第6节 双曲线 课件-2027届高三数学一轮复习

第6节　双曲线 课标要求 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 目录/ CONTENTS 考点一 双曲线的定义 01 考点二 双曲线的标准方程 02 考点三 双曲线的几何性质 03 提能点 与双曲线有关的最值（范围）问题 04 课时跟踪训练 05 01 PART 考点一 双曲线的定义 目 录 1. 定义：一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非 零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ⁠. 2. 数学表达式：集合P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，0＜2a ＜｜F1F2｜，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为常数，且c＞a＞0}. 焦点　 焦距　 提醒：若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则 轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 结论：焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦 点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为 . 高中总复习·数学 目 录 （1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上 任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相 交于点P，则点P的轨迹方程是（　B　） A. x2＋ ＝1 B. x2－ ＝1 C. ＋y2＝1 D. －y2＝1 B 高中总复习·数学 目 录 解析：如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1，则 ｜ON｜＝ ｜F2M｜＝1，所以｜F2M｜＝2.结合PN为 线段MF1的垂直平分线，可得｜PF1｜＝｜PM｜＝｜PF2｜ －｜F2M｜＝｜PF2｜－2，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2＜ ｜F1F2｜＝4.同理，当点P在y轴右侧时，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＜｜F1F2｜＝4.故点P的轨迹是双曲线，其方程为x2－ ＝1.故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦 点分别为F1，F2，离心率为 .P是C上一点，且F1P⊥F2P. 若△PF1F2 的面积为4，则a＝ ⁠. 解析：法一　设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则 ＝ mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，从而c2＝a2＋4，又e＝ ＝ ，从而a＝1. 法二　由结论可得 ＝ ＝4，得b2＝4，又e＝ ＝ ，且c2 ＝a2＋b2，所以a＝1. 1 高中总复习·数学 目 录 规律方法 双曲线定义的应用 （1）利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据 要求可求出曲线方程； （2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合｜｜ PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立关于｜PF1｜·｜PF2｜ 的方程. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2026·甘肃兰州模拟）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆 C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心 M的轨迹方程为（　C　） C A. x2－ ＝1（x≥1） B. x2－ ＝1 C. x2－ ＝1（x≤－1） D. －x2＝1 解析：设动圆M的半径为r，则｜MC1｜＝r＋1，｜MC2｜＝r＋3，则｜ MC2｜－｜MC1｜＝2＜｜C1C2｜＝6，根据双曲线的定义知，动圆的圆心 M的轨迹为双曲线x2－ ＝1的左半支.故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）过双曲线x2－ ＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q 两点，若｜PQ｜＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长 是 ⁠. 解析：由双曲线定义知：｜PF2｜－｜PF1｜＝｜QF2｜－｜QF1｜＝2a＝ 2，所以｜PF2｜＝2＋｜PF1｜，｜QF2｜＝2＋｜QF1｜，而｜PQ｜＝｜ PF1｜＋｜QF1｜＝10，故｜PF2｜＋｜QF2｜＝14，故△PF2Q的周长 为｜PQ｜＋｜PF2｜＋｜QF2｜＝24. 24 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 双曲线的标准方程 目 录 标准 方程 － ＝1（a＞0，b＞0）中心在原点，焦点在x轴上 － ＝1（a＞0，b＞0）中心在原点，焦点在y轴上 图形 提醒：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ . 高中总复习·数学 目 录 （1）已知F1，F2分别为双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右 焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为 2 ，则双曲线的标准方程为（　D　） A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. x2－ ＝1 D 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意可知｜PF1｜＝ ，｜PF2｜＝ ，2b＝2 ，由双曲 线的定义可得 － ＝2a，即c＝ a.又b＝ ，c2＝a2＋b2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x2－ ＝1.故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的 方程分别为2x＋y＝0和2x－y＝0，则双曲线C的标准方程为（　B　） A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1或 － ＝1 D. － ＝1 B 解析：设双曲线方程为4x2－y2＝λ（λ≠0），又其过点P（1，1），所以λ ＝4×12－12＝3，所以方程为4x2－y2＝3，即 － ＝1.故选B. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或 2c，从而求出a2，b2； （2）待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将 双曲线方程设为 － ＝λ（λ≠0）或mx2＋ny2＝1（mn＜0），再根据 条件求解. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）（2024·天津高考8题）已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0） 的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率 为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（　C　） A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1 C 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝ ＝2，根据双曲线定义｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，得｜ PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a， ＝ ｜PF1｜｜PF2｜＝ ×4a×2a ＝4a2，又 ＝8，所以a2＝2，所以｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜ 2＝（4a）2＋（2a）2＝20a2＝40.又｜F1F2｜2＝4c2，所以c2＝10，又a2 ＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为 － ＝1，故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）经过点P（3，2 ），Q（－6 ，7）的双曲线的标准方程为 　 ⁠. － ＝1 解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，7），所以 解得 故所求双曲线方程为 － ＝1. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 双曲线的几何性质 目 录 标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0） 性质 图形 焦点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ F1（－c，0），F2（c， 0） F1（0，－c），F2（0， c） 高中总复习·数学 目 录 标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0） 性 质 焦距 ｜F1F2｜＝ ⁠ 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心： ⁠ 顶点 A1（－a，0），A2（a， 0） A1（0，－a），A2（0， a） 2c 原点　 高中总复习·数学 目 录 标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0） 性 质 轴 实轴：线段 ，长： ；虚轴：线 段 ，长： ；实半轴长： ，虚半轴 长： ⁠ 离心率 e＝ ∈ ⁠ 渐近线 y＝ ⁠ y＝ ⁠ A1A2　 2a　 B1B2　 2b　 a　 b　 （1，＋∞）　 ± x　 ± x　 高中总复习·数学 目 录 结论：（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b； （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点， 则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a； （3） － ＝1（a＞0，b＞0）与 － ＝1（a＞0，b＞0）互为共轭 双曲线，它们有相同的渐近线、相等的焦距. 高中总复习·数学 目 录 角度1　渐近线 （1）（2026·河北邯郸质检）若双曲线x2－m2y2＝λ（λ≠0）的两条 渐近线互相垂直，则m＝（　B　） A. －1 B. ±1 C. 2 D. ±2 B 高中总复习·数学 目 录 解析：当λ＞0时，双曲线焦点在x轴上，a2＝λ，b2＝ ，故 ＝ ，渐 近线方程为y＝± x，当λ＜0时，双曲线焦点在y轴上，b2＝－λ，a2＝ － ，故 ＝ ，渐近线方程为y＝± x，所以其渐近线方程为y＝ ± x，又因为双曲线x2－m2y2＝λ（λ≠0）的两条渐近线互相垂直，所以 － × ＝－1，解得m＝±1，故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·河北石家庄模拟）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞ 0）的实半轴长为 ，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双 曲线C的渐近线方程为（　B　） A. y＝± x B. y＝± x C. y＝± x D. y＝± x B 高中总复习·数学 目 录 解析：设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的上焦点为（0，c），双 曲线的渐近线方程为by±ax＝0，由点到直线的距离公式可得 ＝ ＝b＝3，又双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的实半轴长 为 ，所以a＝ ，所以双曲线C的渐近线方程为3y± x＝0，即y＝ ± x.故选B. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求双曲线渐近线方程的方法 （1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程； （2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程； （3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线 方程. 高中总复习·数学 目 录 角度2　离心率 （1）（2025·全国Ⅰ卷3题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的 倍，则C的离心率为（　D　） A. B. 2 C. D. 2 解析：依题意得b＝ a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋（ a）2＝ 8a2，即c＝2 a，故e＝2 .故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）已知双曲线C的一个焦点到其渐近线的距离与焦距之比为1∶4，则C 的离心率为（　C　） A. 2 B. 4 C. D. 解析：设双曲线的焦距为2c，由结论可知2b＝c，4（c2－a2）＝c2，故e ＝ ，故选C. C 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求双曲线离心率或其取值范围的方法 （1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； （2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝c2－a2消 去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）（2026·湖北宜昌模拟）已知双曲线 － ＝1的离心率e＝2， 则双曲线的渐近线方程为（　D　） D A. y＝± x B. y＝± x C. y＝± x D. y＝± x 解析：∵e＝ ＝2，则c＝2a，∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴双曲线渐近线方程为y＝± x＝± x.故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·江西吉安模拟）已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的 实轴长等于8，等腰梯形B1BCC1的四个顶点均在双曲线上，边B1B，C1C 都与x轴平行，其中B1B在x轴下方，且｜B1B｜＝2 ，｜C1C｜＝ 10，等腰梯形的高等于3，则双曲线的 离心率为（　A　） A A. B. C. D. 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意得， ＝2 ， ＝10，等腰梯形的高等于3，设C （5，t），t＜3，则B（ ，t－3），实轴长等于8，则a＝4，代入可 得 可得b2＝ t2，代入得（3－t）2＝ t2，化简得8t2 －54t＋81＝0，解得t＝ （舍去）或t＝ ，代入得b＝3，双曲线中c＝ ＝ ＝5，则离心率为 ，故选A. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 提能点 与双曲线有关的最值（范围）问题 目 录 教材母题：〔人A选一P128习题12题〕设椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）与 双曲线 － ＝1的离心率分别为e1，e2，双曲线的渐近线的斜率小于 ，求e1和e2的取值范围. 细研教材：由题意在双曲线中列出关于a，b的不等式，再结合a，b，c 的关系求出e2的范围；在双曲线中求出a，b的关系后，在椭圆中由a，b 及c的关系列出不等式求e1的范围. 高中总复习·数学 目 录 变式1 （2026·广东揭阳模拟）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞ 0）的离心率为 ，双曲线上的点到焦点的最小距离为 －3，则双曲 线上的点到点A（5，0）的最小距离为（　　） A. 1 B. C. 2 D. √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　由已知可得 ＝ ，c－a＝ －3，可得c＝ ，a＝3， b2＝c2－a2＝1，所以双曲线的方程为 －y2＝1，设P（x，y）是双曲线 －y2＝1上的点，则y2＝ －1，且x≤－3或x≥3，则｜AP｜＝ ＝ ＝ ＝ ，所以当x＝ 时，｜AP｜min＝ ＝ .故选B. 高中总复习·数学 目 录 变式2 （2026·河北石家庄模拟）已知F是双曲线 － ＝1的左焦点，A （1，4），P是双曲线右支上的动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值 为 ⁠. 9 解析：设右焦点为F'，则F'（4，0），则｜AF'｜＝ ＝5，依题意有｜PF｜＝ ｜PF'｜＋4，∴｜PF｜＋｜PA｜＝｜PF'｜＋｜PA｜ ＋4≥｜AF'｜＋4＝5＋4＝9（当P为线段AF'与双曲线 的交点时，取等号），故｜PF｜＋｜PA｜的最小值为9. 高中总复习·数学 目 录 变式3 （2026·安徽六安质检）已知双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞ 0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若｜PF1｜＋｜PF2｜≥4a －4b，试求E的离心率的取值范围. 解：由题意，不妨设点P在E的右支上， 由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a， 即｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a， 由｜PF1｜＋｜PF2｜≥4a－4b，可得2｜PF2｜＋2a≥4a－4b，即｜ PF2｜≥a－2b， 又由｜PF2｜的最小值为c－a（当点P为双曲线右顶点时取得最小值）， 高中总复习·数学 目 录 可得c－a≥a－2b，即2a－c≤2b. 当2a－c≤0，即 ≥2时，显然成立； 当2a－c＞0，即1＜ ＜2时，（2a－c）2≤4b2＝4c2－4a2，可得 ≤ ＜2. 综上可知，双曲线E的离心率的取值范围为 . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 与双曲线有关的最值（范围）问题的解题方法 （1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线 的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结 合求解； （2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的 函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函 数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求 量为元的不等式求解. 高中总复习·数学 目 录 圆锥曲线第三定义 教材母题：（1）〔人A选一P108例3〕如图，设A，B两点的坐标分别为 （－5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积 是－ ，求点M的轨迹方程. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔人A选一P121探究〕如图，点A，B的坐标分别是（－5，0）， （5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是 ，试求点M 的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：平面内与两定点A1（－a，0），A2（a，0）连线的斜率的乘 积等于常数e2－1的点的轨迹为椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆或双曲 线的两个顶点.当e2－1＞0时，轨迹为双曲线，当e2－1∈（－1，0）时，轨 迹为椭圆. 高中总复习·数学 目 录 〔一题多解〕已知过原点O的直线MN与双曲线C： － ＝1交于 M，N两点，P是双曲线C上异于M，N的点，若直线PM，PN的斜率之 积kPM·kPN＝ ，则双曲线C的离心率e为（　　） A. B. C. D. 2 √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　法一　设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（－x1，－y1）. 由kPM·kPN＝ ，可得 · ＝ ，即 ＝ .又因为P（x0， y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以 － ＝1， － ＝1，作差可 得 ＝ ，所以 ＝ ，所以双曲线C的离心率为e＝ ＝ ＝ . 法二　由双曲线第三定义得kPM·kPN＝e2－1＝ ，又e＞1，故e＝ . 高中总复习·数学 目 录 变式 〔一题多解〕椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点 P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C 的离心率为（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　法一　设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A （－a，0），所以kAP·kAQ＝ · ＝ ＝ 　（*）.因为点 P在椭圆C上，所以 ＋ ＝1，得n2＝ （a2－m2），代入（*）式， 得 ＝ ，结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，所以e＝ ＝ .故选A. 法二　设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以 kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－ ＝e2－1，所以e＝ .故 选A. 高中总复习·数学 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：91分）　 [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·四川成都模拟）双曲线 － ＝1的渐近线方程为（　　） A. 2x±y＝0 B. x±2y＝0 C. 4x±y＝0 D. x±4y＝0 解析：　 － ＝1的渐近线方程为y＝± x＝± x＝±2x，即2x±y＝0，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. “m＞4”是 “方程 － ＝1表示双曲线”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　 － ＝1表示双曲线等价于（m－1）（m－4）＞0，解得m＞4或m＜1.所以“m＞4”是“方程 － ＝1表示双曲线”的充 分不必要条件，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·宁夏石嘴山模拟）双曲线C与椭圆 ＋ ＝1有公共的焦点， 且C的离心率是2，则C的标准方程是（　　） A. x2－ ＝1 B. y2－ ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　椭圆 ＋ ＝1的焦点为（±2，0），所以双曲线C的焦点为 （±2，0）且焦点在x轴上，即c＝2，因为C的离心率是2，所以e＝ ＝ 2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝3，故双曲线C的标准方程为x2－ ＝1， 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 设F（c，0）为双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点.已知 a，b，c成等差数列，那么双曲线E的离心率为（　　） A. B. C. D. 2 解析：　由题意知（2b）2＝（a＋c）2，即4（c2－a2）＝a2＋c2＋ 2ac⇒3c2－2ac－5a2＝0⇒3e2－2e－5＝0⇒（e＋1）（3e－5）＝0，由 于e＞1，解得e＝ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 〔多选〕某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y＝ 的图象 是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则（　　） A. y＝－x是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 点（2，2）是它的一个焦点 D. ｜｜PM｜－｜PN｜｜＝2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为 ，容易知道y＝x是实轴，y＝－x是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程y＝x与反比例函数表达式y＝ 得实轴顶点（1，1），（－1，－1），所以a＝ ，c＝2，其中一个焦点坐标应为（ ， ）而不是（2，2），由双曲线定义可知｜｜PM｜－｜PN｜｜＝2a＝2 .故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知双曲线C： － ＝1（b＞0）的右焦点为F，直线l：x ＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A. C的虚轴长为2 B. C的离心率为 C. ｜PF｜的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：因双曲线C： － ＝1的渐近线为y＝± x，由题有 ＝ ，得到b2＝2，对于A，C的虚轴长为2b＝2 ，正确；对于B，C的离心率为e＝ ＝ ＝ ＝ ，正确；对于C，因为直线l：x＋ y＝0，F（ ，0），所以F（ ，0）到直线的距离为d＝ ＝ ，所以｜PF｜的最小值为 ，错误；对于D，因为过点F（ ，0）且斜率为－ 的直线方程为y＝－ （x－ ），即y＝－ x＋ 与直线l：x＋ y＝0平行，又P是l上一点，所以直线PF的斜率不等于－ ，正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 设双曲线C： － ＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且｜ F1F2｜＝4，则C的渐近线方程为 ⁠. 解析：设c为C的半焦距，则c＝ ＝2，由a2＝c2－2＝2，解得a＝ ，又b＝ ，故C的渐近线方程为y＝±x. y＝±x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 与双曲线 －y2＝1有公共渐近线，且过点（ ， ）的双曲线的方 程为 ⁠. 解析：设所求双曲线方程为 －y2＝λ（λ≠0），将点（ ， ）代入 双曲线方程得λ＝1－2＝－1，故方程为y2－ ＝1. y2－ ＝1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·辽宁葫芦岛模拟）若双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的一 条渐近线的斜率大于 ，则双曲线离心率的取值范围是 ⁠. 解析：易知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为 ， 依题意可得 ＞ ，所以0＜ ＜ ，所以双曲线离心率e＝ ＝ ＜ ＝2，又e∈（1，＋∞），可知双曲线离心率的取值 范围是（1，2）. （1，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，焦距是 实轴长的 倍且过点（4，－ ）. （1）求双曲线方程； 解：∵焦距是实轴长的 倍， ∴e＝ ，∴双曲线是等轴双曲线，故设双曲线的方程为x2－y2＝λ （λ≠0）， ∵双曲线过点（4，－ ），∴16－10＝λ， ∴λ＝6. ∴双曲线方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上. 解：证明：由（1）可知，在双曲线中，a＝b＝ ，∴c＝2 . ∴F1（－2 ，0），F2（2 ，0）. ∴ ＝（－2 －3，－m）， ＝（2 －3，－m）. ∴ · ＝9－12＋m2＝－3＋m2. ∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，∴m2＝3. ∴ · ＝0， ∴点M在以F1F2为直径的圆上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·安徽蚌埠模拟）设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的 右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若 · ＝a2（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　由题意可作图如图，由双曲线C： － ＝1， 则渐近线方程为y＝± x，右焦点F（c，0），c＝ ，易知在Rt△HOF中，b＝｜HF｜＝｜OF｜· sin ∠HOF＝c· sin ∠HOF，∵ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝b·c cos ＜ ， ＞＝b·c sin ∠HOF＝b2＝a2，∴c2＝2a2，∴离心率e＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕〔一题多解〕（2025·全国Ⅱ卷11题）双曲线C： － ＝1 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1， A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝ ，则（　　） A. ∠A1MA2＝ B. ｜MA1｜＝2｜MA2｜ C. C的离心率为 D. 当a＝ 时，四边形NA1MA2的面积为8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　A. 根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N 为平行四边形，因为∠NA1M＝ ，所以∠A1MA2＝ ， 故A正确；B. 法一（余弦定理）　如图，在△A1MO中， ｜MA1｜2＝｜A1O｜2＋｜OM｜2－2｜A1O｜｜OM｜ cos ∠MOA1＝a2＋c2－2ac cos ∠MOA1＝a2＋c2＋2ac× ＝3a2＋c2，在△A2MO中，｜MA2｜2＝a2＋c2－2ac cos ∠MOA2＝a2＋c2－2ac× ＝c2－a2，在△A1MA2中，｜A2A1｜2＝｜MA1｜2＋｜MA2｜2－2｜MA1｜｜MA2｜ cos ，即4a2＝2c2＋2a2－2 × × ，则13a2＝ c2，所以｜MA1｜2＝16a2，｜MA2｜2＝12a2，所以｜MA1｜≠2｜MA2｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 法二（几何法）　设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则 ＋ ＝c2，又y0＝ x0，a2＋b2＝c2，联立可得x0＝a，y0＝b，所以M（a，b），所以MA2⊥x轴，在Rt△A1A2M中，因为∠A1MA2＝ ，所以 ＝ cos ＝ ≠ ，故B错误；C. 根据13a2＝c2，得e＝ ，故C正确；D. 当a＝ 时，｜MA1｜＝4 ，｜MA2｜＝2 ，所以四边形NA1MA2的面积为｜MA1｜｜MA2｜ sin ＝4 ×2 × ＝8 ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲 线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体 部分可以近似看作是双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的部分的旋转 体.若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、 右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ⁠⁠. （1， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：设点P（x0，y0），其中x0≠±a，易知点A（－a，0），B（a， 0），且有 － ＝1，则 ＝a2＋ ，kPAkPB＝ · ＝ ＝ ＝ ，当点P在第一象限时，x0＞a，y0＞0，则kPA＝ ＞0， kPB＝ ＞0，且kPA≠kPB，由基本不等式可得kPA＋kPB＞2 ＝ ，∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，则 ＜4，即0＜ ＜ 2，∴e＝ ∈（1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·江西抚州模拟）已知点F1，F2为双曲线C：x2－ ＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双 曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°. （1）求双曲线C的方程； 解：在直角三角形MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，所以有tan∠MF1F2＝ ， cos ∠MF1F2＝ ⇒MF2＝ c，MF1＝ c，由双曲线的定义可知：MF1－MF2＝2a＝2⇒ c－ c＝2⇒c＝ ，c＝ ⇒b2＝2，所以双曲线C的方程是x2－ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1，P2，求 · 的值. 解：设P（x0，y0）是双曲线C上任意一点，故有2 － ＝2， 两条渐近线方程为：l1： x－y＝0；l2： x＋y＝0， 设l1： x－y＝0的倾斜角为α，故tan α＝ ， 设两条渐近线在第一、四象限夹角为θ，所以 cos θ＝ cos 2α＝ ＝－ ，于是有 cos ＜ ， ＞＝－ cos θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 因为P到双曲线两条渐近线的距离为：｜PP1｜＝ ，｜PP2｜ ＝ ， 所以 · ＝ · · cos ＜ ， ＞＝ · ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $