2026年中考数学三轮冲刺02：方程与不等式专项（全国通用）

**基本信息** 聚焦方程与不等式五大核心模块，以“问题情境-方法提炼-变式迁移”为主线，构建从基础求解到综合应用的递进式训练体系，培养数学思维的推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程类核心题型|5类（含参数问题等）|分模块提炼求解步骤（如分式方程验根“三步法”）、参数分类讨论策略|从一元一次方程到一元二次方程，遵循“定义-解法-应用”递进逻辑，突出实际问题等量关系提取| |不等式类核心题型|4类（含整数解等）|总结数轴表示技巧、特殊解筛选方法，强化不等关系关键词转化|以一元一次不等式为基础，拓展到含参数不等式组，衔接实际方案设计，体现“求解-检验-应用”链条| |综合类核心题型|2类（方程与函数/几何结合等）|整合方程求解与不等式限制，提炼跨模块等量/不等关系转化方法|融合代数与几何知识，通过情境化问题（如无人机表演）培养数学眼光的抽象能力与数学语言的表达能力|

中考数学三轮冲刺02：方程与不等式专项 中考全国考情分析 1、必考性与分值稳定： 方程与不等式是全国中考代数板块核心必考内容，100% 地区覆盖选择、填空、解答题三大题型，分值占比 18%-25%（27-42 分）。其中解答题以实际应用和综合题为主（10-14 分），基础题（选择 / 填空）占比 60%，中档题占 30%，压轴综合题占 10%，属于分值占比高、提分空间大的板块，但失分率集中在 “分式方程验根”“含参数问题”“实际应用等量关系提取”。 2、考点聚焦： 围绕 “一元一次方程（含应用）→二元一次方程组→分式方程（含验根）→一元二次方程（解法 + 判别式 + 根的性质）→一元一次不等式（组）（求解 + 应用）” 五大核心模块，其中 “实际应用”“含参数问题”“整数解求解”“分式方程验根” 为高频考点，也是失分重灾区。 3、最新命题趋势（2024-2026）： 从“单一求解”向“求解 + 条件限制”转变，如结合整数解、正整数解、实际意义检验； 强化“情境化”应用，聚焦销售利润、增长率、行程工程、方案设计等实际场景，强调等量 / 不等关系提取； 创新设问形式，含参数方程（组）、不等式（组）的字母取值范围、方程与不等式结合的综合题占比上升，一元二次方程根与系数关系（韦达定理）重现概率高。 4、地域差异： 一线城市（北京、上海、广州）侧重综合型考查（如方程与二次函数、几何图形结合），三四线城市以基础运算和简单应用为主，但均遵循“不超纲、重规范、联实际”的命题原则。 核心题型及具体解决方法 一、方程类核心题型 题型一、一元一次方程求解与应用 具体解决方法： 求解步骤：去分母（每一项乘最小公倍数，常数项不漏乘）→去括号（括号前是负号，各项变号）→移项（移项必变号）→合并同类项（化为 ax=b 形式）→系数化为 1（系数为负注意符号）； 应用步骤：审题找等量关系→设未知数（带单位）→列方程→求解→检验（符合实际意义）→写答句。 （2026·山东泰安·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了_____里．例题 题型二、二元一次方程组求解与应用 具体解决方法： 求解方法：代入消元法（选系数为 1 或 - 1 的未知数消元）、加减消元法（同一未知数系数相反或相等时优先）； 步骤：整理方程组为标准形式（ax+by=c）→选择消元方法→消去一个未知数，转化为一元一次方程→求解一元一次方程→代入求另一个未知数→检验（代入原方程组）； 应用：适用于含两个未知量的实际问题，找两个等量关系列方程组。 （2026·江苏宿迁·一模）若，满足方程组，则的值为______．例题 题型三、分式方程求解与应用（含验根） 具体解决方法： 求解步骤：去分母（两边乘最简公分母，转化为整式方程，常数项不漏乘）→解整式方程→验根（代入最简公分母，不为 0 则为原方程的根，为 0 则为增根，舍去）； 应用：注意验根同时需检验解是否符合实际意义； 易错提醒：切勿遗漏验根步骤，最简公分母不为 0 是前提。 （2026·江苏盐城·一模）解分式方程：．例题 题型四、一元二次方程求解与根的判别式应用 具体解决方法： 求解方法：直接开平方法（适用于 x²=a 或 (x+m)²=n 形式）、因式分解法（优先，适用于能分解的方程）、配方法、公式法（ax²+bx+c=0，； 判别式应用：Δ=b²-4ac，Δ>0→两个不相等实数根，Δ=0→两个相等实数根，Δ 实数根； 注意：二次项系数 a≠0，应用判别式时先确定 a、b、c 的值。 （2026·江苏无锡·二模）若，是一元二次方程的两根，则________．例题 题型五、含参数方程（组）的求解与字母取值范围 具体解决方法： 求解含参数一元一次方程：整理为 ax=b 形式，分 a≠0（唯一解 x=b/a）、a=0 且 b=0（无数解）、a=0 且 b≠0（无解）三种情况； 求解含参数二元一次方程组：用消元法转化为含参数的一元一次方程，再按上述情况讨论； 注意：挖掘隐含条件（如一元二次方程 a≠0、分式方程分母不为 0）。 （2026·江苏南通·一模）关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（   ）例题 A．1 B．0 C． D． 二、不等式类核心题型 题型一、一元一次不等式求解与数轴表示 具体解决方法： 求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1（注意：两边乘除负数时，不等号方向改变）； 数轴表示：定边界（不等号含等号→实心点，不含等号→空心点）→定方向（大于向右，小于向左）。 （2026·江苏南京·一模）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．例题 题型二、一元一次不等式组求解与特殊解（整数解、正整数解） 具体解决方法： 求解步骤：分别解每个不等式→在数轴上找出公共解集→根据要求筛选特殊解（整数解、正整数解等）； 公共解集确定：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解。 （2026·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出它的所有整数解的和．例题 题型三、不等式（组）的实际应用（方案设计） 具体解决方法： 步骤：审题找不等关系→设未知数→列不等式（组）→求解→检验（符合实际意义）→设计方案（特殊解对应方案）； 关键词对应：“至少”→≥、“至多”→≤、“不超过”→≤、“不少于”→≥。 （2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元．例题 (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 题型四、含参数不等式（组）的求解与字母取值范围 具体解决方法： 求解含参数不等式：按常规步骤求解，系数含参数时需讨论系数正负（影响不等号方向）； 求解含参数不等式组：先分别解不等式，再根据公共解集确定参数的取值范围（结合数轴分析）； 易错提醒：注意不等号方向与参数正负的关系，边界值是否包含（实心 / 空心）。 （2026·河南驻马店·二模）若不等式组的解集中的任意x都能使不等式成立，则a的取值范围是_______．例题 三、综合类核心题型 题型一、方程与不等式结合综合题 具体解决方法： 先解方程度数未知数的值或表达式； 将结果代入不等式（组），建立关于目标字母的不等式（组）； 求解不等式（组），结合隐含条件确定最终答案。 （2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元．例题 (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 题型二、方程、不等式与函数 / 几何综合题 具体解决方法： 从函数 / 几何图形中提取等量 / 不等关系； 列方程（组）或不等式（组）； 求解并检验，结合图形性质确定符合条件的解。 （2026·安徽合肥·二模）2026马年春晚的合肥分会场，22580架无人机腾空而起，列阵翻飞，碰撞出科技与人文的璀璨火花．例题 一个无人机表演的兴趣小组打算设计无人机表演的图案，他们通过调查了解到：无人机在升空表演时，为了确保安全，两架无人机之间的距离不能小于米；为了展现出图案的整齐和连贯，两架无人机之间的距离不能超过2米，否则会太松散而影响视觉效果．兴趣小组将不小于米且不超过2米的距离叫做“表演距离”．为方便分析，无人机大小忽略不计． 【线段图案】兴趣小组先研究最简单的图案“线段”．为了能让无人机群在空中展现出一条线段，需要让多架无人机按照一定的间距排列在一条直线上，如图（1），每个点都表示一架无人机，所有的点都位于同一条直线上，两端的无人机表示线段的两个端点． 若要在空中展现出一条长度为10米的线段，端点处各有一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求，那么最多需要多少架无人机？最少需要多少架无人机？兴趣小组的解决方法如下： 设需要n架无人机，可列出不等式组，解得，所以最多需要7架无人机，最少需要6架无人机． 【正方形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出正方形图案，正方形的四个顶点处各有一架无人机，每条边上都有多架无人机按照一定的间距排列，如图（2），每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． (1)若要在空中展现出一条边长为10米的正方形，那么最多需要_______架无人机，最少需要_______架无人机． 兴趣小组认为单独的正方形图案太单调，于是设计出如图（3）的图案．该图案由多个全等的正方形组成，并且相邻的两个正方形有一条公共边，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． (2)若正方形的边长为15米．当正方形的个数为4时，最少需要_______架无人机；当正方形的个数为m时（m为正整数），最少需要_______架无人机． 【等边三角形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出等边三角形组成的图案，如图（4），由三个全等的等边三角形组成，三个等边三角形有一个公共顶点，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． (3)若兴趣小组一共有124架无人机，他们用全部的124架无人机展现出图（4）中的图案，那么等边三角形每条边上有_______架无人机，整个图案的面积最大是_______平方米． 经典模拟题 1．（2026·广东深圳·模拟预测）若是方程的一个根，则的值______． 2．（2026·重庆·模拟预测）求不等式组的解集． 解：解不等式①，得________， 解不等式②，得________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为________． 3．（2026·宁夏银川·一模）购买甲、乙两种笔记本共用26元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，则购买两种笔记本（两种都要购买）的方案有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 4．（2026·陕西·模拟预测）已知关于、的二元一次方程的一组解为，则一次函数（为常数，且）的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2026·湖北宜昌·一模）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设井深尺，绳长尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北·二模）已知、是关于x的一元二次方程的两实根，且，求的值． 7．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知实数满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值为_____． 8．（2026·四川乐山·一模）关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·辽宁沈阳·一模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？则劣田比良田多________亩． 10．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 真题再现 1．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2．（2025·四川雅安·中考真题）计算和解不等式组 (1)； (2)，并把它的解集表示在数轴上． 3．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 5．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 6．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 7．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 8．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 9．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 10．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考数学三轮冲刺02：方程与不等式专项 中考全国考情分析 1、必考性与分值稳定： 方程与不等式是全国中考代数板块核心必考内容，100% 地区覆盖选择、填空、解答题三大题型，分值占比 18%-25%（27-42 分）。其中解答题以实际应用和综合题为主（10-14 分），基础题（选择 / 填空）占比 60%，中档题占 30%，压轴综合题占 10%，属于分值占比高、提分空间大的板块，但失分率集中在 “分式方程验根”“含参数问题”“实际应用等量关系提取”。 2、考点聚焦： 围绕 “一元一次方程（含应用）→二元一次方程组→分式方程（含验根）→一元二次方程（解法 + 判别式 + 根的性质）→一元一次不等式（组）（求解 + 应用）” 五大核心模块，其中 “实际应用”“含参数问题”“整数解求解”“分式方程验根” 为高频考点，也是失分重灾区。 3、最新命题趋势（2024-2026）： 从“单一求解”向“求解 + 条件限制”转变，如结合整数解、正整数解、实际意义检验； 强化“情境化”应用，聚焦销售利润、增长率、行程工程、方案设计等实际场景，强调等量 / 不等关系提取； 创新设问形式，含参数方程（组）、不等式（组）的字母取值范围、方程与不等式结合的综合题占比上升，一元二次方程根与系数关系（韦达定理）重现概率高。 4、地域差异： 一线城市（北京、上海、广州）侧重综合型考查（如方程与二次函数、几何图形结合），三四线城市以基础运算和简单应用为主，但均遵循“不超纲、重规范、联实际”的命题原则。 核心题型及具体解决方法 一、方程类核心题型 题型一、一元一次方程求解与应用 具体解决方法： 求解步骤：去分母（每一项乘最小公倍数，常数项不漏乘）→去括号（括号前是负号，各项变号）→移项（移项必变号）→合并同类项（化为 ax=b 形式）→系数化为 1（系数为负注意符号）； 应用步骤：审题找等量关系→设未知数（带单位）→列方程→求解→检验（符合实际意义）→写答句。 （2026·山东泰安·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了_____里．例题 【答案】192 【详解】解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，第四天走的路程为里，第三天走的路程为里，第二天走的路程为里，第一天走的路程为里， 依题意列方程得：， 合并同类项得：， 解得：． 则第一天走的路程为里． 题型二、二元一次方程组求解与应用 具体解决方法： 求解方法：代入消元法（选系数为 1 或 - 1 的未知数消元）、加减消元法（同一未知数系数相反或相等时优先）； 步骤：整理方程组为标准形式（ax+by=c）→选择消元方法→消去一个未知数，转化为一元一次方程→求解一元一次方程→代入求另一个未知数→检验（代入原方程组）； 应用：适用于含两个未知量的实际问题，找两个等量关系列方程组。 （2026·江苏宿迁·一模）若，满足方程组，则的值为______．例题 【答案】 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， 即的值为． 题型三、分式方程求解与应用（含验根） 具体解决方法： 求解步骤：去分母（两边乘最简公分母，转化为整式方程，常数项不漏乘）→解整式方程→验根（代入最简公分母，不为 0 则为原方程的根，为 0 则为增根，舍去）； 应用：注意验根同时需检验解是否符合实际意义； 易错提醒：切勿遗漏验根步骤，最简公分母不为 0 是前提。 （2026·江苏盐城·一模）解分式方程：．例题 【答案】原方程无解 【详解】解：两边同时乘以得：， 解得：， 检验：将代入， 是方程的增根，原方程无解． 题型四、一元二次方程求解与根的判别式应用 具体解决方法： 求解方法：直接开平方法（适用于 x²=a 或 (x+m)²=n 形式）、因式分解法（优先，适用于能分解的方程）、配方法、公式法（ax²+bx+c=0，； 判别式应用：Δ=b²-4ac，Δ>0→两个不相等实数根，Δ=0→两个相等实数根，Δ 实数根； 注意：二次项系数 a≠0，应用判别式时先确定 a、b、c 的值。 （2026·江苏无锡·二模）若，是一元二次方程的两根，则________．例题 【答案】 【详解】，是一元二次方程的两根， ． 题型五、含参数方程（组）的求解与字母取值范围 具体解决方法： 求解含参数一元一次方程：整理为 ax=b 形式，分 a≠0（唯一解 x=b/a）、a=0 且 b=0（无数解）、a=0 且 b≠0（无解）三种情况； 求解含参数二元一次方程组：用消元法转化为含参数的一元一次方程，再按上述情况讨论； 注意：挖掘隐含条件（如一元二次方程 a≠0、分式方程分母不为 0）。 （2026·江苏南通·一模）关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（   ）例题 A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程，方程无实数根时判别式． ∵原方程为 ∴，， 代入得 ∵方程没有实数根 ∴ 解不等式得 又∵k为整数 ∴k的最大值为 二、不等式类核心题型 题型一、一元一次不等式求解与数轴表示 具体解决方法： 求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1（注意：两边乘除负数时，不等号方向改变）； 数轴表示：定边界（不等号含等号→实心点，不含等号→空心点）→定方向（大于向右，小于向左）。 （2026·江苏南京·一模）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．例题 【答案】，画图见解析 【详解】解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 原不等式组的解集为． 数轴上表示如下 ． 题型二、一元一次不等式组求解与特殊解（整数解、正整数解） 具体解决方法： 求解步骤：分别解每个不等式→在数轴上找出公共解集→根据要求筛选特殊解（整数解、正整数解等）； 公共解集确定：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解。 （2026·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出它的所有整数解的和．例题 【答案】，不等式组整数解的和为0 【详解】解：， 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解是：，， ∴不等式组整数解的和为． 题型三、不等式（组）的实际应用（方案设计） 具体解决方法： 步骤：审题找不等关系→设未知数→列不等式（组）→求解→检验（符合实际意义）→设计方案（特殊解对应方案）； 关键词对应：“至少”→≥、“至多”→≤、“不超过”→≤、“不少于”→≥。 （2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元．例题 (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元 (2)有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱 【详解】（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 根据题意得：． 解得：． 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元． （2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台， 根据题意得：， 解得：． ∵m为整数， ∴，8，9，10， ∴共4种购进方案； 总费用， ∵，故W随m增大而减小， ∴当时，W最小，此时， 最小费用（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱． 题型四、含参数不等式（组）的求解与字母取值范围 具体解决方法： 求解含参数不等式：按常规步骤求解，系数含参数时需讨论系数正负（影响不等号方向）； 求解含参数不等式组：先分别解不等式，再根据公共解集确定参数的取值范围（结合数轴分析）； 易错提醒：注意不等号方向与参数正负的关系，边界值是否包含（实心 / 空心）。 （2026·河南驻马店·二模）若不等式组的解集中的任意x都能使不等式成立，则a的取值范围是_______．例题 【答案】 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∵， ∴不等式组的解集为， 解得， ， ∵解集中的任意x都能使不等式成立， ∴， 解得． 三、综合类核心题型 题型一、方程与不等式结合综合题 具体解决方法： 先解方程度数未知数的值或表达式； 将结果代入不等式（组），建立关于目标字母的不等式（组）； 求解不等式（组），结合隐含条件确定最终答案。 （2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元．例题 (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； (2)；生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【详解】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； （2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个， 根据题意，得， ∴， 即与的函数关系式为； 根据题意，得， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最大，为， 此时铜鼓摆件：个， 即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 题型二、方程、不等式与函数 / 几何综合题 具体解决方法： 从函数 / 几何图形中提取等量 / 不等关系； 列方程（组）或不等式（组）； 求解并检验，结合图形性质确定符合条件的解。 （2026·安徽合肥·二模）2026马年春晚的合肥分会场，22580架无人机腾空而起，列阵翻飞，碰撞出科技与人文的璀璨火花．例题 一个无人机表演的兴趣小组打算设计无人机表演的图案，他们通过调查了解到：无人机在升空表演时，为了确保安全，两架无人机之间的距离不能小于米；为了展现出图案的整齐和连贯，两架无人机之间的距离不能超过2米，否则会太松散而影响视觉效果．兴趣小组将不小于米且不超过2米的距离叫做“表演距离”．为方便分析，无人机大小忽略不计． 【线段图案】兴趣小组先研究最简单的图案“线段”．为了能让无人机群在空中展现出一条线段，需要让多架无人机按照一定的间距排列在一条直线上，如图（1），每个点都表示一架无人机，所有的点都位于同一条直线上，两端的无人机表示线段的两个端点． 若要在空中展现出一条长度为10米的线段，端点处各有一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求，那么最多需要多少架无人机？最少需要多少架无人机？兴趣小组的解决方法如下： 设需要n架无人机，可列出不等式组，解得，所以最多需要7架无人机，最少需要6架无人机． 【正方形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出正方形图案，正方形的四个顶点处各有一架无人机，每条边上都有多架无人机按照一定的间距排列，如图（2），每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． (1)若要在空中展现出一条边长为10米的正方形，那么最多需要_______架无人机，最少需要_______架无人机． 兴趣小组认为单独的正方形图案太单调，于是设计出如图（3）的图案．该图案由多个全等的正方形组成，并且相邻的两个正方形有一条公共边，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． (2)若正方形的边长为15米．当正方形的个数为4时，最少需要_______架无人机；当正方形的个数为m时（m为正整数），最少需要_______架无人机． 【等边三角形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出等边三角形组成的图案，如图（4），由三个全等的等边三角形组成，三个等边三角形有一个公共顶点，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． (3)若兴趣小组一共有124架无人机，他们用全部的124架无人机展现出图（4）中的图案，那么等边三角形每条边上有_______架无人机，整个图案的面积最大是_______平方米． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：设需要n架无人机，依题意，可列出不等式组， 解得， 又∵是的倍数， 所以最多需要架无人机，最少需要架无人机． （2）解： 1个正方形的顶点数为，边数为， 个正方形的顶点数为，边数为， 个正方形的定点数为，边数为， …… 个正方形的顶点数为，边数为， 设无人机的间隔个数为，无人机的数量为，则正方形的每条边上有架无人机，每边内部（除顶点外）的无人机数为， ∴ ∵正方形的边长为15米 ∴，且为正整数， ∴,则 ∵要求最少无人机数，则取最小值 ∴ 当时，； （3）解：如图，设三个等边三角形的公共顶点为， 设每条边上有架无人机（即图中的点的数），图中共有个顶点，则每条边内部有 个非顶点，三个等边三角形的边长相等，共有条边， ∴总无人机数为： 当时， 解得：， ∴等边三角形每条边上有架无人机 设等边三角形的边长为， 如图，过点作于点， 是等边三角形，， ， 在中， ， ； ∵每条边上有架无人机，则有个间隔，间距为 ∵满足“表演距离”的要求，则最大间隔为米 ∴ 解得： ∴的最大值为 ∴三个等边三角形的面积的最值为（平方米） 经典模拟题 1．（2026·广东深圳·模拟预测）若是方程的一个根，则的值______． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即 ∴ 2．（2026·重庆·模拟预测）求不等式组的解集． 解：解不等式①，得________， 解不等式②，得________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为________． 【答案】，，见解析， 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为． 3．（2026·宁夏银川·一模）购买甲、乙两种笔记本共用26元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，则购买两种笔记本（两种都要购买）的方案有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【详解】解：设购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，其中均为正整数， 根据题意得 ， 整理得 ， ∴ ， ∵为正整数， ∴ ，解得 ， 又∵是奇数，是偶数， ∴为奇数，即为奇数， ∴的可能取值为， 当时， ，符合要求； 当时， ，符合要求； ∴符合条件的方案共种． 4．（2026·陕西·模拟预测）已知关于、的二元一次方程的一组解为，则一次函数（为常数，且）的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵是二元一次方程 的一组解 ∴将代入方程得 解得 ∴一次函数解析式为 ∵， ∴一次函数的图象经过第一、第二、第四象限 ∴图象不经过第三象限 5．（2026·湖北宜昌·一模）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设井深尺，绳长尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设井深尺，绳长尺． 由题意得，． 6．（2026·河北·二模）已知、是关于x的一元二次方程的两实根，且，求的值． 【答案】2 【详解】解 ∵是一元二次方程的两实根， ∴判别式， 解得； 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ∵， ∴ 将，，代入得 解得，， ∵， ∴舍去，得， ∴． 7．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知实数满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值为_____． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 解得：或， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或， ∴， ∴． 8．（2026·四川乐山·一模）关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，方程为有两个不同的实数根，不符合题意； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的正实数根， ∴ 解得：； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的负实数根， ∴ 解得：； 的取值范围是． 9．（2026·辽宁沈阳·一模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？则劣田比良田多________亩． 【答案】 【详解】设良田有亩，劣田亩， ，解得， ， 故劣田比良田多亩． 10．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 (2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； （2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 真题再现 1．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 2．（2025·四川雅安·中考真题）计算和解不等式组 (1)； (2)，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)2025 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：原式． （2）解不等式得，； 解不等式，得． 所以不等式组的解集是． 在数轴上表示不等式组的解集为： 3．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 【答案】5 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 5．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 6．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 7．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 8．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 9．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 10．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $