2026年中考数学一轮复习图形的性质 0.3 特殊三角形及其性质(中点问题)

图形的性质 0.3 特殊三角形及其性质(中点问题) 考点1: 等腰三角形的性质与判定 1. 等腰三角形 性质 ①两腰相等，两底角相等(等边对等角，等角对等边)； ②顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)； ③是轴对称图形，有1条对称轴 判定 ①两边相等的三角形是等腰三角形；②两角相等的三角形是等腰三角形 面积 公式 S＝ah(h是底边a上的高) · 若已知不相等的两边长，求等腰三角形的周长，需分两种情况讨论： 两边长各为腰长，并结合三角形三边关系验证三角形的存在性 2. 等边三角形 性质 ①具有等腰三角形的一切性质；②三边相等，三个角相等(均为60°)；③是轴对称图形，有3条对称轴 判定 ①三边相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 面积 公式 S＝ah＝ a2(a是边长，h是任意边上的高) 考点2: 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形 性质 ①两锐角之和等于90°； ②斜边上的中线等于斜边的一半； ③30°角所对的直角边等于斜边的一半； ④勾股定理：若直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有a2＋b2＝c2 判定 ①有一个角为直角(或90°)的三角形是直角三角形； ②勾股定理逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a，b，c为边的三角形是直角三角形 面积 公式 S＝ah＝ch(a，b为两条直角边的长，h为斜边c上的高) · 若已知不相等的两边长，求直角三角形的面积，需分两种情况讨论： 两边为直角边或较长一边为斜边，较短一边为直角边 2. 等腰直角三角形 性质 ①有直角三角形和等腰三角形的所有性质；②两直角边相等；③两锐角相等且都等于45° 判定 ①顶角为直角(或90°)的等腰三角形是等腰直角三角形； ②有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形； ③有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形； ④两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 面积 公式 S＝a2＝ch＝ah(a为直角边的长，h为斜边c上的高) · ①等腰直角三角形三边长的比为1∶1∶；②等腰直角三角形中斜边上的高是斜边的一半 练习1. 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为(　A　). A.1 B.2 C.3 D.4 2. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，DC＝1，则DE的长是(　A　). A. B. C. D. 3. 如图，已知正方体展开图中线段AB的长是10，则正方体的棱长在(　B　). A.1与2之间 B.2与3之间 C.3与4之间 D.4与5之间 4. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P．若BP＝BC，则tan∠CBG的值是(　A　). A.－1 B.2－ C. D. 5. 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 6 . 6. 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 60°或10° . 7. 如图，已知在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝45°，点D是边BC上的动点，过点D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB于点E，AC于点F，连接EF，则EF的最小值为 . 8. 三亚南山海上观音是世界上最高的观音像．某数学实践小组利用所学的数学知识测量观音像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音像顶端A的仰角为45°，然后沿斜坡CD行走40m到点D处．已知∠ACD＝105°(点A，B，C，D在同一平面内)． (1)过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝　30°　 ；DE＝　20　 m； (2)求CE的长度．解：(2)CE＝20 m 题型：遇到中点如何添加辅助线 1. 遇中点构造中位线： ①遇图形中出现两个中点时，考虑连接两个中点构造中位线. 已知：在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点. 结论：DE∥BC，DE＝BC，△ADE∽△ABC. ②遇图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. 已知：在△ABC中，D是AB的中点，BC＝a. 结论：DE＝BC，△ADE∽△ABC. ③遇图形中出现一个中点时，考虑过顶点作过中点线段的平行线构造中位线. 已知：在△ABC中，D是AB的中点，连接CD. 结论：CD＝AF，△BCD∽△BFA. 练习2. 1. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AB＝AD＝5，BD＝6，ED⊥BC，则EC的长为 . 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC边于点D，E在AC边上，AE＝AD，F为DE的中点.若BD＝2，则BF的长为 2 . 3. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E为BC边上一点，连接DE，且∠BCA＝2∠BED，BE＝AC，CE＝3，则AC的长为 9 . 2. 遇中点构造中线 ①遇等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题. 已知：D为等腰△ABC底边BC的中点. 结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC. ②遇直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 已知：D为Rt△ABC斜边AB的中点. 结论：CD＝AB. 练习3. 1. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，E，F分别为AC，BD的中点，连接EF，若EF＝3，则AC的长为 6 . 2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是中线，取BE的中点F，连接DF. 若∠DFB＝90°，BD＝5，CD＝6，则△ABC的面积为 44 . 3. 已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝　8cm　 ． 3. 遇中线构造倍长中线或倍长类中线 ①倍长中线： 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线. 结论：△ACD≌△EBD. ②倍长类中线： 已知：在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，连接DE. 结论：△BDE≌△CDF. 练习4. 1. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是(　B　). A．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，点E是边AB上的动点，连接CE交BD于点F. 若BE＝EF＝2，CE＝7，则AB的长为 5 . 3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为(　C　). A．2 B． C． D．3 3. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(　C　). A．18 B．9 C．9 D．6 4. 如图，P是线段AB所在直线上的一动点，点C，D在AB的两侧，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN．随着点P的运动，线段MN的长(　D　). A．随着点P的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为2 D．保持不变，长为 5. 如图，四边形ABCD为正方形，AB＝4，P是直线CD上一动点，连接AP，作DQ⊥AP，垂足为Q，则BQ的最小值为　2－2　 ，最大值为　2＋2　 ． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 图形的性质 0.3 特殊三角形及其性质(中点问题) 考点1: 等腰三角形的性质与判定 1. 等腰三角形 性质 ①两腰相等，两底角相等(等边对等角，等角对等边)； ②顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)； ③是轴对称图形，有1条对称轴 判定 ①两边相等的三角形是等腰三角形；②两角相等的三角形是等腰三角形 面积 公式 S＝ah(h是底边a上的高) · 若已知不相等的两边长，求等腰三角形的周长，需分两种情况讨论： 两边长各为腰长，并结合三角形三边关系验证三角形的存在性 2. 等边三角形 性质 ①具有等腰三角形的一切性质；②三边相等，三个角相等(均为60°)；③是轴对称图形，有3条对称轴 判定 ①三边相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 面积 公式 S＝ah＝ a2(a是边长，h是任意边上的高) 考点2: 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形 性质 ①两锐角之和等于90°； ②斜边上的中线等于斜边的一半； ③30°角所对的直角边等于斜边的一半； ④勾股定理：若直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有a2＋b2＝c2 判定 ①有一个角为直角(或90°)的三角形是直角三角形； ②勾股定理逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a，b，c为边的三角形是直角三角形 面积 公式 S＝ah＝ch(a，b为两条直角边的长，h为斜边c上的高) · 若已知不相等的两边长，求直角三角形的面积，需分两种情况讨论： 两边为直角边或较长一边为斜边，较短一边为直角边 2. 等腰直角三角形 性质 ①有直角三角形和等腰三角形的所有性质；②两直角边相等；③两锐角相等且都等于45° 判定 ①顶角为直角(或90°)的等腰三角形是等腰直角三角形； ②有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形； ③有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形； ④两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 面积 公式 S＝a2＝ch＝ah(a为直角边的长，h为斜边c上的高) · ①等腰直角三角形三边长的比为1∶1∶；②等腰直角三角形中斜边上的高是斜边的一半 练习1. 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为(　 　). A.1 B.2 C.3 D.4 2. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，DC＝1，则DE的长是(　 　). A. B. C. D. 3. 如图，已知正方体展开图中线段AB的长是10，则正方体的棱长在(　 　). A.1与2之间 B.2与3之间 C.3与4之间 D.4与5之间 4. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P．若BP＝BC，则tan∠CBG的值是(　 　). A.－1 B.2－ C. D. 5. 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 . 6. 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 . 7. 如图，已知在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝45°，点D是边BC上的动点，过点D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB于点E，AC于点F，连接EF，则EF的最小值为 . 8. 三亚南山海上观音是世界上最高的观音像．某数学实践小组利用所学的数学知识测量观音像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音像顶端A的仰角为45°，然后沿斜坡CD行走40m到点D处．已知∠ACD＝105°(点A，B，C，D在同一平面内)． (1)过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝ ；DE＝ m； (2)求CE的长度． 题型：遇到中点如何添加辅助线 1. 遇中点构造中位线： ①遇图形中出现两个中点时，考虑连接两个中点构造中位线. 已知：在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点. 结论：DE∥BC，DE＝BC，△ADE∽△ABC. ②遇图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. 已知：在△ABC中，D是AB的中点，BC＝a. 结论：DE＝BC，△ADE∽△ABC. ③遇图形中出现一个中点时，考虑过顶点作过中点线段的平行线构造中位线. 已知：在△ABC中，D是AB的中点，连接CD. 结论：CD＝AF，△BCD∽△BFA. 练习2. 1. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AB＝AD＝5，BD＝6，ED⊥BC，则EC的长为 . 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC边于点D，E在AC边上，AE＝AD，F为DE的中点.若BD＝2，则BF的长为 . 3. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E为BC边上一点，连接DE，且∠BCA＝2∠BED，BE＝AC，CE＝3，则AC的长为 . 2. 遇中点构造中线 ①遇等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题. 已知：D为等腰△ABC底边BC的中点. 结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC. ②遇直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 已知：D为Rt△ABC斜边AB的中点. 结论：CD＝AB. 练习3. 1. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，E，F分别为AC，BD的中点，连接EF，若EF＝3，则AC的长为 . 2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是中线，取BE的中点F，连接DF. 若∠DFB＝90°，BD＝5，CD＝6，则△ABC的面积为 3. 已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝ ． 3. 遇中线构造倍长中线或倍长类中线 ①倍长中线： 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线. 结论：△ACD≌△EBD. ②倍长类中线： 已知：在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，连接DE. 结论：△BDE≌△CDF. 练习4. 1. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是(　 　). A．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，点E是边AB上的动点，连接CE交BD于点F. 若BE＝EF＝2，CE＝7，则AB的长为 . 3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为(　 　). A．2 B． C． D．3 3. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(　 　). A．18 B．9 C．9 D．6 4. 如图，P是线段AB所在直线上的一动点，点C，D在AB的两侧，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN．随着点P的运动，线段MN的长(　 　). A．随着点P的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为2 D．保持不变，长为 5. 如图，四边形ABCD为正方形，AB＝4，P是直线CD上一动点，连接AP，作DQ⊥AP，垂足为Q，则BQ的最小值为 ，最大值为 ． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $