精品解析：江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷

江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则整数x的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【详解】根据组合数性质：若，则或. 已知，分两种情况： ①，解得； ②，即，解得. 且组合数上标均满足，，均成立. 2. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，，且， 所以 3. 已知函数，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，解方程求出，最后求的值. 【详解】， ， 所以， ， . 4. 已知函数在区间上是单调递增函数，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数在区间上是单调递增函数，求的导数，再由在区间内单调递增可得求解即可. 【详解】因为函数在区间上是单调递增函数，且， 所以，即在区间上恒成立， 当时，，所以，即实数a的最小值为. 5. 学校各选派了2位男、女教师参加某项活动，且4位教师被分到3个不同的小组，其中两位女教师不能分派到同一个小组，则不同的分配方案有（ ） A. 66种 B. 60种 C. 30种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【详解】若2位男老师在同一个组，则4位教师被分到3个不同的小组有种不同的分配方案； 若2位男老师不在同一个组，则其中一个组只有1位男老师，另1位男老师与其中1位女老师一组， 此时4位教师被分到3个不同的小组有种不同的分配方案； 综上：不同的分配方案有30种. 6. 设n为正奇数，则被6整除的余数为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先将给出的代数式求和得，再将用二项式定理展开，求出余数. 【详解】 这项中，前项均为6的倍数， 因为为正奇数，所以第项，除以6余5， 所以被6整除的余数为5. 7. 定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先通过构造函数，根据已知条件判断其单调性，再结合得到的值，最后将不等式转化为关于的不等式，利用单调性求解. 【详解】对任意，， 设，求导得：，即为增函数， ，故， 可化为，即， 因为增函数，所以，解得， 则不等式的解集为. 8. 已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数后对函数求导，通过分析导数的符号确定函数的单调性，找到函数的最大值，即可求解的范围. 【详解】将原不等式移项整理得：， 构造函数，对求导得：，令，得唯一临界点， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 原不等式对任意恒成立等价于：对任意，都有， 因为任意，都有，，而在上单调递增， 因此等价于： 变形得对任意恒成立，只需， 令，求导得，令得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 因此的最大值为，故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求函数的导数正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：因为是一个常数，所以； 选项B：对数函数的导数公式为， 代入，可得； 选项C：； 选项D：. 10. 若，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据多项式次数分析求解即可；对于BC：利用赋值法，分别令运算求解即可；对于D：求导，令运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为的次数为1，的次数为，则的次数为， 又因为，则的次数为7， 可得，即，故A正确； 对于选项BC：因为， 令，可得； 令，可得， 所以，故B错误； 令，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 求导可得， 令，可得，故D正确. 11. 在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线与直线共面 B. 直线 C. 点到平面的距离为 D. 直线与直线所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线线平行可判断A选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量可逐个分析B，C，D选项. 【详解】连接，，，因为P，Q分别为棱，的中点，所以， 因为，所以，所以四点共面，所以直线与直线共面，所以A正确； 以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知棱长为，所以，，，， 所以，，所以,所以，所以B正确； 点，，，所以,， 设平面的法向量为， 所以，即，取， 所以平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离，所以C错误； ，，设直线与直线所成角为， 所以，所以，所以D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 函数的单调递减区间为_________ . 【答案】 【解析】 【详解】分析：首先对函数求导，由导数小于零求出自变量在定义域内的取值范围，即可求得函数的单调递减区间. 详解：， 令，求得，所以可知函数的递减区间是. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的单调性，要明确导数小于零时，函数单调递减，还有必须要明确定义域优先原则，这里对不等式的解法也要熟练掌握. 13. 的展开式中的系数是________. 【答案】 【解析】 【分析】写出的展开式的通项，然后对分类求得答案． 【详解】的展开式通项. 展开式中的项由两部分相加而成： 一部分为与展开式中的项（此时）的乘积，即； 另一部分为与展开式中的项（此时）的乘积，即. 总系数为. 14. 已知函数，若，都有，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】以，和分段求解，分离参数后构造函数，用导数求出函数最值求解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，恒成立，即，随着的增大而减小，当时，，； 当时，恒成立，即， 令，，令，即，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，， 综上，，即实数a的取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第三项的系数为7. （1）求n； （2）求展开式中的有理项. 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得第三项为，结合系数运算求解即可； （2）根据二项式定理可得，令，运算求解即可. 【小问1详解】 因为的展开式中第三项为， 则，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 因为的展开式通项为， 令，解得， 若，可得； 若，可得； 若，可得； 所以展开式中的有理项为，，. 16. 已知函数（其中）在处取得极小值. （1）求，的值； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点的导数为可得，再根据的值得到；（2）求导分析出的单调区间及极值点，并通过解方程得到等于极大值的另一个值，结合图像分析出的范围，从而得到的最大值. 【小问1详解】 对求导得，依题意有且， 即有，得. 【小问2详解】 由（1）有，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值， 当时，在上的最大值为， 当时，在上的最大值为， 当时，在上的最大值为或， 令即，因式分解得 ， 即，由图像可知，当时，在上的最大值为， 当时，在上的最大值为， 综上所述，，所以的最大值为. 17. 某种圆柱形饮料罐的容积固定为125π mL，底面半径为r cm，上、下底面用料成本均为0.4分，侧面用料成本为0.1分，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利1分. （1）请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润分； （2）当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润. 注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利-饮料罐用料总成本. 【答案】（1） （2）底面半径时，每罐饮料的实际利润最大，且最大利润为分. 【解析】 【分析】（1）由圆柱形饮料罐的容积固定为，且，求解，再分别求解上下底面成本，侧面成本，以及每罐饮料的成本，再由总获利减去总成本求解即可. （2）令，求导，求解的最大值，再由求解即可. 【小问1详解】 因为圆柱形饮料罐的容积固定为， 所以，则， 则每罐饮料的获利为容积乘以每毫升利润分， 上下底面面积总共为，因为上、下底面用料成本均为0.4分，所以上下底面成本为分， 侧面面积为，成本0.1分，则侧面成本为分， 因此，总成本， 利润，则. 【小问2详解】 令，则， 令，解得，即， ，可得，因为，所以时，单调递增，时，单调递减， 故是极大值点，则代入，可得 ， 所以分，即当饮料罐的底面半径时，每罐饮料的实际利润最大，最大实际利润为分. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是的中点，，，，. （1）求证：； （2）求证：平面，并求直线和平面的距离； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，且，平面， 则，， 故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 因为为的中点，则， 所以， 则 ，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据得证； （2）求出平面的一个法向量，根据可得平面，再求点到平面的距离即可； （3）利用两平面夹角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，根据，即， 可得，所以， 又，则， 设为，则，即， 令，则，，故， 因为，又平面， 所以平面， 且，则点到平面的距离为， 所以直线和平面的距离为； 【小问3详解】 由， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，故， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 时, 在上单调递减； 时, 在上单调递减, 在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即可写出切线方程； （2）先对函数求导并分解因式，再对参数分类讨论导函数的符号，以此确定原函数的单调性； （3）基于（2）的单调性结论，结合函数的极值、图像趋势与特殊值，对参数分类讨论，从而得到满足条件的取值范围． 【小问1详解】 当 时，函数为： ， 求导： ， 计算 处的函数值与导数值： ， ， 切线方程为： ，即． 【小问2详解】 先求导: ， 令 , 则 ， 因为 , 故 的符号由 决定， 当 时, , 故 对所有成立, 在上单调递减， 当 时, 令 , 得 , 即 ， 当 时, , , 单调递减； 当 时, , , 单调递增． 综上： 时, 在上单调递减； 时, 在上单调递减, 在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）的单调性结论： 时， 在 上单调递减，最多只有一个零点，不符合题意； 时， 在 处取得最小值： ， 令 ，求导： ， 故 在上单调递增，且， 当 时，，此时 在 处的最小值小于0； 又当 时，；当 时，，故 有两个零点， 当 时，，此时仅有一个零点； 当 时，，此时无零点． 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则整数x的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或3 2. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. 0 D. 4. 已知函数在区间上是单调递增函数，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 学校各选派了2位男、女教师参加某项活动，且4位教师被分到3个不同的小组，其中两位女教师不能分派到同一个小组，则不同的分配方案有（ ） A. 66种 B. 60种 C. 30种 D. 24种 6. 设n为正奇数，则被6整除的余数为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 5 7. 定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求函数的导数正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 若，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线与直线共面 B. 直线 C. 点到平面的距离为 D. 直线与直线所成角的正弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 函数的单调递减区间为_________ . 13. 的展开式中的系数是________. 14. 已知函数，若，都有，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第三项的系数为7. （1）求n； （2）求展开式中的有理项. 16. 已知函数（其中）在处取得极小值. （1）求，的值； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的最大值. 17. 某种圆柱形饮料罐的容积固定为125π mL，底面半径为r cm，上、下底面用料成本均为0.4分，侧面用料成本为0.1分，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利1分. （1）请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润分； （2）当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润. 注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利-饮料罐用料总成本. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是的中点，，，，. （1）求证：； （2）求证：平面，并求直线和平面的距离； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $