精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年第二学期期中考试卷高二数学

泉州五中2025-2026学年第二学期期中考试卷高二数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设，则方差（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 设为随机事件，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 和互斥 C. 和相互独立 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得：，故A正确，B错误； 因为，所以和不相互独立，故C错误； 由，故D错误. 3. 若定义在区间上的函数的导函数为增函数，则称为上的凹函数．下列函数中，在定义域上为凹函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：，一阶导：，由一阶导函数是减函数，不满足题意，故A错误； 选项B：，一阶导：，由一阶导函数是减函数，不满足题意，故B错误； 选项C：，一阶导：，再二阶导：， 当时， ，当时， ， 所以一阶导函数在上递减，在上递增，不满足题意，故C错误； 选项D：，一阶导：， 二阶导： ，因此一阶导在定义域上是增函数，符合凹函数定义，故D正确. 4. 设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 从而有，所以. 5. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步计数原理求解. 【详解】四人依次选择电影，每人都有3种选择， 则不同的选择共有种. 故选：D. 6. 已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设到准线的距离为，则．然后求出．判断当与抛物线相切时，最小，即取得最大值，再利用切线性质计算即可得. 【详解】抛物线的准线方程为， 设到准线的距离为，则，   则， 则当与抛物线相切时，最小，即取得最大值， 设过点的直线与抛物线相切， 联立，得， ，解得， 即有，解得，把代入得， 或，此时. 7. 将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（ ） A. 5100种 B. 4800种 C. 4500种 D. 4200种 【答案】A 【解析】 【详解】先排红球，有1种排法，然后排白球，分两类讨论， 第一类情况是将两白球插空排入红球形成的5个空位有种，然后插入黑球，有种，故共有种不同的排法； 第二类情况是2个白球之间仅有1个黑球，先将2个白球和1个黑球捆绑成一个整体(形如W-B-W)，有 种方法； 再将此整体与4个红球排列，有种方法；然后将剩下的2个黑球插入形成的6个空位中，有 种方法，故此种情况有 种。 故要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有5100种. 8. 若函数的图象与过的直线交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据 得到的表达式，再通过斜率公式构建出包含两点坐标的等式，并通过变量代换转为两个单变量函数，分别分析其变化情况，从而判断出何时取最小值. 【详解】设直线方程为，因为单调递增， 由题意，直线与函数的图象有两个交点，结合图象可知，直线的斜率， 设交点，在上方，根据在图像右下方， 可知 ，则  ， 令， 则 ，由， 可得即，设，， 则，设 ， 则 ，所以 在上单调递减，又 ， 所以时 即 ，则在上单调递减， 所以当 最小时，最小，最大，最大， 设， ，则， 设 ，则 ，所以 在上单调递减， 且当 时 ，又 ，所以 在上存在唯一的零点， 可知 也即 在上先正后负，则 在上先增后减， 在满足 的处取得最大值，此时 ，整理得即. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的4个选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时），则下列选项正确的有（ ） A. 第2026行中，从左到右数，第1013个数最大 B. 第2026行中，所有奇数项的和为 C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为3 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意得第行的第个数为，则第2026行中，从左到右数，第1013个数是， 而这一行的二项式系数的最大值为，故A错误； 根据二项式系数性质：所有二项式系数的和为，且奇数项和偶数项的二项式系数和相等， 所以第2026行中，所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 根据二项式系数性质：第48行所有数字和为， 则， 即第48行的所有数字之和被7除的余数为，故C错误； 根据组合数递推公式， 累加得 ，故D正确. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 函数一定有极值点 B. 函数必有对称中心 C. 存在唯一一条函数的切线与函数的图象只有一个公共点 D. 若函数有3个零点，设，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三次函数的性质，结合导数及方程思想，即可作出判断. 【详解】已知 ，先求导得 ， 选项A；当 时，恒成立，则是单调递增函数，所以没有极值点，故A错误； 选项B；三次函数必存在对称中心，对称中心为二阶导数为0的点： ， 即对应对称中心为 ，对任意  都存在，因此B正确； 选项C；设切点为 ，则切线方程为：， 整理得： ， 由切线与联立方程组可得， ， 因式分解整理可得： ， 由切线与 只有一个公共点，等价于三个根重合，即 ，解得 ， 仅有唯一解，因此存在唯一一条满足条件的切线，故C正确； 选项D；若 有3个零点，需极大值与极小值异号：由 ，则另一个极值  ，解得 ， 由韦达定理，结合等式， 可得：，，， 则 ， 由  得 ，即，故D正确. 11. 乒乓球，被称为中国的"国球"，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为"小球推动大球"．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ） A. 三局就结束比赛的概率为 B. C. D. 最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出比赛局数分别取3，4，5时的概率，进而求出，再逐项判断得解. 【详解】设实际比赛局数为，则，，， 因此三局就结束比赛的概率为，故A错误； 于是 ， 所以，故B正确； ，故C正确； 由， 求导得， 由，得，令，解得； 令，解得，则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知二项式展开式中的系数为，则实数___________． 【答案】2 【解析】 【详解】二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以， 又因为二项式展开式中的系数为，所以， 即，解得. 13. 若实数满足：，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指对数同构函数，可得，再利用导数求最值即可. 【详解】对原式整理得：， 设函数 ，求导得 ，故 是R上单调递增函数， 再由原式可得：，则 ， 代入目标式得：，设  ， 求导得 ， 当 时， ，则在时单调递增， 当 时， ，则在时单调递减， 故 在 处取最大值： ，即的最大值为. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】要利用双曲线定义，及内切圆的性质，再结合余弦定理可求得离心率． 【详解】 由双曲线定义可知：， 所以等腰三角形的内切圆切于点，可知为的中点， 又因为，所以， 设内切圆心为，则，即 所以，由内心性质可知：，则， 再由余弦定理可得：， 化简得：． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．） 15. 已知函数， （1）当时，，求实数的最大值； （2）若在处有极小值，求实数的值． 【答案】（1）的最大值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）先代入参数，对函数求导，找出定义域内的极值点，通过分析导数的符号变化确定函数的单调性，从而求得在给定区间上的最小值，该最小值即为实数的最大值； （2）对含参数的函数求导，利用极值点处导数为零建立方程，解出参数的可能取值，再通过计算验证每个取值是否对应极小值点，最终确定符合条件的参数值. 【小问1详解】 当时， ，定义域为， ，令，即，解得或， 当时，；当时，，因此在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间的最小值为， 因为 ，所以的最大值为. 【小问2详解】 函数  ，定义域 ， ，由在处有极小值，得，即 ，解得或， 当，，令，解得或，当时，；当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极小值，符合题意； 当，，令，解得或，当时，；当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极大值，在处有极小值，不符合题意； 综上所述，. 16. 一个袋子中有20个大小相同的小球，其中黑球10个，白球10个， （1）从中有放回地抽取4个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，求的分布列和数学期望； （2）从中不放回地抽取10个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，则样本中出现几个白球的可能性最大？ （要求写出推导过程）． 【答案】（1）分布列见解析， （2）样本中出现5个白球的可能性最大. 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率公式可求得分布列与数学期望； （2）由题意可得服从超几何分布，则，利用，计算求解即可得结论. 【小问1详解】 有放回地抽取4个小球，每次抽取均是在20个小球中抽取有20种不同的方法， 抽到白球的抽法有10种，所以每次抽到白球的概率为，所以， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【小问2详解】 由题意可得服从超几何分布，则， 所以， 令，所以，所以， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以样本中出现5个白球的可能性最大. 17. 已知椭圆的离心率，且过点， （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）9 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而代入点的坐标，可求得椭圆的方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程，设，利用根与系数的关系可得，利用向量的坐标运算可得，进而可证结论；（ii）根据，结合换元法与函数的单调性可求得面积的最大值． 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为，又椭圆过点， 所以，解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）由（1）知椭圆的上顶点为点，设直线与椭圆交于， 由，得 ，整理得 ， 所以，， 又， 所以 ， 所以，所以以线段为直径的圆过点； （ii）因为直线过定点， 所以 ， 令， 则 所以，可得， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即 ，所以. 所以当时，面积的最大值为9． 18. 甲同学在连续学习过程中的学习状态（认真学习或不认真学习）仅与前一天状态有关．若当天认真学习，当天完成作业的概率为0.8，且第二天继续认真学习的概率为0.8，转为不认真学习的概率为0.2；若当天不认真学习：当天完成作业的概率为0.2，且第二天继续不认真学习的概率为0.7，转为认真学习的概率为0.3．已知甲同学第1天一定认真学习，且约定：连续认真学习满3天，即可获得一次奖励． （1）求甲同学第2天完成作业的概率； （2）求甲同学在前5天的学习中，能获得奖励的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．求甲同学在前天完成作业天数的期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式即可求解； （2）利用分类思想来研究前5天中连续认真学习3天的情形，从而求得概率； （3）利用数列递推思想可求得第天认真学习的概率，再计算第天完成作业的概率，最后利用求和公式可求得期望. 【小问1详解】 已知第1天一定认真学习，第2天认真学习的概率为，不认真的概率为； 当天认真完成作业概率为，不认真完成作业概率为， 由全概率公式可得甲同学第2天完成作业的概率为：； 【小问2详解】 记认真学习为事件，不认真学习为事件，第1天一定为，分两种互斥情况计算： 情况1：第1、2、3天都为，已满足奖励条件，概率为：  情况2：由于第1天一定为，若前3天无连续3个，只能是第2天不认真学习，才有可能在第3，4，5天连续3个，其概率为：  ， 所以甲同学在前5天的学习中，能获得奖励的概率为：； 【小问3详解】 设为第天认真学习的概率，为第天完成作业的指标变量， 则第天完成作业的概率：  由期望可加性：, 由题意可知的递推关系为： ， 初始值，构造等比数列得：， 可得通项为： ​求和可得：， 代入期望公式： . 19. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数在内有零点，求实数的取值范围； （3）若存在，使得，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线方程即可； （2）利用分离参变量，构造函数求值域，即可求参数范围； （3）利用分析法，结合已知条件，转化为导数证明不等式即可. 【小问1详解】 当时， ，求导得： ， 则，切线斜率 ， 由点斜式得切线方程：； 【小问2详解】 由 在有零点，因为时， 所以， 设，， 求导得：， 令，， 则， 当时， ， 则在单调递增， 即， 所以当时， ， 当时， ， 即在上单调递增， 当时，由 ， 当时， ，则的值域为 所以由在有零点，则， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 由已知得：， ， 由（2）得，则，即， 由（2）知在上单调递增， 要证明，只需要证明， 又因为，所以即证明， 因为，所以只需要证明， 构造函数， ，， 求导得：， ， 所以在上单调递增， 在上单调递增， 则 ， ， 即 ，， 利用不等式性质可得：， 即原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2025-2026学年第二学期期中考试卷高二数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设，则方差（ ） A. B. C. D. 2. 设为随机事件，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 和互斥 C. 和相互独立 D. 3. 若定义在区间上的函数的导函数为增函数，则称为上的凹函数．下列函数中，在定义域上为凹函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 6. 已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（ ） A. 5100种 B. 4800种 C. 4500种 D. 4200种 8. 若函数的图象与过的直线交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的4个选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时），则下列选项正确的有（ ） A. 第2026行中，从左到右数，第1013个数最大 B. 第2026行中，所有奇数项的和为 C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为3 D. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 函数一定有极值点 B. 函数必有对称中心 C. 存在唯一一条函数的切线与函数的图象只有一个公共点 D. 若函数有3个零点，设，则的取值范围为 11. 乒乓球，被称为中国的"国球"，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为"小球推动大球"．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ） A. 三局就结束比赛的概率为 B. C. D. 最大值为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知二项式展开式中的系数为，则实数___________． 13. 若实数满足：，则的最大值为___________． 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为___________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．） 15. 已知函数， （1）当时，，求实数的最大值； （2）若在处有极小值，求实数的值． 16. 一个袋子中有20个大小相同的小球，其中黑球10个，白球10个， （1）从中有放回地抽取4个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，求的分布列和数学期望； （2）从中不放回地抽取10个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，则样本中出现几个白球的可能性最大？ （要求写出推导过程）． 17. 已知椭圆的离心率，且过点， （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 18. 甲同学在连续学习过程中的学习状态（认真学习或不认真学习）仅与前一天状态有关．若当天认真学习，当天完成作业的概率为0.8，且第二天继续认真学习的概率为0.8，转为不认真学习的概率为0.2；若当天不认真学习：当天完成作业的概率为0.2，且第二天继续不认真学习的概率为0.7，转为认真学习的概率为0.3．已知甲同学第1天一定认真学习，且约定：连续认真学习满3天，即可获得一次奖励． （1）求甲同学第2天完成作业的概率； （2）求甲同学在前5天的学习中，能获得奖励的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．求甲同学在前天完成作业天数的期望． 19. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数在内有零点，求实数的取值范围； （3）若存在，使得，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $