12.4复数的三角表示式（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

12.4复数的三角表示式—题型专练 题型一 复数的三角形式 复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式即可得解. 【详解】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是. 故选：D. 复数改写成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ，， 又，∴， ∴ 故选：B． 已知的三角形式为，则的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，的三角形式是， 结合诱导公式知，， 故选：B 复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由诱导公式可知， ， 因此，. 故选：B. 在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、复数的三角表示 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转所得点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，将复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转， 可得. 故选：B 在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，画向量见解析 (2)，画向量见解析 (3)，画向量见解析 (4)，画向量见解析 【分析】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解. 【详解】（1）6对应的向量如答图中， ，又， .    （2）对应的向量如答图中， ， 又，.    （3）对应的向量如答图中 ， 又，.    （4）对应的向量如答图中， ， 又，.    请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求出模及幅角，即可将复数的代数形式化为三角形式． 【详解】（1）因为，，，所以， 于是． （2）因为，，，所以， 于是． （3）因为，，，所以， 于是． 题型二 把复数表示成代数形式 1. 将复数化成代数形式，正确的是（    ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】D 【解析】根据特殊角的三角函数值，化简即可. 故选：D. 1. 将复数z＝化为代数形式为 ． 【答案】1－i 【分析】计算出三角函数值后化简即可. 【详解】z＝． 故答案为：1－i 1. 将复数化为代数形式为 【答案】 【解析】由题得. 故答案为： 1. 把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 运用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】（1）. （2）. 1. 把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【答案】(1)－6 (2) 【分析】运用特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】（1）. （2）. 题型三 复数的乘除运算 1. 已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】D 【解析】 故选：D 1. （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 故选：A. 1. （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先用多项式乘法展开，再用两角和与差的三角函数化简，分别求出 再整理为 的形式. . 故选：C 1. 计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）方法一：. 方法二：. 1. 计算： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）. （2）. （3） . 1. 计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3（4）利用复数三角形式的乘法与除法运算法则求解即可，注意计算的准确性. 【详解】（1） . （2） . （3） . （4） . 题型四 复数乘除的几何意义 1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】先对，然后再化为复数的三角形式可得答案 【详解】 所以 ， 故选：B 1. 欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、三角表示下复数的几何意义 【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解. 【详解】解：，又，为第二象限角，故 ，故在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 1. 将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 【答案】 【分析】根据复数的三角形式运算即可求解. 【详解】复数的三角形式是, 向量对应的复数是. 故答案为： 1. 复数z的辐角，则对应的点位于第 象限． 【答案】一 【分析】设，，根据复数的乘方运算及除法运算，结合正弦函数的性质即可得出答案. 【详解】解：设，， 则 ， 因为，所以，所以，则， 所以对应的点位于第一象限. 故答案为：一. 1. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . （用代数形式表示）． 【答案】 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可. 【详解】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . 故答案为：. 1. 已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 【答案】 【分析】分别设，，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解. 【详解】因为，设，， 所以 由题意可知或， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：， 故答案为：. 1. 已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 【答案】(1) (2). 【知识点】二倍角的正弦公式、在各象限内点对应复数的特征、求复数的模、三角表示下复数的几何意义 【分析】（1）由题意可得，从而可求得答案， （2）由题意得，化简可得答案. 【详解】（1）因为在复平面内，与对应的点关于实轴对称， 所以，即， 解得， 所以. （2）由，得，即，   整理得，所以. 1. 已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 【解析】（1）因为复数已在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得，所以实数的取值范围为： （2）当时，，所以，， 所以，所以 （3）根据题意得，设其旋转后对应向量， 所以，解得或， 又因为绕点顺时针方向旋转得到，所以对应的点在第四象限， 所以，所以. 题型五 复数三角表示的应用 1. 若（为虚数单位），则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】当时，， 当时，可以取，此时， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 1. 欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模. 【详解】由题设，. 故选：B 1. 法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意化简即可得解. 【详解】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 1. 设复数，其中为虚数单位，若满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出复数的代数形式，结合其三角形式即可求解. 【详解】由，得，即， 因， 所以. 故答案为：. 1. 设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解. 【详解】由，得，由，得， 因，所以，即，且， 又因，所以，即，且, 因此. 故答案为：. 1. （1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 【答案】（1）；（2），，，，，；（3）． 【分析】（1）根据复数三角形式定义直接求解； （2）根据复数定义直接求解； （3）作出图形，根据为等边三角形，将点对应的复数表示为，利用复数旋转可得出点所对应的复数为，利用两角和的正弦、余弦公式求出的正弦值和余弦值，即可得出点所对应的复数． 【详解】（1）， （2）因为，所以， 即 所以 解得，，，，， （3）如图，由题意可知，为等边三角形． 又，其中为的辐角． 将绕原点按逆时针方向旋转可得， 则， 又，，∴， ， ∴， ∴所对应的复数为． 1. 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，为实数，可求出； （2）由先求出，再根据，得到，，进而可得. 【详解】（1）因为虚数不能比较大小，所以为实数， 又因为， 所以 解得 （2）当时，，． 所以， 所以， 所以，， 因为，所以． 一、单选题 1．复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 2．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 3．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】把代入欧拉公式即可。 【详解】. 故选：B 4．欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 5．设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 【答案】C 【分析】利用复数的三角运算求出，再由虚部为0求解判断. 【详解】依题意，， 由复数是实数，得，在中，， 由，得，因此，解得， 所以是直角三角形. 故选：C 6．在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. 7．复数的辐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简成复数的三角形式即可，注意复数的三角形式为． 【详解】因为=，故辅角为. 故选：D 8．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式直接得到答案. 【详解】复数的三角形式为，，对比选项知B满足. 故选：B 9．计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合复数三角形式的运算，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得 . 故选：A. 10．已知(a，b∈R，且ab≠0)，复平面内，把对应的向量绕原点分别按逆、顺时针方向旋转，得向量，，则，，所对应的复数之和等于（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】 利用复数的三角表示可得出向量，对应的复数，可得结果. 【详解】 易知向量，对应的复数分别为， ； 所以 ； 故选：D 11．设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解. 【详解】因为， 所以的辐角的主值为. 故选：D. 12．复数，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由复数的除法运算得，进一步由复数乘法的几何意义即可运算求解. 【详解】，又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转， ∴旋转后的向量对应的复数为. 故选：A. 13．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】， 由于， 所以， . 故选：A. 14．复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 15．复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式. 二、多选题 16．设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（    ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 【答案】ACD 【分析】由共轭复数的定义写出，应用复数加法、乘方运算判断A、B；在复数域内求的根判断C；应用复数的三角表示有，即可判断最小正整数n判断D. 【详解】由题设，，则，， 所以A正确，B错误； 由的根为，故z是该方程的一个根，C正确； 由，则，故最小正整数n为3时，，正确. 故选：ACD 17．已知为虚数单位，，则下列选项不是的三角形式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用复数三角形式的乘法运算求即可得答案. 【详解】由， 所以， 所以A、B、C不对，D对. 故选：ABC 18．已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（    ） A．z的虚部为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用复数的概念、模的计算公式、辐角的定义与乘方的计算方法，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以z的虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为一个复数的辐角有无数多个，故错误，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BD. 19．欧拉公式(其中i为虚数单位，)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项能确的是（    ） A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数 C．的共轭复数为； D．复数的模长等于 【答案】BCD 【分析】对于，，根据，，即可判断出；对于，根据欧拉公式逐项计算，然后判断正误即可． 【详解】解：对于，由于， ，， ，， 表示的复数在复平面中位于第二象限，故错误； 对于，，可得为纯虚数，故正确； 对于，，的共轭复数为，故正确． 对于，， 可得其模的长为 ，故正确； 故选：． 20．下列结论中错误的是（ ）． A．复数Z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 【答案】ACD 【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0的辐角性质判断各项的正误即可. 【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误； B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确； C：其中，故实数0能写成三角形式，错误； D：复数0的辐角主值不唯一，错误. 故选：ACD 三、填空题 21．计算： ． 【答案】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 22．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】结合复数定义，借助所给公式计算即可得. 【详解】， 故其虚部为. 故答案为：. 23．在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【详解】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为： 24．设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】设，，然后代入中化简可求出，再由结合为正整数可求得答案. 【详解】不妨设，， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得，解得， 因为，所以，或 ①当时，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， ②当，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， 综上可知. 故答案为：3 25．计算： ． 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【详解】 ． 故答案为：. 四、解答题 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 27．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由为纯虚数，可得，从而得，再根据模的公式求解即可； （2）化简得，再根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】（1）解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. （2）解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 28．在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.4复数的三角表示式—题型专练 题型一 复数的三角形式 复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 复数改写成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 已知的三角形式为，则的三角形式是（    ） A． B． C． D． 复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转所得点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 题型二 把复数表示成代数形式 1. 将复数化成代数形式，正确的是（    ） A．4 B．-4 C． D． 1. 将复数z＝化为代数形式为 ． 1. 将复数化为代数形式为 ， 1. 把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 1. 把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 题型三 复数的乘除运算 1. 已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 1. （    ） A． B． C． D． 1. （    ） A． B． C． D． 1. 计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 1. 计算： (1)； (2)； (3)． 1. 【计算： (1)； (2)； (3) (4) 题型四 复数乘除的几何意义 1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 1. 欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1. 将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 1. 复数z的辐角，则对应的点位于第 象限． 1. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . （用代数形式表示）． 1. 已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 1. 已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 1. 已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 题型五 复数三角表示的应用 1. 若（为虚数单位），则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1. 欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（    ） A．2 B．1 C． D． 1. 法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 1. 设复数，其中为虚数单位，若满足，则 . 1. 设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为 . 1. （1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 1. 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 一、单选题 1．复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 2．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 3．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（    ） A． B．0 C．1 D． 4．欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 6．在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 7．复数的辐角为（    ） A． B． C． D． 8．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 10．已知(a，b∈R，且ab≠0)，复平面内，把对应的向量绕原点分别按逆、顺时针方向旋转，得向量，，则，，所对应的复数之和等于（    ） A． B． C． D．0 11．设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 12．复数，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（    ） A． B． C．1 D． 13．（    ） A． B． C． D． 14．复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 15．复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（    ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 17．已知为虚数单位，，则下列选项不是的三角形式的有（    ） A． B． C． D． 18．已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（    ） A．z的虚部为 B． C． D． 19．欧拉公式(其中i为虚数单位，)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项能确的是（    ） A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数 C．的共轭复数为； D．复数的模长等于 20．下列结论中错误的是（ ）． A．复数Z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 三、填空题 21．计算： ． 22．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 23．在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 24．设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为 . 25．计算： ． 四、解答题 26．计算： (1)； (2)． 27．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 28．在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$