11.2一元一次不等式（第3课时 利用一元一次不等式解决实际问题）（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.2 一元一次不等式 第3课时 利用一元一次不等式解决实际问题 第十一章 不等式 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 掌握从实际问题中寻找不等关系、列一元一次不等式的方法；熟练运用一元一次不等式解决实际问题，能根据实际意义检验解集的合理性；总结列一元一次不等式解实际问题的一般步骤. 经历实际问题→抽象不等关系→建立不等式模型→求解→检验作答的全过程，提升审题、分析、建模能力；在解决不同类型实际问题中，培养逻辑推理和知识综合应用能力. 感受一元一次不等式在生活中的广泛应用，体会数学的实用性；通过解决实际问题，增强数学应用意识，激发学习兴趣；养成认真审题、规范作答、检验结果的良好解题习惯. 知识回顾 解一元一次不等式 ， 解：去分母，得：2(x1)6≤3(x2) 。 去括号，得： 2 x2 6 ≤3x 6 。 移项，得：2x ≤ 6+2+6 。 合并同类项，得： x ≤ 2 。 系数化为1 ，得：x ≥ 2。 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 两边同乘分母最小公倍数6 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 做一做 知识回顾 解一元一次不等式 ， 温馨提示：解不等式的常见错误 移项忘记变号 不等式变形中，从等号一边移到另一边时，一定要注意改变符号，不要习惯性忽略。 去分母漏乘常数项 两边同时乘分母的公倍数时，要确保不等式两边的每一项都要乘，包括不含分母的常数项。 除以负数忘变向 系数化为1时，若两边同时除以或乘以一个负数，必须改变不等号的方向。 做一做 购物选择 情境描述 某商店文具套装每套定价20元，老师购买超过10套，超出部分打8折，老师计划用不超过400元购买文具套装 思考挑战 老师最多能买多少套？ 导入新课 购 物 选 择 情境描述 某商店文具套装每套定价20元，老师购买超过10套，超出部分打8折，老师计划用不超过400元购买文具套装 思考挑战 老师最多能买多少套？ 导入新课 （1）关键条件是什么？ 描述数量范围的关键词： 不超过 · 最多 （2）数量关系是什么？ 总花费≤400 元 （3）与方程解决的问题有何不同？ 不等式建立的是“不等”关系，结果通常是一个范围 方程建立的是“等量”关系，结果通常唯一 不等式模型 未知量 新知探究 探究点1 探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤 议一议 某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天后，又增加了设备，每天能多整修河堤30米，结果提前完成任务，问增加设备后每天至少整修河堤多少米？ 分析：①审题： 已知量 • 道路总长度：600 米 • 原计划工期：10 天 • 已完成施工：2 天 • 最终目标：提前完成任务 增加设备后，每天需要整修的道路长度。 设 为 x (米/天) 表示不等的关键词 实际总用时 < 10天，或总工作量 ≥ 600米。 提前完成 新知探究 探究点1 探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤 议一议 某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天后，又增加了设备，每天能多整修河堤30米，结果提前完成任务，问增加设备后每天至少整修河堤多少米？ ②设未知数：设增加设备后每天整修河堤x米 分析： 求解 x 的最小值，使工程提前完成 ③找不等关系：前2天整修长度+后几天整修长度＞600米； 600÷10=60（米/天） 前2天整修速度： 后几天整修时间少于8天，由题意若7天工作量超过480米，则这时x取得最小值，可列方程为： ④列一元一次不等式： 2×60+(10-2-1)x＞600 新知探究 探究点1 探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤 议一议 某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天后，又增加了设备，每天能多整修河堤30米，结果提前完成任务，问增加设备后每天至少整修河堤多少米？ 分析： ⑤解不等式 2×60+(10-2-1)x＞600； 7x＞480； x＞68； ⑥检验并作答：结合实际意义，确定结果为正整数 因为x为正整数，所以能去的最小整数为69， 即每天至少修69米，能提前完成任务 新知探究 探究点1 探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤 归一归 利用一元一次不等式解决实际问题的步骤： 审：审题，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系 找：找出能表示题目含义的一个不等关系 设：设出适当的未知数 列：根据题目中的不等关系，列出不等式 解：解一元一次不等式，求出其解集 验：检验解集是否符合题意 答：写出答案 新知探究 探究点1 探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤 归一归 1.实际问题中的“节省”“合算”“最多”“最少”“不超过”“超过”等，都是列不等式的关键词. 注意所列不等式是否包含等号. 2.列不等式解决实际问题时，要注意题中的限制条件，取解 时必须使实际问题有意义，如人 数、次数、物体的个数等为非负整数，长度、面积等为正数. 3.常见不等关键词： 至少（≥）、至多（≤）、不超过（≤）、 不低于（≥）、不足（＜）、超过（＞）. 列不等式解决实际问题时需注意： 分析：需要分情况讨论 由于两家超市的优惠门槛不同（甲需满100元，乙需满50元），无法一概而论，需根据累计购物金额分三种情况进行对比分析： 情况 01 累计购物 ≤ 50元 此时两家超市均不提供任何折扣优惠。无论在哪家购买，实际花费金额都等于标价总额，因此花费相同，任选其一即可。 情况 02 50元 ＜ 金额 ≤ 100元 此区间内，甲超市因未达100元门槛不优惠，而乙超市已达50元门槛开始优惠。为了省钱，此时选择乙超市花费更少。 情况 03 累计购物 ＞ 100元 两家超市均已达到各自的优惠门槛。此时不能凭直觉判断，需要根据两家不同的优惠折扣规则，建立数学关系式并代入具体金额进行精确计算与比较，才能得出最优解。 新知探究 探究点2 强化建模，巩固思路 做一做 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ 新知探究 探究点2 强化建模，巩固思路 做一做 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ 累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费 0 < x ≤ 50 50 < x ≤ 100 x > 100 x x x 100 + 0.9(x-100) 50 + 0.95(x-50) 50 + 0.95(x-50) 分析： （1）当 0< x ≤ 50 时，在两家超市购物花费_____，因为__________________. （2）当 50 < x ≤ 100 时，在____超市购物花费少， 因为 . 一样 都不享受优惠 乙 乙超市有优惠，甲超市没有 解决问题： 新知探究 探究点2 强化建模，巩固思路 议一议 ③若到两超市购物花费相同，则____________________________，解得 ________. 即________时，到甲、乙两超市购物花费相同. ①若到甲超市购物花费较少，则_____________________________，解得 ________.即________时，到甲超市购物花费较少. 100+0.9(x-100) ＜ 50+0.95(x-50) x > 150 x > 150 ②若到乙超市购物花费较少，则____________________________，解得 ________. 即______________时，到乙超市购物花费较少. 100+0.9(x-100) > 50+0.95(x-50) x < 150 100+0.9(x-100) = 50+0.95(x-50) x = 150 100＜x < 150 x = 150 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ 解决问题： （3）当累计购物超过100元，即 x > 100 时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠. 新知探究 探究点2 强化建模，巩固思路 议一议 列不等式解实际问题建模 数学模型 实际问题 答 验 解 厘清数量 审 列 设 符号化 工具 条件限制 抽象 解决 本质 寻找不等关系 设确定未知数 典例分析 例1. 某商店决定购进一批单价为元/本的笔记本，到批发店后发现批发店现在搞促销活动，且有两种方案可供选择． 方案一：一律按8折优惠．方案二：总费用超过1000元，则超过的部分按6折优惠． (1)若该商店准备购进300本笔记本，则需要花费多少元? (2)若该商店预计购进800本笔记本，则应选择哪种方案更优惠? (3)该商店先在批发店购买a本笔记本，由于笔记本的质量好，决定再购买一批笔记本．若两次购进总计1000本笔记本，且第一次购买时按方案二进行购买更优惠，则第二次购买花费多少钱?（用含a的代数式表示） （1）解： ∵， ∴（元）， 答：需要花费600元； 典例分析 例1. 某商店决定购进一批单价为元/本的笔记本，到批发店后发现批发店现在搞促销活动，且有两种方案可供选择． 方案一：一律按8折优惠．方案二：总费用超过1000元，则超过的部分按6折优惠． (1)若该商店准备购进300本笔记本，则需要花费多少元? (2)若该商店预计购进800本笔记本，则应选择哪种方案更优惠? (3)该商店先在批发店购买a本笔记本，由于笔记本的质量好，决定再购买一批笔记本．若两次购进总计1000本笔记本，且第一次购买时按方案二进行购买更优惠，则第二次购买花费多少钱?（用含a的代数式表示） （2）解：方案一费用为： （元）， 方案二费用为： （元）， 所以选择方案一和方案二一样优惠； 典例分析 例1. 某商店决定购进一批单价为元/本的笔记本，到批发店后发现批发店现在搞促销活动，且有两种方案可供选择． 方案一：一律按8折优惠．方案二：总费用超过1000元，则超过的部分按6折优惠． (1)若该商店准备购进300本笔记本，则需要花费多少元? (2)若该商店预计购进800本笔记本，则应选择哪种方案更优惠? (3)该商店先在批发店购买a本笔记本，由于笔记本的质量好，决定再购买一批笔记本．若两次购进总计1000本笔记本，且第一次购买时按方案二进行购买更优惠，则第二次购买花费多少钱?（用含a的代数式表示） （3）解：由题意得： ， 解得：， 所以第二次购买的数量小于本，只能选择方案一， 所以第二次购买花费（元）． 新知巩固 1. 学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给在绘画比赛中获奖的学生.笔记本的价格为 16元/个，中性笔的价格为 4 元/支.如果学校一共要购买 100 件奖品，总费用不能超过 900 元，那么学校最多能买多少个笔记本？ [教材 P136 练习] 解：设学校买 x 个笔记本，则能买（100-x）支中性笔. 根据题意，列得不等式： 16x + 4(100-x)≤900， 解得 x ≤ . 由 x 应为正整数，可得 x 最多为 41. 答：学校最多能买41个笔记本. 总费用小于等于900 新知巩固 2. 一家水果店花费 10 000 元购进了大樱桃和小樱桃各 200 kg，计划分别以 39 元/kg和 29 元/kg的价格销售，但大樱桃在运输中损耗了 20%. 若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的 90%，大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？ [教材 P136] 解：设大樱桃的售价定为每千克 x 元. 根据题意可得： 200×(1-20%)x+200×29-10000 ≥ [(39+29)×200-10000]×90%， 解得 x ≥ 46.5. 答：大樱桃的售价至少要定为每千克46.5元. 大于等于 拓展提升 1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 拓展提升 1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元.根据题意，得： ，解得，； 答：购进1个甲型头盔需要30元， 购进1个乙型头盔需要65元； 拓展提升 1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （2）解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意，得： ， 解得：， 的最大值为120； 答：最多可购进乙型头盔120个； 拓展提升 1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． （3）解：能，理由如下：根据题意，得： ； 解得：； ； 为整数， 可取118，119或120， 对应的的值分别为82，81或80 因此能实现利润不少于6190元的目标， 该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个； ②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个； ③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个． 真题感知 1．（2025•内蒙古）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．（1）求a的值； 解：（1）根据题意得： 25a＝800﹣600， 解得：a＝8． 答：a的值为8； （2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？ （2）设需要x个这样的机器人，根据题意得： 4x≥10000， 解得：x， 又∵x为正整数，∴x的最小值为6． 答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个． 真题感知 2．(2025.淮安统测)“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，金堂某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元． (1)求甲，乙两种造型“蓉宝”的单价分别为多少元； (2)若该公司决定购买以上两种造型“蓉宝”的总费用不超过2600元，那么该公司最多可以购买甲造型“蓉宝”多少个？ 真题感知 2．(2025.淮安统测)“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，金堂某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元． (1)求甲，乙两种造型“蓉宝”的单价分别为多少元； （1）解：设甲种造型“蓉宝”的单价为元， 乙种造型“蓉宝”的单价为元，根据题意得： ， 解得：． 答：甲种造型“蓉宝”的单价为元，乙种造型“蓉宝”的单价为元； 真题感知 2．(2025.淮安统测)“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，金堂某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元． (2)若该公司决定购买以上两种造型“蓉宝”的总费用不超过2600元，那么该公司最多可以购买甲造型“蓉宝”多少个？ （2）设该公司可以购买甲种造型“蓉宝”个，则购买乙种造型“蓉宝”(个，根据题意得： ， 解得：， 的最大值为． 答：该公司最多可以购买甲种造型“蓉宝”个． 1.本节课学习了利用一元一次不等式解决实际问题，掌握了完整解题步骤： 审题→设未知数→找不等关系→ 列不等式→解不等式→检验→作答； 2.梳理了常见不等关系关键词与对应不等号； 3.学会根据实际意义确定不等式的合理解集. 课堂小结 知 识 总 结 1.解决实际问题的核心： 建立一元一次不等式数学模型，将实际问题转化为数学问题； 2.解题关键： 抓准不等关键词、挖掘隐含不等关系； 3.解题后一定要检验结果是否符合实际意义，这是实际应用的重要环节. 课堂小结 方 法 总 结 （1）混淆不等关键词，用错不等号，尤其区分“至少（≥）”“至多（≤）”； （2）忽略实际问题中的隐含条件，如人数、件数必须为正整数； （3）解完不等式后，不检验结果合理性，直接作答导致错误； （4）审题不清，找错不等关系，将不等关系当成等量关系列方程. 课堂小结 易 错 提 醒 课后练习 教材p137页 8. 一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量是原来月均产量的 1.7 倍. 升级后，这条生产线 8 个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来 12 个月的生产量至少多 1000 万盒，这条生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒？ 解：设这条生产线原来平均每月的产量是 x 万盒. 由题意，得： 1.7x×8－12x ≥ 1000. 解不等式，得 ：x ≥ 625. 答：这条生产线原来平均每月的产量至少是 625 万盒. 习题11.2 课后练习 9. 分别求出不等式5x-1＞3(x+1)与的解集，并尝试确定它们的公共部分. 解： 解不等式 5x-1＞3(x+1) 5x-3x＞3+1 解得x＞2. 解不等式 解得：x＜4. 教材p137页 习题11.2 在数轴上表示为 由图可知： 它们的公共部分为2＜x＜4. 2 4 0 课后练习 10. 某校七年级 560 名学生和 11 位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆. 客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示. 学校计划租用 11 辆客车，那么 （1）最多可以租用多少辆 A 型客车？ （2）共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 车型 A 型 B 型 载客量/人 40 56 租金/元 1000 1200 教材p137页 习题11.2 解：（1）设租 x 辆 A 型客车，则租（11-x） 辆 B 型客车.由题意得： 40x + 56（11－x）≥ 560 + 11. 40x －56x≥ 560 + 11 -56×11 －16x≥ －45 解不等式得： x ≤ 2 . 由x应为非负整数，可得x最多为2. 答：最多可以租 2 辆 A 型客车. 课后练习 10. 某校七年级 560 名学生和 11 位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆. 客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示. 学校计划租用 11 辆客车，那么 （1）最多可以租用多少辆 A 型客车？ （2）共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 车型 A 型 B 型 载客量/人 40 56 租金/元 1000 1200 教材p137页 习题11.2 （2）由（1）可知共有三种租车方案. 方案1：租2辆A型客车，9辆B型客车， 共需租金为 1000×2+1200×9=12800（元）. 方案2：租1辆 A 型客车，10辆B型客车， 共需租金为 1000×1+1200×10=13000（元）. 方案3：不租A型客车，租11辆B型客车， 共需租金为 1200×11=13200（元）. 因为12800<13000<13200， 所以租2辆A型客车，9辆 B型客车的方案的租金最低. 谢谢聆听 $