2026年云南省中考数学学业水检测卷

附件2-1 2026年初中学业质量诊断性检测 数学 (全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.考生必须在答题卡上解题作答。答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效 2.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1.昆明轿子雪山某日的最高温度为零上6℃，最低温度零下2℃，记零上6℃为+6，则零下2℃记为() A.+16C B.+2C C.-17C D.-2C 2.云南省昭通市巧家县白鹤滩水电站，是世界上单机容量最大的水轮发电机组所在地，单台机组的额定发 电功率为1000000千瓦.数字“1000000千瓦”用科学记数法表示为()千瓦. A.1×108 B.10×10 C.1×106 D.1×10 3.如图，直线a,b被直线c所截，若ab,A=55°，则∠2的度数是() A.55 B.125 C.135 D.57 4.反比例函数y=(k≠0)的图象经过点4(-2,4)，B(-1,m)则m的值为() A.2 B.-2 C.8 D.-8 5.某学校内一建筑物是由几个几何体组成的，其中一个几何体的三视图如图所示.这个几何体是() 主视图 左视图 俯视图 A.正方体 B.圆柱 C.圆锥 D.长方体 1-2x 6.要使分式 有意义，则x的取值范围是() x+2 A.x≠2 B.x≥-2 C.x≠-2 D.x≠-2且x 2 7.下面四个选项中是轴对称图形的字是() A.乌 B.蒙 C.山 D.下 8.下列运算中正确的是() A.⑧-√=√6 B.2ab+ab=3ab C.(-3a3=9a 9D.-27=9 9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=5,BC=3,则tan∠A等于() A B 8 3 10.按一定规律排列的单项式：-2a2,4a,-6a,8a,-10a,…则第n个单项式是0 A.(-1)”.2na+1 B.(-l)m+1.2na+ c.(-1).2na-1D.(-1)+1.2na- 11.多边形的一个外角等于36，则这个多边形的内角和是() A.1440 B.1260 c.1620 D.1080 12.某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛，九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为 90,80,90,70,90,100,80,90,90,80,这组数据的中位数为() A.80 B.90 C.85 D.95 13.估算√3×V5-1应在() A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 14.昭通市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩.第一个月新建了100个充电桩，第 三个月新建了196个充电桩.设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x,则下列方程正确的是() A.196(1+x)=100 B.100(1+x)=196 C.196(1+x)2=100 D.100(1+x)2=196 15.如图，A,B,C,D是⊙0上的点，AC是⊙0的直径，若∠D=35°，则∠ACB的度数是() A 0 D B C A.25 B.55 c.50 D.65 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.方程x2+x=0的解是一 17.如图，AB∥CD,AB:DC=2:5,则△ABO与△DCO的面积之比为 云南过桥米线 30% 鲜花饼 20% 普洱茶 35% 酷茵 第17题 第18题 18.校为了解学生对“云南过桥米线”“鲜花饼”“普洱茶”“野生菌”四种特色美食的喜爱情况，随机抽取部 分学生进行问卷调查（每人只选一种）.调查结果绘制成如图所示的扇形统计图. 若该校共有学生1000名，请估计该校喜爱“过桥米线”的学生约有名 19.数学课上，小丽用一张圆心角为120°的扇形制作了一个圆锥，母线长为12c的扇形纸片，制作成了一 个圆锥形笔筒的侧面，则这个圆锥形笔筒的底面半径是 厘米 三、解答题（本大题共8小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20.(本小题满分7分) 计算：（-3)°+mn45-12-1川+2×(-6)+2026 3 21.(本小题满分6分) 如图，AB与CD相交于点O,连接AC和BD,己知AC LCD,AB⊥BD且AB=CD,求证：AC=BD. D 22.(本小题满分7分) 为传承红色基因，某校组织九年级学生前往昭通市威信县扎西会议纪念馆开展“重走长征路”研学活 动.学校距纪念馆12千米，原计划匀速步行前往.实际出发时，队伍的行进速度是原来的倍，结果比 原计划提前1小时到达.求学生队伍原计划步行的速度 23.（本小题满分6分) 逐梦赛场燃激情，体教融合育新苗，巧家县2026年中小学生运动会于3月29日开幕，甲、乙两位同 学参加志愿者活动，准备在篮球比赛(A)、足球比赛(B)、田径比赛(C)三个赛场中选择一个，假 设这两位同学选择志愿点不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等 (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数： (2)求甲、乙两位同学选择同一志愿点的概率. 24.(本小题满分8分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。过点C作CEBD,过点D作DE∥AC,CE 与DE交于点E,连接OE (1)求证：四边形OCED是矩形； A (2)若B0=3V3,∠ABC=60°，求OE的长 0 D B C 25.(本小题满分8分) 背景 “昭通苹果”是国家地理标志保护产品，近年来已成为昭通市推进乡村振兴、 助农增收致富的支柱产业.某生鲜电商平台计划从昭通采购A、B两种规格的苹 果，进行网络销售 素材一 采购10箱A级苹果和5箱B级苹果，共需1200元： 采购8箱A级苹果和10箱B级苹果，共需1320元 素材二 该平台计划采购A、B两种规格的苹果共120箱，要求： ①A级苹果的数量至少比B级苹果多20箱； ②A级苹果的数量不超过B级苹果数量的2倍 请完成下列任务： 任务一 求A、B两种规格苹果每箱的采购单价， 任务二 给出最节省费用的购买方案 6 26.(本小题满分8分) 已知关于x的二次函数y=x2-2ax-3,对称轴为直线x=1 (1)求a的值： m (2)若m为二次函数y=x2-2ax-3与x轴交点的横坐标，N= 3n°-4m+9m,比较N与15的大 小 1 27.(本小题满分12分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O,点D为AC的中点，∠DBA=30,连接AC,BD.过点D作射线DE交 BC的延长线于点E,且∠EDC=∠DAC. (1)求∠CAD的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线； (3)探究线段BC,BD,BA之间的数量关系，并证明你的结论 E D 0 B A附件2-2 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分，每小题只有一个正确选项） 题号 1 2 3 4 5 6 8 10 11 答案 D C B C D A A 题号 12 13 14 15 答案 B A D B 1.昆明轿子雪山某日的最高温度为零上6℃，最低温度零下2℃，记零上6℃为+6，则零下2℃记为() A.+16C B.+2C C.-17C D.-2C 【分析】用正负数表示具有相反意义的量，零上为正，零下为负 【解答】解：根据题意可知，零上6℃记为十6，则零下2℃记为一2℃. 故选：D 【点评】本题考查了有理数的减法，正数和负数，掌握有理数的减法的运算法则是关键， 2.云南省昭通市巧家县白鹤滩水电站，是世界上单机容量最大的水轮发电机组所在地，单台机组的额定发 电功率为1000000千瓦.数字“1000000千瓦”用科学记数法表示为()千瓦 A.1×108 B.10×107C.1×106 D.1×10 【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤a<10,n为整数.确定n的值时，要看 把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时， n是正数：当原数的绝对值<1时，n是负数， 【解答】解：1000000千瓦=1×10千瓦. 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a<10, n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值， 3.如图，直线a,b被直线c所截，若a仍，1=55°，则∠2的度数是() A.55 B.125 C.135 D.57 【分析】由a∥b,∠1=55°，则∠1的同位角=55°，则∠1+∠2=180°，∠2=180°-55°=125. 【解答】解：直线a,b被直线c所截a∥b,∠1=55°， a/b,∠1=55°， ∴.∠1+∠2=180°， ∴.∠2=180°-55°=125. 故选：B 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键 4.反比例函数y-(k≠0)的图象经过点A(-2,4到，B(-山m)则m的值为（） A.2 B.-2 C.8 D.-8 【分析】反比例函数y=(k≠0)中，k=对y为定值 【解答】解：？反比例函数y=在（作≠0）图象过点（一2,4） ∴.k=Xy=(-2)×4=-8. :反比例函数y=(k≠0)图象过点（-1，加 .k=xy=（-1)×m=-8. ∴.1=8 故选：C. 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等 于比例系数. 5.某班教室里的一个装饰品是由几个几何体组成的，其中一个几何体的三视图如图所示.这个几何体是 () 主视图 左视图 俯视图 A.正方体 B.圆柱 C.圆锥 D.长方体 【分析】由三视图判断几何体形状即可. 【解答】主视图、左视图为矩形，俯视图为圆，故此几何体为圆柱。 故选：B 【点评】本题考查了简单组何体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键. 6.要使分式1-2x 有意义，则x的取值范围是() x+2 A.x≠2 B.x≥-2 C.x≠-2 D.*2x月 【分析】分式有意义的条件是分母不等于0. 【解答】令分母x+2≠0，得x≠-2. 故选：C. 【点评】本题考查了分式有/无意义的判定，掌握分式有/无意义的判定是解题的关键. 7.下面四个选项中是轴对称图形的字是() A.鸟 B.蒙 C.山 D.下 【分析根据轴对称图形的定义解答即可· 【解答】解：A.不是轴对称图形，故选项A不符合题意： B.不是轴对称图形，故选项B不符合题意； C.是轴对称图形，故选项C符合题意； D.不是轴对称图形，故选项D不符合题意. 故选：C. 【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键. 8.下列运算中正确的是() A.√⑧-√2=√6 B.2ab+ab=3ab C.(-33=9a D.-27=9 【分析】根据合并同类项，立方根的运算，单项式加单项式，积的乘方运算法则逐项分析即可. 【解答】解：A.不能计算结果，故不符合题意： B.2ab+ab=3ab,结论正确，故符合题意； C.计算结果是-27a3,结论错误，故不符合题意： D.计算结果是-3，结论错误，故不符合题意. 故选：B 【点评】本题考查了合并同类项，，立方根的运算，单项式加单项式，积的乘方，掌握合并同类项法 9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=5,BC=3,则tn∠A等于() 3 4 A B. 5 5 c. 3 D.3 4 对边 【分析】直角三角形中，根据勾股定理求出AB的值，正切值tan∠A= 邻边 【解答】解：在Rt△ABC中，AB=4,tan∠A= BC3 AB 4 故选：D, 【点评】本题主要考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数知识点是关键. 10.按一定规律排列的单项式：-2a,4a,-6a,8a°，-10a°，.则第n个单项式是0 A.(-1).2na+1 B.(-1）)+1.2n:d+1 C.（-l)”.2nad-1D.(-1)*1.2n-a- 【分析】分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式. 【解答】解：符号(-1)n,2,4,6,8规律为2n,指数为项数加1. .第n个单项式是(-1)”.2nad+1. 故选：A. 【点评】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关 键。 11.多边形的一个外角等于36，则这个多边形的内角和是（) A.1440 B.1260 c.1620 D.1080 【分析】根据多边形的外角360°和多边形内角和计算公式(n-2)×180°进行计算即可. 【解答】解：边数360÷36=10，正十边形的内角和等于：(10-2)×180°=1440°. 故选：A 【点评】本题主要考查了多边形的外角和、内角和定理，关键是掌握多边形的内角和、内角和的计算公 式是解决本题的关键， 12.某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛，九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为 90,80,90,70,90,100,80,90,90,80,这组数据的中位数为（) A.80 B.90 C.85 D.95 【分析】根据中位数即一组排序的数据的中间一个数据或中间两个数据的平均数，据此进行求解即可。 【解答】解：解：将10名学生参加本次竞赛的成绩按照从小到大的顺序排列：70,80,80,80,90， 90,90,90,90,100 ∴.中间的两个数是第5个数和第6个数，即90和90， ∴.中位数为（90+90)÷2=90， 故选：B 【点评】本题考查了中位数，熟练掌握定义是解题的关键。 13.估算√5×√5-1应在() A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 【分析】二次根式乘法与无理数估算 【解答】解：√3×√5=√5，在3到4之间 .√3×√5-1在2到3之间 故选：A 【点评】本题考查了无理数估算，无理数估算是解决本题的关键。 14.昭通市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩.第一个月新建了100个充电桩，第 三个月新建了196个充电桩.设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x,则下列方程正确的是() A.196(1+x)=100 B.100(1+x2)=196 C.196(1+x)2=100 D.100(1+x)2=196 【分析】增长率模型：第三个月数量=第一个月数量×(1+x)2 【解答】解：由题意得100(1+x)2=196 故选：D, 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程的增长率是解题的关键. 15.如图，A,B,C,D是⊙0上的点，AC是⊙0的直径，若D=35°，则∠ACB的度数是() A 0 B A.25 B.55 c.50 D.65 【分析】由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是90°，即可解答， 【解答】解：，AC是⊙O的直径 .∴∠ABC=90° .BC=BC .∴∠CAB=∠CDB=35 .∴∠ACB=55° 故选：B 【点评】本题考查了直径所对的圆周角是90°，三角形的内角和，同弧所对的圆周角相等的关系，掌 握知识点是解题的关键， 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.方程x2+x=0的解是 【分析】利用提公因式进行因式分解. 【解答】解：x2+x=0 x(x+1)=0 x=0,(x+1)=0 ∴x1=0,X2=1 故答案为：.x1=0,X2=1 【点评】本题考查了提公因式，解题的关键是掌握提公因式和解一元二次方程. 17.如图，AB∥CD,AB:DC=2:5,则△ABO与△DCO的面积之比为 B D 【分析】可证明△AOB∽△DOC,再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案. 【解答】解：，AB∥CD .'.△AOB△DOC, S4AOB AB)? SADOC DC)' 6 .AB 2 SAOB 2 4 S*DOC 5 25 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质. 18.校为了解学生对“云南过桥米线”“鲜花饼”“普洱茶”“野生菌”四种特色美食的喜爱情况，随机抽取部 分学生进行问卷调查（每人只选一种）.调查结果绘制成如图所示的扇形统计图. 云南过桥米线 30% 鲜花饼 20% 普洱茶 35% 酷西 若该校共有学生1000名，请估计该校喜爱“过桥米线”的学生约有名 【分析】喜爱“过桥米线”的学生所占的百分比为30%，该校共有学生1000名，用1000×喜爱“过桥米线” 的学生所占的百分比即可 【解答】解：该校喜爱“过桥米线”的学生约有1000×30%=300（名）， 故答案为：300 【点评】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，理解题意，再列式计算是解本题的关键， 19.数学课上，小丽用一张圆心角为120°的扇形制作了一个圆锥，母线长为12cm的扇形纸片，制作成了 一个圆锥形笔筒的侧面，则这个圆锥形笔筒的底面半径是 厘米 【分析】先根据圆锥的圆心角与母线长的关系列出关于的方程求解. 【解答】解：，圆锥的母线长1=12cm,圆心角0=120°， R360 1120 12360 解得：r=4. 故答案为：4. 【点评】本题考查了求圆锥底面半径，并能熟练运用求解. 三、解答题（本大题共8小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20.(本小题满分7分) 计算：(-3)2+am45-2-1川+2x(-6)+2026 3 【分析】根据乘法的符号法则，特殊角的三角函数，绝对值的性质，零指数幂的运算法则进行计算求 解。 【解答】解：原式=9+1-(V2-1)-4什1…5分 =9+1-V2+1-4+1 =8-V2. …7分 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键. 21.(本小题满分6分) 如图，AB与CD相交于点O,连接AC和BD,已知AC⊥CD,AB LBD且AB=CD,求证：AC=BD 【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案. 【解答】解：.AC⊥CD,AB⊥BD .∴∠ACD=∠DBA=90° …2分 在RtA ACD和RtA DBA中， AD=AD AB=CD, .RtACD≌RtA DBA(HL), ……5分 ∴AC=BD …6分 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握是全等三角形的判定方法： SAS、ASA、AAS、SSS、HL 22.(本小题满分7分) 为传承红色基因，某校组织九年级学生前往昭通市威信县扎西会议纪念馆开展“重走长征路”研学活 动.学校距纪念馆12千米，原计划匀速步行前往.实际出发时，队伍的行进速度是原来的信，结果比 原计划提前1小时到达.求学生队伍原计划步行的速度 【分析】根据原计划所用时间-实际所用时间=1h,列方程，即可求解. 【解答】解：设学生队伍原计划步行的速度xkh,根据题意列方程得，…1分 12_12=1 …4分 x4 X 3 解得x=3, ……5分 经检验得x=3是原方程的解且符合题意， ……6分 答：学生队伍原计划的行进速度是3km/h. …7分 【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系式是解题的关键. 23.(本小题满分6分) 逐梦赛场燃激情，体教融合育新苗，巧家县2026年中小学生运动会于3月29日开幕，甲、乙两位同 学参加志愿者活动，准备在篮球比赛(A)、足球比赛(B)、田径比赛(C)三个赛场中选择一个，假 设这两位同学选择志愿点不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等： (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数： (②)求甲、乙两位同学选择同一志愿点的概率 【分析】(1)通过列表法即可得（甲，乙）所有可能出现的结果数： (2)根据(1)的结果，找出甲、乙两位同学选择同一志愿点的结果数，利用概率公式求解后即可. 【解答】解：(1)列表如下， 甲 A B c A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B) (B,B) (C,B) C (A,C) (B,C) (C,C) 由表可知，共有9种等可能出现的结果。 3分 (2)由列表法可知，甲、乙两位同学选择同一志愿点（记为事件W)的结果有3中，即 (A,A)、(B,B)、(C,C) …4分 31 .PW)=。 …5分 93 .甲、乙两位同学选择同一志愿点的概率为 …6分 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键。 24.(本小题满分8分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。过点C作CE∥BD,过点D作DE∥AC,CE 与DE交于点E,连接OE (1)求证：四边形OCED是矩形； (2)若B0=3W3,∠ABC=60°，求OE的长， A 0 D B E 【分析】(1)由CE∥BD,DE∥AC得平行四边形，又因为是菱形得到结论 (2)由三角函数可得到AB长度，又因为矩形对角线相等得出结论 【解答】(1)证明： .CE∥BD,DE∥AC .四边形OCED是平行四边形， …2分 又，四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, .'∠COD=90° …3分 ∴.四边形OCED是矩形， …4分 (2),四边形ABCD是菱形， :∠AB0=1∠ABC=30 2 ..AB= BO 3v3 =6 C0S30°V3 .'CD=AB=6 10 又，四边形OCED是矩形 OE=CD-6 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上 知识点并灵活运用是解此题的关键. 25.(本小题满分8分) 背景 “昭通苹果”是国家地理标志保护产品，近年来已成为昭通市推进乡村振兴、 助农增收致富的支柱产业.某生鲜电商平台计划从昭通采购A、B两种规格的苹 果，进行网络销售 素材一 采购10箱A级苹果和5箱B级苹果，共需1200元： 采购8箱A级苹果和10箱B级苹果，共需1320元. 素材二 该平台计划采购A、B两种规格的苹果共120箱，要求： ①A级苹果的数量至少比B级苹果多20箱： ②A级苹果的数量不超过B级苹果数量的2倍. 请完成下列任务： 任务 一 求A、B两种规格苹果每箱的采购单价 任务二 给出最节省费用的购买方案。 【分析】(1)根据二元一次方程组列出方程，利即可求出单价： (2)根据题意列出w关于m的一次函数W=90m+60120-m)=30m+7200利用一次函数的增减性性 质，求出最低费用即可. 【解答】解：(1)设A种规格苹果每箱的采购单价为x元，则B种规格苹果每箱的采购单价为y 元 ………1分 10x+5y=1200 据题意得 …3分 8x+10y=1320 x=90 解得： …4分 y=60 答：A种规格苹果每箱的采购单价为90元，则B种规格苹果每箱的采购单价为60元 (2)设A种规格苹果m箱，则B种规格苹果(120-m)箱，总费用为W 元。 …5分 11 1m≥(120-m)+20 据题意得 m≤2(120-m) 解得： m≥70 …6分 m≤80 ∴.70≤m≤80，且m为正整数 W=90m+60120-m)=30m+7200 …7分 ,k=10>0,W随m增大而增大， ∴.当=80时，W最大=96000元 ∴.120-=120-90=30（箱） …8分 答：A种规格苹果90箱，则B种规格苹果30箱时，最低费用为9600元。 【点评】本题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质， 26.(本小题满分8分) 己知关于x的二次函数y=x2-2ax-3,对称轴为直线x=1. (1)求a的值： (2)若为二次函数y=x2-2ax-3与x轴交点的横坐标，N= n 3m-4m+9m’比较N与15的大 小 【分析】 (1)对称轴x=- b ,求出a值 2a (2)(m,0)代入解析式得到“.m-2m-3=0,然后进行变换，再对N进行高次降次。 【解答】解：(1)对称轴x=- b-2a =1…2分 2a 2 .∴.a=1 …3分 (2):为二次函数y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标 .m2-22-3=0 …4分 m-3-2 =10 …5分 23 12 .N= m 1 3m6-4m3+9m 9 3m2-4m+ 1 9 2m2-4m+m2+, ……6分 m 1 2m2-4m+10 11 6+1016 …7分 1>1 1615 1 .N15 …8分 【点评】本题考查二次函数中的高次降次.熟练运用高次降次思想是解题的关键 27.(本小题满分12分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O,点D为AC的中点，∠DBA=30,连接AC,BD.过点D作射线DE交 BC的延长线于点E,且∠EDC=∠DAC E (1)求∠CAD的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线： (3)探究线段BC,BD,BA之间的数量关系，并证明你的结论 D 0 B 【分析】 (1)直接利用圆周角定理分析得出∠CAD=∠CBD,即可得出答案： (2)根据弦切角模型，证明OD⊥DE,从而得出DE是⊙O的切线 (3)利用截长补短，构造全等三角形，证明BF=2BG=√3BD,从而证明BA+BC=√3BD 13 【解答】 (1)点D为AC的中点， AD =CD ……2分 .∠CAD=∠ABD=30° …3分 (2)连接DO并延长交⊙0于点F,连接CF 点D为AC的中点， E ..AD =CD …4分 .∠CAD=∠CFD, D 又'.∠EDC=∠DAC .∴∠CFD=∠EDC …5分 0 .DF是⊙O的直径 B A .'∠FCD=90° F .∴∠CFD+∠CDF=90° 又∠CFD=∠EDC .'∠EDC+∠CDF=90 .∴∠FDE=90° …6分 .FD⊥ED,且OD是⊙O的半径 DE⊙O的切线 …7分 (3)延长AB至点H,使AH=BC,连接DH ·.四边边ABCD内接于⊙O .∴∠BCD+∠BAD=180° ⊙ ·.∠DAH+∠BAD=180° C .'∠BCD=∠DAH …8分 D 点D为AC的中点 ·AD=CD 0 H ..CD=AD G 14 在△BCD和ADAH中 「BC=AH ∠BCD=∠DAH CD=AD .∴.ABCD≌△DAH(SAS) …9分 .'∠CBD=∠H=30° .∴∠DBF=∠H=30° ..BD=DH ……10分 如图，过点D作DG⊥BH于点G ..BG=GH .c0s30°=」 BG BD ..BG-BD 2 …11分 .BH=2BG=√3BD ·.BH=BA+AH=BA+BC ..BA+BC=3BD …12分 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形和直角三角形的性质，圆周角定理，全等三角形 的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键. 15