12.4 复数的三角形式 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

12.4　复数的三角形式* A层 基础达标练 1.下列复数中,是三角形式的是(　　) A.2(cos-isin) B.2(cos+isin) C.-2(cos+isin) D.2(cos+isin) 2.复数cos -isin 的辐角主值是(　　) A. B. C. D. 3.复数z=r(cos θ+isin θ)(r>0,θ∈R),则把这种形式叫作复数z的三角形式,其中r为复数z的模,θ为复数z的辐角.若一个复数z的模为2,辐角为,则=(　　) A.1+i B.1-i C.-i D.+i 4.[2(cos 60°+isin 60°)]3=　　　　　.  5.计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]. 6.利用复数的三角形式,求证:|z1z2|=|z1||z2|. 7.如果向量对应复数-2i,绕原点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量,求对应的复数. B层 能力提升练 8.(多选题)任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)的形式,通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是(　　) A.|z2|=|z|2 B.当r=1,θ=时,z3=1 C.当r=1,θ=时,i D.当r=1,θ=时,若n为偶数,则复数zn为纯虚数 9.复数(cos+isin)7在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.设复数 和 的辐角主值分别为,则等于(　　) A. B. C. D. 11.(多选题)任何一个复数 (其中, 为虚数单位) 都可以表示成 的形式.法国数学家棣莫弗发现:,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是(　　) A. B.当 时, C.当 时, D.当 时,若为偶数,则复数为纯虚数 12.若动点对应的复数为,且满足,则: (1)的辐角主值的范围为______; (2) 取得最大值时, ______. C层 拓展探究练 13.已知,且非零复数的辐角主值是 ,则满足条件的共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.设复数,复数满足.已知的对应点在虚轴的负半轴上,且 ,求的代数形式. 15.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ,解决以下问题: (1)试将复数写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式; (2)试求复数的模. 参考答案 1.D　复数的三角形式是r(cos θ+isin θ),其中r>0.对于A,2(cos-isin)中-isin不满足;对于B,2(cos+isin)中不满足;对于C,-2(cos+isin)中-2<0,不满足.故选D. 2.D　复数cos -isin i=cos +isin , 所以复数cos -isin 的辐角主值是故选D. 3.D　由复数z的模为2,辐角为,可得z=2(cos +isin )=-1+i.所以+i.故选D. 4.-8　原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos 180°+isin 180°)=-8.故答案为-8. 5.解 4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)] =2[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)] =2[cos(-240°)+isin(-240°)] =2=-1+i. 6.证明 设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则|z1|=r1,|z2|=r2,|z1||z2|=r1r2, 又∵z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)], ∴|z1z2|=r1r2=r1r2, ∴|z1z2|=|z1||z2|. 7.解 -2i=2(cos+isin),则对应的复数为2(cos+isin)[cos(-)+isin(-)]=3[cos()+isin()]=3(cos+isin)=3×(-i)=-i. 8.AC　对于A选项,z=r(cos θ+isin θ),则z2=r2(cos 2θ+isin 2θ),可得|z2|=r2,|z|2=r2,A选项正确;对于B选项,当r=1,θ=时,z3=r3(cos θ+isin θ)3=cos(3)+isin(3)=cos π+isin π=-1,B选项错误;对于C选项,当r=1,θ=时,z=cos+isini,则i,C选项正确;对于D选项,当r=1,θ=时,zn=(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ=cos+isin,取n=4,则n为偶数,则z4=cos π+isin π=-1不是纯虚数,D选项错误.故选AC. 9.C　由已知得(cos+isin)7=cos+isin=cos(π+)+isin(π+)=-cos-isin=-i,所以复数(cos+isin)7在复平面内所对应的点的坐标为(-,-),位于第三象限.故选C. 10.B　 在第四象限,; 在第四象限,.B　 在第四象限,; 在第四象限,. .由于 均为第四象限角（负角或接近 的角）, 的范围在 之间,故 (或 ). 11.AC　A: ,当时成立,正确.B: ,错误.C: , ,正确.D: .若为偶数,例如, (纯虚数);但若, (实数),错误. 12. (1) [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]; (2)3\sqrt{3}i 解析:(1) 表示圆心在 ,半径为 2 的圆.过原点作圆的切线,切线的倾斜角即为辐角主值的边界.(2) 表示圆上的点到原点的距离,最大值在圆心与原点连线的延长线上取得. 13.A　设,则.由辐角主值为 可知实部为0且虚部大于0,解得 ,即 ,只有1个. 14. 解 .设. .因为在虚轴负半轴, .结合 求出 ,进而求出 . 15.解 (1)根据欧拉公式可得=cos+isini. (2)由题意可知i+=1+i, 因此, 7 学科网（北京）股份有限公司 $