2026年中考数学二轮复习图形的相似解答题专题训练

2026年中考数学二轮复习图形的相似解答题专题训练 1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点H是边CD的中点，延长AH 交BC的延长线于点P,AP交BD于点E,连接DP, D 图1 图2 (1)求证：四边形ACPD是平行四边形 (②)如图2，连接OP交CD于点F,连接EF. ①求证：EF∥AC; ②若LABC=60°，求tan∠F0C. 2.四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC与BD相交于点O,sin∠ABD=3 E B B 备用图 备用图 (I)如图所示，点E是边BC上一动点（点E与B,C不重合），AE交BD于点P,连接CP.求 证：△ABP≌△CBP; (2)求菱形ABCD的面积； (3)当点E在射线BC上时，AE交BD于点P,连接CP. ①若BC、S CE3求线段BP的长； ②若PC1BC于点C,求出4B 的值 BE 3.如果一个三角形的一边是另一边的2倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”. E 图1 图2 (I)初步探索：如图1，和谐三角形ABC中，BC=2AB,BD是ABC的角平分线，AE是 试卷第1页，共3页 ABC的中线.猜想BD与AE的位置关系，并说明理由， (2)尝试应用：在(1)的条件下，BC=26,AE=10,求BD的长度. (3)拓展延伸：如图2，和谐三角形ABC中，BC=2AB,点M在BC上，且AB=2BM, ∠ABC的平分线与LCAM的平分线交于点O.点O与点A,B,C的距离分别为Q,b,C ,写出Q,b,c之间的等量关系，并证明. 4.如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在口ABCD内， 射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. 图1 图2 (I)【特例感知】如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; (2)【问题探究】在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求D0的长； (3)【拓展延伸】如图2，当CE=2BE时，点P在BC边上. ①试判断CQ与PF的数量关系，并说明理由. ②若器子收装写出瓷的氧 5.如图，四边形ABCD中，AB∥CD,∠ADC=90°，对角线AC⊥BC,AB=25cm, BC=20cm,点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为lcm/s;同时点Q从点A出发沿 AB方向匀速运动，速度为2cm/s.O为AQ中点，AC与D0交于点E,设运动时间为 ,解答下列问题： E B →Q (备用图) (1)t取何值时，点O在AD和BC夹角的平分线上？ (2)设五边形POODC的面积为scm),求s与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t,使五边形POODC的面积为151一cm2?若存在求出t的值，若不存 试卷第1页，共3页 在，说明理由； (④)t取何值时，∠AEQ是直角？ 6.如图1，在口ABCD中，AB=AC=I0,BC=I2,AE⊥BC于点E,P是边AB上一点， 将△PBE沿PE折叠，点B落在点B位置. D E 图1 图2 (I)求证：△ABE≌△ACE; (2)在折叠过程中，求点B'与点D之间的最小距离： (③)在折叠过程中，若点B落在ABC的内部（不包含边界），求AP的取值范围； (4)如图2，已知BE与边AB交于H点，若EH⊥AB,直接写出点B到AD的距离 7,如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点(0<AE<AC),连接 BE,DE. E 图1 图2 (I)如图1，求证：BE=DE; (2)如图2，在AB左侧作LABP=∠CBE,延长DE分别交AB,BP于点F,G,当BF=6 ，cos∠CDE=2时. 5 ①求△GFB的面积； ②i证明：tan∠FGB_FE 2 BE 8.如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合， ED⊥AC于点D. 试卷第1页，共3页 图1 图2 备用图 备用图 少当snB=2时， ①求证：BE=2CD; ②当ADE绕点A旋转到如图2的位置时(60°<∠CAD<90),BE=2CD是否成立？若成 立，请给出证明；若不成立，请说明理由. ②当sinB=2时，将ADE绕点A旋转到∠DBB=90,若AC=10,AD=25,请直接 2 写出线段CD的长 9.综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模 型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”， B B D G E' 图1 图2 图3 (I)【几何直观】如图1，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,在ABC内部取一点D,连接 AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD',连接BD,CD',则CD'与BD的数量 关系是；∠AD'C与∠ADB的数量关系是； (②)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E,使∠CED=90°，将线段CE绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE',连接E'B,延长EB交DE的延长线于点F,求证：四边形 CEFE'是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,在其内部取一点E,使 ∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE',延长CE'至点G,使 试卷第1页，共3页 C记，=，连接GB,延长GB交DE的延长线于点F,连接AP,若AF=2,则BF=一 10.如图，在ABC中，AB=AC. D 图1 图2 图3 (I)如图1，若LBAC=60°，点D在AC边上（不与A,C点重合）.连接BD,将BD绕点D逆 时针旋转60°得到DE,连接BE,CE,求∠BCE的度数； (2)如图2，若LBAC=90°，点D,P分别在AC,AB上，连接PD,将PD绕点D逆时针 旋转90°得到DE,连接PE,点F是PE的中点，连接AF,请用等式表示线段AF,AD, AP的数量关系并证明； (3)如图3，若LBAC=90°，点P在AB上，且AP=2BP,点D在直线AC上，连接PD,将 PD绕点D逆时针旋转9O°得到DE,连接PE,点F是PE的中点，连接AF,AE,当AE取 最小值时，在直线BC上取一点M,连接ME,将△FEM沿EM所在直线翻折到ABC所 庵的平面内，得到△OEM,连接P巴，当PO取最大值时，请直接写出的值， 11.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E为射线BC上一点，且AB=AE,△ADE≌△ACB,过 点D作FG∥BC交射线BA于点F,过点C作CG∥BF交FG于点G,DE与AC所在直线 交于点H. 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E在线段BC上时，求证：AD·CH=CE·DH; ②)如图2，当点E在线段BC上，且CG=GF时，求E的值； DH 图3，当点E在线段BC延长线上时，若C,求的值，（用含k的代数式表 DH 12.在Rt ABC中，∠ABC=90°，BC=BA,在直线AC下方有一点D,连接BD与AC交 试卷第1页，共3页 于点E,连接CD,CD=BD. B 图1 D 图2 图3 (I)如图1，ED=EC,求∠AEB的度数： (②)如图2，点E为线段BD的中点，连接AD,过点C作CF⊥DB于点F.求证： DF=CF+BF; (3)如图3，BC=4,点G在直线AD上方，连接GA,GD,GA⊥AD且△GAD的面积为2， 连接CG,当CG取得最小值时，请直接写出△BDC的面积. 13.探究不同情境，解决下面问题： C H G 图1 图2 图3 (1)【问题发现】如图1，在△BOC中，OC=OB,∠B0C=90°，点A为B0延长线上的一 点，以OA为一边作正方形OADE,连接AC,BE,求证： ①AC=BE; ②AC⊥BE. (2)【类比迁移】如图2，将正方形OADE绕O点顺时针旋转.在旋转过程中，当B0=BE时， AC与DE交于点F,若OB=20A=4,试求AF的长 (3)【拓展应用】如图3，连接AB,若OA=√6，OB=2√5，以AB为边作正方形ABGH, 使两点O、H落在直线AB的两侧，当OH的长最大时，请求出正方形ABGH的面积. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， AD∥BC,即AD∥BP, .△ADHn△PCH, .AD DH PC CH :点H是边CD的中点， :CH=DH AD DH=1. ·PCCH 即AD=PC, :四边形ACPD是平行四边形 (2)①证明：：四边形ACPD是平行四边形， .AC∥DP, .△AOE∽△PDE,△COF∽△DPF, OA OE OC OF ·DP=DE'DP=PF' :在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, .0A=0C, DP"DE 04_0C OE OF ·DEPF' OE OF ODOP' 又：∠E0F=∠DOP, .△OEFn△ODP, .LOEF=∠ODP, .EF∥DP, .EF∥AC. ②解：：四边形ABCD是菱形， ∠4BC=∠4DC=60,∠EDF=ADc=30r,AC18D,0A=0c=4C, 1 :EF∥AC, .EF⊥BD,∠FOC=∠OFE 答案第1页，共2页 ∠DEF=90°； :四边形ACPD是平行四边形， .AC=DP, :.04=DP, 2 :△AOE∽△PDE, OE AO 1 ·EDDP-2 设OE=x,则ED=2x,EF=DE,tan∠EDF= 2V5 3 在Rt△OEF中，tan∠OFE- OE x3 EF 23 3 2, iian∠Foc=3 2.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， AB=BC,LABP=∠CBP, 在△ABP与△CBP中， (AB=BC ∠ABP=∠CBP, BP=BP △ABP≌aCBP(SAS); (2)解：：四边形ABCD是菱形， :AC L BD,AC=2A0,BD=2B0. 3 在Rt△AB0中，∠AOB=90°，AB=5,sin∠ABD= 六40=AB-sin∠ABD=5×3=3. .B0=√AB2-A02=V52-32=4. AC=2A0=6,BD=2B0=8. :菱形ABcD的面积=号4C-BD=6x8=24. (3)解：①第一种情况：当点E在BC之间时，如图 答案第1页，共2页 D BC 5 :BC=5, CE3' E CE=3. BE=BC-CE=5-3=2. :四边形ABCD是菱形， AD∥BC,AD=BC=5, △ADP∽aEBP, BP BE 2 DP AD 5 即、BP2 BD-BP-5 BP 2 ·8-BP5 = 解得8P-5。 第二种情况：当点E在BC的延长线上时，如图 D :BC=5, BC 5 CE 3 B CE=3. BE=BC+CE=5+3=8, :四边形ABCD是菱形， AD∥BC,AD=BC=5. △ADP∽△EBP. BPBE_8 DP AD 5 即、BP 8 BD-BP5' BP 8 ·g-BP5' 解得BP=64 13 答案第1页，共2页 64 综上所述，BP= 16 > 或 13 ②如图 D C :PC⊥BC,AC⊥BD, .∠PCB=∠PCE=LAOP=90°， .∠PA0=90°-∠APB, 由(1)可得△ABP≌△CBP, .∠BAP=∠BCP=90°，AP=CP, :AB=5,A0=0C=3,B0=4, .∠ABD=90°-∠APB, .∠ABD=∠PAO, 3 sin∠ABD= ·sin∠PA0= .P03 “Ap5’ :4p=3P0, 3 :A02+P02=AP2, )2 解得P0=9或9 (不符合题意，舍去) 41 4 5915 .AP=>x= 344 CP=15 4 设CE=x, :∠BAE=∠PCE=90°，∠AEB=LCEP, .△BAE∽△PCE, 答案第1页，共2页 15 先器器 x=4-3PE +PE545+x 15 4 解得x=90 ’ ·BE=5+90125 77 AB 5 7 :BE12525. 7 3.(I)BD⊥AE,理由见解析 (2)BD=16 (3)4a2+b2=c2,证明见解析 【分析】(1)先证明△ABE为等腰三角形，再根据三线合一的性质，即可求解： (2)勾股定理求得BF=12,过点E作EG∥BD,交AC于点G,证明△AFD∽△AEG, CGECDB,根据相似三角形的性质可待D=子，进而求得DF,即可求 3)延明AABM△CB1得出C=/∠BAM=∠BCA,即可证明△ACM是“和谐三形 延长A0交BC于点N,得到B0⊥AN,ON=OA=a,BN=CN,延长AN至点G, 使NG=ON,连接CG,证明△BON≌aCGN(SAS)得出CG=OB=b,LCGN=∠B0N=90° ，根据勾股定理即可得出结论， 【详解】(1)解：BD⊥AE,理由如下： :△ABC为“和谐三角形”，AE是△ABC的中线， EAB=BC,BE=、BC' :AB BE, ∴△ABE为等腰三角形 :BD是△ABE的角平分线，即BF平分∠ABE, ,BF⊥AE,即BD⊥AE. (2):△ABC为和谐三角形”，AE是△ABC的中线， AB=BE=BC=13 △ABE为等腰三角形 :BF平分∠ABE, 答案第1页，共2页 :BF⊥AE,AF=EF=)AE=5 2 在RteABF中，BF=√AB2-AF2=V132-52=12 如图，过点E作EG∥BD,交AC于点G E ·.∠DAF=∠GAE,∠AFD=∠AEG .△AFD∽△AEG 又：∠CGE=∠CDB,∠C=∠C :△CGE∽aCDB DF=AF1 EG EC 1 EGAE2' BD BC2 B DF 1 :.DF=1BF=4 .BD=12+4=16 (3)4a2+b2=c2: 证明：：BM=BA1 BABC2'∠ABM=∠CBA .△ABM∽△CBA :M1 :CA=2'∠BAM=LBCA .△ACM是“和谐三角形” 如图，延长A0交BC于点N, :∠ABC的平分线与∠CAM的平分线交于点O,∠ANB= M ∠ACB+∠NAC 又：∠BAN=∠BAM+∠MAN,∠BAM=∠ACB,∠MAN=∠NAC, :∠ANB=∠BAN 答案第1页，共2页 BA=BN =IBC 2 :BO L AN,ON=OA=a,BN=CN 延长AN至点G,使NG=ON,连接CG 在△BON,△CGN中 ON=NG ∠BNO=∠CNG BN=CN ∴.△BON≌△CGN(SAS) :CG=OB=b,∠CGN=∠B0N=909 在Rt△0GC中，根据勾股定理可得OG+CG2=OC2 .(2a2+b2=c2,即4a2+b2=c2 4.(1)见详解 (2)4 80器-2 e号 【分析】(1)利用点的对称性和平行线的性质找出对应的角相等，解出答案. (2)利用小问1中的全等，得到新的条件，证明△FGQ兰△CGP,得到 CG=FG=3,GQ=GP=5,最后利用方程思想和相似解出答案. (3)①同小问1中证全等的方法，证△EFP~△ECQ,利用相似三角形对应边成比例解出答 案。 ②作辅助线，利用方程思想，将题中的线段设出来，经过两次8字模型的相似，求出CP的 代数式，第三次利用相似解出答案。 【详解】(1)证明：：点B与点F关于直线AE的对称， .△ABE兰△AFE, .BE=EF,∠B=∠AFE, 答案第1页，共2页 CE=BE,∠B=∠DCP, :CE=EF,∠AFE=∠DCP, :∠EFP=∠ECQ, 在△EFP和△ECQ中， 「LEFP=∠ECQ ∠FEP=LQEC, EF=CE △EFP=△ECQ(AAS). (2)解：由(1)知，EQ=EP,EF=CE,∠AFE=∠QCP=∠QFG, .FQ=CF 在△FGQ和△CGP中， 「∠QFG=∠QFP ∠QGF=∠CGP, FO=CP △FGQ=△CGP(AAS), CG=3,GQ=5, ..CG=FG=3,GO=GP=5, :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,aGCP-aABP, GC GP 及=p，即=5 AB AF+8' AB=AF CD 35 DcD+8,解得CD=l2, .DQ=CD-CG-GQ=12-3-5=4. (3)①解：：点B与点F关于直线AE的对称， ∴.△ABE兰△AFE, BE=EF,∠B=∠AFE, :四边形ABCD是平行四边形，点A、F、P共线， ∠B+∠BCD=180°，∠AFE+∠EFP=180°， .LEFP=∠BCD, 答案第1页，共2页 :∠FEP=∠CEQ, .△EFP~△ECQ, 得 CE=2BE,BE=EF, 是器 ②解：如图所示，延长线段AD交CD的延长线于点H, --2H o-2.C0-2 :P "DO=3.CE=2BE, PF =m,BE =n,CO=2m,DO=3m,CE 2n,BC=AD=3n,AB AF CD =5m, :AD∥BC, .△DHQ~△ECQ, DH DO 3 ·cE=c02' .DH=3n,则AH=6n, AD∥BC, .△AFH~△PFE, :华，0，解得EP= EP-PF'EP m 5 6n 4n 则CP=CE-EP=2n- 55 :AD∥BC, .△GPC~△GAD, 4n CG_CP-5-4· DG AD 3n 15 【点晴】本题主要考查了平行四边形与相似三角形的综合，解题的关键点是能找出线段是已 知条件的相似三角形，得出新的条件，再利用相似和方程思想解题. 5.0)1=8 75 答案第1页，共2页 2s=32-27 1+204 52 (3)存在，5 7 (41=2 【分析】(1)先求得AC=15cm,过0作0H⊥BC于点H,由点O在AD和BC夹角的平分 线上，可得0H=0A,由AQ=2t,0为AQ中点，可得0H=0A=t,再证明 △BHO∽△BCA,即可求解； (2)过Q作QM⊥BC于点M,过点C作CF⊥AB于点F,可求得CF=12,再可证明四 边形DAFC是矩形，可得AD=I2,DC=9,再证明△BMOABCA,即可求解； (3)利用(2)的结论，将S=151片cm2代入即可求解： (4)由∠AB0是直角，0为A0中点，可得OE=01=40=1,再证明：DEC0:0E4, 可得DE=DC=9,则D0=9+t,在Rt△DAO中，利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】(1)解：：AC⊥BC,AB=25cm,BC=20cm, :AC=VAB2-BC2=V252-202=15(cm), 过O作0H⊥BC于点H, :∠ADC=90°，AB∥CD, B ∠DAB=180°-∠ADC=90°，即0A⊥AD, ·点O在AD和BC夹角的平分线上， 0H=0A, :AQ=2t,0为AQ中点， 0H=0A)A0=t,则0B=AB-0425 :AC⊥BC,OH⊥BC, .OH∥AC, .△BHO∽△BCA, 0H-08,即9-4G AC AB OB AB 答案第1页，共2页 t15 25-1=25' (2)解：过Q作QM⊥BC于点M,过点C作CF⊥AB于点F, D E B 1 SMG=万AC:BC=)ABCF .CF= AC.BC15×20 =12, AB 25 LADC=∠DAB=90°，CF⊥AB, 四边形DAFC是矩形， .AD=CF=12, 在RtAADC中，DC=VAC2-AD2=V152-122=9, :A0=21, :OB=AB-AO=25-2t, :AC⊥BC,QM⊥BC, .QM∥AC, .△BMQ∽aBCA, 4cHB,即OM4C QM_Q8 OB AB' :0M15 25-2125 0w-a5-24n :.S=SACD-S.40D-S.BP0= -+25x12-12-×25-2刘--+24 5 2 (3)解：存在 由题意，得2_27 +204=1512 2 35 解得：t= 2 （舍去)，12=5. (4)解：如图，连接EQ, 答案第1页，共2页 E P B ∠AEQ是直角， .LAEQ=90°， :0是AQ的中点， ·OE=OA三)Ag=1 :AB∥CD, :ZCDE=ZEOA,ZDEC ZAEO, △DEC∽△OEA, :DC、DE ·OAOE DC OA ÷.DE0E 1, .DE=DC=9, D0=DE+0E=9+1, 在Rt△DA0中，DO2=DA+AO, .(t+92=2+122, 解容子。 6.(1)见解析； (2)413-6 (3)5<AP<6.4 (4)BN=4.4 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出BE=CE,然后通过“SSS”证明△ABE≌△ACE即 可； （2)连接ED,B'D,则EB'+B'D≥ED,当点B落在ED上时，点B与点D之间距离最小， 由四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC,AD=BC=12,所以∠DAE=∠AEB=90°， 求出DE=43,从而求得B'D=4√13-6； 答案第1页，共2页 (3)先求出当点B落在AB上时，AP=6.4;当点B落在AC上时，连接BB'交EP于F点， AP=5,从而得出AP的取值范围为5<AP<6.4; (4)延长B'P交BC于M点，延长PB交AD延长线于N点，连接AE,根据折叠得 ∠EB'P=∠EBP,再证明四边形MNAE是矩形，所以MN=AE=8,又∠B=∠B, 6EH’则有EH=4.8, EBHE=∠BEA4=9O°，所以△ABE∽△EBH，则BE=F,即08 通过勾股定理得BH=√BE2-EH?=3.6,再证明aBEH≌△BEM(AAS),所以 B'M=BH=3.6,最后通过线段的和与差即可求解. 【详解】(1)证明：：AB=AC,AE⊥BC, .BE CE 又：AE=AE, △ABE≌△4CE(SSS): (2)解：如图，连接ED,B'D, 由折叠得，EB'=BE=6, 则EB'+B'D≥ED, 当点B落在ED上时，点B与点D之间距离最小， B :AE⊥BC, .∠AEB=∠AEC=90°， .AB=AC=10,BE=CE=6, AE=VAB2-BE2=V102-62=8, :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC=I2, .∠DAE=LAEB=90°， 答案第1页，共2页 DE=VAD2+AE2=V122+82=4V13, :B'D=DE-B'E DE-BE =413-6, 点B与点D之间的最小距离为4W13-6: (3)解：如下图，当点B落在AB上时， B 由折叠得，BE=B'E,EP平分∠BEB', .LEPB=90°， 又由(2)得，∠AEB=90°， :∠B=∠B,∠EPB=∠AEB=90°， .△EPB∽△AEB, EB BP ·ABEB' 治g BP=3.6, .AP=AB-BP=10-3.6=6.4; 如下图，当点B落在AC上时，连接BB'交EP于F点， y D B B BE B'E, .∠EBB'=∠EB'B, :EP平分∠BEB', ∠EFB=90°， BE=EC, .B'E =EC, .∠EB'C=∠B'CE, 答案第1页，共2页 :∠EBB'+∠EB'B+∠EB'C+∠B'CE=180°， .∠EB'B+∠EB'C=90°， .∠EFB=∠BB'C=90°， .EP∥AC, .AP=PB 2B=5, .AP的取值范围为5<AP<6.4: (4)解：如下图，延长B'P交BC于M点，延长PB交DA延长线于N点，连接AE, N D B' BM E 由折叠，得∠EB'P=∠EBP, :EB'⊥AB, LBHB'=90°， :∠EB'P+∠B'PH=90°，∠B'PH=∠BPM, .∠EBP+∠BPM=90°， .∠BMP=90°， :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, .∠MNA=∠BMP=90°， 又：∠AEB=90°， 四边形MNAE是矩形， .MN=AE=8, :∠B=∠B,∠BHE=LBEA=90°， ∴.△ABE∽△EBH, AB AE BEFH,即s、8 6=EH' .EH=4.8, :BH=BE2-EH2=3.6, :BE=B'E,∠BEH=∠B'EM,∠BHE=∠B'ME=9O°， 答案第1页，共2页 △BEH≌aB'EM(AAS), .B'M=BH=3.6, B'N=8-3.6=4.4. 7.(1)证明见解析 (2)①12；②证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点， (I)根据正方形的性质证明△BEC≌△DEC,继而得证BE=DE, (2)①首先证明△GFB是等腰三角形，过点G作GM⊥AB于点M,根据等腰三角形的性 质得到MF的张度，根据∠CDE=∠GFB,©os∠CDE=,得到FG的长度，根据勾股定理 得到GM的长度，进而得到aGFB的面积. ②首先证明△4 FECE,得到低价，根据(4PB=∠GFB,得到M ,进而 BE AD AD GM 得到FE、M BEGM,根据等腰三角形三线合一的性质得到an∠FGB 2 tan∠FGM=M M,进而 得到tan ∠FGB FE 2 BE 【详解】(1)证明：：正方形ABCD中，E是对角线AC上的一个动点， :BC=DC,∠ECB=∠ECD=45°， 又：EC=EC, ABEC≌△DEC(SAS), :BE=DE (2)解：①由(1)知△BEC≌△DEC, :ZCBE ZCDE, 又：∠ABP=∠CBE, ∠ABP=∠CDE, 又：四边形ABCD为正方形， AB∥CD, ∠CDE=∠GFB, ∠ABP=∠GFB, ∴△GFB是等腰三角形， 答案第1页，共2页 如图，过点G作GM⊥AB于点M, :点M是BF的中点， B 又：BF=6, :MF=-BF=3, 又：∠CDE=∠GFB,cOS∠CDE= :cos∠GFB= 3 :在RtAGMF中，cos∠GFB=M FG :p3 FG5' :在Rt△GMF中，由勾股定理得GM=√FG2-MF2=4, .S.om=BFGM=x6x4=12 2 ②证明：：延长DE分别交AB,BP于点F,G, :∠AFE=∠GFB, 又：∠GFB=∠ABP=∠CBE, :ZAFE=ZCBE, :四边形ABCD是正方形，AC是对角线， :∠FAE=∠BCE=45°， :△AFEn△CBE, FE AFAF BE CB AD :∠AFD=∠GFM, tan∠AFD=tan∠GFM, AD_GM 即AF、MF AF ME AD GM' FE MF BE GM' 答案第1页，共2页 由①知aGFB是等腰三角形，GM⊥AB, :.GM平分∠FGB, .tan <FGB =tan∠FGM=MF 2 GM tan∠FGB_FE 2 BE 8.(1)①见解析；②成立，见解析 (2)2V10或4V10 【分析】(1)①先根据锐角三角函数求出∠B,进而求出∠A=60°，先判断出EH=CD, 再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论；②根据ABC和ADE都是直角三角形， 得到∠BAC=LEAD,进而得到∠CAD=∠BAE,由4C=4D, AB AE 证得△ACDn△ABE,所 即可得出结论。 (2)分两种情况：①先求出AD=AF=EF=25,再求出AB=10√2，进而利用勾股定理 求出BF=√AB2-AF2=6√5，得出BE=BF-EF=4V5,最后判断出△ACD∽△ABE,即 可得出结论；②同①的方法即可得出结论 【详解】(1)解：①证明：R△ABC中，∠C=90°，sinB= 23 ∠B=30°， ∠A=60°， 如图1，过点E作EH⊥BC于点H, E :ED⊥AC, 图1 LADE=∠C=90°， :四边形CDEH是矩形， 即EH=CD, 在Rt△BEH中，∠B=30°， .BE =2EH 答案第1页，共2页 .BE =2CD ②解：BE=2CD成立， 理由：：旋转， .∠BAC=∠EAD=60°， :∠CAD=∠BAE, AC-1 AD 1 AB2’AE2’ ACAD AB AE .△ACD∽△ABE, :BE、AB CD AC AB :Rt△ABC中， AC =2, BE=2, CD 即BE=2CD; (2)解：：sim8= 2, .∠ABC=∠BAC=∠DAE=45°， :ED⊥AD, .∠AED=∠BAC=45°， :AD=DE,AC=BC, 将ADE绕点A旋转LDEB=90°，分两种情况： ①如图3所示，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F, 图3 则∠F=90°， 当∠DEB=90°时，∠ADE=∠DEF=90°， AD=DE 答案第1页，共2页 :四边形ADEF是正方形， :AD=AF=EF =25, :AC=10=BC, 根据勾股定理得，AB=10√2， 在Rt△ABF中，BF=VAB2-AF2=6N5, :BE =BF-EF=45, :△ABC和ADE都是直角三角形，且∠BAC=∠EAD=45, :∠CAD=∠BAE, :AC-V迈，AD反 AB 2 AE 2 AC AD AB AE △ACDn△ABE, :BE=4B=5, CD AC 即45 CD 2, CD=210; ②如图4所示，过A作AF⊥BE于F, D B 图4 则∠AFE=∠AFB=90°， 当LDEB=90°时，∠DEB=∠ADE=90°， AD=ED, :四边形ADEF是正方形， AD=EF AF=25, .AC=10=BC, :A8=10V万， 在Rt△ABF中，BF=VAB2-AF2=6V5, 答案第1页，共2页 .BE BF+EF =85, △ACDn△ABE, :BE-4B:5, CD AC 即85.5， CD CD=410, 综上所述，线段CD的长为210或410. 【点晴】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判断和性质，矩形的判定和性质， 锐角三角函数，分两种情况画出图形是解本题的关键， 9.(I)相等（或CD'=BD)；相等（或LAD'C=LADB) (2)见解析 3)3218 55 【分析】(1)根据旋转的性质可得∠DAD'=90°，AD=AD',进而证明LDAB=∠D'AC,即 可证明aDAB≌△D'AC(SAS),根据全等三角形的性质，即可求解； (2)根据正方形的性质，旋转的性质，同(1)证明△BCE'≌aDCE(SAS),得出 ∠BE'C=∠DEC=90°，结合CE=CE',即可得证； (3)同(2)的方法证明△BCG∽△DCE,得出四边形CEFG是矩形，连接AC,BD交于点 O,连接OF,根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出A,F,B,C,D共圆， 勾股定理求得AC,PC,进而解RtFCG,求得FG=3,再证明∠4CF=∠BCG,根 据正弦的定义，得出BG=8,即可求解. 【详解】(1)解：CD'=BD;∠AD'C=∠ADB,理由如下： :将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD', ∠DAD'=90°，AD=AD' :∠BAC=90°， .∠BAC-∠DAC=∠DAD'-∠DAC,即∠DAB=∠D'AC 又：AB=AC, .△DAB≌△D'AC(SAS 答案第1页，共2页 CD'=BD;∠AD'C=∠ADB: (2)证明：：四边形ABCD是正方形 .∠DCB=90°，BC=DC :CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE', .∠ECE'=90°，CE=CE' :∠DCB=∠ECE'=90°， LDCB-LBCE=LECE'-LBCE即∠DCE=LBCE' △BCE'≌△DCE(SAS .∠BE'C=∠DEC=90°， :∠CED+∠CEF=180 .LCEF=90° .ZBE'C ZECE'=ZCEF =90 .四边形CEFE'是矩形 又：CE=CE 四边形CEFE'是正方形； (3)解：：CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE', .∠ECE'=90°，CE=CE' :CG、4 CE3' CG 4 CE-3 :四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, :CD AB=3, BC 4 ·CD3 CG BC 4 ·CECD3 .∠DCB=∠ECE'=90°， .LDCB-∠BCE=LECE'-∠BCE即LDCE=∠BCE' .△BCG∽△DCE .∠BGC=∠DEC=90 .:∠CED+∠CEF=180° 答案第1页，共2页 :LCEF=90° .∠BGC=∠ECG=∠CEF=90° :四边形CEFG是矩形， 如图，连接AC,BD交于点O,连接OF D B G E 图3 :O是AC,BD的中点， 在Rt△0BF中，OF=)BD :.OF=1AC=0A=OC=OD=OB 2 .A,F,B,C,D共圆， .∠AFC=90°， AD=BC ·AD=BC :ZGFC ZACD 在Rt△ABC中，AC=V√AB2+BC2=5 ·cos∠ACD=CD3 AF=2, 在Rt△AFC中，FC=VAC2-AF2=√21 ·FG=FCeos∠CFG-3N 5 BC=BC :ZBFC ZBAC 又∠AFC=∠G=90° .∠ACB=∠FCG 答案第1页，共2页 LACB-LFCB=LFCG-∠FCB,即∠ACF=∠BCG ·sin∠ACF= AC =sin∠BCG=BG BC 2 BG 54 ·BG=8 5 BF=321 8 55 10.(1)60°，见详解 (2)AP+AD=√2AF,证明见详解 哈 【分析】(1)观察图形，结合已知条件证△CBE≌△ABD即可； (2)通过取特殊点，先猜想出三条线段应满足的数量关系：AP+AD=√2AF，然后结合 已知条件，过点F作FG⊥AF,交AB于点G,连接DF,通过全等把AP,AD转化为一条 线段的长，最后利用等腰直角三角形的性质即可得证； (3)首先通过取特殊点猜想点E的运动轨迹，进而确定出AE取得最小值时的位置以及对 应的线段、角度等：然后再探究点Q的运动轨迹，进而确定Q取得最大值时的位置即可求 解. 【详解】(1)解：：AB=AC,∠BAC=60°， .ABC是等边三角形， .CB=AB,∠ABC=60°. 由旋转，得BE=BD,∠DBE=60°， .∠DBE-∠DBC=∠ABC-∠DBC,即∠CBE=∠ABD, .△CBE≌△ABD, .LBCE=∠BAD=60°： (2)解：AP+AD=√2AF,证明： 如图I,过点F作FG⊥AF,交AB于点G,连接DF, 答案第1页，共2页 图1 .∠AFG=90°. :PD绕点D逆时针旋转90°得到DE, .DP=DE,∠PDE=90°. ·△PDE为等腰直角三角形 :点F是PE的中点， FPPF-DF-PE .∠DFP-∠AFP=∠AFG-∠AFP,即∠PFG=∠DFA. 在四边形APFD中，∠DFP=LBAC=90°， ∠APF+∠ADF=360°-∠DFP-∠BAC=180°. :∠APF+∠GPF=180°， :ZADF ZGPF .△GPF≌△ADF, ..GF=AF,GP=AD, :AP+AD=AP+GP=AG,△AFG为等腰直角三角形， :AP+AD=AG=2AF. (3)解：B思路提不： 第一步，确定AE取得最小值时的位置 如图2，在直线AC上再取一点D,连接PD',将PD'绕点D逆时针旋转90°得到D'E',连 接EE'分别交AC,BC于H,I,则易知△PDE,△PD'E'为等腰直角三角形 D 图2 答案第1页，共2页 :DPE=2D'PE'=459,DP_D'P_ EP E'P 2 .∠DPE-∠D'PE=∠D'PE'-∠D'PE,即∠DPD'=∠EPE', △DPD'∽△EPE',∠PDD'=∠PEE'. :在△PDG和△HEG中，∠1=∠2， .∠3=∠DPG=45°， .∠4=∠3=45°. 由条件易知∠C=45°， .∠H1C=90°. 由条件可知当D和A重合时，点E恰好和点H重合，此时AP=AH, .点E在与边BC垂直、且经过点H的直线上运动 根据垂线段最短，当AE⊥EH时取得最小值，如图3所示. 图3 连接PH,设BP=a,则由条件易知 AP=AH =2BP=2a,CH=BP=a,AB=3a,BC=32a. 在等腰直角三角形Rt△AEH,Rt△APH和Rt△ACIH中，AE=EH=√2a,PH=2√2a, CI-m= 2 PE=VPH+EH:0a,EI=3 -a. 2 第二步，确定PQ取得最大值的位置 :点F是PE的中点， EF=IPE=1 2 2. ·△OEM是由△FEM沿EM所在直线翻折得到的， ·EQ=EF= -a, :点Q的运动轨迹为以E为圆心，0。为半径的圆上（如图4. 2 答案第1页，共2页 图4 .当Q在PE的延长线上时，P2最大（如图5），此时有∠FEM=∠QEM=90°. B M 图5 :LMEI+∠PEH=90°，∠EPH+∠PEH=90°， ∴∠MEI=∠EPH. 又：∠EHP=∠EIM=90°， .△EHP∽△MIE, PHEM 2v2a√2a E1=M7,即32a=Mi, 2 MM=3 40, CM-MI-CI- 4, BM=BC+CM=3W2a+5,=132, 40s 40, √2 CM a 4 1 BM13√213 4 -a 【点晴】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形、全等、相似、圆等知识，掌握解决动态 问题的一般方法；熟悉常见的最值模型，如瓜豆问题、圆外一点到圆上一点的最值问题等： 如何根据己知条件构造恰当的辅助线是解决问题的关键. 11.(1)见解析 答案第1页，共2页 ®站 3)HE=2-2 )HD2k2-2 【分1)证明40o,C,即可得到22则40-C8=CE,0H: (2)延长GF与CA交于点M,连接CD,CF,由△ADE≌△ACB,得到AB=AE, AC=AD,∠BAC=∠DAE=90°，即可证明AC=AD=AM,再证明△ABC≌△AFM(ASA) 得到BC=FM,AF=AB=AE=BF,接着证明四边形BCGF是菱形，得到 AF=AB=AE=BF=BC,接着证明△ABE和△ADC是等边三角形，得到 ∠BCA=∠CDH=30°，即可得到CE=2HE,DE=2CE=4HE,代入E计算即可： DH 由(2)可得AP=AB=AE=BF，FM=BC，由CG=),设FG=kx,CG 根据四边形BCGF是平行四边形，得到BC=FG=kx,BF=CG=2x, AP=AB=E=8F=,FM=BC=,过A作N1BC于N,证羽：8CaNB4, 春图BN,则CE2Tk:,明△ADF≌△ACE SAS,得到CE=DF2,求 k 出DM,最后根据FG∥BC,得到E=CE,代入计算即可。 HD DM 【详解】(1)证明：：△ADE≌△ACB, .∠ADE=∠ACB, 在△ADH和△ECH中，∠ADH=∠ECH,∠AHD=∠EHC, .△ADH∽aECH, 20 .AD·CH=CE·DH; (2)解：延长GF与CA交于点M,连接CD,CF, 答案第1页，共2页 G D B A 山 :△ADE≌AACB, .AB=AE,AC=AD,∠BAC=∠DAE=90°， .∠B=∠AEB,LACD=∠ADC,∠DAC=∠BAE=90°-∠CAE, .LB=∠AEB=LACD=LADC, :∠B+∠ACB=90°， .∠ACD+LACB=90°=LDCB, :FG∥BC, LDCB=∠CDM=90°，∠M=∠ACB, .∠ACD+∠M=90°，∠ADC+∠ADM=90°， .∠M=∠ADM, .AD AM, .AC=AD=AM .∠MAF=∠BAC=90°， △ABC≌△AFM(ASA, .BC=FM,AF=AB, .AF=AR=AE-BF :CG∥BF,FG∥BC,CG=GF, .四边形BCGF是菱形， .BC=CG=GF=BF, 1 AF=AB=AE=BF C, 2 3 BC :∠BAC=90°，AE= .E为BC中点， 答案第1页，共2页 :CE=BE=BC=AF=AB=AE, 2 △ABE是等边三角形， .LB=∠BAE=60°， .∠DAC=∠BAE=60°，∠BCA=30°， .△ADC是等边三角形， .DC=DA=AC, .AE CE, .DE垂直平分AC, .∠CHD=∠CHE=90°，∠BCA=∠CDH=30°， .CE =2HE,DE =2CE =4HE, .DH =DE-HE =3HE, HEHE 1 DH=3HE3 （3)解：由2)可得4F=AB=AE=BF,FM=8C, H G D M 图3 FG k CG-2' 设FG=kx,CG=2x, :CG∥BF,FG∥BC, .四边形BCGF是平行四边形， .BC=FG=kx,BF=CG=2x, F=AB=AE-TBF-x,FM =BC- 过A作AN⊥BC于N, :BN=EN=-BE, 答案第1页，共2页 :∠BNA=∠BAC=90°，∠B=∠B, :△ABC∽aNBA, .ABBN BC AB :￡sBw kx x 钢得v-, :BN EN =IBE=x,CE=BN+EN-BC=x-kx, 1 2 2 k :AD=AC,AF=AE,∠FAD=∠EAC=90°-∠EAF, .△ADF≌△4CE(SAS, CE=DF-- :DM FM-DF kx- :FG∥BC, .△HEC∽△HDM kx HE=CE=k* 2-k2 ·HDDM2kx- 2 2k2-2· 12.(1)120 (2)见解析 (3)10 【分析】(I)根据BD=CD,可以推出∠DBC=∠DCB,由DE=EC可得∠D=∠ECD, 设∠D=x,用x的代数式表示LDBC,即可列出方程求解； (2)取AC中点M,连接DM,构造出平行四边形ADMB,推出AD⊥AC,进一步得出 △CFE∽△DAE,从而确定EF与FC的数量关系，再根据EF和DF的关系即可证明结论； (3)首先要确定G的轨迹，根据轨迹确定什么时候GC最短，然后确定D的位置，求出D到 BC的距离，即可求出三角形BDC的面积。 【详解】(1)解：：∠ABC=90°，BC=BA, ∴.∠BCA=45°， DE=EC, .∠D=∠ECD, 答案第1页，共2页 设∠D=∠ECD=x,则∠BEC=2x .∠DBC=180°-∠BEC-∠BCA =180°-2x-45 =135°-2x 又：BD=DC ∠DBC=∠DCB=180-x 2 135°-2x=180-x 2 解得x=30 .∠AEB=∠DEC=180°-30°-30°=120 (2)证明：如图，取AC中点M,连结DM, B C:△ABC为等腰直角三角形， D :BM CM BD=DC, .D,M在BC的垂直平分线上， :DM⊥BC, .DM Il AB, :∠BAE=∠DME,∠ABE=∠MDE, 又：E是BD中点， :BE DE △AEB≌△EDAAS, :AE-EM=IAM, :四边形ADMB是平行四边形， ∴.ADIBM,AD=BM=AM, 又：BM⊥AC, 答案第1页，共2页 :AD⊥AC, :CF⊥BD, ∠DAE=∠CFE, .:∠AED=∠FEC ACFE∽△DAE, CF=AD_2 EF AE1' :CF =2EF, .·DF=DE+EF, DE+2EF-EF =DE+CF-EF CF+BE-EF =CF+BF. (3)解：如图，过D作BC的垂线DR交BC于R,过A作DR的垂线，垂足为F,取AB的 中点N,取AN的中点M,以M为圆心，AM为半径作圆M,连接CM交⊙M于点K,作 KQ⊥AB于点Q,连接AK,过A作AK的垂线交DR于点P,连接GN,PB,PC B ,:DB=DC,DR⊥BC, P BR=号BC=2 ∠ABC=90°， AB‖DR, :AF⊥DR,BR⊥DR, :AF=BR=2(夹在平行线间的垂线段相等)， AN =4B=2, 2 AF·AN=4, 答案第1页，共2页 SADG=2,∠GAD=90°， AD·AG=4, :AF·AN=AD·AG, 6投 :∠GAD=∠NAF=90°， .∠GAN=∠DAF=90°-∠NAD, △AGN~aAFD, .∠AGN=∠AFD=90°， :G在以AN为直径的圆M上， ·当G与K重合时，CG最小， :BM=3,BC=4, MC=V32+42=5, MK 1 MC-5' QK⊥AB, .OK ll BC, .∠MKQ=MCB,∠MQK=∠MBC, .∴aMKQ~aMCB, oKMe_MK1 BC BM MC5' 4 3 ÷OK=5,M0=写 5 38 ∴.A0=1+二= 55’ :∠QAF=∠KAP, .∠QAK=∠FAP, '△AQK~△AFP, PF AF OK AO PF-2 48 55 .PF=1, 答案第1页，共2页 PR=1+4=5, :当CG最小时，则点G与点K重合，点P与点D重合， S.BDc=SPBc=5×4÷2=10. 【点晴】本题是一道综合性很强的题目，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定 和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理的推论等知识， 本题还考查了反演变换，熟悉这个模型是解决这个题的关键. 13.(1)见解析 (28vi5 15 (3)30 【分析】(I)延长BE交AC于点M,可证明△AOC≌△EOB(SAS),则AC=BE, LAC0=LEB0,再推导出∠BMC=90°，即可证得AC⊥BE; (2)作CK⊥OA于点K,交DE于点J,则∠AKC=90°，先证明△AOC≌△EOB(SAS), 则CA=BE,而C0=B0,B0=BE,得CA=C0=B0,由OB=20A=4求得 AK=)OA=1,根据勾股定理求得KJ=AD=2,CJ=CK-KJ=V5-2,即可由FJ∥AK, 根据平行线分线段成比例定理求出AF的长； (3)连接CH、DH、OD,先证明△OAB≌△DAH,得HD=BO=C0,LADH=LAOB, 再推导出∠HD0+LC0D=180°，则HD∥C0,四边形OCHD是平行四边形，再计算出 CH=2V5,则OB=OC=2V5,根据“两点之间，线段最短”得：当0H=CH+0C时，OH的 长最大，此时点C在OH上，且点D与点C重合，作AL⊥BO交BO的延长线于点L,先求 出OL和AL的长，再求出BL的长，根据勾股定理求出AB2的值，即可求出正方形ABGH的 面积. 【详解】(1)解：如图，延长BE交AC于点M, :四边形OADE是正方形， B 0A=0E,∠E0A=90°， :∠B0C=90°， 答案第1页，共2页 .LA0C=∠E0B=90°， 0C=0B, △A0C≌△EOB(SAS, .AC=BE,LACO=∠EB0, LMBC+∠MCB=∠MBC+∠AC0+∠OCB=∠MBC+∠EB0+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， .∠BMC=90°， :AC⊥BE; (2)解：如图，作CK⊥OA于点K,交DE于点J,则∠AKC=90°， DE :四边形OADE是正方形， B :0A=0E,∠E0A=90°， :∠B0C=90°， A0C=4E0B=90°-∠C0E, 0C=0B, △AOC≌△EOB(SAS, :AC =BE, :C0=B0,B0=BE, :CA=C0=B0, :0B=20A=4, CA=0B=4,AD=0A=2, k=01=1, :CK=VCA2-AK2=V42-12=5, :正方形OADE中，DE∥AO,AD⊥AO, 又：KJ⊥A0, :KJ=AD=2, 答案第1页，共2页 .CJ=CK-KJ=15-2, :FJ∥AK, :CF、cu ”CACK :4-4F5-2 4 √15 AF=815 15 (3)解：如图，连接CH、DH、OD、OH, :四边形OADE和四边形ABGH都是正方形， DA=OA=V6,AH=AB,L0AD=LBAH=90°， LOAB=∠DAH=90°-∠BAD, :△OAB≌△DAH(SAS, HD=B0=CO,∠ADH=∠AOB, :在正方形OADE中，∠A0D=∠AD0=45°， ∠HD0=360°-45°-∠ADH=315°-∠A0B, :LC0D=∠A0B-45°-90°=∠A0B-135°， ·∠HD0+∠C0D=315°-∠A0B+∠A0B-135°=180°， HD∥C0, :四边形OCHD是平行四边形， CH=0D=VDA2+0A=6)+(6)=23, 0B=0C=2V5, 0D=0C, :OH≤CH+OC, :当OH=CH+OC时，OH的长最大，此时点C在OH上，且点D与点C重合， 作AL⊥B0交BO的延长线于点L,则∠L=90°， 答案第1页，共2页 H G dD) :∠A0C=45°，∠B0C=90°， :∠L0A=∠LA0=45°， .OL=AL=04xsin45=x 2 BL=25+V5=3√5， AB2=A2+BP=(V3+(3N5)'=30, S RGU =AB2=30, :当OH的长最大时，正方形ABGH的面积为30. 答案第1页，共2页