/E-x）： · F-x图像：面积＝做功、变力做功、能量转化。 · E-x图像：斜率＝力、势能变化、能量动态关联。 3. 图像推导： · 由图像求物理量、规律推导、临界判定、数形结合建模。 考向08 多物体相互作用（板块/连接体） 1. 板块模型： · 滑块-木板：摩擦力相互作用、动量守恒、能量损耗、相对位移。 · 临界状态：共速临界、相对滑动临界、摩擦力突变。 2. 连接体模型： · 绳/杆连接：内力分析、加速度关联、多过程运动。 · 变力连接：动态内力、加速度变化、状态转折。 3. 相互作用： · 内力冲量、动量守恒、能量转化、联立求解。 典例·靶向·突破 题型01 多段变加速运动 1．（2026·北京东城·二模）扇车又名风车，是我国古代具有代表性的粮食清选工具。图甲为封闭扇车实物图，图乙为封闭扇车在竖直面内的剖面示意图。工作时将待筛选的谷物倒进上方的喂料斗，斗阀板A竖直，谷物紧贴斗阀板A左侧自由下落（不计初速度）。逆时针匀速转动曲柄摇手，空气在圆形风腔的上方水平向左匀速经风道流出，风道内可认为在Ⅰ区域无风，在Ⅱ区域风力大小恒定。若转速越快，则风力越大。密度小的糠秕及轻杂物被风从左侧出风口吹出，不太饱满的谷物从左下方二料口流出，而密度大的饱满谷物从下方出粮口流出，这样就把糠秕与谷物分开了。图乙中B点为出粮口左边界，C点为二料口左边界，BC处于同一水平线上。斗阀板A与B点的水平距离为l，A与风道左侧出风口的距离为s，斗阀板A长为d，风道高为D。假设谷物在竖直方向仅受重力作用，待筛选的谷物中只存在饱满谷物、糠秕（质量是饱满谷物质量的20%）和不饱满谷物（质量是饱满谷物质量的70%），在相同的转速时，认为糠秕、饱满谷物与不饱满谷物所受风力一样大，忽略谷物间的作用力。 (1)在某次粮食清选的过程中，以一定的转速转动曲柄摇手，发现在出粮口有不饱满谷物出现。为了让不饱满谷物从二料口流出，请简要说明应如何操作？ (2)经过相应调整后，饱满谷物恰好经B点从出粮口流出。已知l=0.20 m，s=0.60 m，d=0.05 m，D=0.45 m，饱满谷物的质量m1取2.5×10-5 kg，g取10 m/s2。 a．此时饱满谷物受到的风力大小为多少？ b．通过计算说明，这批谷物经过风道，糠秕是从出风口飞出还是二料口流出？ 【答案】(1)应适当增大转速 (2)a． b．出风口 【详解】（1）应适当增大转速。转速越快风力越大，不饱满谷物水平方向加速度增大，相同竖直下落时间内水平向左位移增大，就能从二料口流出。 但转速不宜过大，防止不饱满谷物从出风口飞出。 （2）a．饱满谷物竖直方向始终只受重力，做自由下落运动， 在区域Ⅰ内运动时间为 竖直方向上 解得 设从A下端到B点过程中运动时间为 从喂料斗下方出口到B点过程中，总下落高度 解得 水平方向：Ⅰ区域无风，进入Ⅱ区域后水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，总水平位移 根据牛顿第二定律 ​ 解得 b．糠秕质量 ​，风力大小和饱满谷物相同，因此水平加速度 总下落时间和饱满谷物相同，因此糠秕到达BC水平面时的总水平位移 已知出风口到A点的水平距离 说明糠秕在到达二料口/出粮口前，水平位移已经超出出风口，因此糠秕从出风口飞出。 题型解码 以生活科技情境为载体，聚焦多段变加速过程拆解，融合受力突变、运动状态转折与运动学规律，突出过程拆分、临界条件判定与物理量关联，考查变加速建模与综合分析能力。 题型02 动量观点综合应用 2．（2026·北京丰台·二模）如图甲所示为某新型无人水下航行器的简化示意图，该航行器的机翼为矩形，机翼长为l、宽为c，厚度忽略不计。航行器以水平速度v在密度为ρ的静止海水中匀速航行时，由于与海水相互作用，会受到与运动方向相反的阻力。为简化问题的研究，只考虑机翼上下表面厚度均为d的海水层与机翼之间的相互作用。该海水层与机翼相互作用后速度增至v水，方向与航行器速度方向相同，满足（，其中k为定值）。航行器的机翼平面始终与水平面平行，忽略机身和机翼其他表面与海水的相互作用。 (1)求单位时间内与机翼相互作用的海水层质量Δm； (2)求航行器所需水平方向动力的大小F； (3)航行器可以利用声呐系统发射声波束探测目标。若航行器悬停在水中，发射的声波束沿中心轴线方向最大截面的顶角为θ（θ很小），如图乙所示。声波束在传播的过程中，垂直于中心轴线的截面不断变大。声呐系统向外发射功率为P0的声波束，在声波束内垂直中心轴线同一截面上的功率分布均匀。目标探测物位于声呐系统的正前方，其接收声波的有效面积为S0，该面积垂直于声波束的中心轴线，且远小于声波束在该处截面的面积。若目标探测物接收到的功率至少为Pm时，其反射回的信号才能被航行器的声呐系统探测到。忽略声波在传播过程中能量的损失，求航行器能探测到正前方目标物的最大探测距离Lm。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）航行器匀速时，时间内与机翼上下表面相互作用的海水层质量 单位时间内海水层质量 （2）在内对海水层，规定航行器的航行方向为正，设航行器对海水层的作用力为，根据动量定理，有 由题中已知得 根据牛顿第三定律，航行器受阻力与海水层受力大小相等，方向相反，即 对航行器，由平衡方程 得 （3）当目标接收到的功率时有最大探测距离 距声呐处的声波束截面半径 此截面单位面积的功率，目标接收功率 联立得 题型解码 依托流体相互作用情境，聚焦动量定理微元应用，关联变力冲量、动量变化与牛顿第三定律，突出微元建模、动态受力分析与规律迁移，考查动量观点高阶建模能力。 题型03 能量观点综合应用 3．（2026·北京朝阳·二模）模型的修正和完善伴随着我们对物理本质更深入的认识。某学习小组对过山车的运动进行了深入研究。已知重力加速度为g，不计摩擦及空气阻力。 (1)先将过山车用可视为质点的小球来替代。 a．图甲所示的装置由两段可视为竖直平面内的倾斜直轨道与一半径为R的圆轨道顺接组成，在圆轨道最低点处的两侧稍微错开一小段距离，且分别与左右两侧的斜直轨道平滑相接。将一小球从左侧倾斜直轨道上某位置由静止释放，小球恰好能通过圆轨道最高点，求小球在圆轨道最高点的速度大小v1； b．实际的过山车竖直回环轨道不是正圆，而是设计成图乙所示的扁轨道，可将其简化为图丙所示的轨道。研究一般的曲线运动时，我们可将运动过程分割为许多很短的小段，每小段的运动均可看作是圆周运动的一部分。若轨道承压足够大，请比较小球从同一位置P由静止释放，分别沿扁轨道、正圆轨道到达最高点Q时轨道对其压力的大小关系，并说明这种设计的优点。 (2)实际的过山车并不能视为质点。如图丁所示，一列长为L、质量为M的玩具过山车，在无动力情况下，从水平轨道冲上半径为r的竖直圆轨道。已知L>2πr，不计过山车自身高度及相邻车体间碰撞。在车体始终布满轨道的一段时间内，过山车的速率保持不变，请在该段时间内分析下列问题： a．推导最高点处车体之间的拉力大小； b．取轨道最高点处的一小段长度为s的车体为研究对象。若此时左、右侧车体对其拉力大小可视为相等，且两力的合力大小为a问中拉力的倍，求该小段车体通过最高点时的最小速度vm。 【答案】(1)a．；b．见解析 (2)a．见解析；b． 【详解】（1）a．小球恰好能通过圆轨道最高点，说明在最高点轨道对小球的弹力为零，重力完全提供向心力。根据牛顿第二定律有 解得 b．小球从同一位置P由静止释放，根据机械能守恒定律，到达最高点Q时，重力势能变化量相同，故动能变化量相同，到达Q点的速度大小相等。在最高点Q，根据牛顿第二定律有 得 由图丙可知，扁轨道在最高点Q处的曲率半径小于正圆轨道的半径，因为相同，所以，即沿扁轨道到达最高点时轨道对小球的压力较大。这种设计的优点是可以提高安全性。 （2）由于过山车速率保持不变，且车体始终布满轨道，说明圆轨道部分的重力势能不变，水平轨道部分重力势能也不变，故整体机械能守恒，动能不变。对于水平轨道上的车体，做匀速直线运动且不计摩擦，故水平轨道内车体间张力为零。因此，圆轨道最低点出口处车体间的拉力。取圆轨道上从最低点出口到最高点的一段车体为研究对象，设线密度为。在任意位置（与竖直向下方向夹角）取微元 质量 由于速率不变，切向加速度为零，切向合力为零。从最低点到最高点，重力沿切线方向的分力阻碍运动，拉力需克服重力分量增加。根据平衡条件，得最高点拉力 b．取最高点处长度为的一小段车体，其质量 该小段车体受重力、轨道作用力以及两侧车体的拉力。两侧拉力的合力指向圆心，根据题意及几何关系（小角度近似），合力大小 代入，得 在最高点，根据牛顿第二定律，合外力提供向心力 当车体恰好不脱离轨道时，速度最小，此时。方程变为 即 解得 题型解码 以曲线运动实际模型为背景，融合机械能守恒、向心力公式与微元分析，聚焦曲率半径影响、能量转化与临界极值，突出等效建模、规律优选与安全设计思维，考查能量观点综合应用能力。 题型04 三大观点融合建模 4．（2026·北京昌平·一模）为使飞机能够在有限长度的甲板上安全着陆，甲板上会设置阻拦系统，阻拦系统对飞机施加一作用力，使飞机短距离滑行后停下。为模拟飞机的着陆过程，某学习小组设计了两种阻拦系统模型。 (1)第一种模型如图1所示，两根相距为的平行长直金属导轨（电阻不计）固定在水平地面上，左端接阻值为的电阻，右侧处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。一根导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。模型飞机在轨道平面内以与轨道平行的速度钩住导体棒，并关闭动力系统，然后与导体棒以共同速度进入匀强磁场中。已知模型飞机的质量为，导体棒的质量为、接入电路中的电阻为。不计空气阻力及导体棒与导轨间、模型飞机与地面间的摩擦。求： a.进入磁场前该飞机与导体棒的共同速度； b.进入磁场后该飞机在地面上滑行的距离。 (2)第二种模型如图2所示，一根不可伸长的轻质阻拦索两端固定在地面上，动十字头与液压缸中的活塞通过长杆连接，定十字头与液压缸连接并固定在地面上，定滑轮A、B间绳索的长度为，阻拦索连接方式如图2所示。质量为的模型飞机以沿速度在点钩住阻拦索，并关闭动力系统，阻拦索在飞机拖动下伸长时，动十字头会在阻拦索的作用下带动液压缸的活塞移动，若活塞移动，固定点与定滑轮D之间的绳索可视为收缩（是已知常量）。已知模型飞机从钩住阻拦索到停下的过程中液压缸压强的平均值为，活塞横截面积为。不计动十字头、活塞和长杆的质量及活塞与液压缸内壁间的摩擦，不计定滑轮质量及轮与轴间的摩擦且滑轮与绳索间不打滑，不计模型飞机与地面间的摩擦以及尾钩与绳索间的摩擦，不计空气阻力。求该飞机从钩住阻拦索到停下所滑行的距离。 【答案】(1)a.,b. (2) 【详解】（1）a.模型飞机以与轨道平行的速度钩住导体棒，由动量守恒可知飞机与导体棒系统的共同速度满足 解得 b.设系统在磁场中运动过程中，某一时刻的瞬时速度为，根据法拉第电磁感应定律可知 通过回路的瞬时电流为 对系统根据动量定理有 等式两边对时间微元求和得 解得 （2）设飞机从钩住阻拦索到停下所滑行的距离，由几何关系可知定滑轮A、B右侧的绳索的长度变为 则A、B右侧的绳索的伸长量为 因绳索总长度不变，A、B右侧的绳索的伸长量与固定点与定滑轮D之间的绳索的收缩量相等，故 解得 可知模型飞机减速滑行过程中，阻拦索对活塞做的功 因不计空气阻力和各处摩擦，由能量守恒可知模型飞机的动能减少量等于阻拦索对活塞做的功，即 解得 题型解码 以阻拦系统为科技情境，串联动量守恒、动量定理与能量守恒，聚焦多过程联立、变力冲量与几何关联，突出观点融合、过程拆解与实际建模，考查三大观点综合解题能力。 题型05 场力叠加多过程 5．（2020·北京·三模）万有引力和库仑力有类似的规律，有很多可以类比的地方。已知引力常量为G，静电力常量为k。 （1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为M的质点相距r处的引力场强度EG的表达式； （2）质量为m、电荷量为e的电子在库仑力的作用下以速度v绕原子核做匀速圆周运动，该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”，如图（1）。已知在一段时间内，电子走过的弧长为s，其速度方向改变的角度为θ（弧度）。不考虑电子之间的相互作用，求出原子核的电荷量Q； （3）如图（2），用一根长为L的绝缘细线悬挂一个可看成质点的金属小球，质量为m，电荷量为-q。悬点下方固定一个足够大的水平放置的均匀带正电的介质平板。小球在竖直平面内做小角度振动。已知重力加速度为g，不计空气阻力。 a．已知忽略边缘效应的情况下，带电平板所产生的静电场的电场线都垂直于平板，静电场的电场力做功与路径无关。请证明：带电平板所产生的静电场是匀强电场； b．在上述带电平板附近所产生的静电场场强大小为E，求：金属小球的振动周期。 【答案】（1）；（2）；（3）a.见解析；b. 【详解】（1）EG的表达式为 （2）根据 联立得 （3）a．反证法 法1：如图，若存在电场线平行但不等间距的静电场，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点沿矩形路线abcda（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）运动一周回到a点。设ab处的场强大小为E1，cd处的场强大小为E2，根据功的定义，电场力做的总功 其中 bc段和da段电场力始终与运动方向垂直 故 得 但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故 上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场 法2：如图，若存在电场线平行但不等间距的静电场，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点分别沿矩形abcd（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）的abc和adc运动到c点。设ab处的场强大小为E1，cd处的场强大小为E2，根据功的定义，路径ac和adc电场力做的功分别为 其中 bc段和da段电场力始终与运动方向垂直 故 ， 得 故 但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故 上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场 b．电场力 等效重力加速度 小球在库仑力作用下的振动周期 题型解码 以引力、电场力类比为切入点，聚焦场力叠加与等效思想，融合圆周运动、简谐运动与电场性质，突出类比建模、等效转化与逻辑推导，考查场力综合分析能力。 题型06 临界极值分析 6．（25-26高三上·北京东城·期末）动量定理可以表示为Δp＝FΔt，其中动量p和力F都是矢量。在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。 (1)质量为m0的小球斜射到光滑木板上，作用时间Δt极短，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v0，如图甲所示。碰撞过程中忽略小球所受重力。 a．求碰撞前后y方向小球的动量变化量的大小Δpy。 b．求木板对小球的平均作用力大小F。 (2)如图乙所示，xOy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度为L、边界均平行于x轴的区域，下边界与x轴重合，区域内存在方向均垂直纸面向外的磁场，磁感应强度大小为，位于原点O处的离子源沿纸面向磁场区域释放带正电的离子束，离子质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°，速度大小在范围内，且离子源射出的离子数在各速率区间的分布是均匀的。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。(你可能会用到的数学关系：) a．求以最小速度进入磁场的离子，在磁场中偏离x轴的最大距离。 b．求进入第四象限的离子数占离子总数的比例η。 【答案】(1)a．2m0v0cosθ；b． (2)a．；b．25% 【详解】（1）a．碰撞前后y方向小球的动量变化量的大小 b．水平方向动量不变，由动量定理有 所以 （2）设速度大小为v的离子从O点与x轴成60°进入磁场后，当离子速度方向与x轴平行时，离子偏离x轴距离最大，由于洛伦兹力不做功，故离子运动过程中速度大小始终为v，离子运动过程中x方向上由动量定理可得fxΔt＝mΔvx 即 整理有 得 a．当时 ，有 即时离子偏离x轴最大距离为。 b．不同离子偏离x轴的最大距离为，时，离子进入第四象限，由 得 即的离子进入第四象限，所以 题型解码 依托二维动量与变磁场情境，聚焦临界极值判定，融合动量定理分量式、变力动态分析与几何约束，突出临界建模、极值推导与数形结合，考查临界极值高阶思维。 题型07 图像关联多过程 7．（25-26高三下·北京门头沟·阶段检测）图甲为电梯的结构示意图，配重和轿厢质量均为500kg，A轮是与电动机（未画出）连接的曳引轮，通过与缆绳之间的摩擦力，将电动机的动力传递给缆绳，带动轿厢与配重实现升降。缆绳质量以及定滑轮B轴间的摩擦忽略不计。现将质量为20kg的木箱放置于轿厢内，并使电梯下行，经加速、匀速、减速三个阶段，最后停在一楼。木箱对轿厢底的压力随时间变化的关系图像可简化为图乙所示。重力加速度。 (1)根据分析和计算，在图丙中定量画出电梯下行时木箱速度v随时间t变化的图线，并求出电梯下行时的总位移x（以竖直向下为正方向）； (2)求曳引轮A两侧绳子上的作用力之差最大值； (3)在已有的电梯安全防护装置之外，为防止电梯出现触底事故，请你设计合理的安全措施。要求：阐述清楚依据的物理原理和采用的器材器械。 【答案】(1)64m (2)710N (3)见解析 【详解】（1）根据牛顿第三定律，结合图乙可知电梯下行时木箱受到的支持力的大小。设木箱的重力为G，木箱在加速、匀速、减速阶段木箱受到的支持力分别用、、表示，其加速度分别用、、。木箱在加速、匀速、减速阶段受力分析依次如图1、图2、图3所示。 规定竖直向下为正方向。根据牛顿第二定律 则有 分别代入数据解得，，（方向竖直向上） 加速阶段：根据运动学公式，4s末的速度 根据以上分析，可知电梯下降过程中v-t图像如图所示。 由图线可知，v-t图像的面积代表位移。即 （2）设木箱质量为m，轿厢和配重的质量均为M。向下加速运动阶段，设绳对轿厢的拉力大小为，绳对配重的拉力大小为，对轿厢受力分析，并根据牛顿第二定律，有 对配重受力分析，并根据牛顿第二定律，有 代数解得， 则滑轮A两侧绳子上的作用力之差为 向下匀速运动阶段，设绳对轿厢的拉力大小为，绳对配重的拉力大小为，对轿厢受力分析，并根据牛顿第二定律，有 对配重受力分析，并根据牛顿第二定律，有 则滑轮A两侧绳子上的作用力之差为 向下减速运动阶段，设绳对轿厢的拉力大小为，绳对配重的拉力大小为，对轿厢受力分析，并根据牛顿第二定律，有 对配重受力分析，并根据牛顿第二定律，有 代数解得， 则滑轮A两侧绳子上的作用力之差为 综上分析可知，在减速运动阶段曳引轮A两侧绳子上的作用力之差最大值，最大值 （3）设计防止电梯触底事故的安全措施 可以从能量耗散和受力缓冲两个角度设计，以下是两种典型方案： 方案一：电磁阻尼缓冲装置 器材：在电梯井底部设置强磁场，轿厢底部安装闭合导体线圈。 原理：当轿厢快速下坠进入磁场时，线圈切割磁感线产生感应电流，根据楞次定律，会受到向上的安培力（电磁阻力），将轿厢的动能转化为线圈的焦耳热，从而减速。 优点：无机械接触，响应快，可有效消耗动能。 方案二：弹簧-液压复合缓冲器 器材：在电梯井底部安装大劲度系数的弹簧和液压阻尼器。 原理：弹簧提供弹性力，将轿厢的动能转化为弹性势能，减缓冲击。 液压阻尼器通过液体流动的阻力做功，将机械能转化为内能，进一步耗散能量，避免轿厢反弹。 优点：缓冲效果稳定，能有效吸收巨大的冲击能量。 方案三：限速器与安全钳联动 器材：限速器（监测速度）、安全钳（夹紧导轨）。 原理：当电梯速度超过阈值时，限速器触发安全钳，使其夹紧导轨，利用滑动摩擦力做功，将轿厢的动能转化为内能，强制减速并停止。 优点：是电梯行业的标准安全装置，可靠性高。 题型解码 以电梯运动为载体，聚焦v-t/F-x图像分析，融合牛顿定律、运动学公式与受力动态变化，突出图像解读、斜率面积物理意义与多阶段分析，考查图像关联建模能力。 题型08 多物体相互作用 8．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，质量m=1kg、左端有挡板的长木板置于水平地面上，木板上表面光滑，木板下表面与地面间的动摩擦因数μ=0.3。一固定有电动机的滑块，其总质量也为1kg，放置在木板上，电动机可收拢与挡板拴接的不可伸长的水平轻绳，起初滑块离挡板的距离L=4m。开启电动机收拢轻绳，滑块由静止开始做匀加速直线运动。设木板所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，空气阻力不计，取。 (1)若开启电动机后木板始终保持静止，滑块运动2s到达木板左侧挡板处，求此时滑块的速度大小v0； (2)若通电后，绳子上拉力为恒力F=7N，滑块由静止开始运动，到达挡板处与挡板碰撞后结合成一个整体（碰撞时间极短，相撞时电动机立即断电），最终两者停在水平地面上，求： ①滑块与挡板经过多久相遇； ②滑块与挡板碰撞过程中二者损失的总机械能。 【答案】(1) (2)①1s；②16J 【详解】（1）当木板静止时，对于滑块而言，其初速度为0，滑块运动时间t=2s，位移大小为L，则有 解得 （2）①题意可知滑块与木板质量相等且均为m，通电后，因为绳子上的力恒为F=7N，则电动机的加速度大小为 对木板受力分析得 解得木板加速度大小 设经过时间电动机与木板相撞，则 解得 ②结合以上分析，可知碰撞前电动机的速度 木板的速度 这两个速度方向相反，电动机与木板碰撞时，取向左为正方向，由于动量守恒，故 解得v=3m/s 所以碰撞时损失的机械能 联立解得 题型解码 以板块模型为载体，聚焦多物体相互作用、动量守恒与能量损耗，融合受力分析、加速度关联与碰撞临界，突出系统建模、相互作用分析与能量转化，考查多物体综合解题能力。 1．（2026·北京东城·二模）电子的发现是物理学史上的重要事件，人们由此认识到原子不是组成物质的最小微粒，原子本身也有结构。 (1)电子电荷的精确测定是密立根通过“油滴实验”做出的（如图甲所示）。用喷雾器将油滴喷入平板电容器之间，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。不加电场时，观察到某油滴匀速下降，通过某一段距离所用时间为t1；当两极板加电压U时（A极板电势高），可观察到同一油滴匀速上升，经过相同距离所用时间为t2。已知油滴的质量为m，重力加速度为g，A、B极板间距为d，忽略空气浮力。假设油滴所受阻力与油滴速度成正比。 a．请判断油滴所带电荷的电性； b．求该油滴的电荷量q。 (2)玻尔认为，原子中的电子在库仑引力的作用下，绕原子核做圆周运动，服从经典力学的规律。电子运行轨道的半径不是任意的，只有当半径的大小符合一定条件，这样的轨道才是可能的。电子在这些轨道上绕核运动是稳定的，不产生电磁辐射。当电子在不同轨道稳定运动时，原子的能量为电子的动能和系统的势能之和。选无穷远处为势能零点，电子在半径为r的轨道上稳定运行时的电势能。德布罗意提出了物质波的观念。他认为物质波的波长与粒子的动量p满足。氢原子的核外电子绕原子核运动时，可以看作是一种物质波。假设电子第n（n=1，2，3…）个稳定运动轨道的周长为其物质波波长的n倍。已知静电力常量为k，普朗克常量为h，电子的质量为m、电荷量为e，请依据上述信息回答下列问题： a．请计算氢原子核外电子在第n个轨道稳定运行时的速度vn； b．如图乙所示为气体放电管，其中有一个是充满低压氢气的密封玻璃管，两端封有金属电极。当两极间施加适当电压时，内部残余的自由电子被加速，通过碰撞将获得的能量转移给处于基态的氢原子，使其跃迁至高能级。已知氢原子从n=3，4，5，6能级向n=2能级跃迁时都能发出可见光。求使原来处于基态的氢原子发出可见光的最小电压U。 【答案】(1)a．负电 b． (2)a． b． 【详解】（1）a．A极板为正极、B极板为负极，电场方向竖直向下；油滴加电压后匀速上升，说明电场力方向竖直向上，电场力方向与电场方向相反，因此油滴带负电。 b．设阻力与速度满足 设油滴运动距离为，阻力比例系数为：不加电场匀速下降时，速度 受力平衡 加电压后匀速上升，速度 电场强度 受力平衡有 整理得 （2）a．电子在库仑力作用下绕核做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 根据题意轨道周长为倍物质波波长，即 物质波公式 整理得 b．氢原子总能量 其中， 代入得能级公式 要发出可见光，只有从跃迁到才发出可见光，最小能量对应激发到。电子加速后动能为，满足 整理得最小电压 2．（2026·北京昌平·二模）电能从发电厂送到用户，要用升压变压器升压后向远距离送电，在接近用户的地点再用降压变压器把电压降为用户所需电压。模拟电能输送过程，输电电路图如图所示。发电机的输出功率P1=100kW，输出电压U1=250V，两根输电线的总电阻R=10Ω，用户端电压U4=220V，输电效率（用户得到的功率与发电机输出的功率之比）η=96%。升压变压器和降压变压器均为理想变压器。 (1)求升压变压器输入的电流I1； (2)求降压变压器原、副线圈匝数比n3：n4； (3)用户增加用电设备从而提高用电功率，若发电机通过调整工作状态使输出电压U1不变而增大其输出功率来满足用户需求，试分析此时是否提高了输电效率，并简要说明理由。 【答案】(1)400A (2) (3)否，见解析 【详解】（1）根据发电机输出功率公式 代入数据解得 （2）输电线上损失的功率 由 可得输电线电流 升压变压器副线圈两端电压 降压变压器原线圈两端电压 根据变压器电压比公式 解得 （3）输电效率降低。理由如下：发电机输出电压不变，升压变压器匝数比不变，则升压变压器输出电压不变。当发电机输出功率增大时，由 可知输电线电流增大。输电效率 由于和不变，增大，导致增大，故输电效率降低 3．（2026·北京朝阳·二模）氢原子结构模型是衔接经典物理与量子物理的桥梁，也是探索未知现象的基础。已知电子电荷量为e，质量为m，静电力常量为k，普朗克常量为h，不考虑相对论效应。 (1)假定氢原子核静止，核外电子绕核沿图甲所示方向做半径为r的匀速圆周运动。 a．若电子仅受静电力作用，求其做圆周运动的角速度大小ω1； b．若氢原子处在匀强磁场中，磁场方向垂直于电子圆周运动的平面向下。已知电子的轨道半径仍为r，角速度大小为ω2，求该匀强磁场的磁感应强度大小B0。 (2)2024年1月，我国发射的首颗大视场X射线天文卫星，用于观测太空中X射线辐射源以揭示天体演化的奥秘。某次观测得到X射线辐射的光子数与光子能量的图谱如图乙所示，发现这些光子能量主要取E、2E、3E…一系列差值相等的分立值。其中E为已知量。 a．电子在不同能级之间的跃迁是产生分立光谱的常见机理。请简要分析能否类比氢原子能级模型解释上述X射线图谱的特点。已知氢原子的能级为（n=1，2，3…），其中n为量子数，E1为基态能量。 b．科学家推测该X射线源表面存在极强磁场，电子仅在磁场力作用下运动，并呈现轨道量子化现象，进而发生能级跃迁。请据此估算该X射线源表面的磁感应强度大小B。已知电子运行轨道量子化条件为（n=1，2，3…），其中，式中rn、λn、pn分别是En能级对应的轨道半径、电子波长和动量。 【答案】(1)a.；b. (2)a.不能，分析见理由；b. 【详解】（1）a．由题干可知，电子仅受静电力作用做匀速圆周运动，即静电力提供电子所需向心力。根据氢原子结构可知氢原子核带电量为e，有， b．当氢原子处在匀强磁场中时，电子同时受到静电力和洛伦兹力。根据右手定则，这两个力均指向圆心提供向心力，即， 整理得 （2）a．不能。这些光子能量显然是等差数列，而氢原子能级差为，并非等差数列。因此不能类比氢原子能级模型解释上述X射线图谱的特点。 b．电子在该磁场中运动，仅受磁场力作用，则有洛伦兹力提供向心力，即 因电子呈现轨道量子化，则需满足轨道量子化条件 电子的德布罗意波长为 整理得，能级差为 解得 4．（2026·北京东城·二模）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω=4 rad/s绕过圆盘中心O的轴匀速转动。圆盘上任意一点到O的距离用r表示，0<r≤0.2 m区域粗糙，r>0.2 m区域光滑且范围足够大。在r=0.2 m处的P点（在粗糙区域内）有一质量m=2 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动。小物体与圆盘粗糙区域间的动摩擦因数μ=0.5，设小物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，小物体可视为质点。 (1)小物体除重力和弹力外，还受到什么力？求该力的大小； (2)让圆盘的角速度缓慢增大，当角速度增大到ω0时，小物体恰好被甩出粗糙区域并在光滑区域内运动，圆盘也从此刻开始以ω0的角速度匀速转动。 a．求ω0的大小； b．小物体被甩出粗糙区域后的一小段时间内，小物体与O的连线扫过的角度为α，P点与O的连线扫过的角度为β，试比较α和β的大小，并说明理由。 【答案】(1)静摩擦力，6.4N (2)a. ；b. 见解析 【详解】（1）小物体随圆盘做匀速圆周运动，相对于P点有向外运动的趋势，受静摩擦力f，静摩擦力f提供向心力，即 （2）a.圆盘的角速度缓慢增大，所需向心力变大，当角速度增大到时，有 解得 b.小物体离开粗糙区域后，只受重力和支持力，以速度v做匀速直线运动，路程为x，则有， 如图所示 则 P点以线速度v做匀速圆周运动，路程 如图所示 则 联立可知 小物体和P点运动情况如图所示 由数学知识可知。 5．（2026·北京·二模）反物质是由反粒子组成的物质，反粒子的质量、电荷量与粒子相同，但电性相反，例如反质子（）是质子的反粒子，正电子（）是电子的反粒子。氢原子由一个电子和一个质子构成，反氢原子则与它正好相反，由一个正电子和反质子构成。1995年人类首次在实验室条件下的真空环境中制造出反氢原子，目前批量制造出的反氢原子基本都是处于低能态的氢原子，正常情况下反物质与正物质瞬间就会与正物质发生湮灭并消失，靠特殊设计的磁场能维持较长时间的存在。已知普朗克常量为h，真空中光速为c，电子的电荷量为e、质量为m，静电力常量为k。 (1)理论上可以证明，电荷量分别为+q1和-q2的点电荷相距为r时，取无穷远为电势能零点，它们之间的电势能的表达式为。玻尔的氢原子理论认为氢原子中的电子仅在库仑力作用下绕固定不动的原子核做匀速圆周运动。利用玻尔的轨道量子化假设和牛顿定律可得电子做圆周运动的第n轨道半径rn满足，其中n为量子数，即轨道序号，电子在第n轨道运动时氢原子的能量En，定义为电子动能与“电子-质子”系统电势能的总和。若能够批量制造大量激发态的反氢原子，其光谱线也能借用玻尔氢原子理论进行分析，类似地，正电子绕反质子做匀速圆周运动的第 n 轨道半径rn满足，其中n为量子数，即轨道序号，正电子在第n轨道运动时反氢原子的能量定义为正电子动能与“正电子-反质子”系统电势能的总和。因此反氢原子与氢原子具有相同的能级图。 a、在如图所示的能级图中，画出大量处于n=3的纯的反氢原子向下跃迁的所有可能跃迁的跃迁图； b、求的表达式（用普朗克常量h，电子电荷量e、质量m，静电力常量为k，量子数n及数学常量表示），并简述“反氢原子与氢原子具有相同的能级图”的理由。 (2)一个氢原子和一个反氢原子正碰对撞发生湮灭的产物只有光子。设氢原子、一个反氢原子对撞前（相距很远）的静止质量均为M，动能均为Ek，根据守恒定律和质能关系等物理知识，湮灭不可能转化为一个光子，请阐述理由。若湮灭产生一对光子，请求出光子的波长。 【答案】(1)a.；b.，理由见解析 (2)证明见解析， 【详解】（1） a、有可能跃迁的跃迁图如图所示 b、由牛顿第二定律可得 动能可表示为 电势能可表示为 其中 则 联立解得 故反氢原子与氢原子具有相同的能级图。 （2）根据动量守恒定律和质能关系等物理知识，湮灭不可能转化为一个光子，理由是违背动量守恒，由能量守恒可得 即 【点睛】 6．（2026·北京海淀·一模）黑洞是一种质量非常大、半径非常小的天体。天文学家跟踪观测了银河系中心附近恒星的运行轨迹，推测出银河系中心存在质量为M的黑洞。已知相距为r、质量分别为m1和m2的两质点之间的引力势能，G为引力常量。仅考虑黑洞对物质的引力作用。 (1)银河系中心黑洞会不断吞噬周围的星际物质，这些物质在被吞噬的过程中会先进入“吸积盘”，并产生电磁辐射。为了研究进入吸积盘中物质产生的电磁辐射，某同学建立如下简化模型：在被吞噬的过程中，吸积盘各处物质绕黑洞旋转，机械能不断转化为电磁辐射，在运动过程中其轨道半径不断减小，但每一圈的运动仍可视为匀速圆周运动。吸积盘中距离黑洞r1到r2（r1＜r2）的区域产生的电磁辐射功率为P，吸积盘的吸积质量（单位时间内进入吸积盘的物质的质量）为mt，求黑洞质量M。 (2)某黑洞附近的S0-2星体绕其做椭圆运动。已知S0-2星体做椭圆运动的半长轴约为、周期约为，估算黑洞质量M。（结果保留一位有效数字） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设绕黑洞做匀速圆周运动的物质质量为m，轨道半径为r，则有 m的动能、引力势能分别为， m的机械能 联立解得 单位时间内进入吸积盘的质量为，物质从距离黑洞处运动到距离黑洞处，单位时间内机械能的减少量等于电磁辐射功率，即 解得黑洞的质量 （2） S0-2 星体做椭圆运动的半长轴约为、周期约为，将椭圆运动近似为半径为 的匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故 整理得黑洞的质量 7．（2026·北京海淀·一模）透射电子显微镜是科研中的重要工具，可以通过电子透镜控制电子束轨迹探测物质的微观结构。 如图是电子透镜中电子枪和磁聚焦系统的简化示意图。一隔板将真空管分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，隔板的中心有一小孔，右端为可平移接收板。区域Ⅰ中有电场（图中未画出），区域Ⅱ中有沿轴线向右的匀强磁场。电子经电场加速后，从小孔中心O点沿不同方向进入区域Ⅱ。已知磁感应强度大小为B，电子质量为m、电荷量为e，电子与真空管不发生碰撞。忽略电子间的相互作用。 (1)电子沿不同方向从O点进入区域Ⅱ，其与轴线方向有一定夹角的电子运动轨迹的投影可能是下列选项中的 。（沿轴线从左向右看） A． B． C． D． (2)将进入区域Ⅱ电子的运动分解为沿管轴线方向的分运动和垂直于轴线方向的分运动。已知电子的速度沿管轴线方向的分量大小在（很小）范围内；同时电子的速度垂直于轴线方向的分量大小在范围内。 a.求从O点进入区域Ⅱ的所有电子，第一次回到轴线的位置最小为，最大为，求最大和最小之间的距离。 b.若将接收板从处向右平移至处，此过程中，电子落在接收板上形成的斑的大小会如何变化？ 【答案】(1)C (2)a.；b.逐渐增大 【详解】（1）A．由图可知，电子沿竖直向上方向进入区域Ⅱ，沿轴线从左向右看，磁感线方向垂直纸面向里，根据左手定则可知，电子在O点受到的洛伦兹力方向水平向右，电子做圆周运动的圆心应在O点右侧，故A错误； BD．由题意，电子沿不同方向从O点进入区域Ⅱ，故电子运动轨迹的投影必经过O点，与所给图像不符，故BD错误； C．由图可知，电子沿竖直向上方向进入区域Ⅱ，沿轴线从左向右看，磁感线方向垂直纸面向里，根据左手定则可知，电子在O点受到的洛伦兹力方向水平向右，电子做圆周运动的圆心应在O点右侧，故C正确。 故选C。 （2）a.进入区域Ⅱ的电子沿轴线方向不受磁场作用，做匀速直线运动，沿垂直于轴线方向做匀速圆周运动，满足 得 电子做圆周运动的周期满足 可知电子做圆周运动的周期相同，且每转动一个周期刚好都能回到轴线。当电子沿轴线运动的速度为时，第一次回到轴线的位置最小，可知 当电子沿轴线运动的速度为时，第一次回到轴线的位置最大，可知 故最大和最小之间的距离 b.当接收板置于处时，沿管轴线方向的速度为，垂直于轴线方向速度分量为的电子刚好回到轴线上处。此时，速度为的电子沿垂直于轴线方向做匀速圆周运动刚好到达P点，如图所示 该电子还需转动角度才能回到轴线上处，故对于垂直于轴线方向速度分量为，沿管轴线方向的速度处于范围内的粒子，落在接收板上的位置在角对应的上，其中直线与竖直方向的夹角为。 对于垂直于轴线方向速度在、沿管轴线方向的速度在范围内的电子，由可知其圆周运动的半径与垂直于轴线方向速度分量成正比，但击中接收板时对应的角由沿管轴线方向的速度决定，与无关，因此对于落在接收板上的电子其对应的圆周半径不同，但对应的角不变，故可知接收屏形成的斑处于下图所示阴影区域范围内 若将接收板从处向右平移至处过程中，沿管轴线方向的速度处于范围内的粒子，击中接收板的最大时间差为 粒子转过的角度之差最大值满足 可知随着接收板从处向右平移至处过程中，随着的增加，两粒子转过的角度之差逐渐增大，图中阴影区域的面积逐渐增大，斑的大小会逐渐增大。 8．（2026·北京海淀·一模）黑洞是一种质量非常大、半径非常小的天体。天文学家跟踪观测了银河系中心附近恒星的运行轨迹，推测出银河系中心存在质量为M的黑洞。已知相距为r、质量分别为和的两质点之间的引力势能，G为引力常量。仅考虑黑洞对物质的引力作用。 (1)银河系中心黑洞会不断吞噬周围的星际物质，这些物质在被吞噬的过程中会先进入“吸积盘”，并产生电磁辐射。为了研究进入吸积盘中物质产生的电磁辐射，某同学建立如下简化模型：在被吞噬过程中，吸积盘各处物质绕黑洞旋转，机械能不断转化为电磁辐射，在运动过程中其轨道半径不断减小，但每一圈的运动仍可视为匀速圆周运动。 a．求吸积盘中到黑洞距离为r处物质的线速度大小v。 b．设单位时间内有质量为的物质进入吸积盘。已知吸积盘中各处物质的质量分布是稳定的，不随时间变化。求吸积盘中距离黑洞到区域（＜）的电磁辐射功率P。 (2)某黑洞质量约为，绕其做椭圆轨道运动的S0-2星体，到黑洞的最近距离约为。黑洞到地球的平均距离约为。在地球上观测S0-2星体距离黑洞最近时发出的一条氢原子特征谱线，观测到的波长大于其静止波长，这种现象称为“红移”。定义红移值。 a．某同学认为可以用“引力红移”理论解释这一现象，即光子在黑洞引力场中远离黑洞时其能量会减小。光子能量，式中h为普朗克常量，v为光的频率，m为光子的等效质量，c为真空中的光速。在传播过程中光子等效质量的变化量远小于m。已知。根据红移值的定义，应用引力红移理论，估算上述氢原子特征谱线由引力引起的红移值。（结果保留一位有效数字） b．已知。基于（2）a的结果，分析判断由引力引起的红移是否为产生红移现象的主要原因。 【答案】(1)a． ；b． (2)a．；b．不是 【详解】（1）a．设吸积盘中到黑洞距离为r处物质的质量为m 根据 解得 b．设时间内，距离黑洞到区域进入吸积盘的物质的质量为 这些物质机械能的减少量为，则 根据能量守恒 又 联立解得 （2）a．设光在黑洞附近时的频率为、波长为，光子的等效质量为，地球上接收到光的频率为v、波长为，光子的等效质量为m。光子从黑洞附近传播到地球的过程中，仅在黑洞引力场作用下， 根据能量守恒 又 和 联立解得 由题中条件知， 解得 所以 b．根据 实际观测的红移值为 因为，所以引力引起的红移不是产生红移现象的主要原因。 9．（2026·北京石景山·一模）(1)如图所示，质量分布均匀的大球质量为、球心为、半径为，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于点，点为小球球心。将质量为的小物体（可视为质点）置于点，引力常数为。 ①求大球剩余部分对小物体的引力大小。 ②已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小。 (2)如图所示，、为某地区水平地面上的两点，在点正下方有一球形空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。 ①设球形空腔的体积为，球心深度为（远小于地球半径），，已知引力常量为，求空腔引起的点的重力加速度反常。 ②根据某地区的重力加速度反常，可以有哪些实际应用？展开想象的翅膀，就其中一个应用进行简要说明。 【答案】(1)①，② (2)①，②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可 【详解】（1）①大球的质量为，挖去小球的质量为， 大球对点小物体的引力为 小球单独存在时对点小物体的引力为 则剩余部分对点小物体的引力为 解得 ②由于质量分布均匀的球壳对内部的引力为零，大球对点小物体的引力相当于球心在、半径为的球体对点小物体的引力，即 由①可知 又因为质点位于挖去小球的球心处，质量分布均匀的小球对其球心处质点的引力为0，即 则 （2）①如果将空腔区域填满相同密度的岩石，则点重力加速度将回归正常值。因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算。 若在点放置一质量为的质点，则该附加引力为 根据牛顿第二定律，空腔的重力加速度变化满足，其中 则，方向沿连线向外。 因此，处重力加速度反常大小，其中 解得，方向竖直向上 ②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可 10．（2026·北京顺义·一模）某行星绕恒星做匀速圆周运动，该恒星和行星均可视为质量分布均匀的球体，恒星球心到行星球心的距离为。已知恒星质量为，行星的质量为，行星的半径为，引力常量为，忽略行星的自转。 (1)求行星绕恒星做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)假设在行星表面距恒星最近处有一质量为的物体，求恒星和行星对该物体万有引力的差值； (3)由于某种因素的影响，行星缓慢向恒星靠近，行星绕恒星的运动仍可近似看成匀速圆周运动。当行星与恒星球心之间的距离小于某个值时，行星表面物体就会被恒星吸走，进而导致行星可能被撕裂”（行星表面物体脱离行星表面，不再随行星同步运动），推导的表达式。【提示：当时， 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）行星绕恒星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，即 解得 （2）恒星对该物体的万有引力为 行星对该物体的万有引力为 所以恒星和行星对该物体万有引力的差值 （3）设行星表面的物体m恰好被吸走，此时物体与行星间的支持力为零。对物体m，其受到恒星的引力与行星的引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 脱离时刻，行星表面物体和行星有相同的角速度由得 物体的向心加速度 可得 整理得 由于，所以 代入可得 整理可得 11．（25-26高三上·北京石景山·期末）简谐运动与匀速圆周运动具有巧妙的联系。 (1)如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度沿顺时针方向做半径为的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在方向上的“影子”的运动，可以证明，“影子”的运动为简谐运动。 a.零时刻小球A在圆盘最上端，写出“影子”的位移随时间变化的关系式； b.写出“影子”的最大速度。 (2)未来人类设计的穿过地球的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间大大缩短。如图2所示，假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，只在引力作用下，人们可乘坐列车通过该隧道直通地球彼岸。已知列车的质量为，地球质量为、半径为，引力常量为。为简化研究，列车视为质点，地球视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转，不计空气阻力。 a.已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，以地心为原点，沿隧道方向建立轴，求列车在隧道内处受到的引力大小； b.根据匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算列车通过隧道所用的时间； c.修建如图3所示的光滑隧道，图中为隧道的中点。列车（不需要引擎）从点由静止进入光滑隧道，在引力作用下，到达隧道另一端点，所用时间为。试比较与大小。 【答案】(1)a.；b. (2)a.；b.；c. 【详解】（1）a.设经过时间t小球与圆心连线转过的角度为φ，小球A的“影子”的位移为x=Rsinφ 又因为φ=ωt 解得x=Rsinωt b.小球A在最高点或最低点时“影子”的速度最大，则“影子”的最大速度。 （2）a.地球内部半径为的球体对的万有引力 其中 解得      b.近地卫星绕地球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律 由图1可知，列车在隧道内简谐运动周期与近地卫星运动周期相同，均为，列车通过隧道所用的时间 解得         c.设列车与地心之间的距离为，则列车所受地球的万有引力为 其中 解得 万有引力在A、B连线方向上的分力 解得 考虑方向， 令，则即列车在A、B之间做简谐运动。 列车在两个隧道做简谐运动时，回复力与位移的关系相同，运动周期与振幅无关，简谐运动的周期相同，列车从隧道一端到另一端的运动时间为周期的一半，即。 12．（25-26高三上·北京海淀·期中）天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量为。 (1)某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，、两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心点的距离分别为和。已知太阳和彗星的质量分别为和，不考虑其他天体的影响。 a.求彗星运动至近日点时的加速度大小。 b.在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，质量分别为和、距离为的两个质点间的引力势能。求彗星在椭圆轨道上点处的机械能。 (2)航天工程师可以通过改变卫星的速度来调整其运动轨道，完成复杂的太空任务。当卫星绕地球运动到图所示半径为的圆轨道的某点时，短时间启动卫星发动机，使卫星再获得一个背离地心、大小为其切向速度一半的径向速度，卫星将沿以为焦点的椭圆轨道绕地球运动。不考虑卫星质量的变化。在（1）b研究的基础上，论证椭圆轨道的半长轴与的关系。 【答案】(1)a.；b. (2)见解析 【详解】（1）a.彗星运动至近日点时，根据牛顿第二定律有 解得 b.设彗星在点处的速度大小为，则有 结合题中信息，得彗星在点处的机械能为 其中，联立解得 （2）设地球质量为卫星质量为，卫星经过圆轨道某点时的速度大小为。卫星在圆轨道上圆周运动时，万有引力提供向心力有 启动发动机后，卫星的合速度为 根据已知条件，则卫星沿椭圆轨道运行的机械能为 设卫星在椭圆轨道的机械能为，根据（1）b的结论，有 所以 13．（2025·北京·模拟预测）人们常常把原子核和它周围的电子比作太阳系或地球和人造卫星。以地球和人造卫星为例，假如我们发射一颗卫星，使它在一定的圆轨道上运动，如果需要可以使这些卫星的能量稍大一些，或者在半径更大一些的轨道上运动。只要技术条件达到，轨道半径可以按照需要任意取值。在这种情况下，我们说，轨道半径是连续的。并非把这个图景缩小就可以看做原子核和它周围电子的运动。在玻尔模型中，以氢原子为例，原子中的电子在库仑力的作用下，绕原子核做圆周运动，电子的轨道半径只能取某些分立的数值，必须满足，n=1，2，3…，其中m、、rn、h分别为电子的质量、电子绕核运动的速度、电子绕核运动的轨道半径、普朗克常数，近似认为原子核静止。当电子在不同的轨道上运动时，原子处于不同的稳定状态，在这些稳定状态中，原子的能量是不同的。所谓原子的能量是指电子的动能和体系的势能之和，取无穷远处为零势能面，体系在轨道半径rn上具有的势能为，k为静电力常数。这些量子化的能量值叫做能级。 (1)根据以上信息和所学知识，求解： ①氢原子的第n（n=1，2，3…）轨道半径rn的表达式； ②氢原子的第n（n=1，2，3…）能级En的表达式； (2)根据题意和（1）的结论求解： ①电子从n+1轨道跃迁到n轨道放出的光子的频率的表达式； ②由以上表达式证明：当时该频率等于电子在第n轨道上绕核运动的频率。 【答案】(1)，n=1，2，3…；，n=1，2，3… (2)，n=1，2，3…；见解析 【详解】（1）对于氢原子，库仑力提供电子绕核运动的向心力，根据牛顿运动定律得 根据玻尔的量子化条件, n=1，2，3… 联立得，，n=1，2，3… 选取无穷远处为零势能面，则得 代入数据得，n=1，2，3… （2）根据玻尔理论，当原子从较高能量状态向较低能量状态跃迁时，发射一个光子，其频率为 得 代入数据得，n=1，2，3… 由上式，当时，，，则频率表达式为 电子在第条轨道上转动得频率 将、的表达式代入得 满足当时该频率等于电子在第n轨道上绕核运动的频率。 14．（2025·北京海淀·三模）中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为的毫秒脉冲星。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为的距离内相互绕转，绕转周期为。伴星的质量为，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为。 (1)该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度； (2)求脉冲星的质量； (3)脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为，相当于接收来自太阳持续时间为释放出的总能量。太阳的辐射功率为，日地距离为。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离。 【答案】(1) (2) (3)a.；b. 【详解】（1）设脉冲星半径为r，在脉冲星表面有 则密度 联立解得 （2）对脉冲星、伴星构成的双星系统，设脉冲星、伴星轨迹圆半径分别为，则有 因为 联立解得 （3）a.双星轨迹如图 几何关系有 已知 联立解得 b.设地球接收星体辐射的面积为，如图 接受太阳能量 脉冲星辐射圆斑扫过地球的线速度为v，如图 则 辐射圆斑直径 辐射圆斑面积 地球接受的能量 因为 联立解得 15．（2025·北京西城·二模）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为M，可视为质量均匀分布的半径为R的球体，引力常量为G，不考虑地球自转。 (1)在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小g及物体上升到最高点所用的时间。 b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间， (2)在地球赤道表面向北极发射洲际导弹 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。若导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。推导导弹距地面的高度h随运动时间t变化的关系式。 b．若考虑万有引力的变化，导弹仅在地球引力作用下的运动轨迹是椭圆，地心O为椭圆的一个焦点，如图3所示。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为m的物体在距地心为处的引力势能，该物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其机械能E（动能与引力势能之和）与椭圆半长轴a的关系为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a。求发射导弹到北极的最小速度。 【答案】(1), (2), 【详解】（1）a．设物体的质量为m由 解得 物体上升到最高点所用的时间 b．若考虑万有引力的变化，随着高度的增加，万有引力逐渐减小，故物体的加速度逐渐减小，反映在图像中，图像的斜率逐渐减小，上升到最高点的时间增大，其图像如下 （2）a．导弹绕地心的做匀速圆周运动的线速度为 则圆周运动的向心加速度 设导弹垂直地球表面做匀变速直线运动的加速度大小为，则有     解得 导弹垂直于地球表面做匀变速直线运动初速度为，由匀变速直线运动公式得 b．导弹发射速度最小时，导弹的机械能最小，由题意可知，椭圆轨道的半长轴a最小，则另一焦点的位置如图所示。 根据几何关系 导弹的机械能为 联立解得 16．（2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 【答案】(1)a.   b.   c. (2) 【详解】（1）a.万有引力提供向心力，有 解得 b.设近P点的速度为，根据开普勒第二定律 由于v趋于零，探测器从远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。 c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其周期为。由开普勒第三定律，得 因为 联立解得 （2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为处做匀速圆周运动时，周期为，则有 荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴，设其周期为。 类比天体运动中的开普勒第三定律，有 且 综上可得 17．（2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 【答案】(1)a．，b． (2) (3)见解析 【详解】（1）a．由题可知，球体内包含的质量大小为 根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为 b．宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小 结合 解得随距离r变化的关系式 （2）当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 （3）a．根据上述分析可知，， 故其大致图像如下 b．此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。 18．（2025·北京东城·一模）简谐运动是最基本的机械振动。物体做简谐运动时，回复力与偏离平衡位置的位移成正比，即：；偏离平衡位置的位移随时间的变化关系满足方程，其中为振幅，是初相位，为圆频率，为物体质量。 (1)如图1所示，光滑的水平面上放置一弹簧振子，弹簧的劲度系数为，振子的质量为。以弹簧原长时的右端点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标轴。在弹簧的弹性限度内，将振子沿方向缓慢拉至某处由静止释放。 a.求该弹簧振子的振动周期； b.在图2中画出弹簧弹力大小随弹簧伸长量的变化关系图线。求弹簧伸长量为时系统的弹性势能。 (2)如图3所示，竖直平面内存在无限大、均匀带电的空间离子层，左侧为正电荷离子层，右侧为负电荷离子层，两离子层内单位体积的电荷量均为，厚度均为。以正离子层左边缘上某点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标轴。已知正离子层中各点的电场强度方向均沿轴正方向，其大小随的变化关系如图4所示，其中为常量；在与空间内电场强度均为零。某放射性粒子源位于的位置，向空间各个方向辐射速率均为的电子。当入射电子速度方向与轴正方向的夹角为时，电子刚好可以到达离子层分界面处，没有射入负电荷离子层。已知电子质量为，所带电荷量为，不计电子重力及电子间相互作用力，假设电子与离子不发生碰撞。 a.求的表达式； b.计算电子第一次打到离子层分界面时，在分界面上形成的图形面积（结果中可含）。 【答案】(1)a.；b. ， (2)a.；b. 【详解】（1）a. 该弹簧振子的振动周期 根据题意有 联立可得 b.根据胡克定律可得 则弹簧弹力大小随弹簧伸长量的变化关系如图所示 弹簧伸长量为时，弹簧弹性势能为 （2）a.电子进入正电荷离子层受力 沿轴方向做简谐运动，初速度 垂直于轴方向做匀速直线运动，速度为 入射角为的电子刚好不射入负电荷离子层，由功能关系 解得 则 b．电子在分界面上形成的图形为圆，设入射角为的电子进入离子层之前在垂直于轴方向发生的位移为，进入离子层后刚好到达界面时在垂直于x轴方向发生的位移为，分界面图形圆的半径为r，则，，， 又 联立可得 19．（2025·北京延庆·一模）2024年9月22日，中国科学院合肥物质科学研究院强磁场科学中心自主研制的水冷磁体，如图所示，成功产生了42.02万高斯（即42.02特斯拉）的稳态强磁场，超越了2017年美国国家强磁场实验室水冷磁体保持的41.4万高斯的世界纪录，刷新了国际稳态强磁场领域的世界纪录。这种水冷磁体可以算做改良后的水冷磁体通电螺线管。 (1)无限长的通电直导线周围存在磁场，磁感应强度的大小为，方向符合安培定则。其中k为已知常量，I为电流大小，a为空间某点到通电直导线的最短距离。若两根无限长的导线平行放置，处于边长为l0的等边三角形A、B两个点上，通以反向等大的电流I1，如图所示，求：它们在C点产生的磁感应强度BC。 (2)在导线上取电流元，即I∆l，I为电流大小，∆l为一段极短的长度，该电流元产生的磁场的磁感应强度可以写作，其中k′为已知常量，r为某点到电流元的最短距离。若一半径为R的圆形单匝线圈水平放置，通以电流I2，MN为垂直于线圈平面的直线，MN上P点与线圈上各点的连线均与水平方向夹角为θ，如图所示。求：圆形电流在P处产生的磁感应强度B。 (3)试根据（2）的结论，以线圈的圆心为坐标原点，取竖直向上为正方向，请在图中定性画出磁感应强度B在MN上随夹角θ的分布图线_______。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A、B两电流产生的磁场如右图所示 磁感应强度 由矢量合成可知C点产生的磁感应强度 可得 方向竖直向上； （2）如图所示 对于任意一个I∆l，总有另一个I∆l使产生的磁场水平方向抵消，所以圆形电流在P处产生的磁场方向为竖直向上，且每一个I∆l产生的磁感应强度为 其竖直方向分量为 则圆形电流在P处产生的磁感应强度为 联立可得 （3）磁感应强度B在MN上随夹角θ的分布图线如图所示 20．（2025·北京丰台·一模）牛顿运动定律适用于惯性系。相对于惯性系有加速度的参考系称为“非惯性系”，在非惯性系中，为使牛顿运动定律形式上仍然成立，可认为物体都多受一个“惯性力（f惯）”。f惯=-ma，m为被研究物体的质量，a为非惯性系相对于惯性系的加速度，“-”号表示f惯相与a反向。 (1)我国空间站所在轨道高度处的重力加速度为g′，空间站中宇航员质量为m。根据题干提供的信息，完成下面的表格。 参考系          研究内容 地球（忽略自转） 空间站 对宇航员进行受力分析 （可将宇航员视为质点） 宇航员的运动状态（选填“平衡状态”或“非平衡状态”） (2)将地球和月球看作一个孤立系统，忽略地球自转。二者球心绕连线上某点作匀速圆周运动，该点可视为惯性系。地球上的“潮汐”现象是由月球引力与惯性力的合力造成，该合力称为“引潮力”。已知万有引力常量G，地球质量和月球质量分别为M和m，半径分别为R和r，二者球心间距为L，可认为L>>R。请写出地球上离月球最远，质量为m0的质点所受“引潮力”的表达式，并判断方向。 (3)大天体对小天体的引潮力有可能将小天体“撕碎”。2024年12月，科学家首次发现近地小行星“2024YR4”，并预测它大约将在2032年12月与地球相距最近。如果小行星内部物质仅由万有引力聚集在一起，半径为r，密度ρm=3×10³kg/m³，忽略小行星自转。地球的半径为R，密度ρM=5.5×10³kg/m³，请通过计算说明，小行星到达地面之前能否被引潮力撕碎？（提示：已知地球质量远大于小行星，无论小行星到达地面前能否被撕碎，都有二者球心间距远大于r。本题可能用到的数学工具：当x→0时，。） 【答案】(1)见解析 (2)，背向月球 (3)见解析 【详解】（1）表格如图所示 （2）根据牛顿第二定律可得 则地球转动的加速度为 不计地球自转，质点m0所受引潮力为 所以 方向背向月球； （3）以小行星为研究对象，研究小行星离地球最远的部分所受引潮力，该部分质量为m0，设小行星瓦解时到地球球心的距离为L，则有 根据题意，小行星被撕碎的临界条件为 联立可得 根据质量和密度的关系可得 由此可知，小行星在落到地球表面之前就已经被瓦解。 21．（24-25高三上·北京顺义·月考）建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，地球的半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。 (1)试推导第一宇宙速度v的表达式； (2)如图-1所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，不考虑其它星体的作用，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，在图-2中画出小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像，求出小球在洞内运动过程中的最大速度vm； (3)在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为和，木星和地球的半径分别为R0和R，且。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。【提示：当x很小时，。】 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力 地球的质量为 联立解得第一宇宙速度为 （2）距离地心为x时，小球受到的万有引力大小为 又 可得 当0＜x≤R时，引力方向指向南方，当-R≤x＜0时，引力方向指向北方，故小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像如图所示 小球位于地心时速度最大，根据动能定理 解得 （3）设木星质量为，地球质量为，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为的物体，地球在木星引力作用下向木星靠近，根据牛顿第二定律，有 物体在木星引力和地球引力作用下，有 其中 ， 当时，地球将被撕裂；由可得 整理得 因为，所以很小，则有 代入可得 可得“洛希极限”的表达式为 22．（2024·北京海淀·二模）热气球的飞行原理是通过改变热气球内气体的温度以改变热气球内气体的质量，从而控制热气球的升降，可认为热气球在空中运动过程中体积及形状保持不变。 设热气球在体积、形状不变的条件下受到的空气阻力，其中v是热气球相对空气的速度，方向与热气球相对空气的速度方向相反，k为已知常量。已知热气球的质量（含载重及热气球内的热空气）为m时，可悬浮在无风的空中，重力加速度为g。不考虑热气球所处环境中空气密度的变化。 （1）若热气球初始时悬浮在无风的空中，现将热气球的质量调整为0.9m（忽略调整时间），设向上为正，请在图中定性画出此后热气球的速度v随时间t变化的图像。 （2）若热气球初始时悬浮在无风的空中，现将热气球的质量调整为1.1m（忽略调整时间），同时突然出现速度为的水平气流（之后始终存在），热气球在竖直方向下降距离h时水平和竖直方向上同时趋近平衡状态（可视为达到平衡状态）。求： ①热气球平衡时的速率； ②该过程中空气对热气球做的功； ③热气球下降距离h的过程经历的时间t； ④热气球在水平方向移动的距离x。 【答案】（1）见解析；（2）①，②，③，④ 【详解】（1）无风时悬浮时，有 当质量调整为0.9mg时 有 故随着速度增加，加速度逐渐减小，直到达到最大速度。热气球的速度v随时间t变化的图像如图所示。 （2）①无风时悬浮时，有 当质量调整为时，竖直方向有 即 水平方向有 平衡时 故热气球平衡时的速率为 ②由动能定理有 得 ③竖直方向上，由动量定理有 其中，解得该过程经过的时间为 ④水平方向上，由动量定理有 其中，得 解得热气球在水平方向移动的距离为 1/56 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴09 用力学三大观点处理多过程运动问题 典例·靶向·突破 题型01 多段变加速运动 1． 【答案】(1)应适当增大转速 (2)a． b．出风口 【详解】（1）应适当增大转速。转速越快风力越大，不饱满谷物水平方向加速度增大，相同竖直下落时间内水平向左位移增大，就能从二料口流出。 但转速不宜过大，防止不饱满谷物从出风口飞出。 （2）a．饱满谷物竖直方向始终只受重力，做自由下落运动， 在区域Ⅰ内运动时间为 竖直方向上 解得 设从A下端到B点过程中运动时间为 从喂料斗下方出口到B点过程中，总下落高度 解得 水平方向：Ⅰ区域无风，进入Ⅱ区域后水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，总水平位移 根据牛顿第二定律 ​ 解得 b．糠秕质量 ​，风力大小和饱满谷物相同，因此水平加速度 总下落时间和饱满谷物相同，因此糠秕到达BC水平面时的总水平位移 已知出风口到A点的水平距离 说明糠秕在到达二料口/出粮口前，水平位移已经超出出风口，因此糠秕从出风口飞出。 题型02 动量观点综合应用 2． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）航行器匀速时，时间内与机翼上下表面相互作用的海水层质量 单位时间内海水层质量 （2）在内对海水层，规定航行器的航行方向为正，设航行器对海水层的作用力为，根据动量定理，有 由题中已知得 根据牛顿第三定律，航行器受阻力与海水层受力大小相等，方向相反，即 对航行器，由平衡方程 得 （3）当目标接收到的功率时有最大探测距离 距声呐处的声波束截面半径 此截面单位面积的功率，目标接收功率 联立得 题型03 能量观点综合应用 3． 【答案】(1)a．；b．见解析 (2)a．见解析；b． 【详解】（1）a．小球恰好能通过圆轨道最高点，说明在最高点轨道对小球的弹力为零，重力完全提供向心力。根据牛顿第二定律有 解得 b．小球从同一位置P由静止释放，根据机械能守恒定律，到达最高点Q时，重力势能变化量相同，故动能变化量相同，到达Q点的速度大小相等。在最高点Q，根据牛顿第二定律有 得 由图丙可知，扁轨道在最高点Q处的曲率半径小于正圆轨道的半径，因为相同，所以，即沿扁轨道到达最高点时轨道对小球的压力较大。这种设计的优点是可以提高安全性。 （2）由于过山车速率保持不变，且车体始终布满轨道，说明圆轨道部分的重力势能不变，水平轨道部分重力势能也不变，故整体机械能守恒，动能不变。对于水平轨道上的车体，做匀速直线运动且不计摩擦，故水平轨道内车体间张力为零。因此，圆轨道最低点出口处车体间的拉力。取圆轨道上从最低点出口到最高点的一段车体为研究对象，设线密度为。在任意位置（与竖直向下方向夹角）取微元 质量 由于速率不变，切向加速度为零，切向合力为零。从最低点到最高点，重力沿切线方向的分力阻碍运动，拉力需克服重力分量增加。根据平衡条件，得最高点拉力 b．取最高点处长度为的一小段车体，其质量 该小段车体受重力、轨道作用力以及两侧车体的拉力。两侧拉力的合力指向圆心，根据题意及几何关系（小角度近似），合力大小 代入，得 在最高点，根据牛顿第二定律，合外力提供向心力 当车体恰好不脱离轨道时，速度最小，此时。方程变为 即 解得 题型04 三大观点融合建模 4． 【答案】(1)a.,b. (2) 【详解】（1）a.模型飞机以与轨道平行的速度钩住导体棒，由动量守恒可知飞机与导体棒系统的共同速度满足 解得 b.设系统在磁场中运动过程中，某一时刻的瞬时速度为，根据法拉第电磁感应定律可知 通过回路的瞬时电流为 对系统根据动量定理有 等式两边对时间微元求和得 解得 （2）设飞机从钩住阻拦索到停下所滑行的距离，由几何关系可知定滑轮A、B右侧的绳索的长度变为 则A、B右侧的绳索的伸长量为 因绳索总长度不变，A、B右侧的绳索的伸长量与固定点与定滑轮D之间的绳索的收缩量相等，故 解得 可知模型飞机减速滑行过程中，阻拦索对活塞做的功 因不计空气阻力和各处摩擦，由能量守恒可知模型飞机的动能减少量等于阻拦索对活塞做的功，即 解得 题型05 场力叠加多过程 5． 【答案】（1）；（2）；（3）a.见解析；b. 【详解】（1）EG的表达式为 （2）根据 联立得 （3）a．反证法 法1：如图，若存在电场线平行但不等间距的静电场，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点沿矩形路线abcda（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）运动一周回到a点。设ab处的场强大小为E1，cd处的场强大小为E2，根据功的定义，电场力做的总功 其中 bc段和da段电场力始终与运动方向垂直 故 得 但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故 上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场 法2：如图，若存在电场线平行但不等间距的静电场，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点分别沿矩形abcd（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）的abc和adc运动到c点。设ab处的场强大小为E1，cd处的场强大小为E2，根据功的定义，路径ac和adc电场力做的功分别为 其中 bc段和da段电场力始终与运动方向垂直 故 ， 得 故 但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故 上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场 b．电场力 等效重力加速度 小球在库仑力作用下的振动周期 题型06 临界极值分析 6． 【答案】(1)a．2m0v0cosθ；b． (2)a．；b．25% 【详解】（1）a．碰撞前后y方向小球的动量变化量的大小 b．水平方向动量不变，由动量定理有 所以 （2）设速度大小为v的离子从O点与x轴成60°进入磁场后，当离子速度方向与x轴平行时，离子偏离x轴距离最大，由于洛伦兹力不做功，故离子运动过程中速度大小始终为v，离子运动过程中x方向上由动量定理可得fxΔt＝mΔvx 即 整理有 得 a．当时 ，有 即时离子偏离x轴最大距离为。 b．不同离子偏离x轴的最大距离为，时，离子进入第四象限，由 得 即的离子进入第四象限，所以 题型07 图像关联多过程 7． 【答案】(1)64m (2)710N (3)见解析 【详解】（1）根据牛顿第三定律，结合图乙可知电梯下行时木箱受到的支持力的大小。设木箱的重力为G，木箱在加速、匀速、减速阶段木箱受到的支持力分别用、、表示，其加速度分别用、、。木箱在加速、匀速、减速阶段受力分析依次如图1、图2、图3所示。 规定竖直向下为正方向。根据牛顿第二定律 则有 分别代入数据解得，，（方向竖直向上） 加速阶段：根据运动学公式，4s末的速度 根据以上分析，可知电梯下降过程中v-t图像如图所示。 由图线可知，v-t图像的面积代表位移。即 （2）设木箱质量为m，轿厢和配重的质量均为M。向下加速运动阶段，设绳对轿厢的拉力大小为，绳对配重的拉力大小为，对轿厢受力分析，并根据牛顿第二定律，有 对配重受力分析，并根据牛顿第二定律，有 代数解得， 则滑轮A两侧绳子上的作用力之差为 向下匀速运动阶段，设绳对轿厢的拉力大小为，绳对配重的拉力大小为，对轿厢受力分析，并根据牛顿第二定律，有 对配重受力分析，并根据牛顿第二定律，有 则滑轮A两侧绳子上的作用力之差为 向下减速运动阶段，设绳对轿厢的拉力大小为，绳对配重的拉力大小为，对轿厢受力分析，并根据牛顿第二定律，有 对配重受力分析，并根据牛顿第二定律，有 代数解得， 则滑轮A两侧绳子上的作用力之差为 综上分析可知，在减速运动阶段曳引轮A两侧绳子上的作用力之差最大值，最大值 （3）设计防止电梯触底事故的安全措施 可以从能量耗散和受力缓冲两个角度设计，以下是两种典型方案： 方案一：电磁阻尼缓冲装置 器材：在电梯井底部设置强磁场，轿厢底部安装闭合导体线圈。 原理：当轿厢快速下坠进入磁场时，线圈切割磁感线产生感应电流，根据楞次定律，会受到向上的安培力（电磁阻力），将轿厢的动能转化为线圈的焦耳热，从而减速。 优点：无机械接触，响应快，可有效消耗动能。 方案二：弹簧-液压复合缓冲器 器材：在电梯井底部安装大劲度系数的弹簧和液压阻尼器。 原理：弹簧提供弹性力，将轿厢的动能转化为弹性势能，减缓冲击。 液压阻尼器通过液体流动的阻力做功，将机械能转化为内能，进一步耗散能量，避免轿厢反弹。 优点：缓冲效果稳定，能有效吸收巨大的冲击能量。 方案三：限速器与安全钳联动 器材：限速器（监测速度）、安全钳（夹紧导轨）。 原理：当电梯速度超过阈值时，限速器触发安全钳，使其夹紧导轨，利用滑动摩擦力做功，将轿厢的动能转化为内能，强制减速并停止。 优点：是电梯行业的标准安全装置，可靠性高。 题型08 多物体相互作用 8． 【答案】(1) (2)①1s；②16J 【详解】（1）当木板静止时，对于滑块而言，其初速度为0，滑块运动时间t=2s，位移大小为L，则有 解得 （2）①题意可知滑块与木板质量相等且均为m，通电后，因为绳子上的力恒为F=7N，则电动机的加速度大小为 对木板受力分析得 解得木板加速度大小 设经过时间电动机与木板相撞，则 解得 ②结合以上分析，可知碰撞前电动机的速度 木板的速度 这两个速度方向相反，电动机与木板碰撞时，取向左为正方向，由于动量守恒，故 解得v=3m/s 所以碰撞时损失的机械能 联立解得 1． 【答案】(1)a．负电 b． (2)a． b． 【详解】（1）a．A极板为正极、B极板为负极，电场方向竖直向下；油滴加电压后匀速上升，说明电场力方向竖直向上，电场力方向与电场方向相反，因此油滴带负电。 b．设阻力与速度满足 设油滴运动距离为，阻力比例系数为：不加电场匀速下降时，速度 受力平衡 加电压后匀速上升，速度 电场强度 受力平衡有 整理得 （2）a．电子在库仑力作用下绕核做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 根据题意轨道周长为倍物质波波长，即 物质波公式 整理得 b．氢原子总能量 其中， 代入得能级公式 要发出可见光，只有从跃迁到才发出可见光，最小能量对应激发到。电子加速后动能为，满足 整理得最小电压 2． 【答案】(1)400A (2) (3)否，见解析 【详解】（1）根据发电机输出功率公式 代入数据解得 （2）输电线上损失的功率 由 可得输电线电流 升压变压器副线圈两端电压 降压变压器原线圈两端电压 根据变压器电压比公式 解得 （3）输电效率降低。理由如下：发电机输出电压不变，升压变压器匝数比不变，则升压变压器输出电压不变。当发电机输出功率增大时，由 可知输电线电流增大。输电效率 由于和不变，增大，导致增大，故输电效率降低 3． 【答案】(1)a.；b. (2)a.不能，分析见理由；b. 【详解】（1）a．由题干可知，电子仅受静电力作用做匀速圆周运动，即静电力提供电子所需向心力。根据氢原子结构可知氢原子核带电量为e，有， b．当氢原子处在匀强磁场中时，电子同时受到静电力和洛伦兹力。根据右手定则，这两个力均指向圆心提供向心力，即， 整理得 （2）a．不能。这些光子能量显然是等差数列，而氢原子能级差为，并非等差数列。因此不能类比氢原子能级模型解释上述X射线图谱的特点。 b．电子在该磁场中运动，仅受磁场力作用，则有洛伦兹力提供向心力，即 因电子呈现轨道量子化，则需满足轨道量子化条件 电子的德布罗意波长为 整理得，能级差为 解得 4． 【答案】(1)静摩擦力，6.4N (2)a. ；b. 见解析 【详解】（1）小物体随圆盘做匀速圆周运动，相对于P点有向外运动的趋势，受静摩擦力f，静摩擦力f提供向心力，即 （2）a.圆盘的角速度缓慢增大，所需向心力变大，当角速度增大到时，有 解得 b.小物体离开粗糙区域后，只受重力和支持力，以速度v做匀速直线运动，路程为x，则有， 如图所示 则 P点以线速度v做匀速圆周运动，路程 如图所示 则 联立可知 小物体和P点运动情况如图所示 由数学知识可知。 5． 【答案】(1)a.；b.，理由见解析 (2)证明见解析， 【详解】（1） a、有可能跃迁的跃迁图如图所示 b、由牛顿第二定律可得 动能可表示为 电势能可表示为 其中 则 联立解得 故反氢原子与氢原子具有相同的能级图。 （2）根据动量守恒定律和质能关系等物理知识，湮灭不可能转化为一个光子，理由是违背动量守恒，由能量守恒可得 即 【点睛】 6． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设绕黑洞做匀速圆周运动的物质质量为m，轨道半径为r，则有 m的动能、引力势能分别为， m的机械能 联立解得 单位时间内进入吸积盘的质量为，物质从距离黑洞处运动到距离黑洞处，单位时间内机械能的减少量等于电磁辐射功率，即 解得黑洞的质量 （2） S0-2 星体做椭圆运动的半长轴约为、周期约为，将椭圆运动近似为半径为 的匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故 整理得黑洞的质量 7． 【答案】(1)C (2)a.；b.逐渐增大 【详解】（1）A．由图可知，电子沿竖直向上方向进入区域Ⅱ，沿轴线从左向右看，磁感线方向垂直纸面向里，根据左手定则可知，电子在O点受到的洛伦兹力方向水平向右，电子做圆周运动的圆心应在O点右侧，故A错误； BD．由题意，电子沿不同方向从O点进入区域Ⅱ，故电子运动轨迹的投影必经过O点，与所给图像不符，故BD错误； C．由图可知，电子沿竖直向上方向进入区域Ⅱ，沿轴线从左向右看，磁感线方向垂直纸面向里，根据左手定则可知，电子在O点受到的洛伦兹力方向水平向右，电子做圆周运动的圆心应在O点右侧，故C正确。 故选C。 （2）a.进入区域Ⅱ的电子沿轴线方向不受磁场作用，做匀速直线运动，沿垂直于轴线方向做匀速圆周运动，满足 得 电子做圆周运动的周期满足 可知电子做圆周运动的周期相同，且每转动一个周期刚好都能回到轴线。当电子沿轴线运动的速度为时，第一次回到轴线的位置最小，可知 当电子沿轴线运动的速度为时，第一次回到轴线的位置最大，可知 故最大和最小之间的距离 b.当接收板置于处时，沿管轴线方向的速度为，垂直于轴线方向速度分量为的电子刚好回到轴线上处。此时，速度为的电子沿垂直于轴线方向做匀速圆周运动刚好到达P点，如图所示 该电子还需转动角度才能回到轴线上处，故对于垂直于轴线方向速度分量为，沿管轴线方向的速度处于范围内的粒子，落在接收板上的位置在角对应的上，其中直线与竖直方向的夹角为。 对于垂直于轴线方向速度在、沿管轴线方向的速度在范围内的电子，由可知其圆周运动的半径与垂直于轴线方向速度分量成正比，但击中接收板时对应的角由沿管轴线方向的速度决定，与无关，因此对于落在接收板上的电子其对应的圆周半径不同，但对应的角不变，故可知接收屏形成的斑处于下图所示阴影区域范围内 若将接收板从处向右平移至处过程中，沿管轴线方向的速度处于范围内的粒子，击中接收板的最大时间差为 粒子转过的角度之差最大值满足 可知随着接收板从处向右平移至处过程中，随着的增加，两粒子转过的角度之差逐渐增大，图中阴影区域的面积逐渐增大，斑的大小会逐渐增大。 8． 【答案】(1)a． ；b． (2)a．；b．不是 【详解】（1）a．设吸积盘中到黑洞距离为r处物质的质量为m 根据 解得 b．设时间内，距离黑洞到区域进入吸积盘的物质的质量为 这些物质机械能的减少量为，则 根据能量守恒 又 联立解得 （2）a．设光在黑洞附近时的频率为、波长为，光子的等效质量为，地球上接收到光的频率为v、波长为，光子的等效质量为m。光子从黑洞附近传播到地球的过程中，仅在黑洞引力场作用下， 根据能量守恒 又 和 联立解得 由题中条件知， 解得 所以 b．根据 实际观测的红移值为 因为，所以引力引起的红移不是产生红移现象的主要原因。 9． 【答案】(1)①，② (2)①，②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可 【详解】（1）①大球的质量为，挖去小球的质量为， 大球对点小物体的引力为 小球单独存在时对点小物体的引力为 则剩余部分对点小物体的引力为 解得 ②由于质量分布均匀的球壳对内部的引力为零，大球对点小物体的引力相当于球心在、半径为的球体对点小物体的引力，即 由①可知 又因为质点位于挖去小球的球心处，质量分布均匀的小球对其球心处质点的引力为0，即 则 （2）①如果将空腔区域填满相同密度的岩石，则点重力加速度将回归正常值。因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算。 若在点放置一质量为的质点，则该附加引力为 根据牛顿第二定律，空腔的重力加速度变化满足，其中 则，方向沿连线向外。 因此，处重力加速度反常大小，其中 解得，方向竖直向上 ②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可 10． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）行星绕恒星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，即 解得 （2）恒星对该物体的万有引力为 行星对该物体的万有引力为 所以恒星和行星对该物体万有引力的差值 （3）设行星表面的物体m恰好被吸走，此时物体与行星间的支持力为零。对物体m，其受到恒星的引力与行星的引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 脱离时刻，行星表面物体和行星有相同的角速度由得 物体的向心加速度 可得 整理得 由于，所以 代入可得 整理可得 11． 【答案】(1)a.；b. (2)a.；b.；c. 【详解】（1）a.设经过时间t小球与圆心连线转过的角度为φ，小球A的“影子”的位移为x=Rsinφ 又因为φ=ωt 解得x=Rsinωt b.小球A在最高点或最低点时“影子”的速度最大，则“影子”的最大速度。 （2）a.地球内部半径为的球体对的万有引力 其中 解得      b.近地卫星绕地球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律 由图1可知，列车在隧道内简谐运动周期与近地卫星运动周期相同，均为，列车通过隧道所用的时间 解得         c.设列车与地心之间的距离为，则列车所受地球的万有引力为 其中 解得 万有引力在A、B连线方向上的分力 解得 考虑方向， 令，则即列车在A、B之间做简谐运动。 列车在两个隧道做简谐运动时，回复力与位移的关系相同，运动周期与振幅无关，简谐运动的周期相同，列车从隧道一端到另一端的运动时间为周期的一半，即。 12． 【答案】(1)a.；b. (2)见解析 【详解】（1）a.彗星运动至近日点时，根据牛顿第二定律有 解得 b.设彗星在点处的速度大小为，则有 结合题中信息，得彗星在点处的机械能为 其中，联立解得 （2）设地球质量为卫星质量为，卫星经过圆轨道某点时的速度大小为。卫星在圆轨道上圆周运动时，万有引力提供向心力有 启动发动机后，卫星的合速度为 根据已知条件，则卫星沿椭圆轨道运行的机械能为 设卫星在椭圆轨道的机械能为，根据（1）b的结论，有 所以 13． 【答案】(1)，n=1，2，3…；，n=1，2，3… (2)，n=1，2，3…；见解析 【详解】（1）对于氢原子，库仑力提供电子绕核运动的向心力，根据牛顿运动定律得 根据玻尔的量子化条件, n=1，2，3… 联立得，，n=1，2，3… 选取无穷远处为零势能面，则得 代入数据得，n=1，2，3… （2）根据玻尔理论，当原子从较高能量状态向较低能量状态跃迁时，发射一个光子，其频率为 得 代入数据得，n=1，2，3… 由上式，当时，，，则频率表达式为 电子在第条轨道上转动得频率 将、的表达式代入得 满足当时该频率等于电子在第n轨道上绕核运动的频率。 14． 【答案】(1) (2) (3)a.；b. 【详解】（1）设脉冲星半径为r，在脉冲星表面有 则密度 联立解得 （2）对脉冲星、伴星构成的双星系统，设脉冲星、伴星轨迹圆半径分别为，则有 因为 联立解得 （3）a.双星轨迹如图 几何关系有 已知 联立解得 b.设地球接收星体辐射的面积为，如图 接受太阳能量 脉冲星辐射圆斑扫过地球的线速度为v，如图 则 辐射圆斑直径 辐射圆斑面积 地球接受的能量 因为 联立解得 15． 【答案】(1), (2), 【详解】（1）a．设物体的质量为m由 解得 物体上升到最高点所用的时间 b．若考虑万有引力的变化，随着高度的增加，万有引力逐渐减小，故物体的加速度逐渐减小，反映在图像中，图像的斜率逐渐减小，上升到最高点的时间增大，其图像如下 （2）a．导弹绕地心的做匀速圆周运动的线速度为 则圆周运动的向心加速度 设导弹垂直地球表面做匀变速直线运动的加速度大小为，则有     解得 导弹垂直于地球表面做匀变速直线运动初速度为，由匀变速直线运动公式得 b．导弹发射速度最小时，导弹的机械能最小，由题意可知，椭圆轨道的半长轴a最小，则另一焦点的位置如图所示。 根据几何关系 导弹的机械能为 联立解得 16． 【答案】(1)a.   b.   c. (2) 【详解】（1）a.万有引力提供向心力，有 解得 b.设近P点的速度为，根据开普勒第二定律 由于v趋于零，探测器从远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。 c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其周期为。由开普勒第三定律，得 因为 联立解得 （2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为处做匀速圆周运动时，周期为，则有 荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴，设其周期为。 类比天体运动中的开普勒第三定律，有 且 综上可得 17． 【答案】(1)a．，b． (2) (3)见解析 【详解】（1）a．由题可知，球体内包含的质量大小为 根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为 b．宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小 结合 解得随距离r变化的关系式 （2）当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 （3）a．根据上述分析可知，， 故其大致图像如下 b．此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。 18． 【答案】(1)a.；b. ， (2)a.；b. 【详解】（1）a. 该弹簧振子的振动周期 根据题意有 联立可得 b.根据胡克定律可得 则弹簧弹力大小随弹簧伸长量的变化关系如图所示 弹簧伸长量为时，弹簧弹性势能为 （2）a.电子进入正电荷离子层受力 沿轴方向做简谐运动，初速度 垂直于轴方向做匀速直线运动，速度为 入射角为的电子刚好不射入负电荷离子层，由功能关系 解得 则 b．电子在分界面上形成的图形为圆，设入射角为的电子进入离子层之前在垂直于轴方向发生的位移为，进入离子层后刚好到达界面时在垂直于x轴方向发生的位移为，分界面图形圆的半径为r，则，，， 又 联立可得 19． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A、B两电流产生的磁场如右图所示 磁感应强度 由矢量合成可知C点产生的磁感应强度 可得 方向竖直向上； （2）如图所示 对于任意一个I∆l，总有另一个I∆l使产生的磁场水平方向抵消，所以圆形电流在P处产生的磁场方向为竖直向上，且每一个I∆l产生的磁感应强度为 其竖直方向分量为 则圆形电流在P处产生的磁感应强度为 联立可得 （3）磁感应强度B在MN上随夹角θ的分布图线如图所示 20． 【答案】(1)见解析 (2)，背向月球 (3)见解析 【详解】（1）表格如图所示 （2）根据牛顿第二定律可得 则地球转动的加速度为 不计地球自转，质点m0所受引潮力为 所以 方向背向月球； （3）以小行星为研究对象，研究小行星离地球最远的部分所受引潮力，该部分质量为m0，设小行星瓦解时到地球球心的距离为L，则有 根据题意，小行星被撕碎的临界条件为 联立可得 根据质量和密度的关系可得 由此可知，小行星在落到地球表面之前就已经被瓦解。 21． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力 地球的质量为 联立解得第一宇宙速度为 （2）距离地心为x时，小球受到的万有引力大小为 又 可得 当0＜x≤R时，引力方向指向南方，当-R≤x＜0时，引力方向指向北方，故小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像如图所示 小球位于地心时速度最大，根据动能定理 解得 （3）设木星质量为，地球质量为，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为的物体，地球在木星引力作用下向木星靠近，根据牛顿第二定律，有 物体在木星引力和地球引力作用下，有 其中 ， 当时，地球将被撕裂；由可得 整理得 因为，所以很小，则有 代入可得 可得“洛希极限”的表达式为 22． 【答案】（1）见解析；（2）①，②，③，④ 【详解】（1）无风时悬浮时，有 当质量调整为0.9mg时 有 故随着速度增加，加速度逐渐减小，直到达到最大速度。热气球的速度v随时间t变化的图像如图所示。 （2）①无风时悬浮时，有 当质量调整为时，竖直方向有 即 水平方向有 平衡时 故热气球平衡时的速率为 ②由动能定理有 得 ③竖直方向上，由动量定理有 其中，解得该过程经过的时间为 ④水平方向上，由动量定理有 其中，得 解得热气球在水平方向移动的距离为 2/31 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴09 用力学三大观点处理多过程运动问题 命题预测 力学三大观点（牛顿运动定律、动量定理/动量守恒、能量守恒/功能关系）是北京高考物理压轴核心骨架，近5年持续聚焦多阶段变加速、多物体相互作用、场力叠加、临界衔接、图像关联、科技建模等高阶综合情境，突出过程拆解、状态关联、规律优选、等效转化四大核心思维，是区分高分段的核心模块。 预计2026年北京三模与高考，将延续“多过程嵌套、多力综合、观点融合、情境前沿”命题逻辑，以变加速多段运动、碰撞/相互作用、场力（重力/电场力）叠加、临界极值、图像推导、实际应用为核心，侧重规律优选、过程建模、临界分析、综合运算，是高分突破必争压轴专题。 高频考法 1. 多段变加速：匀变衔接、变力作用、阶段受力突变、运动状态转折 2. 动量观点：动量定理微元、系统动量守恒、冲量关联、碰撞模型 3. 能量观点：功能关系、能量守恒、势能转化、变力做功 4. 场力叠加：重力＋电场力、变力场、复合场多过程 5. 临界极值：速度/位移极值、受力临界、状态突变、衔接临界 6. 图像关联：v-t、a-t、F-x、E-x图像、规律推导、数形结合 7. 多物体：连接体、板块模型、相互作用、动量能量联立 8. 科技情境：变加速装置、碰撞应用、能量回收、动力系统建模 知识·技法·思维 考向01 多段变加速运动（过程拆解） 1. 阶段受力分析： · 匀变速衔接：恒力作用、加速度突变、运动状态转折（匀加→匀减/匀速）。 · 变力作用：变加速（F随v/x/t变化）、动态受力、加速度动态变化。 · 场力突变：重力/电场力叠加、场强突变、受力突变引发运动转折。 2. 过程衔接规律： · 速度衔接：相邻阶段末速度＝初速度，矢量守恒。 · 位移关联：分段位移叠加、几何约束、边界限制。 · 时间关联：分段时间累加、运动周期、阶段时长推导。 3. 方法选择： · 短时间/瞬时：优先动量定理（微元、冲量、瞬时作用）。 · 长过程/位移：优先能量守恒/功能关系（变力做功、能量转化）。 · 恒力/匀变速：牛顿定律＋运动学（加速度、时间、位移直接关联）。 考向02 动量观点综合应用（冲量与守恒） 1. 动量定理（微元/全程）： · 变力冲量：微元求和（）、变力作用全程分析。 · 场力冲量：重力/电场力冲量、恒力冲量直接计算，变力冲量用动量定理计算。 · 瞬时作用：碰撞、冲击、短时间作用，动量定理优先（忽略位移、聚焦速度变化）。 2. 动量守恒（系统/临界）： · 守恒条件：合外力为零、内力远大于外力（碰撞/瞬时）、某方向合外力为零。 · 系统选取：多物体系统、内力分析、守恒方向判定。 · 临界守恒：共速临界、速度极值、碰撞临界（弹性/非弹性）。 3. 动量能量联立： · 碰撞模型：弹性碰撞（动量＋动能守恒）、非弹性碰撞（动量守恒＋动能损失）。 · 多物体相互作用：动量守恒＋能量守恒、联立求解速度/位移极值。 考向03 能量观点综合应用（功能与守恒） 1. 功能关系（变力做功）： · 变力做功：、安培力/电场力/变力做功、全程功能关系。 · 场力做功：重力做功（）、电场力做功（）、势能转化。 · 其他力做功：摩擦力/阻力做功、内能转化、能量损耗。 2. 能量守恒（系统/全程）： · 系统能量：动能＋重力势能＋电势能＋内能＝恒量，全程能量转化。 · 变加速能量：动能变化、势能变化、变力做功。 · 临界能量：极值动能、极值势能、能量分配的临界。 3. 图像能量： · E-x、Ek-x、W-F图像、面积表示做功、斜率表示力、数形结合推导。 考向04 三大观点融合建模（选择与联立） 1. 方法选择的原则： · 恒力＋匀变速：牛顿定律＋运动学（直接关联a、t、x、v）。 · 变力/长过程：能量守恒/功能关系（规避变力积分、聚焦能量变化）。 · 瞬时/短时间：动量定理（忽略位移、冲量关联速度变化）。 · 多物体/相互作用：动量守恒＋能量守恒（联立求解、规避内力分析）。 2. 多过程联立： · 分段规律：每段优选对应观点、分段列式、状态量关联。 · 全程联立：动量定理＋能量守恒、牛顿定律＋能量关系、跨过程联立求解。 3. 等效转化： · 变加速等效：等效恒力、等效加速度、简化运动模型。 · 碰撞等效：弹性碰撞等效、速度交换、简化计算。 考向05 场力叠加多过程（重力＋电场力） 1. 复合场受力： · 重力＋匀强电场：等效重力、等效加速度、匀变速多过程。 · 重力＋交变电场：变加速、周期性运动、阶段受力突变。 · 变电场＋恒重力：动态受力、加速度变化、运动转折。 2. 多过程分析： · 场强恒定：等效重力场、匀变速运动、三大观点通用。 · 场强突变：受力突变、运动转折、分段建模。 · 周期性场：往复运动、周期关联、能量周期性转化。 考向06 临界极值分析（速度/位移/能量） 1. 速度极值： · 最大速度：合力为零、动力＝阻力、收尾匀速。 · 最小速度：临界受力、速度为零、状态转折。 · 极值速度：场力平衡、变力临界、运动极限。 2. 位移极值： · 最大位移：速度为零、动能耗尽、能量临界。 · 临界位移：边界约束、受力临界、运动极限。 3. 能量极值： · 极值动能：速度极值、能量分配临界。 · 极值势能：位移极值、势能极值、能量转化临界。 考向07 图像关联多过程（数形结合） 1. 运动图像（v-t/a-t）： · v-t图像：斜率＝加速度、面积＝位移、分段运动、状态转折。 · a-t图像：面积＝速度变化、变加速动态分析、受力关联。 2. 能量/力图像（F-x/E-x）： · F-x图像：面积＝做功、变力做功、能量转化。 · E-x图像：斜率＝力、势能变化、能量动态关联。 3. 图像推导： · 由图像求物理量、规律推导、临界判定、数形结合建模。 考向08 多物体相互作用（板块/连接体） 1. 板块模型： · 滑块-木板：摩擦力相互作用、动量守恒、能量损耗、相对位移。 · 临界状态：共速临界、相对滑动临界、摩擦力突变。 2. 连接体模型： · 绳/杆连接：内力分析、加速度关联、多过程运动。 · 变力连接：动态内力、加速度变化、状态转折。 3. 相互作用： · 内力冲量、动量守恒、能量转化、联立求解。 典例·靶向·突破 题型01 多段变加速运动 1．（2026·北京东城·二模）扇车又名风车，是我国古代具有代表性的粮食清选工具。图甲为封闭扇车实物图，图乙为封闭扇车在竖直面内的剖面示意图。工作时将待筛选的谷物倒进上方的喂料斗，斗阀板A竖直，谷物紧贴斗阀板A左侧自由下落（不计初速度）。逆时针匀速转动曲柄摇手，空气在圆形风腔的上方水平向左匀速经风道流出，风道内可认为在Ⅰ区域无风，在Ⅱ区域风力大小恒定。若转速越快，则风力越大。密度小的糠秕及轻杂物被风从左侧出风口吹出，不太饱满的谷物从左下方二料口流出，而密度大的饱满谷物从下方出粮口流出，这样就把糠秕与谷物分开了。图乙中B点为出粮口左边界，C点为二料口左边界，BC处于同一水平线上。斗阀板A与B点的水平距离为l，A与风道左侧出风口的距离为s，斗阀板A长为d，风道高为D。假设谷物在竖直方向仅受重力作用，待筛选的谷物中只存在饱满谷物、糠秕（质量是饱满谷物质量的20%）和不饱满谷物（质量是饱满谷物质量的70%），在相同的转速时，认为糠秕、饱满谷物与不饱满谷物所受风力一样大，忽略谷物间的作用力。 (1)在某次粮食清选的过程中，以一定的转速转动曲柄摇手，发现在出粮口有不饱满谷物出现。为了让不饱满谷物从二料口流出，请简要说明应如何操作？ (2)经过相应调整后，饱满谷物恰好经B点从出粮口流出。已知l=0.20 m，s=0.60 m，d=0.05 m，D=0.45 m，饱满谷物的质量m1取2.5×10-5 kg，g取10 m/s2。 a．此时饱满谷物受到的风力大小为多少？ b．通过计算说明，这批谷物经过风道，糠秕是从出风口飞出还是二料口流出？ 题型解码 以生活科技情境为载体，聚焦多段变加速过程拆解，融合受力突变、运动状态转折与运动学规律，突出过程拆分、临界条件判定与物理量关联，考查变加速建模与综合分析能力。 题型02 动量观点综合应用 2．（2026·北京丰台·二模）如图甲所示为某新型无人水下航行器的简化示意图，该航行器的机翼为矩形，机翼长为l、宽为c，厚度忽略不计。航行器以水平速度v在密度为ρ的静止海水中匀速航行时，由于与海水相互作用，会受到与运动方向相反的阻力。为简化问题的研究，只考虑机翼上下表面厚度均为d的海水层与机翼之间的相互作用。该海水层与机翼相互作用后速度增至v水，方向与航行器速度方向相同，满足（，其中k为定值）。航行器的机翼平面始终与水平面平行，忽略机身和机翼其他表面与海水的相互作用。 (1)求单位时间内与机翼相互作用的海水层质量Δm； (2)求航行器所需水平方向动力的大小F； (3)航行器可以利用声呐系统发射声波束探测目标。若航行器悬停在水中，发射的声波束沿中心轴线方向最大截面的顶角为θ（θ很小），如图乙所示。声波束在传播的过程中，垂直于中心轴线的截面不断变大。声呐系统向外发射功率为P0的声波束，在声波束内垂直中心轴线同一截面上的功率分布均匀。目标探测物位于声呐系统的正前方，其接收声波的有效面积为S0，该面积垂直于声波束的中心轴线，且远小于声波束在该处截面的面积。若目标探测物接收到的功率至少为Pm时，其反射回的信号才能被航行器的声呐系统探测到。忽略声波在传播过程中能量的损失，求航行器能探测到正前方目标物的最大探测距离Lm。 题型解码 依托流体相互作用情境，聚焦动量定理微元应用，关联变力冲量、动量变化与牛顿第三定律，突出微元建模、动态受力分析与规律迁移，考查动量观点高阶建模能力。 题型03 能量观点综合应用 3．（2026·北京朝阳·二模）模型的修正和完善伴随着我们对物理本质更深入的认识。某学习小组对过山车的运动进行了深入研究。已知重力加速度为g，不计摩擦及空气阻力。 (1)先将过山车用可视为质点的小球来替代。 a．图甲所示的装置由两段可视为竖直平面内的倾斜直轨道与一半径为R的圆轨道顺接组成，在圆轨道最低点处的两侧稍微错开一小段距离，且分别与左右两侧的斜直轨道平滑相接。将一小球从左侧倾斜直轨道上某位置由静止释放，小球恰好能通过圆轨道最高点，求小球在圆轨道最高点的速度大小v1； b．实际的过山车竖直回环轨道不是正圆，而是设计成图乙所示的扁轨道，可将其简化为图丙所示的轨道。研究一般的曲线运动时，我们可将运动过程分割为许多很短的小段，每小段的运动均可看作是圆周运动的一部分。若轨道承压足够大，请比较小球从同一位置P由静止释放，分别沿扁轨道、正圆轨道到达最高点Q时轨道对其压力的大小关系，并说明这种设计的优点。 (2)实际的过山车并不能视为质点。如图丁所示，一列长为L、质量为M的玩具过山车，在无动力情况下，从水平轨道冲上半径为r的竖直圆轨道。已知L>2πr，不计过山车自身高度及相邻车体间碰撞。在车体始终布满轨道的一段时间内，过山车的速率保持不变，请在该段时间内分析下列问题： a．推导最高点处车体之间的拉力大小； b．取轨道最高点处的一小段长度为s的车体为研究对象。若此时左、右侧车体对其拉力大小可视为相等，且两力的合力大小为a问中拉力的倍，求该小段车体通过最高点时的最小速度vm。 题型解码 以曲线运动实际模型为背景，融合机械能守恒、向心力公式与微元分析，聚焦曲率半径影响、能量转化与临界极值，突出等效建模、规律优选与安全设计思维，考查能量观点综合应用能力。 题型04 三大观点融合建模 4．（2026·北京昌平·一模）为使飞机能够在有限长度的甲板上安全着陆，甲板上会设置阻拦系统，阻拦系统对飞机施加一作用力，使飞机短距离滑行后停下。为模拟飞机的着陆过程，某学习小组设计了两种阻拦系统模型。 (1)第一种模型如图1所示，两根相距为的平行长直金属导轨（电阻不计）固定在水平地面上，左端接阻值为的电阻，右侧处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。一根导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。模型飞机在轨道平面内以与轨道平行的速度钩住导体棒，并关闭动力系统，然后与导体棒以共同速度进入匀强磁场中。已知模型飞机的质量为，导体棒的质量为、接入电路中的电阻为。不计空气阻力及导体棒与导轨间、模型飞机与地面间的摩擦。求： a.进入磁场前该飞机与导体棒的共同速度； b.进入磁场后该飞机在地面上滑行的距离。 (2)第二种模型如图2所示，一根不可伸长的轻质阻拦索两端固定在地面上，动十字头与液压缸中的活塞通过长杆连接，定十字头与液压缸连接并固定在地面上，定滑轮A、B间绳索的长度为，阻拦索连接方式如图2所示。质量为的模型飞机以沿速度在点钩住阻拦索，并关闭动力系统，阻拦索在飞机拖动下伸长时，动十字头会在阻拦索的作用下带动液压缸的活塞移动，若活塞移动，固定点与定滑轮D之间的绳索可视为收缩（是已知常量）。已知模型飞机从钩住阻拦索到停下的过程中液压缸压强的平均值为，活塞横截面积为。不计动十字头、活塞和长杆的质量及活塞与液压缸内壁间的摩擦，不计定滑轮质量及轮与轴间的摩擦且滑轮与绳索间不打滑，不计模型飞机与地面间的摩擦以及尾钩与绳索间的摩擦，不计空气阻力。求该飞机从钩住阻拦索到停下所滑行的距离。 题型解码 以阻拦系统为科技情境，串联动量守恒、动量定理与能量守恒，聚焦多过程联立、变力冲量与几何关联，突出观点融合、过程拆解与实际建模，考查三大观点综合解题能力。 题型05 场力叠加多过程 5．（2020·北京·三模）万有引力和库仑力有类似的规律，有很多可以类比的地方。已知引力常量为G，静电力常量为k。 （1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为M的质点相距r处的引力场强度EG的表达式； （2）质量为m、电荷量为e的电子在库仑力的作用下以速度v绕原子核做匀速圆周运动，该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”，如图（1）。已知在一段时间内，电子走过的弧长为s，其速度方向改变的角度为θ（弧度）。不考虑电子之间的相互作用，求出原子核的电荷量Q； （3）如图（2），用一根长为L的绝缘细线悬挂一个可看成质点的金属小球，质量为m，电荷量为-q。悬点下方固定一个足够大的水平放置的均匀带正电的介质平板。小球在竖直平面内做小角度振动。已知重力加速度为g，不计空气阻力。 a．已知忽略边缘效应的情况下，带电平板所产生的静电场的电场线都垂直于平板，静电场的电场力做功与路径无关。请证明：带电平板所产生的静电场是匀强电场； b．在上述带电平板附近所产生的静电场场强大小为E，求：金属小球的振动周期。 题型解码 以引力、电场力类比为切入点，聚焦场力叠加与等效思想，融合圆周运动、简谐运动与电场性质，突出类比建模、等效转化与逻辑推导，考查场力综合分析能力。 题型06 临界极值分析 6．（25-26高三上·北京东城·期末）动量定理可以表示为Δp＝FΔt，其中动量p和力F都是矢量。在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。 (1)质量为m0的小球斜射到光滑木板上，作用时间Δt极短，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v0，如图甲所示。碰撞过程中忽略小球所受重力。 a．求碰撞前后y方向小球的动量变化量的大小Δpy。 b．求木板对小球的平均作用力大小F。 (2)如图乙所示，xOy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度为L、边界均平行于x轴的区域，下边界与x轴重合，区域内存在方向均垂直纸面向外的磁场，磁感应强度大小为，位于原点O处的离子源沿纸面向磁场区域释放带正电的离子束，离子质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°，速度大小在范围内，且离子源射出的离子数在各速率区间的分布是均匀的。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。(你可能会用到的数学关系：) a．求以最小速度进入磁场的离子，在磁场中偏离x轴的最大距离。 b．求进入第四象限的离子数占离子总数的比例η。 题型解码 依托二维动量与变磁场情境，聚焦临界极值判定，融合动量定理分量式、变力动态分析与几何约束，突出临界建模、极值推导与数形结合，考查临界极值高阶思维。 题型07 图像关联多过程 7．（25-26高三下·北京门头沟·阶段检测）图甲为电梯的结构示意图，配重和轿厢质量均为500kg，A轮是与电动机（未画出）连接的曳引轮，通过与缆绳之间的摩擦力，将电动机的动力传递给缆绳，带动轿厢与配重实现升降。缆绳质量以及定滑轮B轴间的摩擦忽略不计。现将质量为20kg的木箱放置于轿厢内，并使电梯下行，经加速、匀速、减速三个阶段，最后停在一楼。木箱对轿厢底的压力随时间变化的关系图像可简化为图乙所示。重力加速度。 (1)根据分析和计算，在图丙中定量画出电梯下行时木箱速度v随时间t变化的图线，并求出电梯下行时的总位移x（以竖直向下为正方向）； (2)求曳引轮A两侧绳子上的作用力之差最大值； (3)在已有的电梯安全防护装置之外，为防止电梯出现触底事故，请你设计合理的安全措施。要求：阐述清楚依据的物理原理和采用的器材器械。 题型解码 以电梯运动为载体，聚焦v-t/F-x图像分析，融合牛顿定律、运动学公式与受力动态变化，突出图像解读、斜率面积物理意义与多阶段分析，考查图像关联建模能力。 题型08 多物体相互作用 8．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，质量m=1kg、左端有挡板的长木板置于水平地面上，木板上表面光滑，木板下表面与地面间的动摩擦因数μ=0.3。一固定有电动机的滑块，其总质量也为1kg，放置在木板上，电动机可收拢与挡板拴接的不可伸长的水平轻绳，起初滑块离挡板的距离L=4m。开启电动机收拢轻绳，滑块由静止开始做匀加速直线运动。设木板所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，空气阻力不计，取。 (1)若开启电动机后木板始终保持静止，滑块运动2s到达木板左侧挡板处，求此时滑块的速度大小v0； (2)若通电后，绳子上拉力为恒力F=7N，滑块由静止开始运动，到达挡板处与挡板碰撞后结合成一个整体（碰撞时间极短，相撞时电动机立即断电），最终两者停在水平地面上，求： ①滑块与挡板经过多久相遇； ②滑块与挡板碰撞过程中二者损失的总机械能。 题型解码 以板块模型为载体，聚焦多物体相互作用、动量守恒与能量损耗，融合受力分析、加速度关联与碰撞临界，突出系统建模、相互作用分析与能量转化，考查多物体综合解题能力。 1．（2026·北京东城·二模）电子的发现是物理学史上的重要事件，人们由此认识到原子不是组成物质的最小微粒，原子本身也有结构。 (1)电子电荷的精确测定是密立根通过“油滴实验”做出的（如图甲所示）。用喷雾器将油滴喷入平板电容器之间，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。不加电场时，观察到某油滴匀速下降，通过某一段距离所用时间为t1；当两极板加电压U时（A极板电势高），可观察到同一油滴匀速上升，经过相同距离所用时间为t2。已知油滴的质量为m，重力加速度为g，A、B极板间距为d，忽略空气浮力。假设油滴所受阻力与油滴速度成正比。 a．请判断油滴所带电荷的电性； b．求该油滴的电荷量q。 (2)玻尔认为，原子中的电子在库仑引力的作用下，绕原子核做圆周运动，服从经典力学的规律。电子运行轨道的半径不是任意的，只有当半径的大小符合一定条件，这样的轨道才是可能的。电子在这些轨道上绕核运动是稳定的，不产生电磁辐射。当电子在不同轨道稳定运动时，原子的能量为电子的动能和系统的势能之和。选无穷远处为势能零点，电子在半径为r的轨道上稳定运行时的电势能。德布罗意提出了物质波的观念。他认为物质波的波长与粒子的动量p满足。氢原子的核外电子绕原子核运动时，可以看作是一种物质波。假设电子第n（n=1，2，3…）个稳定运动轨道的周长为其物质波波长的n倍。已知静电力常量为k，普朗克常量为h，电子的质量为m、电荷量为e，请依据上述信息回答下列问题： a．请计算氢原子核外电子在第n个轨道稳定运行时的速度vn； b．如图乙所示为气体放电管，其中有一个是充满低压氢气的密封玻璃管，两端封有金属电极。当两极间施加适当电压时，内部残余的自由电子被加速，通过碰撞将获得的能量转移给处于基态的氢原子，使其跃迁至高能级。已知氢原子从n=3，4，5，6能级向n=2能级跃迁时都能发出可见光。求使原来处于基态的氢原子发出可见光的最小电压U。 2．（2026·北京昌平·二模）电能从发电厂送到用户，要用升压变压器升压后向远距离送电，在接近用户的地点再用降压变压器把电压降为用户所需电压。模拟电能输送过程，输电电路图如图所示。发电机的输出功率P1=100kW，输出电压U1=250V，两根输电线的总电阻R=10Ω，用户端电压U4=220V，输电效率（用户得到的功率与发电机输出的功率之比）η=96%。升压变压器和降压变压器均为理想变压器。 (1)求升压变压器输入的电流I1； (2)求降压变压器原、副线圈匝数比n3：n4； (3)用户增加用电设备从而提高用电功率，若发电机通过调整工作状态使输出电压U1不变而增大其输出功率来满足用户需求，试分析此时是否提高了输电效率，并简要说明理由。 3．（2026·北京朝阳·二模）氢原子结构模型是衔接经典物理与量子物理的桥梁，也是探索未知现象的基础。已知电子电荷量为e，质量为m，静电力常量为k，普朗克常量为h，不考虑相对论效应。 (1)假定氢原子核静止，核外电子绕核沿图甲所示方向做半径为r的匀速圆周运动。 a．若电子仅受静电力作用，求其做圆周运动的角速度大小ω1； b．若氢原子处在匀强磁场中，磁场方向垂直于电子圆周运动的平面向下。已知电子的轨道半径仍为r，角速度大小为ω2，求该匀强磁场的磁感应强度大小B0。 (2)2024年1月，我国发射的首颗大视场X射线天文卫星，用于观测太空中X射线辐射源以揭示天体演化的奥秘。某次观测得到X射线辐射的光子数与光子能量的图谱如图乙所示，发现这些光子能量主要取E、2E、3E…一系列差值相等的分立值。其中E为已知量。 a．电子在不同能级之间的跃迁是产生分立光谱的常见机理。请简要分析能否类比氢原子能级模型解释上述X射线图谱的特点。已知氢原子的能级为（n=1，2，3…），其中n为量子数，E1为基态能量。 b．科学家推测该X射线源表面存在极强磁场，电子仅在磁场力作用下运动，并呈现轨道量子化现象，进而发生能级跃迁。请据此估算该X射线源表面的磁感应强度大小B。已知电子运行轨道量子化条件为（n=1，2，3…），其中，式中rn、λn、pn分别是En能级对应的轨道半径、电子波长和动量。 4．（2026·北京东城·二模）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω=4 rad/s绕过圆盘中心O的轴匀速转动。圆盘上任意一点到O的距离用r表示，0<r≤0.2 m区域粗糙，r>0.2 m区域光滑且范围足够大。在r=0.2 m处的P点（在粗糙区域内）有一质量m=2 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动。小物体与圆盘粗糙区域间的动摩擦因数μ=0.5，设小物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，小物体可视为质点。 (1)小物体除重力和弹力外，还受到什么力？求该力的大小； (2)让圆盘的角速度缓慢增大，当角速度增大到ω0时，小物体恰好被甩出粗糙区域并在光滑区域内运动，圆盘也从此刻开始以ω0的角速度匀速转动。 a．求ω0的大小； b．小物体被甩出粗糙区域后的一小段时间内，小物体与O的连线扫过的角度为α，P点与O的连线扫过的角度为β，试比较α和β的大小，并说明理由。 5．（2026·北京·二模）反物质是由反粒子组成的物质，反粒子的质量、电荷量与粒子相同，但电性相反，例如反质子（）是质子的反粒子，正电子（）是电子的反粒子。氢原子由一个电子和一个质子构成，反氢原子则与它正好相反，由一个正电子和反质子构成。1995年人类首次在实验室条件下的真空环境中制造出反氢原子，目前批量制造出的反氢原子基本都是处于低能态的氢原子，正常情况下反物质与正物质瞬间就会与正物质发生湮灭并消失，靠特殊设计的磁场能维持较长时间的存在。已知普朗克常量为h，真空中光速为c，电子的电荷量为e、质量为m，静电力常量为k。 (1)理论上可以证明，电荷量分别为+q1和-q2的点电荷相距为r时，取无穷远为电势能零点，它们之间的电势能的表达式为。玻尔的氢原子理论认为氢原子中的电子仅在库仑力作用下绕固定不动的原子核做匀速圆周运动。利用玻尔的轨道量子化假设和牛顿定律可得电子做圆周运动的第n轨道半径rn满足，其中n为量子数，即轨道序号，电子在第n轨道运动时氢原子的能量En，定义为电子动能与“电子-质子”系统电势能的总和。若能够批量制造大量激发态的反氢原子，其光谱线也能借用玻尔氢原子理论进行分析，类似地，正电子绕反质子做匀速圆周运动的第 n 轨道半径rn满足，其中n为量子数，即轨道序号，正电子在第n轨道运动时反氢原子的能量定义为正电子动能与“正电子-反质子”系统电势能的总和。因此反氢原子与氢原子具有相同的能级图。 a、在如图所示的能级图中，画出大量处于n=3的纯的反氢原子向下跃迁的所有可能跃迁的跃迁图； b、求的表达式（用普朗克常量h，电子电荷量e、质量m，静电力常量为k，量子数n及数学常量表示），并简述“反氢原子与氢原子具有相同的能级图”的理由。 (2)一个氢原子和一个反氢原子正碰对撞发生湮灭的产物只有光子。设氢原子、一个反氢原子对撞前（相距很远）的静止质量均为M，动能均为Ek，根据守恒定律和质能关系等物理知识，湮灭不可能转化为一个光子，请阐述理由。若湮灭产生一对光子，请求出光子的波长。 6．（2026·北京海淀·一模）黑洞是一种质量非常大、半径非常小的天体。天文学家跟踪观测了银河系中心附近恒星的运行轨迹，推测出银河系中心存在质量为M的黑洞。已知相距为r、质量分别为m1和m2的两质点之间的引力势能，G为引力常量。仅考虑黑洞对物质的引力作用。 (1)银河系中心黑洞会不断吞噬周围的星际物质，这些物质在被吞噬的过程中会先进入“吸积盘”，并产生电磁辐射。为了研究进入吸积盘中物质产生的电磁辐射，某同学建立如下简化模型：在被吞噬的过程中，吸积盘各处物质绕黑洞旋转，机械能不断转化为电磁辐射，在运动过程中其轨道半径不断减小，但每一圈的运动仍可视为匀速圆周运动。吸积盘中距离黑洞r1到r2（r1＜r2）的区域产生的电磁辐射功率为P，吸积盘的吸积质量（单位时间内进入吸积盘的物质的质量）为mt，求黑洞质量M。 (2)某黑洞附近的S0-2星体绕其做椭圆运动。已知S0-2星体做椭圆运动的半长轴约为、周期约为，估算黑洞质量M。（结果保留一位有效数字） 7．（2026·北京海淀·一模）透射电子显微镜是科研中的重要工具，可以通过电子透镜控制电子束轨迹探测物质的微观结构。 如图是电子透镜中电子枪和磁聚焦系统的简化示意图。一隔板将真空管分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，隔板的中心有一小孔，右端为可平移接收板。区域Ⅰ中有电场（图中未画出），区域Ⅱ中有沿轴线向右的匀强磁场。电子经电场加速后，从小孔中心O点沿不同方向进入区域Ⅱ。已知磁感应强度大小为B，电子质量为m、电荷量为e，电子与真空管不发生碰撞。忽略电子间的相互作用。 (1)电子沿不同方向从O点进入区域Ⅱ，其与轴线方向有一定夹角的电子运动轨迹的投影可能是下列选项中的 。（沿轴线从左向右看） A． B． C． D． (2)将进入区域Ⅱ电子的运动分解为沿管轴线方向的分运动和垂直于轴线方向的分运动。已知电子的速度沿管轴线方向的分量大小在（很小）范围内；同时电子的速度垂直于轴线方向的分量大小在范围内。 a.求从O点进入区域Ⅱ的所有电子，第一次回到轴线的位置最小为，最大为，求最大和最小之间的距离。 b.若将接收板从处向右平移至处，此过程中，电子落在接收板上形成的斑的大小会如何变化？ 8．（2026·北京海淀·一模）黑洞是一种质量非常大、半径非常小的天体。天文学家跟踪观测了银河系中心附近恒星的运行轨迹，推测出银河系中心存在质量为M的黑洞。已知相距为r、质量分别为和的两质点之间的引力势能，G为引力常量。