第8节 直线与圆锥曲线的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 课标要求 1.能根据给定直线，圆锥曲线的方程，判断直线与圆锥曲线的位置关系. 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式. 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题. 目录/ CONTENTS 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 01 提能点一 弦长问题 02 提能点二 中点弦问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 目 录 　将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或x），得到关于x（或y） 的一元二次方程，则直线与圆锥曲线： （1）相交⇔Δ 0； （2）相切⇔Δ 0； （3）相离⇔Δ 0. 特别地，与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点； 与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点. ＞　 ＝　 ＜　 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·山西太原模拟）若直线mx＋ny＝4和圆x2＋y2＝4没有 交点，则过点（m，n）的直线与椭圆 ＋ ＝1的交点个数为（　A　） A. 2个 B. 至少一个 C. 1个 D. 0个 A 高中总复习·数学 目 录 解析：∵直线mx＋ny＝4和圆x2＋y2＝4没有交点，∴直线与圆相离，圆 心（0，0），半径r＝2，∴ ＞2，即0＜m2＋n2＜4，∴点P （m，n）在以原点为圆心，半径为2的圆内，又椭圆 ＋ ＝1的短轴长 为4，∴圆m2＋n2＝4内切于椭圆，∴点P（m，n）在椭圆内，则过点 （m，n）的直线与椭圆 ＋ ＝1的交点个数为2个，故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）记双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条 件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值 ⁠ ⁠. 解析：双曲线C的渐近线方程为y＝± x，若直线y＝2x与双曲线C无公 共点，则2≥ ，∴ ≤4，∴e2＝ ＝1＋ ≤5，又e＞1，∴e∈（1， ].∴填写（1， ]内的任意值均可. 2（答案不唯一，（1， ]内的任意值均可） 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆 锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方法就是数 形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率 与双曲线渐近线的斜率的大小得到. 2.直线与圆锥曲线只有一个公共点：若直线与椭圆（圆）必相切；若直 线与双曲线（抛物线）有两种可能情况（相切或相交）. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2026·甘肃兰州期末）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2 ＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（　C　） C A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解析：当直线的斜率不存在时，直线x＝0符合题意.当直线的斜率存在 时，设直线的方程为y＝kx＋1，由 得k2x2＋（2k－4）x＋1 ＝0，当k＝0时，符合题意；当k≠0时，由Δ＝（2k－4）2－4k2＝0，可 得k＝1，即当k＝1时，符合题意.综上，满足条件的直线有3条，故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的 取值范围为（　C　） A. （－ ，－1） B. （－ ，－1） C. （－ ，－1） D. （－ ，－1） C 高中总复习·数学 目 录 解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－（kx＋2）2＝6，化简得（1－ k2）x2－4kx－10＝0，设直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不 同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）.由题意知 即 解得－ ＜k＜－1. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 提能点一 弦长问题 目 录 圆锥曲线的弦长公式 已知A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k（k≠0），则｜ AB｜＝ ＝ ｜x1－x2｜＝ ， 或｜AB｜＝ ｜y1－y2｜＝ · . 结论：圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，椭圆、双曲线中通径长为 ， 抛物线中通径长为2p. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·浙江杭州模拟）过点（1，0）作直线与y2＝4x交于 A，B两点，若｜AB｜＝4，则直线AB的倾斜角为（　　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　因为抛物线y2＝4x的焦点坐标F（1，0），准线为x＝－1，则 直线AB过抛物线的焦点，且由题意可知直线AB的斜率不为0，不妨设直 线AB为x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立 消 去x得y2－4my－4＝0，易知Δ＞0，则y1＋y2＝4m，故x1＋x2＝m（y1＋ y2）＋2＝4m2＋2，因为｜AB｜＝4，所以x1＋x2＋2＝4，即4m2＋2＝2， 故m＝0，所以直线AB的方程为x＝1，则直线AB的倾斜角为90°. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·海南文昌模拟）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞ 0）的实轴长为2 ，点P（2， ）在双曲线C上. ①求双曲线C的标准方程； ②过点P且斜率为2 的直线与双曲线C的另一个交点为Q，求｜PQ｜. 解：①因为双曲线的实轴长为2 ，所以2a＝2 ，解得a＝ ， 又因为点P（2， ）在双曲线C上，所以 － ＝1，解得b＝ ， 所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 高中总复习·数学 目 录 ②由题可得过点P且斜率为2 的直线方程为：y－ ＝2 （x－2）， 即y＝2 x－3 ， 联立 消去y可得7x2－24x＋20＝0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 所以｜PQ｜＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求解弦长的常用方法 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x （或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1－x2）2，（y1－ y2）2，代入两点间的距离公式求解. 高中总复习·数学 目 录 练2 （2025·全国Ⅱ卷16题）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心 率为 ，长轴长为4. （1）求C的方程； 解：由2a＝4，得a＝2. 由题意得e＝ ＝ ，则c＝ a＝ ，又b2＝a2－c2，所以b＝ . 所以C的方程为 ＋ ＝1. 高中总复习·数学 目 录 （2）过点（0，－2）的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点.若 △OAB的面积为 ，求｜AB｜. 解：由题意得l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入 ＋ ＝1消去y并化 简得（1＋2k2）x2－8kx＋4＝0， 由Δ＝16（2k2－1）＞0，得k2＞ ， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 高中总复习·数学 目 录 S△OAB＝ ×2×｜x2－x1｜＝ ＝ ＝ ， 解得k2＝ . 所以｜AB｜＝ ｜x2－x1｜＝ × ＝ . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点二 中点弦问题 目 录 教材母题：〔人A选一P128习题13题〕已知双曲线x2－ ＝1，过点P （1，1）的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？ 为什么？ 高中总复习·数学 目 录 细研教材：已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆锥曲线E上的两点，AB 的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k，且k≠0.若E的方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），则k＝－ · ；若E的方程为 － ＝1（a＞ 0，b＞0），则k＝ · ；若E的方程为y2＝2px（p＞0），则k＝ . 高中总复习·数学 目 录 变式1 已知点F为椭圆的左焦点，点P为椭圆的下顶点，平行于FP的直线 l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M（1， ），则椭圆的离心率为 （　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意，设椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），有F（－c，0），P（0，－b），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的中点为M（1， ），∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.∵PF∥l，∴kPF＝kl＝－ ＝ .由 ＋ ＝1， ＋ ＝1，两式相减得 ＋ ＝0，即 ＝－ ，∴ ＝ ，可得2bc＝a2，∴4c2（a2－c2）＝a4，即4e4－4e2＋1＝0，解得e2＝ ，0＜e＜1，∴e＝ ，故选A. 高中总复习·数学 目 录 变式2 （2023·全国乙卷11题）设A，B为双曲线x2－ ＝1上两点，下列 四个点中，可为线段AB中点的是（　　） A. （1，1） B. （－1，2） C. （1，3） D. （－1，－4） √ 解析：　由双曲线方程x2－ ＝1知a＝1，b＝3，则其渐近线方程为y ＝±3x.观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点A，B分别在双曲线的 两支上，∴－3＜kAB＜3.设A（x1，y1），B（x2，y2），则 高中总复习·数学 目 录 作差得（ － ）－ ＝0，则kAB＝ ＝ .对于A， 则kAB＝9，∵kAB＝9＞3，∴A不满足 题意.对于B， 则kAB＝－ ，∵kAB＝－ ＜－3，∴B不满 高中总复习·数学 目 录 足题意.对于C， 则kAB＝3，∴C不满足题意.对于D， 则kAB＝ ，则直线AB的方程为y＋4＝ （x＋1），即y ＝ x－ .由 消去y，得63x2＋126x－193＝0，∵Δ＝1262－ 4×63×（－193）＞0，且x1x2＜0，∴直线AB与双曲线的两支分别相交， ∴D满足题意.故选D. 高中总复习·数学 目 录 变式3 已知抛物线x2＝2y上两点A，B关于点M（2，t）对称，则直线AB 的斜率为 ⁠. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线x2＝2y，得 则 － ＝2（y1－y2）　①，因为两点A，B关于点M（2，t）对称， 则x1≠x2，x1＋x2＝4，所以由①得 ＝ ＝2，再将直线AB：y－ t＝2（x－2）与抛物线x2＝2y联立，得x2－4x＋8－2t＝0，Δ＝16－4（8 －2t）＞0，解得t＞2，所以满足题意的直线AB的斜率为2. 2 高中总复习·数学 目 录 规律方法 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 （1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元 得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解； （2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1， y1），B（x2，y2），将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得 两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大 大减少计算量.但是，使用点差法的前提是直线与圆锥曲线相交，注意 检验. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：91分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 直线x＝1与椭圆x2＋ ＝1的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 解析：　椭圆的右顶点为（1，0），所以直线x＝1与椭圆x2＋ ＝1相 切，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·黑龙江哈尔滨期中）直线y＝ （x－ ）与双曲线 －y2＝1 交点的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 解析：　由题知，双曲线 －y2＝1的渐近线方程为y＝± x，所以直线 l：y＝ （x－ ）与双曲线的一条渐近线平行，直线l与双曲线有且只有 一个交点，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·辽宁丹东模拟）直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦 点，且与C交于A，B两点，若使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则p ＝（　　） A. B. C. 1 D. 2 解析：　由抛物线的对称性，要使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则 AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为（ ，±1），代入抛物线方程可 得p＝1，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 过双曲线 － ＝1的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线 交于不同的两点A，B，则AB的长为（　　） A. B. C. D. 8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　双曲线 － ＝1的右焦点为F（3，0），所以直线l的方程为 y＝ （x－3）.由 得5x2＋6x－27＝0.设A（x1， y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ ，所以｜AB｜＝ ＝ × ＝ . 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·重庆渝中模拟）直线x＋4y＋m＝0交椭圆 ＋y2＝1于A，B 两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－ x－ ，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 两式相减得 ＝－ ＝－ . ∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为 ，将（1， ）代入直线y＝－ x － ，解得m＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过 A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线 AB的斜率为k3，则（　　） A. C的准线方程为y＝－1 B. k1，k3，k2成等差数列 C. 若P在C的准线上，则k1k2＝－1 D. 若P在C的准线上，则｜AF｜＋4｜BF｜的最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：对A，抛物线C：x2＝ y，抛物线C的准线方程为y＝－ ，A选项错误；对B，设A（x1，4 ），B（x2，4 ），∵y'＝8x，∴k1＝8x1，k2＝8x2，k3＝ ＝4（x2＋x1），∴k1＋k2＝2k3，B选项正确；对C，由上可知直线PA：y＝8x1x－4 ，直线PB：y＝8x2x－4 ，联立解得P（ ，4x1x2），∵P在C的准线上，∴4x1x2＝－ ，x1x2＝－ ，∴k1k2＝64x1x2＝－1，C选项正确；对D，｜AF｜＋4｜BF｜＝y1＋4y2＋ ＝4 ＋16 ＋ ≥16｜x1x2｜＋ ＝ ，当且仅当x1＝－2x2时取等号，D选项正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·辽宁沈阳模拟）过点P（2，2）作抛物线y2＝2x的切线l，切 线l在y轴上的截距为 ⁠. 解析：设切线斜率为k，则切线方程为y－2＝k（x－2），联立方程 可得ky2－2y－4k＋4＝0，则Δ＝4－4k（－4k＋4） ＝0，解得k＝ ，即切线方程为y－2＝ （x－2），取x＝0，得y＝1. ∴切线l在y轴上的截距为1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 已知双曲线C：x2－ ＝1，O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则△MON的 面积为 ⁠. 解析：c2＝a2＋b2＝1＋3＝4，故双曲线C的右焦点为F （2，0），由已知得双曲线C的一条渐近线方程为y＝ x，其倾斜角为 ，所以｜FM｜＝2 ，△MON的面积为2× ×2×2 ＝4 . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知椭圆方程为 ＋y2＝1，且椭圆内有一条以点P（1， ）为中点的 弦AB，则弦AB所在的直线的方程是 ⁠. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得 ＋ ＝1， ＋ ＝ 1，两式相减，得 · ＝－ ，又P是弦AB的中点，所以x1＋x2 ＝2，y1＋y2＝1，代入得 ＝－1，则直线AB的斜率k＝－1，所以直 线AB的方程为y－ ＝－（x－1），化简得2x＋2y－3＝0，因为点P在椭 圆内，所以直线2x＋2y－3＝0与椭圆相交，故弦AB所在直线的方程为2x ＋2y－3＝0. 2x＋2y－3＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （15分）（2026·四川成都期中）已知双曲线C： － ＝1（a＞ 0，b＞0）与双曲线 － ＝1的渐近线相同，且经过点（2，3）. （1）求双曲线C的方程； 解：设所求双曲线C的方程为 － ＝λ， 代入点（2，3）得 － ＝λ，即λ＝－ ， ∴双曲线C的方程为 － ＝－ ，即x2－ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）已知双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2，斜率为－ 1，且与双曲线C交于A，B两点，求｜AB｜的值. 解：由（1）知：F1（－2，0），F2（2，0）， 即直线AB的方程为y＝－（x－2）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 得2x2＋4x－7＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 满足Δ＞0，且x1＋x2＝－2，x1x2＝－ ， 由弦长公式得｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝ ·3 ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 已知点A（－ ，0），B（ ，0），若曲线（ ＋ ）·（ － ） ＝0（a＞0，b＞0）上存在点P满足｜PA｜－｜PB｜＝2，则下列选项中 一定正确的是（　　） A. b＜a＋1 B. b＞ a C. b＞a＋1 D. b＜ a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　已知点A（－ ，0），B（ ，0）且｜PA｜－｜PB｜＝ 2，根据双曲线的定义知，点P在双曲线的右支上，且2a1＝2，c1＝ ， 所以b1＝ ＝ ，所以双曲线的方程为x2－ ＝1（x＞0），其渐 近线方程为y＝± x，又（ ＋ ）（ － ）＝0即为 － ＝0，即点 P在直线y＝± x上，曲线（ ＋ ）（ － ）＝0上存在点P满足｜ PA｜－｜PB｜＝2，即直线y＝± x与双曲线x2－ ＝1（x＞0）相交， 所以 ＜ ，即b＜ a，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. （2026·河南洛阳模拟）经过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交C 于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若｜AF｜，｜AP｜，｜ BF｜成等差数列，则｜AB｜＝（　　） A. 4 B. 4 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　由题意得2｜AP｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AB｜，F（2，0），抛物线的准线方程为x＝－2，因为过抛物线C：y2＝8x焦点F的直线与抛物线C交于两点，且与抛物线的准线相交，所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为y＝k（x－2），与C：y2＝8x联立得k2x2－（4k2＋8）x＋4k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），显然x1，x2＞0，则x1＋x2＝ ，x1x2＝4，故｜AB｜＝x1＋x2＋4＝ ＋4＝8＋ ，设直线AB倾斜角为θ，则 cos θ＝ ，所以｜AP｜＝ （x1＋2），故8＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 ＝2 （x1＋2），解得x1＝ －2＝ ，故x2＝ －x1＝ ，又x1x2＝4，故 · ＝4， 解得k2＝3，故｜AB｜＝8＋ ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 抛物线C：y2＝6x与直线l交于A，B两点，且AB的中点为（m，－ 2），则l的斜率为 ⁠. 解析：已知AB的中点为（m，－2），设A，B两点坐标分别为（x1， y1），（x2，y2），则 可得 － ＝6（x2－x1），即（y2＋ y1）（y2－y1）＝6（x2－x1），即 ＝ ，又 所 以kl＝ ＝ ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·河南邢台模拟）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞ 0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，长轴长为4. （1）求椭圆C的标准方程； 解：因为椭圆的离心率为e＝ ＝ ，长轴长为2a＝4，解得a＝2， c＝1，则b2＝3， 所以椭圆C的标准方程是 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）已知直线l过定点E（ ，0），若椭圆C上存在两点A，B关于直线l 对称，求直线l斜率k的取值范围. 解：易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k（x－ ），A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点的坐标为（x0，y0），则 两式相减得3（x1＋x2）（x1－x2）＝－4（y1＋y2）（y1－y2）， 即3kx0＝4y0，又y0＝k（x0－ ）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解得x0＝1，y0＝ ， 因为线段AB的中点在椭圆内部， 所以 ＋ ＜1，即 ＋ ＜1，解得－2＜k＜2， 所以直线l斜率k的取值范围是（－2，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $