8.1 基本立体图形 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何 8.1 基本立体图形 立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用. 走进立体几何的世界，从另一个角度感受数学…… 1.从整体入手，研究结构特征,学习表示方法,了解表面积和体积的计算方法; 2.借助长方体,从构成立体图形的基本元素(点、直线、平面)入手,研究它们的性质以及相互之间的位置关系,特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究,从而进一步认识空间几何体的性质. 章导语 引入 如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 1 7 6 5 9 4 3 8 2 10 11 12 空间几何体的分类： (1)多面体：由若干平面多边形围成的几何体; (2)旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转 所成的封闭几何体. 新知一：空间几何体 围成多面体的各个多边形叫做多面体的 ______ 相邻两个面的公共边叫做多面体的______ 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点______ 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 . 面 顶点 棱 面 棱 顶点 1 6 5 8 11 12 思考：一个多面体最少有几个面？ 新知一：空间几何体 轴：绕之旋转的定直线 （如图直线OO′） 轴 旋转体：封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体. 旋转面：由一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的曲面。 新知一：空间几何体 1.棱柱 ①有两个面互相平行， ②其余各面都是四边形， ③相邻两个四边形的公共边都互相平行. 由这些面所围成的几何体叫棱柱(prism). 底面 侧面 侧棱 顶点 A B C D E F A B C D E F 底面 侧面 侧棱 (1)底面、侧面、侧棱、顶点 新知二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱柱 (2)棱柱的分类： (法一)根据底面的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……,这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… n棱柱：底面为n边形的棱柱，如三棱柱、四棱柱； 正n棱柱：底面为正n边形的棱柱，如正四棱柱底面为正方形. 新知二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱柱 (2)棱柱的分类： (法二)按侧棱是否垂直底面 斜棱柱 棱柱 正棱柱 其它直棱柱 直棱柱 侧棱不垂直于底面 侧棱垂直于底面 底面是正多边形 新知二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱柱 (3)常见棱柱的名称 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形. 长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体. 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体. 新知二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱柱 [练习1]观察下面的几何体，哪些是棱柱？ （4） (1) (2) (3) (5) (6) (7) 巩固 2.棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. (1)特征:①底面是多边形； ②侧面是有一个公共顶点的三角形. 底面 侧面 (2)表示：用表示顶点和底面的字母表示， 如三棱锥S-ABC、四棱锥S-ABCD. 底面 S A B C D 侧面 顶点 侧棱 新知二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱锥 (3)棱锥的分类：按底面多边形的边数， 可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、…… S A B C D S A C B B A E D C S 三棱锥又叫四面体. 由四个全等的正三角形围成的封闭几何体为正四面体. 新知二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱锥 正三棱锥： 正四面体： 底面为正三角形，侧面为等腰三角形； 底面和侧面为全等的正三角形. O S A B C D E (4)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的投影是底面的中心的棱锥. 新知二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱锥 (4)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的投影是底面的中心的棱锥. 侧棱相等，各个侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高； 从正棱锥的顶点向底面引垂线，该垂线必过底面的中心； 棱锥的高、斜高、和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱、和侧棱在底面上的投影也组成一个直角三角形. O为正△ABC的中心(四心合一) ①构造直角三角形，如Rt△POA ②利用重心2:1性质 O为正方形ABCD的中心 (对角线交点) 新知二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱锥 3.棱台：用一个平行于棱锥底面的的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台. 四棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面 下底面 侧面 侧棱 顶点 ②各侧棱延长后必交于一点； ①两底面平行且相似；各侧面是梯形. 新知二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱台 [练习2]辨析： 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体. √ 底面为菱形 底面为四边形 巩固 [练习2]辨析： 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 棱锥的各个侧面都是三角形 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 棱锥的侧棱平行. √ √ 巩固 巩固 [思考]当底面发生变化时，它们能否相互转化？ 上底面缩小，与下底面相似 上底面缩小为一个点 上底面扩大， 与下底面全等 [思考2]用平行于底面的平面截棱柱、棱锥、棱台的截面是怎么样的？过不相邻的两侧棱的截面又是什么？ 顶点扩大，得到上底面与下底面相似 巩固 3.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.如图，记作圆柱OO'. 圆柱的轴：旋转轴； 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边. (有无数条) 新知三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征——圆柱 3.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱. 底面是平行且半径相等的圆面； 侧面展开图是矩形； 母线平行且相等； 平行于底面的截面是与底面平行且半径相等的圆面； 轴截面是矩形． 新知三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征——圆柱 5.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.如图，记作圆锥SO. S A O S A B O 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. 圆锥的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做. 圆锥的母线：无论旋转到什么位置,直角三角形的斜边即为圆锥侧面的母线. 底面 母线 侧面 轴 S O 新知三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征——圆锥 底面是圆面； 侧面展开图是以母线长为半径的扇形； 母线相交于顶点； 平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面； 轴截面是等腰三角形. 5.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥. 底面 母线 侧面 轴 S O 新知三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征——圆锥 6.圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面间的部分叫做圆台.如图，记作圆台OO'. 各母线的延长线与轴交于一点. 轴截面是全等的等腰梯形. 思考：圆台能否用旋转的方法得到?若能,请指出用什么图形? 新知三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征——圆台 [练习4]给出下列四种说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是(　　) A．①②　　　　B．②③　　　　C．②④　　　　D．①③ 巩固 7.球体：以半圆周的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫球体，简称球.如图，记作球O. 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫做球体. O A B 半径 球心 D · O C M A B 球心：半圆的圆心； 球的半径：连接球心和球上任意一点的线段； 球的直径：连接球面上两点且过球心的线段. 新知三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征——球 类比 1.一条直线与圆相交，在圆内的部分是线段——弦？ 用一个平面去截球，得到的截面是什么？ 圆 什么情况下，得到的圆最大？ 2.直线过圆心时，得到的弦最长——直径. [思考]用一个平面去截一个球,截面是什么? 新知三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征——球 O 用任一平面截球，所得截面恒为圆. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆 新知三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征——球 巩固 [思考题](1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面是什么图形？ 　　　 (2)过圆柱、圆锥、圆台的旋转轴的截面是什么图形？ 平行于底面的截面都是圆面。 过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形. 巩固 简单组合体：由柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体. 简单组合体的构成有两种形式： (1)由简单几何体拼接而成的; (2)简单几何体截去或挖去一部分而成的. 新知四：简单组合体的结构特征 未完待续…… ∵底面正方形ABCD的面积为16，∴BC＝4，BM＝CM＝2. ∵VM＝2eq \r(10)， ∴在Rt△VMB中，VB2＝VM2＋MB2＝(2eq \r(10))2＋22＝44. ∴VB＝2eq \r(11). 在Rt△VOM中，VO2＝VM2－OM2＝(2eq \r(10))2－22＝36. ∴VO＝6. 即正四棱锥的侧棱长为2eq \r(11)，高为6. 解：如图，设VO为正四棱锥V－ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则点M为BC的中点，连接VM，则VO⊥OM，VM⊥BC. C 解：设球半径为R，截面圆的半径为r，球心到这个截面的距离为d，如图所示． ∵S＝πr2＝49π(cm2)， ∴r＝7 cm， ∴d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(252－72)＝24(cm)， 即球心到这个截面的距离为24 cm. $