仅考虑黑洞对物质的引力作用。 (1)银河系中心黑洞会不断吞噬周围的星际物质，这些物质在被吞噬的过程中会先进入“吸积盘”，并产生电磁辐射。为了研究进入吸积盘中物质产生的电磁辐射，某同学建立如下简化模型：在被吞噬过程中，吸积盘各处物质绕黑洞旋转，机械能不断转化为电磁辐射，在运动过程中其轨道半径不断减小，但每一圈的运动仍可视为匀速圆周运动。 a．求吸积盘中到黑洞距离为r处物质的线速度大小v。 b．设单位时间内有质量为的物质进入吸积盘。已知吸积盘中各处物质的质量分布是稳定的，不随时间变化。求吸积盘中距离黑洞到区域（＜）的电磁辐射功率P。 (2)某黑洞质量约为，绕其做椭圆轨道运动的S0-2星体，到黑洞的最近距离约为。黑洞到地球的平均距离约为。在地球上观测S0-2星体距离黑洞最近时发出的一条氢原子特征谱线，观测到的波长大于其静止波长，这种现象称为“红移”。定义红移值。 a．某同学认为可以用“引力红移”理论解释这一现象，即光子在黑洞引力场中远离黑洞时其能量会减小。光子能量，式中h为普朗克常量，v为光的频率，m为光子的等效质量，c为真空中的光速。在传播过程中光子等效质量的变化量远小于m。已知。根据红移值的定义，应用引力红移理论，估算上述氢原子特征谱线由引力引起的红移值。（结果保留一位有效数字） b．已知。基于（2）a的结果，分析判断由引力引起的红移是否为产生红移现象的主要原因。 9．（2026·北京石景山·一模）(1)如图所示，质量分布均匀的大球质量为、球心为、半径为，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于点，点为小球球心。将质量为的小物体（可视为质点）置于点，引力常数为。 ①求大球剩余部分对小物体的引力大小。 ②已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小。 (2)如图所示，、为某地区水平地面上的两点，在点正下方有一球形空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。 ①设球形空腔的体积为，球心深度为（远小于地球半径），，已知引力常量为，求空腔引起的点的重力加速度反常。 ②根据某地区的重力加速度反常，可以有哪些实际应用？展开想象的翅膀，就其中一个应用进行简要说明。 10．（2026·北京顺义·一模）某行星绕恒星做匀速圆周运动，该恒星和行星均可视为质量分布均匀的球体，恒星球心到行星球心的距离为。已知恒星质量为，行星的质量为，行星的半径为，引力常量为，忽略行星的自转。 (1)求行星绕恒星做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)假设在行星表面距恒星最近处有一质量为的物体，求恒星和行星对该物体万有引力的差值； (3)由于某种因素的影响，行星缓慢向恒星靠近，行星绕恒星的运动仍可近似看成匀速圆周运动。当行星与恒星球心之间的距离小于某个值时，行星表面物体就会被恒星吸走，进而导致行星可能被撕裂”（行星表面物体脱离行星表面，不再随行星同步运动），推导的表达式。【提示：当时， 11．（25-26高三上·北京石景山·期末）简谐运动与匀速圆周运动具有巧妙的联系。 (1)如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度沿顺时针方向做半径为的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在方向上的“影子”的运动，可以证明，“影子”的运动为简谐运动。 a.零时刻小球A在圆盘最上端，写出“影子”的位移随时间变化的关系式； b.写出“影子”的最大速度。 (2)未来人类设计的穿过地球的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间大大缩短。如图2所示，假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，只在引力作用下，人们可乘坐列车通过该隧道直通地球彼岸。已知列车的质量为，地球质量为、半径为，引力常量为。为简化研究，列车视为质点，地球视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转，不计空气阻力。 a.已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，以地心为原点，沿隧道方向建立轴，求列车在隧道内处受到的引力大小； b.根据匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算列车通过隧道所用的时间； c.修建如图3所示的光滑隧道，图中为隧道的中点。列车（不需要引擎）从点由静止进入光滑隧道，在引力作用下，到达隧道另一端点，所用时间为。试比较与大小。 12．（25-26高三上·北京海淀·期中）天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量为。 (1)某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，、两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心点的距离分别为和。已知太阳和彗星的质量分别为和，不考虑其他天体的影响。 a.求彗星运动至近日点时的加速度大小。 b.在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，质量分别为和、距离为的两个质点间的引力势能。求彗星在椭圆轨道上点处的机械能。 (2)航天工程师可以通过改变卫星的速度来调整其运动轨道，完成复杂的太空任务。当卫星绕地球运动到图所示半径为的圆轨道的某点时，短时间启动卫星发动机，使卫星再获得一个背离地心、大小为其切向速度一半的径向速度，卫星将沿以为焦点的椭圆轨道绕地球运动。不考虑卫星质量的变化。在（1）b研究的基础上，论证椭圆轨道的半长轴与的关系。 13．（2025·北京·模拟预测）人们常常把原子核和它周围的电子比作太阳系或地球和人造卫星。以地球和人造卫星为例，假如我们发射一颗卫星，使它在一定的圆轨道上运动，如果需要可以使这些卫星的能量稍大一些，或者在半径更大一些的轨道上运动。只要技术条件达到，轨道半径可以按照需要任意取值。在这种情况下，我们说，轨道半径是连续的。并非把这个图景缩小就可以看做原子核和它周围电子的运动。在玻尔模型中，以氢原子为例，原子中的电子在库仑力的作用下，绕原子核做圆周运动，电子的轨道半径只能取某些分立的数值，必须满足，n=1，2，3…，其中m、、rn、h分别为电子的质量、电子绕核运动的速度、电子绕核运动的轨道半径、普朗克常数，近似认为原子核静止。当电子在不同的轨道上运动时，原子处于不同的稳定状态，在这些稳定状态中，原子的能量是不同的。所谓原子的能量是指电子的动能和体系的势能之和，取无穷远处为零势能面，体系在轨道半径rn上具有的势能为，k为静电力常数。这些量子化的能量值叫做能级。 (1)根据以上信息和所学知识，求解： ①氢原子的第n（n=1，2，3…）轨道半径rn的表达式； ②氢原子的第n（n=1，2，3…）能级En的表达式； (2)根据题意和（1）的结论求解： ①电子从n+1轨道跃迁到n轨道放出的光子的频率的表达式； ②由以上表达式证明：当时该频率等于电子在第n轨道上绕核运动的频率。 14．（2025·北京海淀·三模）中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为的毫秒脉冲星。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为的距离内相互绕转，绕转周期为。伴星的质量为，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为。 (1)该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度； (2)求脉冲星的质量； (3)脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为，相当于接收来自太阳持续时间为释放出的总能量。太阳的辐射功率为，日地距离为。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离。 15．（2025·北京西城·二模）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为M，可视为质量均匀分布的半径为R的球体，引力常量为G，不考虑地球自转。 (1)在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小g及物体上升到最高点所用的时间。 b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间， (2)在地球赤道表面向北极发射洲际导弹 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。若导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。推导导弹距地面的高度h随运动时间t变化的关系式。 b．若考虑万有引力的变化，导弹仅在地球引力作用下的运动轨迹是椭圆，地心O为椭圆的一个焦点，如图3所示。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为m的物体在距地心为处的引力势能，该物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其机械能E（动能与引力势能之和）与椭圆半长轴a的关系为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a。求发射导弹到北极的最小速度。 16．（2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 17．（2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 18．（2025·北京东城·一模）简谐运动是最基本的机械振动。物体做简谐运动时，回复力与偏离平衡位置的位移成正比，即：；偏离平衡位置的位移随时间的变化关系满足方程，其中为振幅，是初相位，为圆频率，为物体质量。 (1)如图1所示，光滑的水平面上放置一弹簧振子，弹簧的劲度系数为，振子的质量为。以弹簧原长时的右端点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标轴。在弹簧的弹性限度内，将振子沿方向缓慢拉至某处由静止释放。 a.求该弹簧振子的振动周期； b.在图2中画出弹簧弹力大小随弹簧伸长量的变化关系图线。求弹簧伸长量为时系统的弹性势能。 (2)如图3所示，竖直平面内存在无限大、均匀带电的空间离子层，左侧为正电荷离子层，右侧为负电荷离子层，两离子层内单位体积的电荷量均为，厚度均为。以正离子层左边缘上某点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标轴。已知正离子层中各点的电场强度方向均沿轴正方向，其大小随的变化关系如图4所示，其中为常量；在与空间内电场强度均为零。某放射性粒子源位于的位置，向空间各个方向辐射速率均为的电子。当入射电子速度方向与轴正方向的夹角为时，电子刚好可以到达离子层分界面处，没有射入负电荷离子层。已知电子质量为，所带电荷量为，不计电子重力及电子间相互作用力，假设电子与离子不发生碰撞。 a.求的表达式； b.计算电子第一次打到离子层分界面时，在分界面上形成的图形面积（结果中可含）。 19．（2025·北京延庆·一模）2024年9月22日，中国科学院合肥物质科学研究院强磁场科学中心自主研制的水冷磁体，如图所示，成功产生了42.02万高斯（即42.02特斯拉）的稳态强磁场，超越了2017年美国国家强磁场实验室水冷磁体保持的41.4万高斯的世界纪录，刷新了国际稳态强磁场领域的世界纪录。这种水冷磁体可以算做改良后的水冷磁体通电螺线管。 (1)无限长的通电直导线周围存在磁场，磁感应强度的大小为，方向符合安培定则。其中k为已知常量，I为电流大小，a为空间某点到通电直导线的最短距离。若两根无限长的导线平行放置，处于边长为l0的等边三角形A、B两个点上，通以反向等大的电流I1，如图所示，求：它们在C点产生的磁感应强度BC。 (2)在导线上取电流元，即I∆l，I为电流大小，∆l为一段极短的长度，该电流元产生的磁场的磁感应强度可以写作，其中k′为已知常量，r为某点到电流元的最短距离。若一半径为R的圆形单匝线圈水平放置，通以电流I2，MN为垂直于线圈平面的直线，MN上P点与线圈上各点的连线均与水平方向夹角为θ，如图所示。求：圆形电流在P处产生的磁感应强度B。 (3)试根据（2）的结论，以线圈的圆心为坐标原点，取竖直向上为正方向，请在图中定性画出磁感应强度B在MN上随夹角θ的分布图线_______。 20．（2025·北京丰台·一模）牛顿运动定律适用于惯性系。相对于惯性系有加速度的参考系称为“非惯性系”，在非惯性系中，为使牛顿运动定律形式上仍然成立，可认为物体都多受一个“惯性力（f惯）”。f惯=-ma，m为被研究物体的质量，a为非惯性系相对于惯性系的加速度，“-”号表示f惯相与a反向。 (1)我国空间站所在轨道高度处的重力加速度为g′，空间站中宇航员质量为m。根据题干提供的信息，完成下面的表格。 参考系          研究内容 地球（忽略自转） 空间站 对宇航员进行受力分析 （可将宇航员视为质点） 宇航员的运动状态（选填“平衡状态”或“非平衡状态”） (2)将地球和月球看作一个孤立系统，忽略地球自转。二者球心绕连线上某点作匀速圆周运动，该点可视为惯性系。地球上的“潮汐”现象是由月球引力与惯性力的合力造成，该合力称为“引潮力”。已知万有引力常量G，地球质量和月球质量分别为M和m，半径分别为R和r，二者球心间距为L，可认为L>>R。请写出地球上离月球最远，质量为m0的质点所受“引潮力”的表达式，并判断方向。 (3)大天体对小天体的引潮力有可能将小天体“撕碎”。2024年12月，科学家首次发现近地小行星“2024YR4”，并预测它大约将在2032年12月与地球相距最近。如果小行星内部物质仅由万有引力聚集在一起，半径为r，密度ρm=3×10³kg/m³，忽略小行星自转。地球的半径为R，密度ρM=5.5×10³kg/m³，请通过计算说明，小行星到达地面之前能否被引潮力撕碎？（提示：已知地球质量远大于小行星，无论小行星到达地面前能否被撕碎，都有二者球心间距远大于r。本题可能用到的数学工具：当x→0时，。） 21．（24-25高三上·北京顺义·月考）建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，地球的半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。 (1)试推导第一宇宙速度v的表达式； (2)如图-1所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，不考虑其它星体的作用，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，在图-2中画出小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像，求出小球在洞内运动过程中的最大速度vm； (3)在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为和，木星和地球的半径分别为R0和R，且。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。【提示：当x很小时，。】 22．（2024·北京海淀·二模）热气球的飞行原理是通过改变热气球内气体的温度以改变热气球内气体的质量，从而控制热气球的升降，可认为热气球在空中运动过程中体积及形状保持不变。 设热气球在体积、形状不变的条件下受到的空气阻力，其中v是热气球相对空气的速度，方向与热气球相对空气的速度方向相反，k为已知常量。已知热气球的质量（含载重及热气球内的热空气）为m时，可悬浮在无风的空中，重力加速度为g。不考虑热气球所处环境中空气密度的变化。 （1）若热气球初始时悬浮在无风的空中，现将热气球的质量调整为0.9m（忽略调整时间），设向上为正，请在图中定性画出此后热气球的速度v随时间t变化的图像。 （2）若热气球初始时悬浮在无风的空中，现将热气球的质量调整为1.1m（忽略调整时间），同时突然出现速度为的水平气流（之后始终存在），热气球在竖直方向下降距离h时水平和竖直方向上同时趋近平衡状态（可视为达到平衡状态）。求： ①热气球平衡时的速率； ②该过程中空气对热气球做的功； ③热气球下降距离h的过程经历的时间t； ④热气球在水平方向移动的距离x。 2/27 学科网（北京）股份有限公司 $