第7节 抛物线 课件-2027届高三数学一轮复习

第7节　抛物线 课标要求 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题 中的应用. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.了解抛物线的简单应用. 目录/ CONTENTS 考点一 抛物线的定义 01 考点二 抛物线的标准方程 02 考点三 抛物线的几何性质 03 提能点 抛物线中的最值（范围）问题 04 课时跟踪训练 05 01 PART 考点一 抛物线的定义 目 录 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离 ⁠的点 的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ⁠ ⁠. 提醒：定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上 时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线. 相等　 焦点　 准 线　 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·福建福州期中）在平面直角坐标系xOy中，动点P （x，y）到直线x＝1的距离比它到定点（－2，0）的距离小1，则P的轨 迹方程为（　D　） A. y2＝2x B. y2＝4x C. y2＝－4x D. y2＝－8x 解析：由题意知动点P（x，y）到直线x＝2的距离与定点（－2，0）的 距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以（－2，0）为焦点，x＝2为 准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x，故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）已知抛物线y＝mx2（m＞0）上的点（x0，2）到该抛物线焦点F的 距离为 ，则m＝（　D　） A. 4 B. 3 C. D. 解析：由题意知，抛物线y＝mx2（m＞0）的准线方程为y＝－ ，根据 抛物线的定义，可得点（x0，2）到焦点F的距离等于到准线y＝－ 的距 离，可得2＋ ＝ ，解得m＝ .故选D. D 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可 根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是 灵活解题的一条捷径. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过 点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的 轨迹方程为（　A　） A. x2＝8y B. x2＝16y C. y2＝8x D. y2＝16x A 解析：因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），所 以A（0，2），B（0，－2），又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l 的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的 轨迹为抛物线，且其焦点为（0，2），准线为y＝－2，所以P的轨迹方程 为x2＝8y. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·湖北十一校联考）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，过抛 物线C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若∠NFM＝ ，则点M的横 坐标为 ⁠. 解析：如图，由抛物线的定义知，｜MN｜＝｜MF｜，所以 ∠MNF＝∠MFN＝∠NFO＝ ，△MFN为正三角形.因为2p ＝8，所以p＝4，所以｜NF｜＝ ＝2p＝8，所以｜ MF｜＝｜NF｜＝8，又｜MF｜＝xM＋ ＝xM＋2，所以xM ＝6. 6　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 抛物线的标准方程 目 录 标准方程 y2＝2px（p＞ 0） y2＝－2px（p ＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0） 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·北京海淀模拟）点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线 的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（　D　） A. x2＝12y B. x2＝ y或x2＝－ y C. x2＝－ y D. x2＝12y或x2＝－36y D 高中总复习·数学 目 录 解析：将y＝ax2转化为x2＝ y，当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程y ＝－ ，点M（5，3）到准线的距离为3＋ ＝6，解得a＝ ，所以抛物 线方程为y＝ x2，即x2＝12y；当a＜0时，抛物线开口向下，准线方程y ＝－ ，点M（5，3）到准线的距离为 ＝6，解得a＝－ 或a＝ （舍去），所以抛物线方程为y＝－ x2，即x2＝－36y.所以抛物线的 方程为x2＝12y或x2＝－36y，故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准 线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方 程为（　D　） A. y2＝ x B. y2＝9x D C. y2＝ x D. y2＝3x 高中总复习·数学 目 录 解析：如图，设准线与x轴的交点为G，分别过点A，B作准 线的垂线，交准线于点E，D，设｜BF｜＝a，则｜BC｜ ＝2a，由抛物线的定义得｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°， 所以在Rt△ACE中，2｜AE｜＝｜AC｜，因为｜AE｜＝｜ AF｜＝3，｜AC｜＝3＋3a，所以3＋3a＝6，解得a＝1， 因为BD∥FG，所以 ＝ ，即 ＝ ，所以p＝ ，因此抛物线的方程为y2＝3x.故选D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求抛物线标准方程的方法 （1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需 求出p即可； （2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛 物线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的 标准方程可设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了 不必要的讨论. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、 穹顶体育场和博物馆都采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供 良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞机库，它 的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系xOy中，如图2.已知 该飞机库的底面宽度约为96 m，高度约为60 m，则此纵截面所在抛物线的 方程为（　A　） A A. x2＝－ y B. x2＝－ y C. x2＝－ y D. x2＝－75y 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），由题意知点（48， －60）在该抛物线上，将（48，－60）代入抛物线方程，得482＝－2p× （－60），解得p＝ ，则抛物线的方程为x2＝－ y. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·河北保定模拟）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦 点，Q（x0，2）为C上一点，若｜FQ｜＝2，则p＝ ⁠. 解析：由题意知22＝2px0，所以x0＝ ，由 ＝2及抛物线定义，得 ＋ ＝2，解得p＝2. 2 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 抛物线的几何性质 目 录 标准方程 y2＝2px（p ＞0） y2＝－2px（p＞ 0） x2＝2py（p ＞0） x2＝－2py（p ＞0） 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 （ ，0） （－ ，0） （0， ） （0，－ ） 高中总复习·数学 目 录 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 ⁠ ⁠ 顶点 ⁠ 离心率 e＝ ⁠ x轴 y轴 （0，0） 1 高中总复习·数学 目 录 （1）（2025·全国Ⅱ卷6题）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点 为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B. 若直线BF的方程 为y＝－2x＋2，则｜AF｜＝（　C　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：根据直线y＝－2x＋2得F（1，0），所以C的准线方程为x＝－ 1，C的方程为y2＝4x，所以B（－1，4），所以A（4，4），所以｜ AF｜＝｜AB｜＝5. C 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·河南濮阳质检）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜 角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p ＝ ⁠. 解析：根据题意可知过焦点且倾斜角为30°的直线方程为y＝ （x－ ），联立 可得x2－7px＋ ＝0，∴x1＋x2＝7p，由抛 物线的定义，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p＝ 8，解得p＝1. 1 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直 观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结 合思想解题的直观性. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）将两个顶点在抛物线y2＝2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物 线焦点的正三角形的个数记为n，则（　C　） A. n＝0 B. n＝1 C. n＝2 D. n≥3 C 解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且 过焦点的两条直线的倾斜角分别为30°和150°，此时过焦点的两条直线 与抛物线分别有两个交点.所以正三角形的个数n＝2，故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦 点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP. 若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为（　A　） A. x＝－ B. x＝ C. y＝－ D. y＝ A 高中总复习·数学 目 录 解析：法一 由题易得｜OF｜＝ ，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以 tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得p＝3，所 以C的准线方程为x＝－ . 法二 由题易得｜OF｜＝ ，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜ FQ｜，即p2＝ ×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x ＝－ . 高中总复习·数学 目 录 04 PART 提能点 抛物线中的最值（范围）问题 目 录 （2026·河北邯郸三调）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，P（x，y） 为抛物线上一动点，点A（6，3），则△PAF周长的最小值为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 √ 解析：由题知F（2，0），准线方程为x＝－2.如图，过 P作准线的垂线，垂足为Q，过A作准线的垂线，垂足为B， 所以△PAF的周长为｜PF｜＋｜PA｜＋｜AF｜＝｜PQ｜ ＋｜PA｜＋｜AF｜≥｜AB｜＋｜AF｜＝8＋5＝13，当P 为AB与抛物线的交点P'时等号成立，即△PAF周长的最小值为13. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离， 根据“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得 以解决. 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离， 利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 高中总复习·数学 目 录 练4 （2026·福建莆田质检）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物 线上.若点Q在圆（x－3）2＋y2＝1上，则｜MF｜＋｜MQ｜的最小值为 （　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　由题意抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，它 与x轴的交点为（－1，0），焦点为F（1，0）.如图， 过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为N. 圆（x－3）2 ＋y2＝1的圆心为P（3，0），则｜MF｜＋｜MQ｜＝ ｜MN｜＋｜MQ｜≥｜NQ｜≥｜NP｜－1≥｜DP｜－1＝4－1＝3，且｜MF｜＋｜MQ｜＝3成立的条件是M，O重合且Q，E重合.综上所述，｜MF｜＋｜MQ｜的最小值为3. 高中总复习·数学 目 录 圆锥曲线第二定义 教材母题：（1）〔人A选一P113例6〕动点M（x，y）与定点F（4， 0）的距离和M到定直线l：x＝ 的距离的比是常数 ，求动点M的轨迹. （2）〔人A选一P125例5）动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和 它到定直线l：x＝ 的距离的比是常数 ，求动点M的轨迹. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：教材母题中两题所求的轨迹分别是椭圆和双曲线，由于当 ＝ 时，直线x＝ 即为x＝ ；当 ＝ 时，直线x＝ 也即为x＝ .在平面 内到定点（c，0）的距离与到定直线x＝ 的距离之比是常数 的点的轨 迹为椭圆或双曲线，当0＜ ＜1时，轨迹是椭圆；当 ＞1时，轨迹是双曲 线，定直线是定点（焦点）对应的准线. 高中总复习·数学 目 录 双曲线 － ＝1上一点P到右焦点的距离为3，则P到直线x＝ 的 距离为（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　由题意，双曲线 － ＝1，可得a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝ 2，c＝ ＝ ，可得双曲线的离心率为e＝ ＝ ，则 ＝ ，设右焦点为F2，因为双曲线 － ＝1上一点P到右焦点的距离为 3，即｜PF2｜＝3，可得点P到直线x＝ 的距离为d＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 变式 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于 圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离 与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0＜e＜1时， 轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线.现有 方程m（x2＋y2＋2y＋1）＝（2x－y＋3）2表示的曲线是双曲线，则m的 取值范围为（　　） A. （0，8） B. （8，＋∞） C. （0，5） D. （5，＋∞） √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　已知方程可整理为m[x2＋（y＋1）2]＝（2x－y＋3）2，则m ＞0，∴ · ＝｜2x－y＋3｜， ∴ · ＝ ，设P（x，y），则其到定点 （0，－1）的距离为 ，到定直线2x－y＋3＝0的距离为 ，∴点P到定点（0，－1）与到定直线2x－y＋3＝0的距离之 比为 ，∵方程表示的曲线为双曲线，∴ ＞1，解得0＜m＜5，即m 的取值范围为（0，5）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义：在平面内到定点 的距离与到定直线（定点不在直线上）的距离之比是常数e的点的轨迹为 圆锥曲线.当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＞1时，轨迹为双曲线；当e ＝1时，轨迹为抛物线.其中定点是曲线的焦点，定直线是焦点对应的准 线，e是离心率. 高中总复习·数学 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·湖南邵阳模拟）已知抛物线y＝ x2，则抛物线的焦点到准线 的距离为（　　） A. B. C. 8 D. 16 解析：　由y＝ x2可得x2＝16y，故2p＝16，故p＝8，故抛物线的焦点 到准线的距离为p＝8，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·山西朔州模拟）顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（－2， 3）的抛物线的标准方程是（　　） A. y2＝－ x B. y2＝ x C. x2＝ y D. x2＝－ y 解析：　设抛物线的标准方程是x2＝2py，代入点P（－2，3），解得p ＝ ，所以x2＝ y，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·青海西宁模拟）已知面积为 的等边△OAB（O为坐标原 点）的三个顶点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则p＝（　　） A. B. C. D. 2 解析：　因为等边△OAB的面积为 ，所以OA＝2，不妨设点A是第一 象限的点，则结合抛物线的对称性可知A（ ，1），所以1＝2 p，解 得p＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·陕西西安期末）已知动圆P与定圆C：（x－2）2＋y2＝1外 切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　） A. y2＝4x B. y2＝－4x C. y2＝8x D. y2＝－8x 解析：令P点坐标为（x，y），动圆的半径为r，定圆C的圆心C（2，0），则根据两圆外切及直线与动圆相切的性质可得，PC＝1＋r，d＝r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x＋1，所以PC－d＝1，即 －（x＋1）＝1，化简得：y2＝8x.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离 与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：依题意，抛物线y2＝4x中的焦点F（1，0），点P到准线的距离｜PQ｜＝｜PF｜，故点P到点A（0，2）的距离｜PA｜与点P到该抛物线准线的距离之和为：｜PA｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PF｜≥｜AF｜＝ ＝ ，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，所以｜PA｜ ＋｜PQ｜的最小值为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕（2026·山东菏泽模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F， 点P（x0，y0）在C上，则（　　） A. 抛物线C的准线方程为x＝2 B. F的坐标为（1，0） C. 若y0＝2，则｜PF｜＝2 D. ｜PF｜≥2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A、B，由抛物线方程为y2＝4x，则焦点F（1，0），准线方程为x＝－1，故A错误，B正确；对于C，将y0＝2代入y2＝4x，得x0＝1，则｜PF｜＝x0＋ ＝1＋1＝2，故C正确；对于D，由抛物线定义得｜PF｜＝x0＋ ＝x0＋1≥1，当x0＝0时，取等号，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·陕西安康模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到 准线l的距离为1，过点（2p，－p）的直线与抛物线C交于M（x1， y1），N（x2，y2）两点，则y1y2＋y1＋y2＝ ⁠. 解析：由题意有p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x，设过点（2，－1）的 直线方程为x＝m（y＋1）＋2，所以 ⇒y2－2my－ 2m－4＝0，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－2m－4，所以y1y2＋y1＋y2＝－4. －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了 中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面 宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为 ⁠. 4 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2 ＝－2py（p＞0），由题意知，抛物线经过点A（－4，－2）和点B（4， －2），代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下 降1米，即y＝－3，解得x1＝2 ，x2＝－2 ，此时水面宽度d＝2x1＝ 4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在双曲线C： － ＝1的一条渐近线 上，O为坐标原点，若｜OF｜＝｜PF｜，则△PFO的面积为 ⁠. 解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），双曲线C： － ＝1的渐近 线方程为x± y＝0，不妨设P在渐近线x－ y＝0上，可设P（ m，m），m＞0，由｜OF｜＝｜PF｜可得 ＝1， 解得m＝ ，则△PFO的面积为 ｜OF｜｜yP｜＝ ×1× ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知抛物线y2＝8x. （1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围； 解：抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为（0，0），（2，0），x＝－2，x轴，x≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，｜OA｜ ＝｜OB｜，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 解：如图所示.由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x轴，设垂足 为点M，又焦点F是△OAB的重心，则｜OF｜＝ ｜OM｜. 因为F（2，0），所以｜OM｜＝ ｜OF｜＝3.所以M（3，0）. 故设A（3，m），代入y2＝8x得m2＝24.所以m＝2 或m＝－2 . 所以A（3，2 ），B（3，－2 ）.所以｜OA｜＝｜OB｜＝ . 所以△OAB的周长为2 ＋4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图 所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝ 4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点 无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范 围是（　　） A. （2，＋∞） B. （1，＋∞） C. [2，＋∞） D. [1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　设圆心为P（0，a），a＞0，半径为r，Q（x，y）是抛物线 上任一点，｜PQ｜2＝x2＋（y－a）2＝4y＋（y－a）2＝（y－a＋2）2 ＋4a－4.若｜PQ｜2的最小值不在点O（0，0）处取得，则圆P不过原 点，所以a－2＞0，即a＞2，此时圆的半径为r＝ ＝2 ＞2. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的 点，O为坐标原点，则（　　） A. p＝4 B. ｜MF｜≥｜OF｜ C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：A项，因为F（2，0）是抛物线C的焦点，所以 ＝2，则p＝4，故A正确；B项，｜MF｜＝xM＋ ＝xM＋2，而｜OF｜＝2，且xM≥0，则｜MF｜≥｜OF｜，故B正确；C项，以M为圆心且过F的圆的半径为｜MF｜，而由抛物线的定义可得，M到准线的距离也等于｜MF｜，则该圆与C的准线相切，故C正确；D项，过点M作x轴的垂线交于点N（图略），设｜FN｜＝a，由于∠OFM＝120°，则∠MFN＝60°，从而｜MN｜＝ a，｜FM｜＝2a，则xM＝2＋a，｜yM｜＝ a，将点M坐标代入抛物线方程y2＝8x可得，3a2－8a－16＝0，解得a＝4，此时｜FM｜＝2a＝8，△OFM的面积S△OFM＝ ×｜OF｜×｜FM｜× sin ∠OFM＝ ×2×8× ＝4 ，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. （2026·浙江宁波期中）若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上 一点且｜PF｜＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝ ⁠. 解析：如图，不妨设点P（x，y）在第一象限，过点P作 PH与抛物线的准线x＝－1垂直，垂足为H，则｜PH｜＝｜ PF｜＝3.又｜PH｜＝x＋1，所以x＝2，所以y2＝4×2＝ 8，y＝2 ，所以S△OPF＝ ·｜OF｜·｜y｜＝ ×1×2 ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·广东揭阳模拟）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在 x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从C1，C2上分别取两个 点，将其坐标记录于下表中： x 1 2 y 2 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （1）求C1和C2的标准方程； 解：设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），则2p＝ ， 结合表格数据，因为 ＝ ＝4，所以点（1，2），（2，2 ）在 抛物线C2上，且2p＝4，解得p＝2，所以抛物线C2的标准方程为y2＝4x. 将点（ ， ），（ ，0）代入椭圆C1的标准方程 ＋ ＝1（a＞b ＞0）中，得 解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C1的标准方程 为 ＋y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若C1和C2交于不同的两点A，B，求 · 的值. 解：根据对称性，可设A，B两点的坐标分别为（x0，y0），（x0，－y0）， 联立方程组 消y得x2＋8x－2＝0，解得x1＝－4－3 ， x2＝－4＋3 ， 因为x＝ ≥0，所以x0＝3 －4. 所以 · ＝ － ＝ －4x0＝ －4（3 －4）＝50 －36 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $