第9章 平面向量 章末知识点总结提升 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章　平面向量 章末知识点总结提升 苏教版 必修第二册 网络构建·知识导图 要点归纳·典例提升 要点一　平面向量的基本概念 对于平面向量的基本概念需要注意以下几点: (1)零向量的方向是任意的. (2)单位向量有无数个,它们长度相等,均为1个单位长度,但方向不一定相同. (3)平行向量与平行直线是有区别的,向量平行,向量所在的直线可以平行,还可以是同一条直线. 【典例1】 (多选题)下列说法中,错误的是(　 　) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.向量是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C.向量是平行向量 D.任何两个单位向量都是相等向量 ABD 解析 向量是既有大小又有方向的量,若|a|=|b|,则a和b的大小相同,方向不一定相同,故选项A说法错误;向量是共线向量,则方向相同或反向,点A,B,C,D可能在一条直线上,也可能组成平行四边形,故选项B说法错误;向量方向相反,是平行向量,故选项C说法正确;单位向量模长相同,方向不一定相同,故选项D说法错误.故选ABD. 题后反思　1.解决向量的概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 2.相等向量与共线向量的探求方法 (1)相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线. (2)共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量. 跟踪训练1　(多选题)下列说法错误的是(　 　) A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若a=b,则2a<3b C.对任意非零向量a,是和它共线的一个单位向量 D.零向量没有方向 ABD 解析 对于A,若b为零向量时,a与c不一定共线,故A错误;对于B,向量不能比较大小,B错误;对于C,因为a是非零向量,所以是和它共线的一个单位向量,故C正确;对于D,因为向量是有方向和大小的量,所以零向量是有方向的,零向量的方向是任意的,故D错误.故选ABD. 要点二　平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 基底:两个不共线的向量e1,e2叫作这个平面的一组基底. 【典例2】 如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF. (1)若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值; (2)连接AB,分别交OC,OE于M,N两点,记=a,=b,以a,b为基底来表示. 解 (1)在矩形OACB中,=3=3,则 , , 因此=+, 又不共线,所以解得λ=,μ= (2)因为点N为AB与OE的交点,所以=t=t()=t, t∈R, =t=(t-1), 又,即存在m∈R,使=m,即(t-1)=-m+m, 因为不共线,所以解得所以 显然AB与OC的交点M是线段AB,OC的中点,则,即点N是线段AM的中点, 所以)=a+b. 题后反思　将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直到用基底表示为止;另一种是通过列向量方程(组),利用基底表示向量的唯一性求解. 跟踪训练2　在△ABC中,D是边AB上靠近点A的三等分点,E是边BC的中点,则等于(　　) A.- B. C. D. B 解析 如图,由题意,得), 所以)= 要点三　三点共线问题 证明三点共线,通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线.向量共线定理是解决向量共线问题的依据. 若A,B,C三点共线,则向量在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系. 【典例3】 已知a=(2,0),b=(2,1). (1)当k为何值时,ka+b与a-2b共线? (2)若=a+3b,=a-mb且A,B,C三点共线,求m的值. 解 (1)∵a=(2,0),b=(2,1), ∴ka+b=(2k+2,1),a-2b=(-2,-2), 又ka+b与a-2b共线, ∴-2(2k+2)-1×(-2)=0,即k=- (2)=a+3b=(8,3),=a-mb=(2-2m,-m), ∵A,B,C三点共线,共线, ∴-8m-3(2-2m)=0,解得m=-3. 题后反思　1.解决根据向量共线的条件求值的问题,一般有两种处理思路:一是利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解;二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解. 2.利用x1y2-x2y1=0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”,从而减少未知数的个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征. 跟踪训练3　设两个非零向量a与b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线. (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. (1)证明∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,共线, 又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线. (2)解 ∵ka+b和a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb, ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0, ∴k2-1=0,∴k=±1. 要点四　向量的数量积 1.已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ. 2.向量数量积的运算律:已知向量a,b,c和实数λ. ①a·b=b·a; ②(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b; ③(a+b)·c=a·c+b·c. 3.数量积的性质: ①a·a=|a|2或|a|=; ②|a·b|≤|a||b|,当且仅当向量a,b为共线向量时取“=”号; ③a⊥b⇔a·b=0(向量a,b均为非零向量). 4.向量的长度、夹角、垂直的坐标表示 ①向量的模:设a=(x,y),则a2=x2+y2,即|a|=. ②向量的夹角公式:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),它们的夹角为θ,则cos θ=. 特别地,若a⊥b,则x1x2+y1y2=0;反之,若x1x2+y1y2=0,则a⊥b. 【典例4】 (1)已知a=(-3,2),b=(-1,0),若向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为(　　) A. B.- C. D.- B 解析 由向量λa+b与a-2b垂直,得(λa+b)·(a-2b)=0. 因为a=(-3,2),b=(-1,0), 所以λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2), 所以(λa+b)·(a-2b)=(-3λ-1)×(-1)+2λ×2=0, 即3λ+1+4λ=0,解得λ=-故选B. (2)已知向量a=(2,1),b=(4,-3),若a-2b与λa+b的夹角为钝角,则λ的取值范围是　　　 　.  (-9,-)∪(-,+∞) 解析 因为a=(2,1),b=(4,-3), 所以a-2b=(-6,7),λa+b=(2λ+4,λ-3), 因为a-2b与λa+b的夹角为钝角, 所以(a-2b)·(λa+b)<0,且-6(λ-3)≠7(2λ+4), 即-6(2λ+4)+7(λ-3)<0,且-6(λ-3)≠7(2λ+4), 解得λ>-9,且λ≠- (3)(2025扬州期末)如图,在△ABC中,D,E是边BC上的两个三等分点, AB=12,AC=9,∠BAC=60°,则的值为　　　　.  80 解析 因为在△ABC中,D,E是边BC上的两个三等分点,AB=12,AC=9, ∠BAC=60°,所以) =) =, 则=()·()=|2+|2 =144+12×981=32+30+18=80. 题后反思　1.在解决涉及几何图形的向量数量积运算时,可先利用向量的加法、减法或数乘运算化简后再运算,求模和求夹角的问题应注意公式|a|=及cos θ=(θ为a与b的夹角)的应用,把模和夹角转化为数量积运算. 2.利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件,找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算,列出方程组来进行求解. 跟踪训练4　(1)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,0),则|2a-b|的最大值和最小值分别是(　　) A.4,0 B.4,2 C.25,1 D.5,1 D 解析|2a-b|= ∵cos θ∈[-1,1],∴13-12cos θ∈[1,25], ∴|2a-b|∈[1,5].故选D. (2)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中, =2a+2b,=2a-6b,点D为BC的中点,则||=　　　　.  2 解析∵点D是BC的中点,(2a+2b+2a-6b)=2a-2b, ∴||2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2)=4×(3-22×cos+4)=4,∴||=2.故答案为2. 要点五　平面向量的运用 1.用向量方法解决平面几何问题 用向量解决平面几何问题有两种方法:一是选取基底,利用向量的运算法则、运算律或性质计算;二是建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题转化为代数运算问题. 2.用向量方法解决物理问题 向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用获得的结果解释物理现象.要注意两个方面:一是通过实例,体会如何把物理问题转化成数学问题,即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型;另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象. 【典例5】 如图,在△ABC中,D是AC的中点,E在边AB上,且=2,BD与CE交于点F. (1)用表示; (2)若24,求的值. 解 (1)由题意得=-, 设==,λ∈R,μ∈R, 则==λ()=, +++,所以解得 所以 (2)由(1),得=-, 则=()·(-)=-|2+|2+ 因为24, 所以-|2+|2+, 即||2=3||2,所以||=|,所以 题后反思　向量法解决平面几何问题的“三步曲” 跟踪训练5　如图,在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF. 证明 (方法一)设正方形的边长为a, ∵点P是对角线BD上的一点,可设=(0<λ<1), --λ()=(1-λ)- ∵四边形PECF是矩形,∴PF∥BC,, ==,=(1-λ)-, =[(1-λ)-]·[(1-λ)-] =(1-λ)2-(1-λ)-λ(1-λ)+λ2 =-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0, ,∴PA⊥EF. (方法二)以点D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设正方形的边长为a,由于点P是对角线BD上的一点,可设=a(0<λ<1),则A(0,a),P(λa,λa),E(a,λa),F(λa,0), =(-λa,a-λa),=(λa-a,-λa), =-λa(λa-a)-(a-λa)λa=-λ2a2+λa2-λa2+λ2a2=0, ,∴PA⊥EF. 【典例6】 已知两个力F1=5i+4j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15),其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量.试求: (1)F1,F2分别对质点所做的功; (2)F1,F2的合力F对质点所做的功. 解 (1)依题意,F1=(5,4),F2=(-2,1),=(12,15), 则F1做的功为W1=F1=(5,4)·(12,15)=60+60=120,F2做的功为 W2=F2=(-2,1)·(12,15)=-24+15=-9. (2)因为F=F1+F2=3i+5j=(3,5),所以F做的功为 W=F=(3,5)·(12,15)=36+75=111. 题后反思　1.速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加法、减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成. 2.向量与功的处理方法 力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角,即W=|F||s|·cos θ(θ为F,s的夹角).功是一个实数,它可正,可负,也可为零. 跟踪训练6　质量m=20 kg的物体,受到与水平方向夹角α=60°的斜向上拉力F的作用,沿水平面移动了s=10 m的距离.已知|F|=100 N,物体受到的摩擦力是它与水平面间压力的0.2倍,求拉力F和摩擦力f对物体所做的功.(取g=10 m/s2) 解 如图所示,质量m=20 kg的物体,所受重力|G|=20×10=200(N),拉力F对物体所做的功为F·s=100×10×cos 60°=500(J), 物体受到的摩擦力是|f|=0.2(|G|-|F|sin 60°)=0.2 =(40-10)(N), 所以摩擦力f对物体所做的功为f·s=(40-10)×10×cos 180° =(100-400)(J). 高考链接 1.(2025新高考Ⅱ)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　　.  解析 由题意a-b=(1,1-2x),又a⊥(a-b),所以x·1+1×(1-2x)=0,解得x=1,即a=(1,1),所以|a|= 2.(2025天津)在△ABC中,D为AB中点,.记=a,=b,则用a,b表示为　　 　　;若||=5,且AE⊥CB,则=　　　　　.  a+b -15 解析∵=-b+a, =-b+a,则=b+a-b=a+b. ∵AE⊥CB,则=0,得(a+b)(a-b)=0, 整理得a2+3a·b-4b2=0.① 又||=5,∴(a+b)2=a2+a·b+b2=25,整理得a2+8a·b+16b2=900.② 由①②得,a·b=-4b2+180,a2=16b2-540, =(a+b)(a-b)==-=-15. 3.(2025上海)已知函数f(x)=a,b,c是平面内三个不同的单位向量,若f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则|a+b+c|的取值范围是　　　　　.  (1,) 解析 由f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0且f(x)=当a·b=b·c=c·a=0时,a,b,c两两垂直,显然在平面上不成立;当a·b,b·c,c·a中,一个是0一个是正数一个是负数时,不妨设a·b=0,b·c>0,c·a<0,又|a|=|b|=|c|=1, 以a,b分别为x轴、y轴建立坐标系如图,则a=(1,0),b=(0,1),设c=(cos θ,sin θ), <θ<π,则a+b+c=(1+cos θ,1+sin θ),|a+b+c|=, <θ<π,<θ+,-<sin(θ+)<, ∴1<3+2sin(θ+)<5,∴1<|a+b+c|< $